薄板彎曲問題彈性理論分析及數(shù)值計算

1、薄板彎曲問題彈性理論分析及數(shù)值計算課程設計指導教師： 孫秦 學 院： 航空學院 姓 名： 程云鶴 學 號： 2011300092 班 級： 01011105 薄板彎曲問題彈性理論分析及數(shù)值計算1、 一般三維體彈性系統(tǒng)求解微分方程體系總結1、 彈性力學中的基本假定（1） 連續(xù)性，即假定整個物體的體積都被組成這個物體的介質所填滿。（2） 完全彈性，物體在引起形變的外力被除去后可完全恢復原形（3） 均勻性，即假定物體是由同一材料組成的。（4） 各向同性，物體的彈性在所有各個方向都相同。（5） 和小變形假定，即假定位移和形變是微小的。2、 平衡微分方程在一般空間問題中，包含15個未知函數(shù)，即6個應力分

2、量、6個形變分量和3個位移分量，它們都是x,y,z坐標變量的函數(shù)。對于空間問題，在彈性體區(qū)域內部，考慮靜力學、幾何學和物理學三方面條件，分別建立平衡微分方程、幾何方程和物理方程；并在給定約束面或面力的邊界上，建立位移邊界條件或應力邊界條件。然后在邊界條件下根據(jù)所建立的三套方程求解應力分量、形變分量和位移分量。在物體內的任一點P，割取一個微小的平行六面體，如圖1-1所示。根據(jù)平衡條件即可建立方程。(1) 分別以連接六面體三對相對面中心的直線為矩軸，列出力矩的平衡方程，可證明切應力的互等性：(1-1)(2)分別以為投影軸，列出投影的平衡方程，對方程進行約簡和整理后，得到空間問題的平衡微分方程如下

3、圖1-1 3、 物體內任一點的應力狀態(tài)現(xiàn)在，假定物體在任一點P的6個直角坐標面上的應力分量 為已知，試求經(jīng)過P點的任一斜面上的應力。為此，在P點附近取一個平面ABC，平行于這一斜面，并與經(jīng)過P點而平行于坐標面的三個平面形成一個微小的四面體PABC，如圖1-2所示。當四面體PABC無限減小而趨于P點時，平面ABC上的應力就成為該斜面上的應力。圖1-2 命平面ABC的外法線為，則其方向余弦為三角形ABC上的全應力在坐標軸上的投影用代表.根據(jù)四面體的平衡條件進行推到，可以得出(1-2)設三角形ABC上的正應力為，則，將式1-2代入，并分別用代替，即得(1-3)設三角形ABC上的切應力為，則由于，得(

4、1-4）由式1-3和1-4可見，6個應力分量完全決定了一點的應力狀態(tài)。在特殊情況下，如果ABC是物體上受面力作用的邊界面，則成為面力分量，于是由式1-2得空間問題的應力邊界條件(1-5)應力狀態(tài)有三種表示方式如下:(1)如圖1-2,在圖中表示(2)應力狀態(tài)矩陣該矩陣為一對稱陣。(3) 應力向量4、 物體內任一點的應變狀態(tài)過空間一點P所有方向上的線應變和角應變的集合稱為P點的應變狀態(tài)，通過該點作三個相互垂直的線元。該三線元長度改變（線應變）和線元間夾角改變（角應變）的集合就完整地代表了P點的應變狀態(tài)。三個線應變?yōu)椋齻€角應變?yōu)椋?應變狀態(tài)的表示方式如下:(1) 向量形式(2)矩陣形式5、 幾何方

5、程和物理方程（1） 空間問題的幾何方程（1-6）幾何方程的矩陣形式為（在V內），其中L為微分算子（2） 空間問題的物理方程，在材料力學中根據(jù)胡克定律導出如下(1-7)，(1-8)根據(jù)關系，其中為體應變，為體積應力，與間的比例常數(shù)稱為體積模量，可推得物理方程的另一種形式 物理方程的矩陣形式為或，其中D為彈性矩陣，C為柔度矩陣，兩矩陣為互逆關系。4、 邊界條件（1） 根據(jù)物體內任一點的應力狀態(tài)可得空間問題的應力邊界條件，即式1-5(2) 空間問題的位移邊界條件為(1-9)5、 按位移求解空間問題按位移求解問題，是取位移分量為基本未知函數(shù)，并要通過消元法，導出彈性體區(qū)域內求解位移的基本微分方程和相應

6、的邊界條件。將幾何方程代入物理方程，得出用位移分量表示應力分量的彈性方程，再將該彈性方程代入平衡微分方程得按位移求解時所需用的基本微分方程。6、 按應力求解空間問題按應力求解空間問題，是取應力分量為基本未知函數(shù)。對空間問題來說就是，就是要從15個基本方程中消去位移分量和形變分量，得出只包含6個應力分量方程，進行求解。2、 板彎問題基本概念及微分方程1、 有關概念(1)在彈性力學里，兩個平行面和垂直于這兩個平行面的柱面或棱柱面所圍成的物體，稱為平板，或簡稱板，如下圖所示。這兩個平行面稱為板面，而這個柱面或棱柱面稱為側面或板邊。兩個板邊之間的厚度稱為板的厚度，而平分厚度的平面稱為板的中間平面，或簡

7、稱為中面。如果板的厚度遠小于中面的最小尺寸b，這個板就稱為薄板，否則就稱為厚板。(2)當薄板受有一般載荷時，總可以把每個載荷分解為兩個分載荷，一個是平行于中面的所謂縱向載荷，另一個是垂直于中面的所謂橫向載荷。對于縱向載荷，可以認為它們沿薄板厚度均勻分布，因而它們所引起的應力、形變和位移，可以按平面應力問題進行計算。橫向載荷將使薄板彎曲，它們所引起的應力、形變和位移，可以按薄板彎曲問題進行計算。(3)薄板彎曲時，中面所彎成的曲面，稱為薄板彈性曲面，而中面內各點在垂直于中面方向的位移，稱為撓度。這里只討論薄板的小撓度彎曲理論。2、 薄板彎曲問題的計算假定為了建立薄板的小撓度彎曲理論，除了引用彈性力

8、學的5個基本假定外，還補充提出了3個計算假定。(1) 垂直于中面方向的線應變，即可以不計。取，則又幾何方程中的，從而得。即橫向位移只是x，y的函數(shù)，不隨z而變。因此，在中面的任一根法線上各點都具有相同的橫向位移，也就等于撓度。(2) 應力分量和遠小于其余3個應力分量，因而是次要的，它們所引起的變形可以不計（注意：這三個次要應力分量本身都是維持平衡所必需的，不能不計）。因為不計及所引起的形變，所以有，。于是由幾何方程1-6可以得。從而得(2-1)由于，可見中面的法線在薄板彎曲時保持不伸縮，并且成為彈性曲面的法線。在上述計算假定中雖然采用了，但在以后考慮平衡條件時，仍然必須計入3個次要的應力分量和

9、。因此，在薄板的小撓度彎曲理論中，放棄了關于和的物理方程。因為不計所引起的形變，所以薄板的物理方程成為(2-2)(3)薄板中面內的各點都沒有平行于中面的位移，即。因為，所以由上式得出中面內的形變分量均為零，即(2-3)也就是說，中面的任意一部分，雖然彎曲成為彈性曲面的一部分，但它在xy面上的投影形狀卻保持不變。3、將縱向位移，各應變分量和應力分量分別都用撓度w來表示薄板的小撓度彎曲問題是按位移求解的，只取撓度作為基本未知函數(shù)。(1)將縱向位移u，v用撓度w表示。由得由計算假定(1-3)，得。于是縱向位移表示為(2)將主要應變分量用w表示。把中所得的u,v代入幾何方程中的對應項得(a)(3)將主

10、要應力分量用w表示。由薄板的物理方程2-2求解應力分量得(b)把式a中所得應力分量代入上式得(2-4)(4)將次要應力分量用w表示。可以應用平衡微分方程的前兩式進行求解，且因為不存在縱向載荷，體力分量，由此得把的表達式2-4代入得其中引用記號。將上兩式對z積分，得，其中，可根據(jù)薄板的上、下板面的邊界條件來求出，即，應用這兩個邊界條件求出以后，即得的表達式(2-5)(5)將更次要應力分量用w表示。應用平衡微分方程1-1的第三式，取體力分量為0，得 (c)如果體力分量,可以把薄板的每單位面積內的體力和面力都歸入到上板面的面力中去，一并用q表示，即 (d)這只會對最次要的應力分量引起誤差，對其它的應

11、力分量則沒有影響。注意，將這兩個應力分量的表達式代入式(c)，得對z進行積分，得到 (e)其中待定函數(shù)可以由薄板的下版面的邊界條件來確定，即將式(e)代入，求出,再代回式(e)，即得的表達式 (2-6)4、 推導彈性曲面的微分方程現(xiàn)在導出w的微分方程。由薄板的上板面的邊界條件，其中q是薄板每單位面積內的橫向載荷，包括橫向面力及橫向體力，將的表達式代入得(2-7)或,(2-8)其中的稱為薄板的彎曲剛度，它的量綱是，方程2-8稱為薄板的彈性曲面微分方程，或撓曲微分方程。3、 矩形薄板彎曲問題的求解1、 泛函和變分的概念(1) 假想函數(shù)y(x)的形式發(fā)生改變而成為新的函數(shù)Y(x)。如果對應于x的一個

12、定值，y具有微小的增量，則增量稱為函數(shù)y(x)的變分?？梢宰C明導數(shù)的變分等于變分的導數(shù)，因此微分的運算和變分的運算可以交換次序。(2) 如果對于某一類函數(shù)y(x)中的每一個函數(shù)y(x)，變量I有一個值和它對應，則變量I稱為依賴于函數(shù)y(x)的泛函，記為I=Iy(x)。簡單地說，泛函就是函數(shù)的函數(shù)。(3) 基于能量原理的變分法是一種近似法，所謂變分問題，就是泛函求極值的問題。2、 彈性體的應變能彈性體單位體積的應變能為(3-1)也可以稱為應變比能。整個彈性體的應變能為，其中為彈性體的體積,將其代入式3-1得(3-2)可以將應變能表示為用應力或應變表達的形式，可以證明彈性體的應變比能對于任一應力分

13、量求導就等于相應的應變分量，彈性體的應變比能對于任一應變分量的偏導數(shù)就等于相應的應力分量。3、 虛位移原理設有一彈性體在外力（包括體力分量X,Y,Z和一部分面力分量)作用下處于平衡狀態(tài)。假如有一組位移分量u,v,w，既能滿足用位移表示的平衡方程，又能滿足位移邊界條件及用位移分量表示的應力邊界條件。設想在彈性體幾何約束所允許的條件下，給它一個任意的微小的變化，即所謂的虛位移或位移變分，得到一組新的位移此時外力在虛位移上所做的功，即虛功為（3-3）其中為彈性體的全部體積，S為彈性體的全部表面積，為給定外力的表面，為給定位移的表面。假定彈性體在虛位移的過程中沒有溫度和速度的改變，即沒有熱能和動能的改

14、變。按照能量守恒定律，應變能在虛位移上的增量應當?shù)扔谕饬υ谔撐灰扑龅奶摴?，即得位移變分方程?-4）按照變分原理其中為單位體積應變能的增量。把應變比能看作應變分量的函數(shù)，由上式得=將式3-4代入得 （3-5）這就是虛位移原理的表達式，也可稱為虛功方程。由此，彈性體的虛位移原理可敘述為：設一彈性體在已知體力和面力作用下處于平衡狀態(tài)，那么，在虛位移過程中，外力在虛位移上所做的虛功等于彈性體所積累的虛應變能。4、 最小勢能原理根據(jù)式3-4，由于虛位移是微小的，在虛位移過程中，外力的大小和方向可以認為保持不變，所以式3-4右邊的積分號內的變分記號可提到積分號前并整理得取A=，顯然A為外力在實際位移u

15、,v,w上所做的功。假設外力是勢力場中的力，則（-A）應等于外力的勢能，用記號V表示。彈性體的應變能和外力勢能之和，稱為彈性系統(tǒng)的總勢能，用記號表示，得得最小勢能原理：在給定外力作用下而保持平衡的彈性體，在滿足位移邊界條件的所有各組位移中，實際存在的一組位移應使總勢能稱為極值。當考慮二階變分時，可以證明，對于穩(wěn)定平衡狀態(tài)，這個極值是最小值。5、求解薄板彎曲問題(1)存在于彈性體中的應變能為(3-6)根據(jù)薄板彎曲問題中的有關假設是為次要應力分量，在式3-6中略去有關的項，利用物理方程消去應變分量得將式2-4代入上式，得用位移w表示的應變能為將上式對z積分并整理得等厚薄板的應變能U可表達為(3-7

16、)對于板邊全部固定的任何形式的板和板邊w=0的矩形板，可對式3-7進行化簡，用分部積分可得其中s為薄板的邊界對于固定邊，不論邊界形狀如何可得，在該情況下薄板應變能表達式為(3-8)(2) 薄板彎曲問題中的邊界條件設圖中OA邊是固定邊，OC邊是簡支邊，AB邊和BC邊是自由邊。沿著固定邊OA(x=0),薄板的撓度w等于零，彈性曲面的斜率（即轉角）也等于零，所以邊界條件是沿著簡支邊OC(y=0)，薄板的撓度w等于零，彎矩也等于零，所以邊界條件是用撓度w表示為如果前一個條件得到滿足，即撓度w在整個邊界上都等于零，則在整個邊界上也等于零，所以簡支邊OC的邊界條件可以簡寫為6、薄板彎曲問題中Ritz法薄板

17、中總勢能為為撓度w的泛函，設定一組包含若干待定系數(shù)的撓度的級數(shù)形式的表達式，其中每一分量均滿足問題中的邊界條件，根據(jù)最小勢能原理，求解使總勢能取最小值的待定系數(shù)，即可求得撓度的表達式，這是求解薄板彎曲問題的Ritz法。7、四邊簡支矩形薄板的重三角級數(shù)解求解薄板的小撓度彎曲問題，首先要在板邊的邊界條件下，由彈性曲面微分方程求出撓度w。當無支座沉陷時，對于四邊簡支的矩形薄板，邊界條件是 (a)取撓度w的表達式為如下重三角級數(shù) (b)其中的m和n是正整數(shù)，代入式(a)，可見全部邊界條件都能滿足，為了求出系數(shù)，將式(b)代入微分方程得將式右邊的載荷q(x,y)展開成重三角級數(shù)，即 (c)式中的可以按三

18、角級數(shù)的通常確定方法進行求解，解得得系數(shù) (f)當薄板受橫向均布載荷時，q成為，式(f)中的積分式成為由式(f)得或代入式(b)，即得撓度的表達式當薄板在任意一點受集中載荷F時，可以用微分面積dxdy上的均布載荷來代替分布載荷q，式(f)中的q除了在處的微分面積上等于以外，在其余各處都等于0，此時 代入式(b)得撓度的表達式為8、四邊簡支矩形薄板的Ritz法求解其邊界條件同(a)，取撓度表達式為 (g)則 應變能的表達式為將撓度偏微分的算式代入，根據(jù)整理得橫向均布載荷作用時外力的勢能為總勢能為應用Ritz法得 解得代入式(g)，即得撓度的表達式受集中載荷F時，外力的勢能為總勢能為應用Ritz法

19、得，解得代入式(g)，即得撓度的表達式為2、 四邊固支矩形薄板的Ritz法求解當無支座沉降時，對于四邊固支的矩形薄板，邊界條件是取撓度的表達式為對其進行微分運算得應變能的表達式為且有將其代入應變能的表達式，整理得當橫向均布載荷作用時，外力的勢能為總勢能為應用Ritz法，令，即解得得撓度當集中載荷作用時應用Ritz法，令，即解得得撓度4、 利用Patran和Nastran建模對矩形薄板彎曲問題進行求解1、Patran建模和Nastran分析的一般流程和分析中所設置的數(shù)據(jù)導入或建立幾何模型選擇分析求解器劃分有限元網(wǎng)格施加約束及載荷邊界條件設置材料特性及單元特性設置分析參數(shù)提交分析對分析結果進行后處

20、理。設置矩形薄板的數(shù)據(jù)如下：長5(m)，寬4(m），薄板厚度為0.01（m），彈性模量為10e9(Pa),泊松比為0.3，橫向均布載荷合力為10N，中心集中載荷為10N。分別對四邊簡支和四邊固支的情況進行求解2、后處理之后軟件分析結果各情況下的位移云圖如下所示：四邊簡支矩形薄板受橫向均布載荷情況下的位移云圖：四邊簡支矩形薄板受中心集中載荷情況下的位移云圖：四邊固支矩形薄板受橫向均布載荷情況下的位移云圖：四邊固支矩形薄板受中心集中載荷情況下的位移云圖：3、 結果分析依據(jù)所推導的公式進行計算，與Patran和Nastran建模求解結果進行對比在四邊簡支矩形薄板受橫向均布載荷情況下取m=1,n=1,

21、3;m=3,n=1,3代入撓度表達式進行求解，得，相對誤差為0.93%在四邊簡支矩形薄板受中心集中載荷情況下取m=1,n=1,3;m=3,n=1,3代入撓度表達式進行求解，得，相對誤差為9.16%在四邊固支矩形薄板受橫向均布載荷情況下取m=1,n=1,3;m=3,n=1,3代入撓度表達式進行求解，得，相對誤差為7.66%在四邊固支矩形薄板受中心集中載荷情況下取m=1,n=1,3;m=3,n=1,3代入撓度表達式進行求解,得，相對誤差為6.61%5、 課程設計總結在一般三維體彈性系統(tǒng)中，包含15個未知函數(shù)，即6個應力分量、6個形變分量和3個位移分量，且它們都是x,y,z坐標變量的函數(shù)。對于空間問題，在彈性體域內，考慮靜力學、幾何學和物理學三方面條件，可分別建立3個平衡微分方程、6個幾何方程6個和物理方程；并在給定約束面或面力的邊界上，建立位移邊界條件或應力邊界條件。然后在邊界條件下根據(jù)所建立的三套方程求解應力分