橢圓性質(zhì)整理

1、橢圓性質(zhì)1.2. 標(biāo)準(zhǔn)方程：3.4. 點(diǎn)P處的切線PT平分PF1F2在點(diǎn)P處的外角.5. PT平分PF1F2在點(diǎn)P處的外角，則焦點(diǎn)在直線PT上的射影H點(diǎn)的軌跡是以長(zhǎng)軸為直徑的圓，除去長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn).6. 以焦點(diǎn)弦PQ為直徑的圓必與對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線相離.7. 以焦點(diǎn)半徑PF1為直徑的圓必與以長(zhǎng)軸為直徑的圓內(nèi)切.8. 設(shè)A1、A2為橢圓的左、右頂點(diǎn)，則PF1F2在邊PF2（或PF1）上的旁切圓，必與A1A2所在的直線切于A2（或A1）.9. 橢圓（abo）的兩個(gè)頂點(diǎn)為,，與y軸平行的直線交橢圓于P1、P2時(shí)A1P1與A2P2交點(diǎn)的軌跡方程是.10. 若在橢圓上，則過(guò)的橢圓的切線方程是.11. 若在橢圓外

2、，則過(guò)Po作橢圓的兩條切線切點(diǎn)為P1、P2，則切點(diǎn)弦P1P2的直線方程是.12. AB是橢圓的不平行于對(duì)稱軸且過(guò)原點(diǎn)的弦，M為AB的中點(diǎn)，則.13. 若在橢圓內(nèi)，則被Po所平分的中點(diǎn)弦的方程是.14. 若在橢圓內(nèi)，則過(guò)Po的弦中點(diǎn)的軌跡方程是.15. 若PQ是橢圓（ab0）上對(duì)中心張直角的弦，則.16. 若橢圓（ab0）上中心張直角的弦L所在直線方程為,則(1) ;(2) .17. 給定橢圓：（ab0）, ：,則(i)對(duì)上任意給定的點(diǎn),它的任一直角弦必須經(jīng)過(guò)上一定點(diǎn)M(.18. 對(duì)上任一點(diǎn)在上存在唯一的點(diǎn),使得的任一直角弦都經(jīng)過(guò)點(diǎn).19. 設(shè)為橢圓（或圓）C: (a0,. b0)上一點(diǎn)，P1P

3、2為曲線C的動(dòng)弦,且弦P0P1, P0P2斜率存在，記為k1, k 2, 則直線P1P2通過(guò)定點(diǎn)的充要條件是.20. 過(guò)橢圓 (a0, b0)上任一點(diǎn)任意作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線交橢圓于B,C兩點(diǎn)，則直線BC有定向且（常數(shù)）.21. 橢圓 (ab0)的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn) 2，點(diǎn)P為橢圓上任意一點(diǎn)，則橢圓的焦點(diǎn)角形的面積為 ， .22. 若P為橢圓（ab0）上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的任一點(diǎn),F1, F 2是焦點(diǎn), , ，則.23. 橢圓（ab0）的焦半徑公式：,( , ).24. 若橢圓（ab0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，左準(zhǔn)線為L(zhǎng)，則當(dāng)0e時(shí)，可在橢圓上求一點(diǎn)P，使得PF1是P到對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線距離d與P

4、F2的比例中項(xiàng).25. P為橢圓（ab0）上任一點(diǎn),F1,F2為二焦點(diǎn)，A為橢圓內(nèi)一定點(diǎn)，則,當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立.26. 橢圓（ab0）上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線：對(duì)稱的充要條件是.27. 過(guò)橢圓焦半徑的端點(diǎn)作橢圓的切線，與以長(zhǎng)軸為直徑的圓相交，則相應(yīng)交點(diǎn)與相應(yīng)焦點(diǎn)的連線必與切線垂直.28. 過(guò)橢圓焦半徑的端點(diǎn)作橢圓的切線交相應(yīng)準(zhǔn)線于一點(diǎn)，則該點(diǎn)與焦點(diǎn)的連線必與焦半徑互相垂直.29. P是橢圓（ab0）上一點(diǎn)，則點(diǎn)P對(duì)橢圓兩焦點(diǎn)張直角的充要條件是.30. 設(shè)A,B為橢圓上兩點(diǎn)，其直線AB與橢圓相交于,則.31. 在橢圓中，定長(zhǎng)為2m（oma）的弦中點(diǎn)軌跡方程為,其中,當(dāng)時(shí), .32. 設(shè)S為

5、橢圓（ab0）的通徑，定長(zhǎng)線段L的兩端點(diǎn)A,B在橢圓上移動(dòng)，記|AB|=，是AB中點(diǎn)，則當(dāng)時(shí)，有,);當(dāng)時(shí)，有,.33. 橢圓與直線有公共點(diǎn)的充要條件是.34. 橢圓與直線有公共點(diǎn)的充要條件是.35. 設(shè)橢圓（ab0）的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2,P（異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)）為橢圓上任意一點(diǎn)，在PF1F2中，記, ,，則有.36. 經(jīng)過(guò)橢圓（ab0）的長(zhǎng)軸的兩端點(diǎn)A1和A2的切線，與橢圓上任一點(diǎn)的切線相交于P1和P2，則.37. 已知橢圓（ab0），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P、Q為橢圓上兩動(dòng)點(diǎn)，且.（1）;（2）|OP|2+|OQ|2的最大值為;（3）的最小值是.38. MN是經(jīng)過(guò)橢圓（ab0）過(guò)焦點(diǎn)的任一弦，若AB是

6、經(jīng)過(guò)橢圓中心O且平行于MN的弦，則.39. MN是經(jīng)過(guò)橢圓（ab0）焦點(diǎn)的任一弦，若過(guò)橢圓中心O的半弦，則.40. 設(shè)橢圓（ab0）,M(m,o) 或(o, m)為其對(duì)稱軸上除中心，頂點(diǎn)外的任一點(diǎn)，過(guò)M引一條直線與橢圓相交于P、Q兩點(diǎn)，則直線A1P、A2Q(A1 ,A2為對(duì)稱軸上的兩頂點(diǎn))的交點(diǎn)N在直線：(或)上.41. 設(shè)過(guò)橢圓焦點(diǎn)F作直線與橢圓相交 P、Q兩點(diǎn)，A為橢圓長(zhǎng)軸上一個(gè)頂點(diǎn)，連結(jié)AP 和AQ分別交相應(yīng)于焦點(diǎn)F的橢圓準(zhǔn)線于M、N兩點(diǎn)，則MFNF.42. 過(guò)橢圓一個(gè)焦點(diǎn)F的直線與橢圓交于兩點(diǎn)P、Q, A1、A2為橢圓長(zhǎng)軸上的頂點(diǎn)，A1P和A2Q交于點(diǎn)M，A2P和A1Q交于點(diǎn)N，則MF

7、NF.43. 設(shè)橢圓方程,則斜率為k(k0)的平行弦的中點(diǎn)必在直線：的共軛直線上,而且.44. 設(shè)A、B、C、D為橢圓上四點(diǎn),AB、CD所在直線的傾斜角分別為，直線AB與CD相交于P,且P不在橢圓上,則.45. 已知橢圓（ab0）,點(diǎn)P為其上一點(diǎn)F1, F 2為橢圓的焦點(diǎn)，的外（內(nèi)）角平分線為，作F1、F2分別垂直于R、S，當(dāng)P跑遍整個(gè)橢圓時(shí)，R、S形成的軌跡方程是().46. 設(shè)ABC內(nèi)接于橢圓，且AB為的直徑，為AB的共軛直徑所在的直線，分別交直線AC、BC于E和F，又D為上一點(diǎn)，則CD與橢圓相切的充要條件是D為EF的中點(diǎn).47. 過(guò)橢圓（ab0）的右焦點(diǎn)F作直線交該橢圓右支于M,N兩點(diǎn)，

8、弦MN的垂直平分線交x軸于P，則.48. 設(shè)A（x1 ,y1）是橢圓（ab0）上任一點(diǎn)，過(guò)A作一條斜率為的直線L，又設(shè)d是原點(diǎn)到直線 L的距離, 分別是A到橢圓兩焦點(diǎn)的距離，則.49. 已知橢圓（ ab0）和（ ），一直線順次與它們相交于A、B、C、D四點(diǎn)，則AB=|CD.50. 已知橢圓（ ab0）,A、B、是橢圓上的兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與x軸相交于點(diǎn), 則.51. 設(shè)P點(diǎn)是橢圓（ ab0）上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的任一點(diǎn),F1、F2為其焦點(diǎn)記，則(1).(2) .52. 設(shè)過(guò)橢圓的長(zhǎng)軸上一點(diǎn)B（m,o）作直線與橢圓相交于P、Q兩點(diǎn)，A為橢圓長(zhǎng)軸的左頂點(diǎn)，連結(jié)AP和AQ分別交相應(yīng)于過(guò)B點(diǎn)的直線M

9、N：于M，N兩點(diǎn),則.53. L是經(jīng)過(guò)橢圓（ ab0）長(zhǎng)軸頂點(diǎn)A且與長(zhǎng)軸垂直的直線，E、F是橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)，e是離心率,點(diǎn)，若，則是銳角且或（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）.54. L是橢圓（ ab0）的準(zhǔn)線，A、B是橢圓的長(zhǎng)軸兩頂點(diǎn),點(diǎn)，e是離心率，H是L與X軸的交點(diǎn)c是半焦距，則是銳角且或（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）.55. L是橢圓（ ab0）的準(zhǔn)線，E、F是兩個(gè)焦點(diǎn)，H是L與x軸的交點(diǎn)，點(diǎn)，,離心率為e，半焦距為c，則為銳角且或（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）.56. 已知橢圓（ ab0），直線L通過(guò)其右焦點(diǎn)F2,且與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，將A、B與橢圓左焦點(diǎn)F1連結(jié)起來(lái)，則（當(dāng)且僅當(dāng)ABx軸時(shí)右邊不等式取等號(hào)，當(dāng)且僅

10、當(dāng)A、F1、B三點(diǎn)共線時(shí)左邊不等式取等號(hào)）.57. 設(shè)A、B是橢圓（ ab0）的長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)，P是橢圓上的一點(diǎn)，, ,，c、e分別是橢圓的半焦距離心率，則有(1).(2) .(3) .58. 設(shè)A、B是橢圓（ ab0）長(zhǎng)軸上分別位于橢圓內(nèi)（異于原點(diǎn)）、外部的兩點(diǎn)，且、的橫坐標(biāo)，（1）若過(guò)A點(diǎn)引直線與這橢圓相交于P、Q兩點(diǎn)，則；（2）若過(guò)B引直線與這橢圓相交于P、Q兩點(diǎn)，則.59. 設(shè)A、B是橢圓（ ab0）長(zhǎng)軸上分別位于橢圓內(nèi)（異于原點(diǎn)），外部的兩點(diǎn)，（1）若過(guò)A點(diǎn)引直線與這橢圓相交于P、Q兩點(diǎn)，（若B P交橢圓于兩點(diǎn)，則P、Q不關(guān)于x軸對(duì)稱），且，則點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)、滿足；（2）若過(guò)B點(diǎn)引直線

11、與這橢圓相交于P、Q兩點(diǎn)，且,則點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)滿足.60. 設(shè)是橢圓的長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)，是與垂直的弦，則直線與的交點(diǎn)P的軌跡是雙曲線.61. 過(guò)橢圓（ ab0）的左焦點(diǎn)作互相垂直的兩條弦AB、CD則.62. 到橢圓（ ab0）兩焦點(diǎn)的距離之比等于（c為半焦距）的動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是姊妹圓.63. 到橢圓（ ab0）的長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)的距離之比等于（c為半焦距）的動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是姊妹圓.64. 到橢圓（ ab0）的兩準(zhǔn)線和x軸的交點(diǎn)的距離之比為（c為半焦距）的動(dòng)點(diǎn)的軌跡是姊妹圓（e為離心率）.65. 已知P是橢圓（ ab0）上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是它長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn),且,，則Q點(diǎn)的軌跡方程是.66. 橢圓的一條直徑(過(guò)中

12、心的弦)的長(zhǎng)，為通過(guò)一個(gè)焦點(diǎn)且與此直徑平行的弦長(zhǎng)和長(zhǎng)軸之長(zhǎng)的比例中項(xiàng).67. 設(shè)橢圓（ ab0）長(zhǎng)軸的端點(diǎn)為,是橢圓上的點(diǎn)過(guò)P作斜率為的直線，過(guò)分別作垂直于長(zhǎng)軸的直線交于,則（1）.（2）四邊形面積的最小值是.68. 已知橢圓（ ab0）的右準(zhǔn)線與x軸相交于點(diǎn)，過(guò)橢圓右焦點(diǎn)的直線與橢圓相交于A、B兩點(diǎn),點(diǎn)在右準(zhǔn)線上，且軸，則直線AC經(jīng)過(guò)線段EF 的中點(diǎn).69. OA、OB是橢圓（ a0,b0）的兩條互相垂直的弦，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（1）直線AB必經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn). (2) 以O(shè) A、O B為直徑的兩圓的另一個(gè)交點(diǎn)Q的軌跡方程是.70. 是橢圓（ab0）上一個(gè)定點(diǎn)，P A、P B是互相垂直的弦，則（1

13、）直線AB必經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn).（2）以P A、P B為直徑的兩圓的另一個(gè)交點(diǎn)Q的軌跡方程是 (且).71. 如果一個(gè)橢圓短半軸長(zhǎng)為b，焦點(diǎn)F1、F2到直線的距離分別為d1、d2，那么（1），且F1、F 2在 同側(cè)直線L和橢圓相切.（2），且F1、F2在L同側(cè)直線 和橢圓相離，（3），或F1、F2在L異側(cè)直線L和橢圓相交.72. AB是橢圓（ab0）的長(zhǎng)軸，是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)的切線與過(guò)A、B的切線交于、兩點(diǎn)，則梯形ABDC的對(duì)角線的交點(diǎn)M的軌跡方程是.73. 設(shè)點(diǎn)為橢圓（ ab0）的內(nèi)部一定點(diǎn)，AB是橢圓過(guò)定點(diǎn)的任一弦，當(dāng)弦AB平行（或重合）于橢圓長(zhǎng)軸所在直線時(shí).當(dāng)弦AB垂直于長(zhǎng)

14、軸所在直線時(shí), .74. 橢圓焦三角形中,以焦半徑為直徑的圓必與以橢圓長(zhǎng)軸為直徑的圓相內(nèi)切.75. 橢圓焦三角形的旁切圓必切長(zhǎng)軸于非焦頂點(diǎn)同側(cè)的長(zhǎng)軸端點(diǎn).76. 橢圓兩焦點(diǎn)到橢圓焦三角形旁切圓的切線長(zhǎng)為定值a+c與a-c.77. 橢圓焦三角形的非焦頂點(diǎn)到其內(nèi)切圓的切線長(zhǎng)為定值a-c.78. 橢圓焦三角形中,內(nèi)點(diǎn)到一焦點(diǎn)的距離與以該焦點(diǎn)為端點(diǎn)的焦半徑之比為常數(shù)e(離心率). 注:在橢圓焦三角形中,非焦頂點(diǎn)的內(nèi)、外角平分線與長(zhǎng)軸交點(diǎn)分別稱為內(nèi)、外點(diǎn).79. 橢圓焦三角形中,內(nèi)心將內(nèi)點(diǎn)與非焦頂點(diǎn)連線段分成定比e.80. 橢圓焦三角形中,半焦距必為內(nèi)、外點(diǎn)到橢圓中心的比例中項(xiàng).81. 橢圓焦三角形中,

15、橢圓中心到內(nèi)點(diǎn)的距離、內(nèi)點(diǎn)到同側(cè)焦點(diǎn)的距離、半焦距及外點(diǎn)到同側(cè)焦點(diǎn)的距離成比例.82. 橢圓焦三角形中,半焦距、外點(diǎn)與橢圓中心連線段、內(nèi)點(diǎn)與同側(cè)焦點(diǎn)連線段、外點(diǎn)與同側(cè)焦點(diǎn)連線段成比例.83. 橢圓焦三角形中,過(guò)任一焦點(diǎn)向非焦頂點(diǎn)的外角平分線引垂線,則橢圓中心與垂足連線必與另一焦半徑所在直線平行.84. 橢圓焦三角形中,過(guò)任一焦點(diǎn)向非焦頂點(diǎn)的外角平分線引垂線,則橢圓中心與垂足的距離為橢圓長(zhǎng)半軸的長(zhǎng).85. 橢圓焦三角形中,過(guò)任一焦點(diǎn)向非焦頂點(diǎn)的外角平分線引垂線,垂足就是垂足同側(cè)焦半徑為直徑的圓和橢圓長(zhǎng)軸為直徑的圓的切點(diǎn).86. 橢圓焦三角形中,非焦頂點(diǎn)的外角平分線與焦半徑、長(zhǎng)軸所在直線的夾角的余弦的比為定值e.87. 橢圓焦三角形中,非焦頂點(diǎn)的法線即為該頂角的內(nèi)角平分線.88. 橢圓焦三角形中,非焦頂點(diǎn)的切線即為該頂角的外角平分線.89. 橢圓焦三角形中,過(guò)非焦頂點(diǎn)的切線與橢圓長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)處的切線相