(完整)導數結合洛必達法則巧解高考壓軸題

1、導數結合洛必達法則巧解高考壓軸題2010 年和 2011 年高考中的全國新課標卷中的第21 題中的第步，由不等式恒成立來求參數2的取值范圍問題，分析難度大，但用洛必達法則來處理卻可達到事半功倍的效果。洛必達法則簡介：法則 1若函數 f(x)和 g(x)滿足下列條件：(1)lim fx0及 lim g x0 ；x axa(2)在點 a 的去心鄰域內， f(x)與 g(x)可導且 g'(x) 0；(3)fxl ，limxx a gf x= limfxl 。那么 limgxxa g xx a法則 2若函數 f(x)和 g(x)滿足下列條件：(1)lim fx0及 lim g x0 ；xx(2

2、)A f 0， f(x)和 g(x) 在,A與A,上可導，且 g'(x)0；(3)fxl ，limx g xfx= limfx那么 liml 。xgxxgx法則 3若函數 f(x)和 g(x) 滿足下列條件： (1) lim fx及 lim g x；x ax a(2) 在點 a 的去心鄰域內， f(x)與 g(x)可導且 g'(x)0；(3)limfxl ，gxx afx= limfx那么 limxgl 。xa gx ax利用洛必達法則求未定式的極限是微分學中的重點之一，在解題中應注意：1 將上面公式中的xa，x換成 x +， x - ，xa ， xa 洛必達法則也成立。2洛必

3、達法則可處理0 ，0，0 ，0 ，型。0100 ，3在著手求極限以前，首先要檢查是否滿足，0，0 ，0 ，型定式，010否則濫用洛必達法則會出錯。當不滿足三個前提條件時，就不能用洛必達法則，這時稱洛必達法則不適用，應從另外途徑求極限。4 若條件符合，洛必達法則可連續(xù)多次使用，直到求出極限為止。二高考題處理1.(2010 年全國新課標理)設函數f (x)ex1xax 2 。（ 1）若 a0 ，求 f (x) 的單調區(qū)間；（2） 若當x0 時 f (x)0，求 a 的取值范圍原解：（ 1） a0時， f ( x)ex1x ， f '( x)ex 1.當 x (,0) 時， f'(

4、x)0 ；當 x(0,) 時， f'(x)0 .故 f ( x) 在 (,0) 單調減少，在(0, ) 單調增加（ II ） f '(x)ex1 2ax由（ I）知 ex1x ，當且僅當 x0 時等號成立 .故f '( x)x2ax(1 2a)x ，從而當 12a0，即 a1( x0) ，而 f (0)0 ，時， f '(x) 02于是當 x0時， f ( x)0 .由 ex1x( x0) 可得 e x1x( x0) .從而當 a1時，2f '( x)ex12a(e x1)e x (ex1)(ex2a) ，故當 x (0,ln2a) 時， f'(

5、 x)0 ，而 f (0)0 ，于是當 x(0,ln 2a) 時， f ( x) 0 .綜合得 a 的取值范圍為, 12原解在處理第（II ）時較難想到，現利用洛必達法則處理如下：另解 :（ II ）當 x0時， f ( x)0 ，對任意實數a,均在 f ( x)0；xx1當 x0時， f ( x)0 等價于 ae2xxxx令g xex1(x>0),則g ( x)xe2ex 2，令23xxxxxxxh xxe 2e x 2 x 0 ，則 h xxe e 1 ， hxxe 0 ，知 hx在 0,上 為 增 函 數 ， h xh 00 ； 知 h x在 0,上為增函數，h xh 00 ；gx

6、0 ， g(x) 在 0,上為增函數。xx1xx1由洛必達法則知， lim elim e2lim e，x0xx02xx 0221故 a2綜上，知 a 的取值范圍為,1 。22（ 2011 年全國新課標理） 已知函數， 曲線 yf ( x) 在點 (1, f (1)處的切線方程為x 2 y 30 。（）求 a 、 b 的值；（）如果當x 0 ，且 x1時， f (x)ln xk ，求 k 的取值范圍。x 1x( x1ln x)b原解：（） f '(x)x1)2x2( x1f (1)1,由于直線 x2 y 30的斜率為(1,1)，故1 即，且過點2f '(1),2b1,ab1 ,解

7、得 a1 ， b1。22（）由（）知 f (x)ln x1 ，所以x1xf ( x)( ln xk )12 (2ln x(k1)(x2 1) 。x1x1 xx考慮函數 h( x)2ln x(k 1)(x2 1)，則(k1)(x21) 2xx( x0)h '(x)x2。（ i ）設k 0，由h '(x)k (x21)( x1)2x1h '(x)0hxh(1) 0知，當時，）遞減。而x2， （故當 x(0,1)時， h(x)0 ，可得10 ；12 h( x)x當 x （ 1，+）時， h（ x） <0，可得1h（ x）>01 x2從而當 x>0, 且 x1

8、時， f （ x）-（ ln x+ k ）>0，即 f（ x）>ln x+ k .x 1xx1x（ ii ） 設 0<k<1. 由 于 (k1)( x21)2 x= (k1)x22 xk1的圖像開口向下，且44(k1)20 ，對稱軸 x=11 當 x（1， 1）時，（ k-1 ）（ x2 +1）+2x>0, 故 h'（ x）>0,1k.1k而 h（1） =0，故當 x（1，1）時， h（x） >0，可得11k1x 2 h（ x） <0,與題設矛盾。（ iii ）設 k1.此時 x212x ， (k1)( x21)2 x0h' （

9、x）>0, 而 h（ 1）=0 ，故當 x（1，+）時， h（ x）>0，可得1h（x） <0,與題設矛盾。1x2綜合得， k 的取值范圍為（ -， 0原解在處理第（ II ）時非常難想到，現利用洛必達法則處理如下：另解：（II ）由題設可得，當x0, x1 時， k< 2x ln x1恒成立。1x2令 g (x)= 2x ln x1 ( x0, x1 ),則 gx2x21 ln xx21，1x21x22再 令h xx21 ln x x21 (x0, x 1 )， 則 hx 2x ln x1x ，11xhx2ln x1x2ln x1在 0,上為增函數，且 h10 ；故x

10、2 ，易知 hx2當 x(0,1)時， hx0 ，當 x（1， +）時， hx0；hx在0,1上為減函數，在1,上為增函數；故hx> h1=0hx在 0,上為增函數Q h 1 =0當 x(0,1)時， hx0 ，當 x （ 1， +）時， h x0當 x(0,1)時， gx0，當 x（1， +）時， gx0gx在0,1上為減函數，在1,上為增函數Q 由洛必達法則知 lim g2limx ln x2lim1ln x1x1 x212x121 0x 1x 1x 12k0 ，即 k 的取值范圍為（ -，0規(guī)律總結： 對恒成立問題中的求參數取值范圍，參數與變量分離較易理解，但有些題中的求分離出來的

11、函數式的最值有點麻煩，利用洛必達法則可以較好的處理它的最值，是一種值得借鑒的方法。3自編 ：若不等式sin xxax對于x(0,)解：應用洛必達法則和導數當 x(0,) 時，原不等式等價于axsin xx3.2記 f ( x)xsin x3sin xx cos x2xx3，則 f '( x)x 4.記 g ( x)3sin xx cos x2 x ，則 g '( x )2cos xx sin x 2 .因為 g ''(x)x cos x sin xcos x ( xtan x ) ，g '''(x)x sin x0 ，所以 g ''(x) 在 (0,) 上單調遞減，且g ''(x) 0 ，2所以 g '( x) 在 (0,) 上單調遞減，且 g '(x)0 .因此 g ( x ) 在 (0,) 上單調遞減，22且 g ( x)0 ，故 f'( x)g ( x)0 ，因此f ( x)xsin x在 (0,) 上單調遞減 .x4x32由洛必達法則有l(wèi)im f ( x)limx sin xlim1cos xlimsin