2015年四川高考題理科數(shù)學(xué)第21題分析報(bào)告會

1、2015年四川高考理科數(shù)學(xué)第21題試題分析內(nèi)江六中 王 鋒2015年普通高考理科數(shù)學(xué)(四川卷)依然遵循考試大綱及考試說明(四川卷)要求，保持了近幾年的四川卷命題風(fēng)格，在題型、題量、難度方面保持了相對穩(wěn)定，立足現(xiàn)行教材，回歸數(shù)學(xué)本質(zhì)，重視基礎(chǔ)知識、基本技能的考查，強(qiáng)調(diào)通性通法，注重能力立意，命題命制立足學(xué)科主干知識，將知識、方法、能力的考查融為一體，通過適度聯(lián)系與綜合等方式，在知識交匯處考查學(xué)生的數(shù)學(xué)思維方法和能力，同時(shí)試題在穩(wěn)定中追求創(chuàng)新，有利于考查學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)與學(xué)習(xí)潛能，整個(gè)試卷布局合理，難度適中，有較好區(qū)分度，無偏題、怪題，有利于科學(xué)選撥人才，維護(hù)社會公平與穩(wěn)定。下面就21題談一談個(gè)人的

2、不成熟看法，有不妥之處還望各位批評指正！ 一試題呈現(xiàn)21.（本小題14分）已知函數(shù)，其中。（1）設(shè)是的導(dǎo)函數(shù)，討論的單調(diào)性；（2）證明：存在，使得在區(qū)間內(nèi)恒成立，且在區(qū)間內(nèi)有唯一解。本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用、函數(shù)的零點(diǎn)等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、創(chuàng)新意識，考查函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類與整合、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想。二試題評價(jià)第21題在素材選擇、情景設(shè)置和設(shè)問方式上相比往年有所創(chuàng)新，和2014年最后一題類似，考查二階導(dǎo)數(shù)和分類討論，考查學(xué)生的探究意識，應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識，對考生綜合與靈活運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識、思想方法，進(jìn)行獨(dú)立思考分析，創(chuàng)造性的解決問題有較高且合

3、理的要求。同時(shí)第21題對數(shù)學(xué)思維的靈活性、深刻性、創(chuàng)造性都有較高要求，具有一定的難度，解答這些問題，需要具有較強(qiáng)的分析問題、探究問題和解決問題的能力。展示了數(shù)學(xué)學(xué)科的抽象性和嚴(yán)謹(jǐn)性，要求考生具有高層次的理性思維，考生解答時(shí)可以采用“聯(lián)系幾何直觀探索解題思路提出合情猜想構(gòu)造輔助函數(shù)結(jié)合估算精算進(jìn)行推理證明”的思路，整個(gè)解答過程與數(shù)學(xué)研究的過程基本一致，能較好地促進(jìn)考生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中掌握數(shù)學(xué)知識、探究數(shù)學(xué)問題和發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律。這些試題具有立意深遠(yuǎn)、背景深刻、設(shè)問巧妙等特點(diǎn)，富含思維價(jià)值，體現(xiàn)了課程改革理念，是檢測考生理性思維廣度、深度和學(xué)習(xí)潛能的良好素材。這樣的設(shè)計(jì)，對考生評價(jià)合理、科學(xué)，鼓勵(lì)積

4、極、主動、探究式的學(xué)習(xí)，有利于引導(dǎo)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)注重提高學(xué)生的思維能力、發(fā)展應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識，對全面深化課程改革、提高中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量有十分積極的作用。三解題方法解法一： () 由已知，函數(shù)的定義域?yàn)?，所?當(dāng)時(shí)，在區(qū)間，上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增（說明：每個(gè)單調(diào)區(qū)間1分，共6分。若出現(xiàn)，扣1分）() 由，解得令則，故存在，使得令，由知，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增所以 即 當(dāng)時(shí)，有，由()知，在區(qū)間上單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，從而；當(dāng)時(shí)，從而所以，當(dāng)時(shí)，綜上所述，存在，使得在區(qū)間內(nèi)恒成立, 且在區(qū)間內(nèi)有唯一解解法二： () 令，則在區(qū)間內(nèi)恒成立, 且在區(qū)間內(nèi)有唯一解當(dāng)且僅當(dāng)在區(qū)間內(nèi)

5、恒成立, 且在區(qū)間內(nèi)有唯一解由于且, 故時(shí)，當(dāng)時(shí), , 單調(diào)遞減當(dāng)時(shí), , 單調(diào)遞增從而, 當(dāng)時(shí), 在達(dá)到最小值此時(shí)，令，則，從而存在使得令則當(dāng)時(shí)，且當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，從而當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，從而綜上所述，存在，使得在區(qū)間內(nèi)恒成立, 且在區(qū)間內(nèi)有唯一解解法三： () 由()知，在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)趨向于正無窮大時(shí)，的函數(shù)值也趨向于正無窮大即存在，使得，且在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增且滿足，即時(shí)， 取得最小值為 令，則，故存在，使得所以在區(qū)間內(nèi)有解此時(shí)相應(yīng)的值為，其中由知，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增所以 即 綜上所述，存在，使得的最小值為0此時(shí)在區(qū)間內(nèi)恒成立, 且在區(qū)間內(nèi)有唯一解解法四： () 前同解法三又，所以

6、令，易得，所以在區(qū)間內(nèi)有解此時(shí)相應(yīng)的值為，其中由知，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增所以 即 綜上所述，存在，使得的最小值為0此時(shí)在區(qū)間內(nèi)恒成立, 且在區(qū)間內(nèi)有唯一解解法五： () 由()得在內(nèi)單調(diào)遞增。且，。由零點(diǎn)存在性定理得存在唯一使得。所以在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增。所以滿足在區(qū)間內(nèi)有唯一解只需滿足即可。，將帶入化簡得：當(dāng)時(shí)，此時(shí)變形為，在上有解。令所以在上單調(diào)遞減。不滿足。當(dāng)時(shí)，此時(shí)變形為在上有解。不妨設(shè)所以在上單調(diào)遞增。所以在上有解。所以結(jié)論得證。四學(xué)生錯(cuò)誤1.求導(dǎo)不熟，比如乘法法則、分式求導(dǎo)；2.運(yùn)算能力不強(qiáng)，對函數(shù)式亂變形、一元二次方程求根公式亂寫、亂約分；3.對參數(shù)的處理能力不夠，分類討論的

7、思想還不到位；4.研究函數(shù)時(shí)沒有注意函數(shù)的定義域；5.多個(gè)同類單調(diào)區(qū)間亂表達(dá)；6.第二個(gè)小題基本沒有做，入手較難。五教學(xué)建議第21題第1小問主要考查分類與整合的數(shù)學(xué)思想與方法。它是考試的必考點(diǎn)，同時(shí)也是學(xué)生解題的難點(diǎn)和易錯(cuò)點(diǎn)。就其原因，根本是沒有想通為什么需要討論！所以我們在平時(shí)的教學(xué)中，注意學(xué)生基本功的訓(xùn)練和過手，要經(jīng)常進(jìn)行不帶參數(shù)和帶參數(shù)的同一個(gè)問題的切換！讓學(xué)生深深地體會到分類討論是在“自然而然”中誕生的！而不是很勉強(qiáng)的！能避免則避免！有時(shí)是“無奈之舉”.就此題而言，討論“單調(diào)性”可化歸為“解不等式”，最終是解“一元二次含參不等式”。走啊走，走到“”這一關(guān)過不到了！非討論不可！一切都是在自然而然中悄悄發(fā)生！第21題第2小問是為優(yōu)等生準(zhǔn)備的“大餐”， 在處理時(shí)需要利用到主元轉(zhuǎn)換（因式分解功底強(qiáng)大的則無需），后續(xù)操作則只需注意變量的取值范圍即可，此題需要考生強(qiáng)大的計(jì)算和心理承