(完整)小學三年級奧數(shù)--數(shù)陣圖

1、數(shù)陣圖（一）在神奇的數(shù)學王國中，有一類非常有趣的數(shù)學問題，它變化多端，引人入勝，奇妙無窮。它就是數(shù)陣， 一座真正的數(shù)字迷宮， 它對喜歡探究數(shù)字規(guī)律的人有著極大的吸引力，以至有些人留連其中， 用畢生的精力來研究它的變化， 就連大數(shù)學家歐拉對它都有著濃厚的興趣。那么，到底什么是數(shù)陣呢？我們先觀察下面兩個圖：左上圖中有 3 個大圓，每個圓周上都有四個數(shù)字， 有意思的是， 每個圓周上的四個數(shù)字之和都等于 13。右上圖就更有意思了， 19 九個數(shù)字被排成三行三列，每行的三個數(shù)字之和與每列的三個數(shù)字之和，以及每條對角線上的三個數(shù)字之和都等于 15，不信你就算算。上面兩個圖就是數(shù)陣圖。 準確地說，數(shù)陣圖是將

2、一些數(shù)按照一定要求排列而成的某種圖形，有時簡稱數(shù)陣。要排出這樣巧妙的數(shù)陣圖，可不是一件容易的事情。我們還是先從幾個簡單的例子開始。例 1 把 1 5 這五個數(shù)分別填在左下圖中的方格中， 使得橫行三數(shù)之和與豎列三數(shù)之和都等于 9。同學們可能會覺得這道題太容易了， 七拼八湊就寫出了右上圖的答案， 可是卻搞不清其中的道理。 下面我們就一起來分析其中的道理， 只有弄懂其中的道理， 才可能解出復雜巧妙的數(shù)陣問題。分析與解： 中間方格中的數(shù)很特殊，橫行的三個數(shù)有它，豎列的三個數(shù)也有它，我們把它叫做“重疊數(shù)”。也就是說，橫行的三個數(shù)之和加上豎列的三個數(shù)之和，只有重疊數(shù)被加了兩次， 即重疊了一次， 其余各數(shù)均

3、被加了一次。 因為橫行的三個數(shù)之和與豎列的三個數(shù)之和都等于 9，所以(1+2+3+4+5)+重疊數(shù) =9+9，1重疊數(shù) =(9+9)-(1+2+3+4+5)=3 。重疊數(shù)求出來了，其余各數(shù)就好填了(見右上圖 )。試一試：練習與思考第1 題。例 2 把 15 這五個數(shù)填入下頁左上圖中的里 ( 已填入 5) ，使兩條直線上的三個數(shù)之和相等。分析與解： 與例 1 不同之處是已知“重疊數(shù)”為 5，而不知道兩條直線上的三個數(shù)之和都等于什么數(shù)。所以，必須先求出這個“和”。根據(jù)例 1 的分析知，兩條直線上的三個數(shù)相加，只有重疊數(shù)被加了兩遍， 其余各數(shù)均被加了一遍， 所以兩條直線上的三個數(shù)之和都等于(1+2+

4、3+4+5)+5 ÷2=10。因此，兩條直線上另兩個數(shù) ( 非“重疊數(shù)” ) 的和等于 10-5=5。在剩下的四個數(shù) 1，2， 3 ， 4 中，只有 1+4=2+ 3=5。故有右上圖的填法。試一試：練習與思考第2 題。例 3 把 15 這五個數(shù)填入右圖中的里，使每條直線上的三個數(shù)之和相等。分析與解： 例 1 是知道每條直線上的三數(shù)之和，不知道重疊數(shù)；例2 是知道重疊數(shù)，不知道兩條直線上的三個數(shù)之和；本例是這兩樣什么都不知道。但由例1、例 2 的分析知道，(1+2+3+4+5)+重疊數(shù)=每條直線上三數(shù)之和× 2，所以，每條直線上三數(shù)之和等于(15+ 重疊數(shù) ) ÷2

5、。因為每條直線上的三數(shù)之和是整數(shù)，所以重疊數(shù)只可能是1，3 或 5。2若“重疊數(shù)” =1，則兩條直線上三數(shù)之和為(15+1)÷ 2=8。填法見左下圖；若“重疊數(shù)” =3，則兩條直線上三數(shù)之和為(15+3)÷ 2=9。填法見下中圖；若“重疊數(shù)” =5，則兩條直線上三數(shù)之和為(15+5)÷ 2=10。填法見右下圖。試一試：練習與思考第3 題。練習與思考1. 將 17 這七個數(shù)分別填入左下圖中的里，使每條直線上的三個數(shù)之和都等于12。如果每條直線上的三個數(shù)之和等于10，那么又該如何填？2. 將 19 這九個數(shù)分別填入右上圖中的里 ( 其中 9 已填好 ) ，使每條直線上

6、的三個數(shù)之和都相等。如果中心數(shù)是 5，那么又該如何填？3. 將 19 這九個數(shù)分別填入右圖的小方格里，使橫行和豎列上五個數(shù)之和相等。 ( 至少找出兩種本質(zhì)上不同的填法 )3數(shù)陣圖（二）由以上幾例看出， 求出重疊數(shù)是解決數(shù)陣問題的關鍵。 為了進一步學會掌握這種解題方法，我們再看兩例。例 4 將 17 這七個自然數(shù)填入左下圖的七個內(nèi)， 使得每條邊上的三個數(shù)之和都等于10。分析與解： 與例 1 類似，知道每條邊上的三數(shù)之和，但不知道重疊數(shù)。因為有3 條邊，所以中間的重疊數(shù)重疊了兩次。于是得到(1+2+7)+重疊數(shù)× 2=10×3。由此得出重疊數(shù)為10 ×3-(1+2+7

7、) ÷2=1。剩下的六個數(shù)中，兩兩之和等于9 的有 2，7；3，6；4，5?？傻糜疑蠄D的填法。如果把例 4 中“每條邊上的三個數(shù)之和都等于 10”改為“每條邊上的三個數(shù)之和都相等”，其他不變，那么仿照例 3，重疊數(shù)可能等于幾？怎樣填？例 5 將 10 20 填入左下圖的內(nèi)，其中 15 已填好，使得每條邊上的三個數(shù)字之和都相等。解：與例 2 類似，中間內(nèi)的 15 是重疊數(shù)，并且重疊了四次，所以每條邊上的三個數(shù)字之和等于(10+11+20)+15 ×4 ÷5=45。4剩下的十個數(shù)中，兩兩之和等于 (45-15=)30 的有 10， 20；11，19； 12，18；13

8、，17；14， 16。于是得到右上圖的填法。例 15 都具有中心數(shù)是重疊數(shù)，并且每邊的數(shù)字之和都相等的性質(zhì)，這樣的數(shù)陣圖稱為輻射型。例 4 的圖中有三條邊，每邊有三個數(shù)，稱為輻射型 33 圖；例 5 有五條邊每邊有三個數(shù)，稱為輻射型 53 圖。一般地，有 m條邊，每邊有 n 個數(shù)的形如下圖的圖形稱為輻射型mn 圖。輻射型數(shù)陣圖只有一個重疊數(shù)，重疊次數(shù)是“直線條數(shù)” -1 ，即 m-1。對于輻射型數(shù)陣圖，有已知各數(shù)之和 +重疊數(shù)×重疊次數(shù)=直線上各數(shù)之和×直線條數(shù)。由此得到：(1) 若已知每條直線上各數(shù)之和，則 重疊數(shù)等于( 直線上各數(shù)之和×直線條數(shù)- 已知各數(shù)之和

9、 ) ÷重疊次數(shù)。如例 1、例 4。(2) 若已知重疊數(shù)，則直線上各數(shù)之和等于 ( 已知各數(shù)之和 +重疊數(shù)×重疊次數(shù) ) ÷直線條數(shù)。如例 2、例 5。(3) 若重疊數(shù)與每條直線上的各數(shù)之和都不知道，則要從重疊數(shù)的可能取值分析討論，如例 3。練習與思考4. 將 39 這七個數(shù)分別填入左下圖的里，使每條直線上的三個數(shù)之和等于20。55. 將 111 這十一個數(shù)分別填入右上圖的里，使每條直線上的三個數(shù)之和相等，并且盡可能大。6. 將 17 這七個數(shù)分別填入下圖的里，使得每條直線上三個數(shù)之和與每個圓圈上的三個數(shù)之和都相等。6答案與提示5. 提示：中心數(shù)是重疊數(shù)，并且重疊

10、 4 次。所以每條直線上的三數(shù)之和等于 (1 2 11) 重疊數(shù)× 4÷ 5(66 重疊數(shù)× 4) ÷5。為使上式能整除，重疊數(shù)只能是 1，6 或 11。顯然，重疊數(shù)越大，每條直線上的三數(shù)之和越大。所以重疊數(shù)是 11，每條直線上的三數(shù)之和是 22。填法見右圖。76. 解：所有的數(shù)都是重疊數(shù)，中心數(shù)重疊兩次，其它數(shù)重疊一次。所以三條邊及兩個圓周上的所有數(shù)之和為(1 2 7) × 2中心數(shù) 56中心數(shù)。因為每條邊及每個圓周上的三數(shù)之和都相等， 所以這個和應該是 5 的倍數(shù)，再由中心數(shù)在 1 至 7 之間，所以中心數(shù)是 4。每條邊及每個圓周上的三數(shù)之和等于 (56 4)