(完整)導(dǎo)數(shù)結(jié)合洛必達(dá)法則巧解高考?jí)狠S題

1、導(dǎo)數(shù)結(jié)合洛必達(dá)法則巧解高考?jí)狠S題2010 年和 2011 年高考中的全國(guó)新課標(biāo)卷中的第21 題中的第步，由不等式恒成立來(lái)求參數(shù)2的取值范圍問(wèn)題，分析難度大，但用洛必達(dá)法則來(lái)處理卻可達(dá)到事半功倍的效果。洛必達(dá)法則簡(jiǎn)介：法則 1若函數(shù) f(x)和 g(x)滿足下列條件：(1)lim fx0及 lim g x0 ；x axa(2)在點(diǎn) a 的去心鄰域內(nèi)， f(x)與 g(x)可導(dǎo)且 g'(x) 0；(3)fxl ，limxx a gf x= limfxl 。那么 limgxxa g xx a法則 2若函數(shù) f(x)和 g(x)滿足下列條件：(1)lim fx0及 lim g x0 ；xx(2

2、)A f 0， f(x)和 g(x) 在,A與A,上可導(dǎo)，且 g'(x)0；(3)fxl ，limx g xfx= limfx那么 liml 。xgxxgx法則 3若函數(shù) f(x)和 g(x) 滿足下列條件： (1) lim fx及 lim g x；x ax a(2) 在點(diǎn) a 的去心鄰域內(nèi)， f(x)與 g(x)可導(dǎo)且 g'(x)0；(3)limfxl ，gxx afx= limfx那么 limxgl 。xa gx ax利用洛必達(dá)法則求未定式的極限是微分學(xué)中的重點(diǎn)之一，在解題中應(yīng)注意：1 將上面公式中的xa，x換成 x +， x - ，xa ， xa 洛必達(dá)法則也成立。2洛必

3、達(dá)法則可處理0 ，0，0 ，0 ，型。0100 ，3在著手求極限以前，首先要檢查是否滿足，0，0 ，0 ，型定式，010否則濫用洛必達(dá)法則會(huì)出錯(cuò)。當(dāng)不滿足三個(gè)前提條件時(shí)，就不能用洛必達(dá)法則，這時(shí)稱洛必達(dá)法則不適用，應(yīng)從另外途徑求極限。4 若條件符合，洛必達(dá)法則可連續(xù)多次使用，直到求出極限為止。二高考題處理1.(2010 年全國(guó)新課標(biāo)理)設(shè)函數(shù)f (x)ex1xax 2 。（ 1）若 a0 ，求 f (x) 的單調(diào)區(qū)間；（2） 若當(dāng)x0 時(shí) f (x)0，求 a 的取值范圍原解：（ 1） a0時(shí)， f ( x)ex1x ， f '( x)ex 1.當(dāng) x (,0) 時(shí)， f'(

4、x)0 ；當(dāng) x(0,) 時(shí)， f'(x)0 .故 f ( x) 在 (,0) 單調(diào)減少，在(0, ) 單調(diào)增加（ II ） f '(x)ex1 2ax由（ I）知 ex1x ，當(dāng)且僅當(dāng) x0 時(shí)等號(hào)成立 .故f '( x)x2ax(1 2a)x ，從而當(dāng) 12a0，即 a1( x0) ，而 f (0)0 ，時(shí)， f '(x) 02于是當(dāng) x0時(shí)， f ( x)0 .由 ex1x( x0) 可得 e x1x( x0) .從而當(dāng) a1時(shí)，2f '( x)ex12a(e x1)e x (ex1)(ex2a) ，故當(dāng) x (0,ln2a) 時(shí)， f'(

5、 x)0 ，而 f (0)0 ，于是當(dāng) x(0,ln 2a) 時(shí)， f ( x) 0 .綜合得 a 的取值范圍為, 12原解在處理第（II ）時(shí)較難想到，現(xiàn)利用洛必達(dá)法則處理如下：另解 :（ II ）當(dāng) x0時(shí)， f ( x)0 ，對(duì)任意實(shí)數(shù)a,均在 f ( x)0；xx1當(dāng) x0時(shí)， f ( x)0 等價(jià)于 ae2xxxx令g xex1(x>0),則g ( x)xe2ex 2，令23xxxxxxxh xxe 2e x 2 x 0 ，則 h xxe e 1 ， hxxe 0 ，知 hx在 0,上 為 增 函 數(shù) ， h xh 00 ； 知 h x在 0,上為增函數(shù)，h xh 00 ；gx

6、0 ， g(x) 在 0,上為增函數(shù)。xx1xx1由洛必達(dá)法則知， lim elim e2lim e，x0xx02xx 0221故 a2綜上，知 a 的取值范圍為,1 。22（ 2011 年全國(guó)新課標(biāo)理） 已知函數(shù)， 曲線 yf ( x) 在點(diǎn) (1, f (1)處的切線方程為x 2 y 30 。（）求 a 、 b 的值；（）如果當(dāng)x 0 ，且 x1時(shí)， f (x)ln xk ，求 k 的取值范圍。x 1x( x1ln x)b原解：（） f '(x)x1)2x2( x1f (1)1,由于直線 x2 y 30的斜率為(1,1)，故1 即，且過(guò)點(diǎn)2f '(1),2b1,ab1 ,解

7、得 a1 ， b1。22（）由（）知 f (x)ln x1 ，所以x1xf ( x)( ln xk )12 (2ln x(k1)(x2 1) 。x1x1 xx考慮函數(shù) h( x)2ln x(k 1)(x2 1)，則(k1)(x21) 2xx( x0)h '(x)x2。（ i ）設(shè)k 0，由h '(x)k (x21)( x1)2x1h '(x)0hxh(1) 0知，當(dāng)時(shí)，）遞減。而x2， （故當(dāng) x(0,1)時(shí)， h(x)0 ，可得10 ；12 h( x)x當(dāng) x （ 1，+）時(shí)， h（ x） <0，可得1h（ x）>01 x2從而當(dāng) x>0, 且 x1

8、時(shí)， f （ x）-（ ln x+ k ）>0，即 f（ x）>ln x+ k .x 1xx1x（ ii ） 設(shè) 0<k<1. 由 于 (k1)( x21)2 x= (k1)x22 xk1的圖像開口向下，且44(k1)20 ，對(duì)稱軸 x=11 當(dāng) x（1， 1）時(shí)，（ k-1 ）（ x2 +1）+2x>0, 故 h'（ x）>0,1k.1k而 h（1） =0，故當(dāng) x（1，1）時(shí)， h（x） >0，可得11k1x 2 h（ x） <0,與題設(shè)矛盾。（ iii ）設(shè) k1.此時(shí) x212x ， (k1)( x21)2 x0h' （

9、x）>0, 而 h（ 1）=0 ，故當(dāng) x（1，+）時(shí)， h（ x）>0，可得1h（x） <0,與題設(shè)矛盾。1x2綜合得， k 的取值范圍為（ -， 0原解在處理第（ II ）時(shí)非常難想到，現(xiàn)利用洛必達(dá)法則處理如下：另解：（II ）由題設(shè)可得，當(dāng)x0, x1 時(shí)， k< 2x ln x1恒成立。1x2令 g (x)= 2x ln x1 ( x0, x1 ),則 gx2x21 ln xx21，1x21x22再 令h xx21 ln x x21 (x0, x 1 )， 則 hx 2x ln x1x ，11xhx2ln x1x2ln x1在 0,上為增函數(shù)，且 h10 ；故x

10、2 ，易知 hx2當(dāng) x(0,1)時(shí)， hx0 ，當(dāng) x（1， +）時(shí)， hx0；hx在0,1上為減函數(shù)，在1,上為增函數(shù)；故hx> h1=0hx在 0,上為增函數(shù)Q h 1 =0當(dāng) x(0,1)時(shí)， hx0 ，當(dāng) x （ 1， +）時(shí)， h x0當(dāng) x(0,1)時(shí)， gx0，當(dāng) x（1， +）時(shí)， gx0gx在0,1上為減函數(shù)，在1,上為增函數(shù)Q 由洛必達(dá)法則知 lim g2limx ln x2lim1ln x1x1 x212x121 0x 1x 1x 12k0 ，即 k 的取值范圍為（ -，0規(guī)律總結(jié)： 對(duì)恒成立問(wèn)題中的求參數(shù)取值范圍，參數(shù)與變量分離較易理解，但有些題中的求分離出來(lái)的

11、函數(shù)式的最值有點(diǎn)麻煩，利用洛必達(dá)法則可以較好的處理它的最值，是一種值得借鑒的方法。3自編 ：若不等式sin xxax對(duì)于x(0,)解：應(yīng)用洛必達(dá)法則和導(dǎo)數(shù)當(dāng) x(0,) 時(shí)，原不等式等價(jià)于axsin xx3.2記 f ( x)xsin x3sin xx cos x2xx3，則 f '( x)x 4.記 g ( x)3sin xx cos x2 x ，則 g '( x )2cos xx sin x 2 .因?yàn)?g ''(x)x cos x sin xcos x ( xtan x ) ，g '''(x)x sin x0 ，所以 g ''(x) 在 (0,) 上單調(diào)遞減，且g ''(x) 0 ，2所以 g '( x) 在 (0,) 上單調(diào)遞減，且 g '(x)0 .因此 g ( x ) 在 (0,) 上單調(diào)遞減，22且 g ( x)0 ，故 f'( x)g ( x)0 ，因此f ( x)xsin x在 (0,) 上單調(diào)遞減 .x4x32由洛必達(dá)法則有l(wèi)im f ( x)limx sin xlim1cos xlimsin