立體幾何好的題目及問題詳解

1、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案高三數(shù)學(xué)·單元測(cè)(九試) 卷第九單元 簡單幾何體 ，交角與距離( 時(shí)量 :120 分鐘 150 分)一、選擇題：本大題共 10 小題，每小題 5 分，共 50 分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1過三棱柱任意兩個(gè)頂點(diǎn)的直線共 15 條，其中異面直線有A18 對(duì) B24 對(duì) C30 對(duì) D36 對(duì)2一個(gè)與球心距離為 1 的平面截球所得的圓面面積為 ，則球的表面積為A8 2 B8 C4 2 D 43設(shè)三棱柱 ABCA1B1C1 的體積為 V，P、Q分別是側(cè)棱 AA1 、C C1 上的點(diǎn)，且 PAQC1，則四棱錐 BAPQC的體積為AV6BV4CV3DV24如

2、圖，在多面體 ABCDEF中，已知 ABCD是邊長為 1 的正方形，且 ADE、BCF均為正三角形， EFAB，EF2，則該多面體的體積為A23B33C43D325設(shè)、為平面， m、n、l 為直線，則 m 的一個(gè)充分條件是A , l, m l B m, ,C , ,m D n ,n , m6如圖，正方體 ABCDA1B1C1D1 的棱長為 1，O 是底面 A1B1C1D1 的中心，則 O 到平面 ABC1D1的距離為12AB24A1D1OB1C1C22D32DCA 7不共面的四個(gè)定點(diǎn)到平面 的距離都相等，這樣的平面 共有BA3 個(gè) B4 個(gè) C6 個(gè) D7 個(gè)8正方體 ABCDA1B1C1D1

3、 中，E、F 分別為棱 AB、C1D1 的中點(diǎn)，則直線 A1 B1 與平面 A1ECF所成角的正弦為A63B 33C66D 229在空間直角坐標(biāo)系 Oxyz 中，有一個(gè)平面多邊形，它在 xOy平面的正射影的面積為 8，精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案在 yOz平面和 zOx 平面的正射影的面積都為 6，則這個(gè)多邊形的面積為A2 46 B 46 C2 34 D 3410將半徑都為 1 的 4 個(gè)鋼球完全裝入形狀為正四面體的容器里， 這個(gè)正四面體的高的最小值為3 2 6 2 6 2 6 4 3 2 6A B2 C4 D3 3 3 3答題卡題號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案二、填空題：本大題共

4、5 小題，每小題 4 分，共 20 分把答案填在橫線上11正三棱錐 PABC的四個(gè)頂點(diǎn)同在一個(gè)半徑為 2 的球面上，若正三棱錐的側(cè)棱長為 2 3，則正三棱錐的底面邊長是 _ 12如圖， PA平面 ABC，ABC90°且 PAABBCa，則異面直線 PB與 AC所成角的正切值等于 _13已知球面上 A、B 兩點(diǎn)間的球面距離是 1，過這兩點(diǎn)的球面半徑的夾角為 60°，則這個(gè)球的表面積與球的體積之比是 14下面是關(guān)于三棱錐的四個(gè)命題：底面是等邊三角形，側(cè)面與底面所成的二面角都相等的三棱錐是正三棱錐底面是等邊三角形，側(cè)面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐底面是等邊三角形，側(cè)面的面積都

5、相等的三棱錐是正三棱錐側(cè)棱與底面所成的角都相等，且側(cè)面與底面所成的二面角都相等的三棱錐是正三棱錐其中，真命題的編號(hào)是 _（寫出所有真命題的編號(hào)） 15在正方體 ABCDA1B1C1D1 中，過對(duì)角線 BD1 的一個(gè)平面交 AA1 于 E，交 C C1 于 F，則 四邊形 BFD1E一定是平行四邊形 四邊形 BFD1E有可能是正方形 四邊形 BFD1E在底面 ABCD內(nèi)的投影一定是正方形 四邊形 BFD1E有可能垂直于平面 BB1D以上結(jié)論正確的為 （寫出所有正確結(jié)論的編號(hào)） 三、解答題：本大題共 6 小題，共 80 分解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟16( 本題滿分 l2 分)在四棱錐

6、VABCD中，底面 ABCD是正方形，V 側(cè)面 VAD是正三角形，平面 VAD底面 ABCD（）證明 AB平面 VAD（）求面 VAD與面 VDB所成的二面角的大小 D CA B精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案17（本題滿分 12 分）如圖 1，已知 ABCD是上、下底邊長分別是 2 和 6，高為 3的等腰梯形將它沿對(duì)稱軸O O1 折成直二面角，如圖 2O1CDO1CDO BAO BA（）證明 ACBO1；（）求二面角 OACO1 的大小18（本題滿分 14 分）如圖，在底面是矩形的四棱錐 PABCD中，PA底面 ABCD，PAAB1，BC2（1）求證：平面 PDC平面 PAD；（2）若 E 是 PD的中

7、點(diǎn)，求異面直線 AE與 PC所成角的余弦值；（3）在 BC邊上是否存在一點(diǎn) G，使得 D點(diǎn)到平面 PAG的距離為 1，若存在，求出 BG的P 值；若不存在，請(qǐng)說明理由E DAB C精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案19（本題滿分 14 分）如圖，已知三棱柱 ABCA1B1C1 的底面是邊長為 2 的正三角形，側(cè)棱 A1A 與 AB、AC均成45 A E B B E AF CC F °角，且 于 ， 于 1 1 1 1求證：平面 A1EF平面 B1 BCC1；求直線 AA1 到平面 B1BCC1 的距離；A1 C1B 1FE當(dāng) AA1 多長時(shí)，點(diǎn) A1 到平面 ABC與平面 B1BCC1 的距離相等

8、 CAB20( 本題滿分 14 分)如圖直角梯形 OABC中，COA OAB ，OC2，OAAB1，SO平面 OABC，SO=1，2以 O C、O A、OS分別為 x 軸、y 軸、z 軸建立直角坐標(biāo)系 O-xyz.z求 S C與OB的夾角 的大?。ㄓ梅慈呛瘮?shù)表示） ；S 設(shè) n (1, p, q),滿足n 平面SBC,求 : n 的坐標(biāo) ;OA yOA與平面 SBC的夾角 （用反三角函數(shù)表示） ；BO到平面 SBC的距離 .設(shè) k (1, r , s)滿足k SC且k OB.填寫 :xC k的坐標(biāo)為 .異面直線 S C、O B的距離為 . （注：只要求寫出答案）精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案21( 本

9、題滿分 14 分)直三棱柱 ABCA1B1C1，底面 ABC中，C AC Ba， BCA90°，AA12a，M、N分別是 A1B1、AA1 的中點(diǎn)（I ）求 BN 的長；（II ）求 cosBA1 ,CB ；1（III ）求證： A1BC1M精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案 簡單幾何體 ，交角與距離參考答案一、選擇題題號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 C D C A A B D A C C二、填空題 113； 12 3； 13； 14 15三、解答題16證明：（）作 AD的中點(diǎn) O，則 VO底面 ABCD 1 分建立如圖空間直角坐標(biāo)系，并設(shè)正方形邊長為 1， 2 分則 A（12，

10、0，0），B（12，1，0），C（12，1，0），D（12，0，0），V（0，0，32），1 3AB (0,1,0), AD (1,0,0), AV ( ,0, ) 3 分2 2由 AB AD (0,1,0) (1,0,0) 0 AB AD 4 分1 3AB AV (0,1,0) ( ,0, ) 0 AB AV 5 分2 2又 ABAVAAB平面 VAD 6 分（）由（）得 AB (0,1,0) 是面 VAD的法向量 7 分設(shè) n (1,y, z)是面 VDB的法向量，則x 11 3n VB 0 (1,y, z) ( ,1, ) 0 3n (1, 1, )2 2 33n BD 0 (1,y,

11、z) ( 1, 1,0) 0 3z9 分3(0,1,0) (1, 1, ) 213cos AB, n ， 11 分7211 3又由題意知，面 VAD與面 VDB所成的二面角，所以其大小為17解法一（ I ）證明 由題設(shè)知 O AOO1，O BOO1. 所以 AOB是所折成的直二面角的平面角，arccos217 12 分即 O AOB. 故可以 O為原點(diǎn)， O A、O B、O O1所在直線分別為 x軸、y 軸、z 軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖 3，則相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)是 A（3，0，0），精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案B（0，3，0），C（0，1， 3）O1（0，0， 3）.圖 3從而 ( 3,1, 3), (

12、0, 3, 3), 3 3 3 0.AC BO1 AC BO1所以 ACBO1.（II ）解：因?yàn)?3 3 3 0,BO1 OC 所以 BO1OC，由（I ）ACBO1，所以 BO1平面 OAC，BO 是平面 OAC的一個(gè)法向量 .1設(shè)n ( x, y, z) 是 0 平面 O1AC的一個(gè)法向量，n AC 03x y 3z 0,取 得 n (1, 0, 3) . 由 3,z y 0.n O C 01設(shè)二面角 OACO1 的大小為 ，由 n、BO 的方向可知 n， BO1 >，1所以 cos cos n，n BO 3BO >= .114| n | | B O1 |3即二面角 OACO

13、1 的大小是 .arccos4解法二（ I ）證明 由題設(shè)知 O AOO1，O BOO1，所以 AOB是所折成的直二面角的平面角，O1即 O AOB. 從而 AO平面 OBCO1， CFOC是 AC在面 OBCO1 內(nèi)的射影 .DO C 3 EOB1因?yàn)?O ，tan OCtan OO B 31 1OOOO 31 1O所以 O O1B=60°， O1OC=30°，從而 O CBO1B由三垂線定理得 ACBO1.（II ）解 由（ I ）ACBO1，O CBO1，知 BO1平面 AOC.A圖 4設(shè) O CO1B=E，過點(diǎn) E 作 EFAC于 F，連結(jié) O1F（如圖 4），則

14、EF 是 O1F 在平面 AOC內(nèi)的射影，由三垂線定理得 O1FAC.所以 O1FE是二面角 OACO1 的平面角 .由題設(shè)知 OA=3，OO1= 3，O1C=1，2 2 2 2所以 O1A OA OO 2 3, AC O A O C 13 ，1 1 1從而O A O C 2 31 1O F ， 又 O1E=OO1·sin30 °=1 AC1332，O E 13 31所以 sin O FE . 即二面角 OACO1 的大小是 arcsin .1 O F4 4 1精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案18解：以 A為原點(diǎn)，AB所在直線為 x 軸，AD所在直線為 y 軸，AP所在直線為 z 軸建

15、立空間直1角坐標(biāo)系，則 A(0，0，0) ，B(1，0，0) ，C(12，0，) ，D(0，2，0) ，E(0，1， ) ，P(0，0，1) 21CD (1，0，0)，AD (0，2，0)，AP (0，0，1)，AE (0，1， ) ，PC (1，2，21)，CD AD 0 CD ADCD AP 0 CD APAP AD ACD 平面PADCD 平面PDC(1) 平面 PDC平面 PAD 5 分(2) cos AE, PCAE PC| AE | |PC | 12 211+ · 6430，10所求角的余弦值為30 9 分10(3) 假設(shè) BC邊上存在一點(diǎn) G滿足題設(shè)條件，令 BGx，則

16、 G(1，x，0) ，作 D QAG，則DQ平面 PAG，即 D Q12SADGS矩形 ABCD，| AG |DQ| | AB | AD | 2| AG |2，又 AG x2+1，x 3<2，故存在點(diǎn)G，當(dāng)BG 3時(shí)，使點(diǎn)D到平面PAG的距離為1 14 分19解： CC1BB1，又 BB1A1E，CC1A1E，而 C C1A1F，C C1平面 A1EF，平面 A1EF平面 B1BCC1 4 分作 A1HEF于 H，則 A1H面 B1BCC1，A1H為 A1 到面 B1BCC1 的距離，在 A1EF中，A1EA1F1 2，EF2， A1EF為等腰 Rt且 EF為斜邊， A1H為斜邊上中線，

17、可得 A1H EF21 9 分作 A1G面 ABC于 G，連 AG，則 A1G就是 A1 到面 ABC的距離，且 AG是BAC的角平分線，A1G1 12 分cos A1AGcos45°cos30°6，sin A1AG33，A1A311 14 分3320解：（）如圖所示：C（2，0，0），S（0，0，1），O（0，0，0），B（1，1，0）SC (2,0, 1), OB (1,1,0 )cos SC, OB25 2105,arccos105 4 分（） SB (1,1, 1), CB ( 1,1,0 ) n SBCn SB, n CB, n SB 1 p q 0n CB 1

18、p 0,解得 : p 1,q 2, n (1,1,2) 7 分精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案 過O作OE BC于E,則BC 面SOE， SOE SAB又兩面交于 SE,過O作OH SE于H ,則OH SBC,延長OA與CB交于F ,則OF 2連FH ,則 OFH 為所求又OE 2, SE 3OHSO OESE61 2 6 6 3, sin3 3 2 66arcsin 10分6 k的坐標(biāo)為 1, 1, 2 ；6OH 14 分321以 C為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系（I ）B(0，a，0) ，N(a，0，a) ，2 2 2| BN | (a 0) (0 a) (a 0) 3a4 分（II ）A1( a，0，2a) ，C(0，0，0) ，B1(0 ，a，2a) ，BA ( a， a，2a) ， CB1 (0 ，a，2a) ，12，5 分BA ·