薄板彎曲問(wèn)題彈性理論分析及數(shù)值計(jì)算

1、薄板彎曲問(wèn)題彈性理論分析及數(shù)值計(jì)算課程設(shè)計(jì)指導(dǎo)教師： 孫秦 學(xué) 院： 航空學(xué)院 姓 名： 程云鶴 學(xué) 號(hào)： 2011300092 班 級(jí)： 01011105 薄板彎曲問(wèn)題彈性理論分析及數(shù)值計(jì)算1、 一般三維體彈性系統(tǒng)求解微分方程體系總結(jié)1、 彈性力學(xué)中的基本假定（1） 連續(xù)性，即假定整個(gè)物體的體積都被組成這個(gè)物體的介質(zhì)所填滿。（2） 完全彈性，物體在引起形變的外力被除去后可完全恢復(fù)原形（3） 均勻性，即假定物體是由同一材料組成的。（4） 各向同性，物體的彈性在所有各個(gè)方向都相同。（5） 和小變形假定，即假定位移和形變是微小的。2、 平衡微分方程在一般空間問(wèn)題中，包含15個(gè)未知函數(shù)，即6個(gè)應(yīng)力分

2、量、6個(gè)形變分量和3個(gè)位移分量，它們都是x,y,z坐標(biāo)變量的函數(shù)。對(duì)于空間問(wèn)題，在彈性體區(qū)域內(nèi)部，考慮靜力學(xué)、幾何學(xué)和物理學(xué)三方面條件，分別建立平衡微分方程、幾何方程和物理方程；并在給定約束面或面力的邊界上，建立位移邊界條件或應(yīng)力邊界條件。然后在邊界條件下根據(jù)所建立的三套方程求解應(yīng)力分量、形變分量和位移分量。在物體內(nèi)的任一點(diǎn)P，割取一個(gè)微小的平行六面體，如圖1-1所示。根據(jù)平衡條件即可建立方程。(1) 分別以連接六面體三對(duì)相對(duì)面中心的直線為矩軸，列出力矩的平衡方程，可證明切應(yīng)力的互等性：(1-1)(2)分別以為投影軸，列出投影的平衡方程，對(duì)方程進(jìn)行約簡(jiǎn)和整理后，得到空間問(wèn)題的平衡微分方程如下

3、圖1-1 3、 物體內(nèi)任一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)現(xiàn)在，假定物體在任一點(diǎn)P的6個(gè)直角坐標(biāo)面上的應(yīng)力分量 為已知，試求經(jīng)過(guò)P點(diǎn)的任一斜面上的應(yīng)力。為此，在P點(diǎn)附近取一個(gè)平面ABC，平行于這一斜面，并與經(jīng)過(guò)P點(diǎn)而平行于坐標(biāo)面的三個(gè)平面形成一個(gè)微小的四面體PABC，如圖1-2所示。當(dāng)四面體PABC無(wú)限減小而趨于P點(diǎn)時(shí)，平面ABC上的應(yīng)力就成為該斜面上的應(yīng)力。圖1-2 命平面ABC的外法線為，則其方向余弦為三角形ABC上的全應(yīng)力在坐標(biāo)軸上的投影用代表.根據(jù)四面體的平衡條件進(jìn)行推到，可以得出(1-2)設(shè)三角形ABC上的正應(yīng)力為，則，將式1-2代入，并分別用代替，即得(1-3)設(shè)三角形ABC上的切應(yīng)力為，則由于，得(

4、1-4）由式1-3和1-4可見(jiàn)，6個(gè)應(yīng)力分量完全決定了一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。在特殊情況下，如果ABC是物體上受面力作用的邊界面，則成為面力分量，于是由式1-2得空間問(wèn)題的應(yīng)力邊界條件(1-5)應(yīng)力狀態(tài)有三種表示方式如下:(1)如圖1-2,在圖中表示(2)應(yīng)力狀態(tài)矩陣該矩陣為一對(duì)稱陣。(3) 應(yīng)力向量4、 物體內(nèi)任一點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)過(guò)空間一點(diǎn)P所有方向上的線應(yīng)變和角應(yīng)變的集合稱為P點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)，通過(guò)該點(diǎn)作三個(gè)相互垂直的線元。該三線元長(zhǎng)度改變（線應(yīng)變）和線元間夾角改變（角應(yīng)變）的集合就完整地代表了P點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)。三個(gè)線應(yīng)變?yōu)?，三個(gè)角應(yīng)變?yōu)椋?應(yīng)變狀態(tài)的表示方式如下:(1) 向量形式(2)矩陣形式5、 幾何方

5、程和物理方程（1） 空間問(wèn)題的幾何方程（1-6）幾何方程的矩陣形式為（在V內(nèi)），其中L為微分算子（2） 空間問(wèn)題的物理方程，在材料力學(xué)中根據(jù)胡克定律導(dǎo)出如下(1-7)，(1-8)根據(jù)關(guān)系，其中為體應(yīng)變，為體積應(yīng)力，與間的比例常數(shù)稱為體積模量，可推得物理方程的另一種形式 物理方程的矩陣形式為或，其中D為彈性矩陣，C為柔度矩陣，兩矩陣為互逆關(guān)系。4、 邊界條件（1） 根據(jù)物體內(nèi)任一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)可得空間問(wèn)題的應(yīng)力邊界條件，即式1-5(2) 空間問(wèn)題的位移邊界條件為(1-9)5、 按位移求解空間問(wèn)題按位移求解問(wèn)題，是取位移分量為基本未知函數(shù)，并要通過(guò)消元法，導(dǎo)出彈性體區(qū)域內(nèi)求解位移的基本微分方程和相應(yīng)

6、的邊界條件。將幾何方程代入物理方程，得出用位移分量表示應(yīng)力分量的彈性方程，再將該彈性方程代入平衡微分方程得按位移求解時(shí)所需用的基本微分方程。6、 按應(yīng)力求解空間問(wèn)題按應(yīng)力求解空間問(wèn)題，是取應(yīng)力分量為基本未知函數(shù)。對(duì)空間問(wèn)題來(lái)說(shuō)就是，就是要從15個(gè)基本方程中消去位移分量和形變分量，得出只包含6個(gè)應(yīng)力分量方程，進(jìn)行求解。2、 板彎問(wèn)題基本概念及微分方程1、 有關(guān)概念(1)在彈性力學(xué)里，兩個(gè)平行面和垂直于這兩個(gè)平行面的柱面或棱柱面所圍成的物體，稱為平板，或簡(jiǎn)稱板，如下圖所示。這兩個(gè)平行面稱為板面，而這個(gè)柱面或棱柱面稱為側(cè)面或板邊。兩個(gè)板邊之間的厚度稱為板的厚度，而平分厚度的平面稱為板的中間平面，或簡(jiǎn)

7、稱為中面。如果板的厚度遠(yuǎn)小于中面的最小尺寸b，這個(gè)板就稱為薄板，否則就稱為厚板。(2)當(dāng)薄板受有一般載荷時(shí)，總可以把每個(gè)載荷分解為兩個(gè)分載荷，一個(gè)是平行于中面的所謂縱向載荷，另一個(gè)是垂直于中面的所謂橫向載荷。對(duì)于縱向載荷，可以認(rèn)為它們沿薄板厚度均勻分布，因而它們所引起的應(yīng)力、形變和位移，可以按平面應(yīng)力問(wèn)題進(jìn)行計(jì)算。橫向載荷將使薄板彎曲，它們所引起的應(yīng)力、形變和位移，可以按薄板彎曲問(wèn)題進(jìn)行計(jì)算。(3)薄板彎曲時(shí)，中面所彎成的曲面，稱為薄板彈性曲面，而中面內(nèi)各點(diǎn)在垂直于中面方向的位移，稱為撓度。這里只討論薄板的小撓度彎曲理論。2、 薄板彎曲問(wèn)題的計(jì)算假定為了建立薄板的小撓度彎曲理論，除了引用彈性力

8、學(xué)的5個(gè)基本假定外，還補(bǔ)充提出了3個(gè)計(jì)算假定。(1) 垂直于中面方向的線應(yīng)變，即可以不計(jì)。取，則又幾何方程中的，從而得。即橫向位移只是x，y的函數(shù)，不隨z而變。因此，在中面的任一根法線上各點(diǎn)都具有相同的橫向位移，也就等于撓度。(2) 應(yīng)力分量和遠(yuǎn)小于其余3個(gè)應(yīng)力分量，因而是次要的，它們所引起的變形可以不計(jì)（注意：這三個(gè)次要應(yīng)力分量本身都是維持平衡所必需的，不能不計(jì)）。因?yàn)椴挥?jì)及所引起的形變，所以有，。于是由幾何方程1-6可以得。從而得(2-1)由于，可見(jiàn)中面的法線在薄板彎曲時(shí)保持不伸縮，并且成為彈性曲面的法線。在上述計(jì)算假定中雖然采用了，但在以后考慮平衡條件時(shí)，仍然必須計(jì)入3個(gè)次要的應(yīng)力分量和

9、。因此，在薄板的小撓度彎曲理論中，放棄了關(guān)于和的物理方程。因?yàn)椴挥?jì)所引起的形變，所以薄板的物理方程成為(2-2)(3)薄板中面內(nèi)的各點(diǎn)都沒(méi)有平行于中面的位移，即。因?yàn)?，所以由上式得出中面?nèi)的形變分量均為零，即(2-3)也就是說(shuō)，中面的任意一部分，雖然彎曲成為彈性曲面的一部分，但它在xy面上的投影形狀卻保持不變。3、將縱向位移，各應(yīng)變分量和應(yīng)力分量分別都用撓度w來(lái)表示薄板的小撓度彎曲問(wèn)題是按位移求解的，只取撓度作為基本未知函數(shù)。(1)將縱向位移u，v用撓度w表示。由得由計(jì)算假定(1-3)，得。于是縱向位移表示為(2)將主要應(yīng)變分量用w表示。把中所得的u,v代入幾何方程中的對(duì)應(yīng)項(xiàng)得(a)(3)將主

10、要應(yīng)力分量用w表示。由薄板的物理方程2-2求解應(yīng)力分量得(b)把式a中所得應(yīng)力分量代入上式得(2-4)(4)將次要應(yīng)力分量用w表示。可以應(yīng)用平衡微分方程的前兩式進(jìn)行求解，且因?yàn)椴淮嬖诳v向載荷，體力分量，由此得把的表達(dá)式2-4代入得其中引用記號(hào)。將上兩式對(duì)z積分，得，其中，可根據(jù)薄板的上、下板面的邊界條件來(lái)求出，即，應(yīng)用這兩個(gè)邊界條件求出以后，即得的表達(dá)式(2-5)(5)將更次要應(yīng)力分量用w表示。應(yīng)用平衡微分方程1-1的第三式，取體力分量為0，得 (c)如果體力分量,可以把薄板的每單位面積內(nèi)的體力和面力都?xì)w入到上板面的面力中去，一并用q表示，即 (d)這只會(huì)對(duì)最次要的應(yīng)力分量引起誤差，對(duì)其它的應(yīng)

11、力分量則沒(méi)有影響。注意，將這兩個(gè)應(yīng)力分量的表達(dá)式代入式(c)，得對(duì)z進(jìn)行積分，得到 (e)其中待定函數(shù)可以由薄板的下版面的邊界條件來(lái)確定，即將式(e)代入，求出,再代回式(e)，即得的表達(dá)式 (2-6)4、 推導(dǎo)彈性曲面的微分方程現(xiàn)在導(dǎo)出w的微分方程。由薄板的上板面的邊界條件，其中q是薄板每單位面積內(nèi)的橫向載荷，包括橫向面力及橫向體力，將的表達(dá)式代入得(2-7)或,(2-8)其中的稱為薄板的彎曲剛度，它的量綱是，方程2-8稱為薄板的彈性曲面微分方程，或撓曲微分方程。3、 矩形薄板彎曲問(wèn)題的求解1、 泛函和變分的概念(1) 假想函數(shù)y(x)的形式發(fā)生改變而成為新的函數(shù)Y(x)。如果對(duì)應(yīng)于x的一個(gè)

12、定值，y具有微小的增量，則增量稱為函數(shù)y(x)的變分?？梢宰C明導(dǎo)數(shù)的變分等于變分的導(dǎo)數(shù)，因此微分的運(yùn)算和變分的運(yùn)算可以交換次序。(2) 如果對(duì)于某一類函數(shù)y(x)中的每一個(gè)函數(shù)y(x)，變量I有一個(gè)值和它對(duì)應(yīng)，則變量I稱為依賴于函數(shù)y(x)的泛函，記為I=Iy(x)。簡(jiǎn)單地說(shuō)，泛函就是函數(shù)的函數(shù)。(3) 基于能量原理的變分法是一種近似法，所謂變分問(wèn)題，就是泛函求極值的問(wèn)題。2、 彈性體的應(yīng)變能彈性體單位體積的應(yīng)變能為(3-1)也可以稱為應(yīng)變比能。整個(gè)彈性體的應(yīng)變能為，其中為彈性體的體積,將其代入式3-1得(3-2)可以將應(yīng)變能表示為用應(yīng)力或應(yīng)變表達(dá)的形式，可以證明彈性體的應(yīng)變比能對(duì)于任一應(yīng)力分

13、量求導(dǎo)就等于相應(yīng)的應(yīng)變分量，彈性體的應(yīng)變比能對(duì)于任一應(yīng)變分量的偏導(dǎo)數(shù)就等于相應(yīng)的應(yīng)力分量。3、 虛位移原理設(shè)有一彈性體在外力（包括體力分量X,Y,Z和一部分面力分量)作用下處于平衡狀態(tài)。假如有一組位移分量u,v,w，既能滿足用位移表示的平衡方程，又能滿足位移邊界條件及用位移分量表示的應(yīng)力邊界條件。設(shè)想在彈性體幾何約束所允許的條件下，給它一個(gè)任意的微小的變化，即所謂的虛位移或位移變分，得到一組新的位移此時(shí)外力在虛位移上所做的功，即虛功為（3-3）其中為彈性體的全部體積，S為彈性體的全部表面積，為給定外力的表面，為給定位移的表面。假定彈性體在虛位移的過(guò)程中沒(méi)有溫度和速度的改變，即沒(méi)有熱能和動(dòng)能的改

14、變。按照能量守恒定律，應(yīng)變能在虛位移上的增量應(yīng)當(dāng)?shù)扔谕饬υ谔撐灰扑龅奶摴?，即得位移變分方程?-4）按照變分原理其中為單位體積應(yīng)變能的增量。把應(yīng)變比能看作應(yīng)變分量的函數(shù)，由上式得=將式3-4代入得 （3-5）這就是虛位移原理的表達(dá)式，也可稱為虛功方程。由此，彈性體的虛位移原理可敘述為：設(shè)一彈性體在已知體力和面力作用下處于平衡狀態(tài)，那么，在虛位移過(guò)程中，外力在虛位移上所做的虛功等于彈性體所積累的虛應(yīng)變能。4、 最小勢(shì)能原理根據(jù)式3-4，由于虛位移是微小的，在虛位移過(guò)程中，外力的大小和方向可以認(rèn)為保持不變，所以式3-4右邊的積分號(hào)內(nèi)的變分記號(hào)可提到積分號(hào)前并整理得取A=，顯然A為外力在實(shí)際位移u

15、,v,w上所做的功。假設(shè)外力是勢(shì)力場(chǎng)中的力，則（-A）應(yīng)等于外力的勢(shì)能，用記號(hào)V表示。彈性體的應(yīng)變能和外力勢(shì)能之和，稱為彈性系統(tǒng)的總勢(shì)能，用記號(hào)表示，得得最小勢(shì)能原理：在給定外力作用下而保持平衡的彈性體，在滿足位移邊界條件的所有各組位移中，實(shí)際存在的一組位移應(yīng)使總勢(shì)能稱為極值。當(dāng)考慮二階變分時(shí)，可以證明，對(duì)于穩(wěn)定平衡狀態(tài)，這個(gè)極值是最小值。5、求解薄板彎曲問(wèn)題(1)存在于彈性體中的應(yīng)變能為(3-6)根據(jù)薄板彎曲問(wèn)題中的有關(guān)假設(shè)是為次要應(yīng)力分量，在式3-6中略去有關(guān)的項(xiàng)，利用物理方程消去應(yīng)變分量得將式2-4代入上式，得用位移w表示的應(yīng)變能為將上式對(duì)z積分并整理得等厚薄板的應(yīng)變能U可表達(dá)為(3-7

16、)對(duì)于板邊全部固定的任何形式的板和板邊w=0的矩形板，可對(duì)式3-7進(jìn)行化簡(jiǎn)，用分部積分可得其中s為薄板的邊界對(duì)于固定邊，不論邊界形狀如何可得，在該情況下薄板應(yīng)變能表達(dá)式為(3-8)(2) 薄板彎曲問(wèn)題中的邊界條件設(shè)圖中OA邊是固定邊，OC邊是簡(jiǎn)支邊，AB邊和BC邊是自由邊。沿著固定邊OA(x=0),薄板的撓度w等于零，彈性曲面的斜率（即轉(zhuǎn)角）也等于零，所以邊界條件是沿著簡(jiǎn)支邊OC(y=0)，薄板的撓度w等于零，彎矩也等于零，所以邊界條件是用撓度w表示為如果前一個(gè)條件得到滿足，即撓度w在整個(gè)邊界上都等于零，則在整個(gè)邊界上也等于零，所以簡(jiǎn)支邊OC的邊界條件可以簡(jiǎn)寫(xiě)為6、薄板彎曲問(wèn)題中Ritz法薄板

17、中總勢(shì)能為為撓度w的泛函，設(shè)定一組包含若干待定系數(shù)的撓度的級(jí)數(shù)形式的表達(dá)式，其中每一分量均滿足問(wèn)題中的邊界條件，根據(jù)最小勢(shì)能原理，求解使總勢(shì)能取最小值的待定系數(shù)，即可求得撓度的表達(dá)式，這是求解薄板彎曲問(wèn)題的Ritz法。7、四邊簡(jiǎn)支矩形薄板的重三角級(jí)數(shù)解求解薄板的小撓度彎曲問(wèn)題，首先要在板邊的邊界條件下，由彈性曲面微分方程求出撓度w。當(dāng)無(wú)支座沉陷時(shí)，對(duì)于四邊簡(jiǎn)支的矩形薄板，邊界條件是 (a)取撓度w的表達(dá)式為如下重三角級(jí)數(shù) (b)其中的m和n是正整數(shù)，代入式(a)，可見(jiàn)全部邊界條件都能滿足，為了求出系數(shù)，將式(b)代入微分方程得將式右邊的載荷q(x,y)展開(kāi)成重三角級(jí)數(shù)，即 (c)式中的可以按三

18、角級(jí)數(shù)的通常確定方法進(jìn)行求解，解得得系數(shù) (f)當(dāng)薄板受橫向均布載荷時(shí)，q成為，式(f)中的積分式成為由式(f)得或代入式(b)，即得撓度的表達(dá)式當(dāng)薄板在任意一點(diǎn)受集中載荷F時(shí)，可以用微分面積dxdy上的均布載荷來(lái)代替分布載荷q，式(f)中的q除了在處的微分面積上等于以外，在其余各處都等于0，此時(shí) 代入式(b)得撓度的表達(dá)式為8、四邊簡(jiǎn)支矩形薄板的Ritz法求解其邊界條件同(a)，取撓度表達(dá)式為 (g)則 應(yīng)變能的表達(dá)式為將撓度偏微分的算式代入，根據(jù)整理得橫向均布載荷作用時(shí)外力的勢(shì)能為總勢(shì)能為應(yīng)用Ritz法得 解得代入式(g)，即得撓度的表達(dá)式受集中載荷F時(shí)，外力的勢(shì)能為總勢(shì)能為應(yīng)用Ritz法

19、得，解得代入式(g)，即得撓度的表達(dá)式為2、 四邊固支矩形薄板的Ritz法求解當(dāng)無(wú)支座沉降時(shí)，對(duì)于四邊固支的矩形薄板，邊界條件是取撓度的表達(dá)式為對(duì)其進(jìn)行微分運(yùn)算得應(yīng)變能的表達(dá)式為且有將其代入應(yīng)變能的表達(dá)式，整理得當(dāng)橫向均布載荷作用時(shí)，外力的勢(shì)能為總勢(shì)能為應(yīng)用Ritz法，令，即解得得撓度當(dāng)集中載荷作用時(shí)應(yīng)用Ritz法，令，即解得得撓度4、 利用Patran和Nastran建模對(duì)矩形薄板彎曲問(wèn)題進(jìn)行求解1、Patran建模和Nastran分析的一般流程和分析中所設(shè)置的數(shù)據(jù)導(dǎo)入或建立幾何模型選擇分析求解器劃分有限元網(wǎng)格施加約束及載荷邊界條件設(shè)置材料特性及單元特性設(shè)置分析參數(shù)提交分析對(duì)分析結(jié)果進(jìn)行后處

20、理。設(shè)置矩形薄板的數(shù)據(jù)如下：長(zhǎng)5(m)，寬4(m），薄板厚度為0.01（m），彈性模量為10e9(Pa),泊松比為0.3，橫向均布載荷合力為10N，中心集中載荷為10N。分別對(duì)四邊簡(jiǎn)支和四邊固支的情況進(jìn)行求解2、后處理之后軟件分析結(jié)果各情況下的位移云圖如下所示：四邊簡(jiǎn)支矩形薄板受橫向均布載荷情況下的位移云圖：四邊簡(jiǎn)支矩形薄板受中心集中載荷情況下的位移云圖：四邊固支矩形薄板受橫向均布載荷情況下的位移云圖：四邊固支矩形薄板受中心集中載荷情況下的位移云圖：3、 結(jié)果分析依據(jù)所推導(dǎo)的公式進(jìn)行計(jì)算，與Patran和Nastran建模求解結(jié)果進(jìn)行對(duì)比在四邊簡(jiǎn)支矩形薄板受橫向均布載荷情況下取m=1,n=1,

21、3;m=3,n=1,3代入撓度表達(dá)式進(jìn)行求解，得，相對(duì)誤差為0.93%在四邊簡(jiǎn)支矩形薄板受中心集中載荷情況下取m=1,n=1,3;m=3,n=1,3代入撓度表達(dá)式進(jìn)行求解，得，相對(duì)誤差為9.16%在四邊固支矩形薄板受橫向均布載荷情況下取m=1,n=1,3;m=3,n=1,3代入撓度表達(dá)式進(jìn)行求解，得，相對(duì)誤差為7.66%在四邊固支矩形薄板受中心集中載荷情況下取m=1,n=1,3;m=3,n=1,3代入撓度表達(dá)式進(jìn)行求解,得，相對(duì)誤差為6.61%5、 課程設(shè)計(jì)總結(jié)在一般三維體彈性系統(tǒng)中，包含15個(gè)未知函數(shù)，即6個(gè)應(yīng)力分量、6個(gè)形變分量和3個(gè)位移分量，且它們都是x,y,z坐標(biāo)變量的函數(shù)。對(duì)于空間問(wèn)題，在彈性體域內(nèi)，考慮靜力學(xué)、幾何學(xué)和物理學(xué)三方面條件，可分別建立3個(gè)平衡微分方程、6個(gè)幾何方程6個(gè)和物理方程；并在給定約束面或面力的邊界上，建立位移邊界條件或應(yīng)力邊界條件。然后在邊界條件下根據(jù)所建立的三套方程求解應(yīng)力分