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1、排列組合題型總結(jié)排列組合問題千變?nèi)f化,解法靈活,條件隱晦,思維抽象,難以找到解題的突破口。因而在求解排列組合應(yīng)用題時(shí),除做到:排列組合分清,加乘原理辯明,避免重復(fù)遺漏外,還應(yīng)注意積累排列組合問題得以快速準(zhǔn)確求解。一.直接法1 .特殊元素法例1用1, 2, 3, 4, 5, 6這6個(gè)數(shù)字組成無重復(fù)的四位數(shù),試求滿足下列條件的四位數(shù)各有多少個(gè)(1)數(shù)字1不排在個(gè)位和千位(2)數(shù)字1不在個(gè)位,數(shù)字6不在千位。分析:(1)個(gè)位和千位有5個(gè)數(shù)字可供選擇 A;,其余2位有四個(gè)可供選擇 a4由乘法原理:A; A2=2402 .特殊位置法(2)當(dāng)1在千位時(shí)余下三位有 A3 =60, 1不在千位時(shí),千位有 A:

2、種選法,個(gè)位有 a4種,余下的有 A2 ,共有a4 a4 A2 =192所以總共有 192+60=2522 .間接法 當(dāng)直接法求解類別比較大時(shí),應(yīng)采用間接法。如上例中(2)可用間接法 A4 2A3 A2 =252例2 有五張卡片,它的正反面分別寫 0與1, 2與3, 4與5, 6與7, 8與9,將它們?nèi)我馊龔埐⑴欧旁谝黄鸾M成三 位數(shù),共可組成多少個(gè)不同的三維書?分析:此例正面求解需考慮 0與1卡片用與不用,且用此卡片又分使用0與使用1,類別較復(fù)雜,因而可使用間接計(jì)算:任取三張卡片可以組成不同的三位數(shù)C3 23 A;個(gè),其中0在百位的有C42 22 A;個(gè),這是不合題意的。故共可組成不同的三位數(shù)

3、 C; 23 A;-C: 22 A;=432 (個(gè))3 .插空法 當(dāng)需排元素中有不能相鄰的元素時(shí),宜用插空法。例3 在一個(gè)含有8個(gè)節(jié)目的節(jié)目單中,臨時(shí)插入兩個(gè)歌唱節(jié)目,且保持原節(jié)目順序,有多少中插入方法?分析:原有的8個(gè)節(jié)目中含有9個(gè)空檔,插入一個(gè)節(jié)目后,空檔變?yōu)?0個(gè),故有A; A10 =100中插入方法。4 .捆綁法當(dāng)需排元素中有必須相鄰的元素時(shí),宜用捆綁法。例4 4名男生和3名女生共坐一排,男生必須排在一起的坐法有多少種?分析:先將男生捆綁在一起看成一個(gè)大元素與女生全排列有A44種排法,而男生之間又有 a4種排法,又乘法原理滿足44條件的排法有:A4 X A4 =576練習(xí)1.四個(gè)不同的

4、小球全部放入三個(gè)不同的盒子中,若使每個(gè)盒子不空,則不同的放法有 種(C2A;)2.某市植物園要在30天內(nèi)接待20所學(xué)校的學(xué)生參觀,但每天只能安排一所學(xué)校,其中有一所學(xué)校人數(shù)較多,要安排連續(xù)參觀2天,其余只參觀一天,則植物園30天內(nèi)不同的安排方法有(C29 A29)(注意連續(xù)參觀2天,即需把30天1種的連續(xù)兩天捆綁看成一天作為一個(gè)整體來選有C29其余的就是19所學(xué)校選28天進(jìn)行排列)五.閣板法名額分配或相同物品的分配問題,適宜采閣板用法例5某校準(zhǔn)備組建一個(gè)由12人組成籃球隊(duì),這12個(gè)人由8個(gè)班的學(xué)生組成,每班至少一人,名額分配方案共 種。 分析:此例的實(shí)質(zhì)是12個(gè)名額分配給8個(gè)班,每班至少一個(gè)名

5、額,可在 12個(gè)名額種的11個(gè)空當(dāng)中插入7塊閘板,一種插法對(duì)應(yīng)一種名額的分配方式,故有C:種練習(xí)1.(a+b+c+d) 15有多少項(xiàng)?110出項(xiàng)中只有一個(gè)子母時(shí),有 C4種(即a.b.c.d而指數(shù)只有15故C4 C14 02121當(dāng)項(xiàng)中有2個(gè)子母時(shí),有C4而指數(shù)和為15,即將15分配給2個(gè)字母時(shí),如何分,閘板法一分為2, C14即C4 C14當(dāng)項(xiàng)中有3個(gè)字母時(shí)c3指數(shù)15分給3個(gè)字母分三組即可c:c!4當(dāng)項(xiàng)種4個(gè)字母都在時(shí)C: C134四者都相加即可.練習(xí)2.有20個(gè)不加區(qū)別的小球放入編號(hào)為1, 2, 3的三個(gè)盒子里,要求每個(gè)盒子內(nèi)的球數(shù)不少編號(hào)數(shù),問有多少種不2同的萬法? ( C16)3.不

6、定方程X1+X2+X+Ko=100中不同的整數(shù)解有(C;)六.平均分堆問題例6 6 本不同的書平均分成三堆,有多少種不同的方法?分析:分出三堆書(a,a2),(a 3,a 4) , (a5,ae)由順序不同可以有 A33=6種,而這6種分法只算一種分堆方式,故 6本不同的書平均分成三堆方式有C:C:C2A3=15種第-6 -頁共5頁練習(xí):1.6本書分三份,2份1本,1份4本,則有不同分法?2.某年級(jí)6個(gè)班的數(shù)學(xué)課,分配給甲乙丙三名數(shù)學(xué)教師任教,每人教兩個(gè)班,則分派方法的種數(shù)。七.合并單元格解決染色問題例7 (全國(guó)卷(文、理)如圖1, 一個(gè)地區(qū)分為5個(gè)行政區(qū)域,現(xiàn)給地圖著色,要求相鄰區(qū)域不得使用

7、同一顏色,現(xiàn)有四種顏色可供選擇,則不同的著色方法共有 種(以數(shù)字作答)。分析:顏色相同的區(qū)域可能是 2、3、4、5.下面分情況討論:(i )當(dāng)2、4顏色相同且3、5顏色不同時(shí),將2、4合并成一個(gè)單元格,此時(shí)不同的著色方法相當(dāng)于4個(gè)元素2,44的全排列數(shù)A4一 4,(ii)當(dāng)2、4顏色不同且3、5顏色相同時(shí),與情形(i)類似同理可得 A4種著色法(iii)當(dāng)2、4與3、5分別同色時(shí),將2、4;3、5分別合并,這樣僅有三個(gè)單元格3,5從4種顏色中選3種來著色這三個(gè)單元格,計(jì)有3C43A種方法.由加法原理知:不同著色方法共有 2C4A3 =48+24=72 (種)練習(xí)1 (天津卷(文)將3種作物種植

8、在如圖的5塊試驗(yàn)田里,每快種植一種作物且相鄰的試驗(yàn)田不能種植同一作物不同的種植方法共 種(以數(shù)字作答)(72)2 .(江蘇、遼寧、天津卷(理)某城市中心廣場(chǎng)建造一個(gè)花圃,花圃6分為個(gè)部分(如圖3),現(xiàn)要栽種4種顏色的花,每部分栽種一種且相鄰部分不能栽種同一樣顏色的話,不同的栽種方法有 種(以數(shù)字作答).(120)3 .如圖4,用不同的5種顏色分別為 ABCD由部分著色,相鄰部分不能用同一顏色,但同一種顏色可以反復(fù)使用也可以 不用,則符合這種要求的不同著色種數(shù).(540)4 .如圖5:四個(gè)區(qū)域坐定 4個(gè)單位的人,有四種不同顏色的服裝,每個(gè)單位的觀眾必須穿同種顏色的服裝,且相鄰兩區(qū) 域的顏色不同,

9、不相鄰區(qū)域顏色相同,不相鄰區(qū)域顏色相同與否不受限制,那么不同的著色方法是種(84)5 .將一四棱錐(圖6)的每個(gè)頂點(diǎn)染一種顏色,并使同一條棱的兩端點(diǎn)異色,若只有五種顏色可供使用,則不同的染色方法共 種(420)八.遞推法例八一樓梯共10級(jí),如果規(guī)定每次只能跨上一級(jí)或兩級(jí),要走上這10級(jí)樓梯,共有多少種不同的走法?分析:設(shè)上n級(jí)樓梯的走法為an種,易知ai=1,az=2,當(dāng)n2時(shí),上n級(jí)樓梯的走法可分兩類:第一類:是最后一步跨 一級(jí),有an-i種 走法,第二類是最后一步跨兩級(jí),有an-2種 走法,由加法原理知:an=an-i + an-2,據(jù) 此, a3=ai+a2=3,a 4=a#+a2=5,

10、a 5=a4+a3=8,a 6=13,a7=21,a 8=34,a9=55,ai0=89.故走上 10 級(jí)樓梯共有 89 種不同的方法。九.幾何問題1 .四面體的一個(gè)頂點(diǎn)位 A,從其它頂點(diǎn)與各棱中點(diǎn)取 3個(gè)點(diǎn),使它們和點(diǎn)A在同一平面上,不同的取法有 種(3C3+3=33)2 .四面體的棱中點(diǎn)和頂點(diǎn)共 10個(gè)點(diǎn)(1)從中任取3個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面,共能確定多少個(gè)平面?33-33 一一 一一(C10-4 C6 +4-3 C4 +3-6C 4 +6+2X 6=29)(2)以這10個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn),共能確定多少格凸棱錐?三棱錐C104-4C64-6C44-3C44=141四棱錐6 X4X4=96 3 X6=18

11、共有114十.先選后排法例9有甲乙丙三項(xiàng)任務(wù),甲需 2人承擔(dān),乙丙各需1人承擔(dān),從10人中選派4人承擔(dān)這三項(xiàng)任務(wù),不同的選派方法有()A.1260 種B.2025 種C.2520 種D.5054 種分析:先從10人中選出2人十一.用轉(zhuǎn)換法解排列組合問題例10.某人連續(xù)射擊8次有四次命中,其中有三次連續(xù)命中,按“中”與“不中”報(bào)告結(jié)果,不同的結(jié)果有多少種.解 把問題轉(zhuǎn)化為四個(gè)相同的黑球與四個(gè)相同白球,其中只有三個(gè)黑球相鄰的排列問題.A2=20種例11.個(gè)人參加秋游帶10瓶飲料,每人至少帶1瓶,一共有多少鐘不同的帶法.解 把問題轉(zhuǎn)化為5個(gè)相同的白球不相鄰地插入已經(jīng)排好的10個(gè)相同的黑球之間的9個(gè)空

12、隙種的排列問題.C;=126種例12 從1, 2, 3,,1000個(gè)自然數(shù)中任取10個(gè)不連續(xù)的自然數(shù),有多少種不同的去法.解 把穩(wěn)體轉(zhuǎn)化為10個(gè)相同的黑球與990個(gè)相同白球,其其中黑球不相鄰的排列問題。C:0i99 1例13某城市街道呈棋盤形,南北向大街5條,東西向大街4條,一人欲從西南角走到東北角,路程最短的走法有多少種.解 無論怎樣走必須經(jīng)過三橫四縱,因此,把問題轉(zhuǎn)化為3個(gè)相同的白球與四個(gè)相同的黑球的排列問題.C3=35 (種)例14 一個(gè)樓梯共18個(gè)臺(tái)階12步登完,可一步登一個(gè)臺(tái)階也可一步登兩個(gè)臺(tái)階,一共有多少種不同的走法.解 根據(jù)題意要想12步登完只能6個(gè)一步登一個(gè)臺(tái)階,6個(gè)一步登兩個(gè)

13、臺(tái)階,因此,把問題轉(zhuǎn)化為6個(gè)相同的黑球與6個(gè)相同的白球的排列問題.C62=924 (種).例15 求(a+b+c) 10的展開式的項(xiàng)數(shù).解 展開使的項(xiàng)為a“bc且a+0+丫=10,因此,把問題轉(zhuǎn)化為2個(gè)相同的黑球與10個(gè)相同的白球的排列問題.Cl =66(種)例16 亞、歐乒乓球?qū)官?,各?duì)均有5名隊(duì)員,按事先排好的順序參加擂臺(tái)賽,雙方先由1號(hào)隊(duì)員比賽,負(fù)者淘汰,勝者再與負(fù)方2號(hào)隊(duì)員比賽,直到一方全被淘汰為止,另一方獲勝,形成一種比賽過程.那么所有可能出現(xiàn)的比賽 過程有多少種?解 設(shè)亞洲隊(duì)隊(duì)員為a1,a2,a5,歐洲隊(duì)隊(duì)員為bs b2,,b5,下標(biāo)表示事先排列的出場(chǎng)順序,若以依次被淘汰的隊(duì)員為

14、順序.比賽過程轉(zhuǎn)化為這 10個(gè)字母互相穿插的一個(gè)排列,最后師勝隊(duì)種步被淘汰的隊(duì)員和可能未參加參賽的隊(duì)員,所以比賽過程可表示為5個(gè)相同的白球和5個(gè)相同黑球排列問題,比賽過程的總數(shù)為C;0=252 (種)十二.轉(zhuǎn)化命題法例17圓周上共有15個(gè)不同的點(diǎn),過其中任意兩點(diǎn)連一弦,這些弦在圓內(nèi)的交點(diǎn)最多有多少各?分析:因兩弦在圓內(nèi)若有一交點(diǎn),則該交點(diǎn)對(duì)應(yīng)于一個(gè)以兩弦的四端點(diǎn)為頂點(diǎn)的圓內(nèi)接四邊形,則問題化為圓周上的15個(gè)不同的點(diǎn)能構(gòu)成多少個(gè)圓內(nèi)接四邊形,因此這些現(xiàn)在圓內(nèi)的交點(diǎn)最多有C45=1365 (個(gè))十三.概率法例18 一天的課程表要排入語文、數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、英語、體育六節(jié)課,如果數(shù)學(xué)必須排在體育之前,那么該天的課程 表有多少種排法? 一 心1分析:在六節(jié)課的排列總數(shù)中,體育課排在數(shù)學(xué)之前與數(shù)學(xué)課排在體育之前的概率相等,均為一,故本例所求的排法種數(shù)21 _1,就是所有排法的 -,即A=360種22十四.除序法 例19用1, 2, 3, 4, 5, 6, 7這七個(gè)數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的七位數(shù)中,(1)若偶數(shù)2, 4, 6次序一定,有多少個(gè)?(2)若偶數(shù)2, 4, 6次序一定,奇數(shù)1,3, 5, 7的次序也一定的有多少個(gè)?初 AA解(1) -7- (2) -7-AA3A4十五.錯(cuò)位排列例2

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