北大醫(yī)學(xué)數(shù)字圖像處理5.2投影定理和傅里葉重建

1、5.2 投影定理和傅里葉重建投影定理奠定了各種重建算法的基礎(chǔ) 1。 5.2.1 投影定理在固定坐標(biāo)系中,吸收體的吸收函數(shù) 的 FT 為, (y x f (, (, exp 2( F u v f x y j xu yv dxdy =+其中, 為坐標(biāo)(x, y經(jīng) FT 后在頻域的變量。, u v 在旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系 (旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系 相對(duì)于固定坐標(biāo)系 轉(zhuǎn) 動(dòng)角 中,吸收體的吸收函數(shù)的 FT 為 , (yx, (y x , (y xf (, (, exp 2( F uv f xy j xu yv dxdy =+ 其中, 為旋轉(zhuǎn)坐標(biāo) 經(jīng)傅里葉變換所得頻域變量。 , uv , (y x 問題: (, (, F u

2、v F u v =是否成立? 證明:已知=y x y xcos sin sin cos ,其中 為正交方陣: cos sin sin cosT 1, A A A =1=(行列式因?yàn)槲罩祽?yīng)與坐標(biāo)系無關(guān),故:, ( cos sin (, sin cos ( , (y x f y x y x f y xf =+=,所以( (, (, exp 2(cos sin sin cos (, exp 2cos sin (sin cos F u v f x y j x y u x y v d xd yf x y j u v x u v y d xd y =+=+ 這里恰好是頻域坐標(biāo)轉(zhuǎn)動(dòng) 角, 即兩個(gè)坐標(biāo)系對(duì)應(yīng)

3、坐標(biāo)的關(guān)系為:cos sin sin cos u u v v =, 上式變成(, (, exp 2( F uv f x y j xu yv dxdy =+注意:上式的積分變量變化,因?yàn)?dxdy J y d xd =, J 為雅可比 行列式。但是由于 ,以正交方陣作為變換 矩陣,故=y x yxcos sin sin cos cos sin 1sin cos x yxx J x y yydxddy dxdy=又因?yàn)?, (, exp 2( F u v f x y j xu yv dxdy =+所以(, (, F uv F u v =。 意義:頻域坐標(biāo) 的 F 函數(shù)正好等于把頻域坐標(biāo)轉(zhuǎn)角后(,

4、u v (, u v的 F 函數(shù) 。根據(jù)前面 5.1節(jié)內(nèi)容,當(dāng)旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系 相對(duì)于固定坐標(biāo)系 轉(zhuǎn)動(dòng)角 時(shí), x-ray 所形成的投影, (y x , (y x =sxI I y d y xf xp (ln , ( , (0 , (x p 表示測(cè)出的離散值; s 為 x-ray 穿過吸收體的長(zhǎng)度; 為 吸收系數(shù)。該投影的傅里葉變換為, (y xf 0(, (, exp 2 (, exp 2 (, exp 20 (, (, 0 v P up xj xu dx f x y j xu dydx f x y j xu y dydx F u v F u=+=符合cos sin cos 0sin cos si

5、n u u v v v u u =,故投 影的傅立葉變換只是 (, u的函數(shù)。 這里就是圖中點(diǎn)線對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù),即:空域頻域固定直角坐標(biāo)系 上斷面的兩維吸收函 數(shù), (y x, (y x f經(jīng)傅里葉變換在直角坐標(biāo)系 上得到 (, u v (, F u v動(dòng)坐標(biāo)系 轉(zhuǎn)動(dòng)方 向 ,平行束投影 , (y x經(jīng)傅里葉變換 坐標(biāo)系 轉(zhuǎn)動(dòng)同樣 時(shí)的轉(zhuǎn)軸 上各點(diǎn)之值(, uv u (, 0 F u(, p x 5.2.2 n-D 坐標(biāo)投影空間域 :多維函數(shù)看作向量( , , , (21K f x x x f n= 其中 K為列向量,T n n x x x x x x , , , 2121 #K = (Kf 的傅

6、里葉變換為12( (, , , n F W F w w w =K其中 頻域坐標(biāo)向量 Tn w w w W , , , 21 K =。所以nn n nn dx dx dx x w x w x w j xx x f w w w F 2122112121 (2exp , , , (, , , (+=可以寫為( ( exp 2( F W f j W d +=K K KK K同理,傅里葉逆變換為+=W d W j W F f nKK K K K (2exp (2(1 (有向量形式的傅里葉變換對(duì):( (W F f KK。 假如把 n 維坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)一角度求其投影時(shí),轉(zhuǎn)動(dòng)角度相當(dāng)于對(duì)向 量進(jìn)行正交歸一變換,變

7、換矩陣 A 應(yīng)滿足T A A A =1, 1 (正交歸一條件 , A 為行列式,記為=nn n n n n a a a a a a a a a A # 212222111211。假如把 K向量旋轉(zhuǎn)一角度成為 KA 向量,記作第五章 圖像重建 L = A = l1 , l 2 , 求其傅里葉變換： + , ln T F (W = = 其中 + f ( A exp j 2 W ( A d ( A f ( L exp j 2 (W L dL L = A = A 1 L = AT L dL= J d=d 頻域： 進(jìn)行同樣的正交歸一變換，即令 = AW 求傅里葉反變換 + f (L = 得到傅里葉變換對(duì)

8、 F ( exp j 2 ( L dL f ( L F ( f ( A F ( AW 說明若 f ( F (W 則存在 f ( A F ( A W ，即 f ( L F ( 。 6 第五章 圖像重建 n-D 系統(tǒng)的投影 在 n 維系統(tǒng)中沿 x i 維方向上投影，就是在該方向上求積分。得 到 n1 維投影函數(shù) p x i ( x1 , x 2 , 其傅里葉變換為 , x i 1 , x i +1 , , xn = f ( dx i Pwi ( w1 , w 2 , 表示在 wi , wi 1 , wi +1 , , w n = F (W wi = 0 = 0 處的一個(gè)切片！這是 n 維系統(tǒng)中沿任

9、一軸的投影。 對(duì)任意方向（非某一軸） ，同上述原理，用正交歸一旋轉(zhuǎn)矩陣 A, 則 F (W f ( F ( AW f ( A 即 F ( f ( L pli (l1 , l2 , , li 1 , li +1 , , ln 的 n 同理， l i 投影軸的投影 沿 1 維傅里葉變換 Pli = F ( 為多維向量的投影定理。 i =0 7 第五章 圖像重建 5.2.3 傅里葉重建 極坐標(biāo)的傅里葉變換 y y x x x-ray 筆形x-ray束沿與x軸成沿角的 x 軸平移，得到一組空域投影 p ( x , ，其傅里葉變換為頻域過 (u , v 零點(diǎn)、角度為的一條直 線上的全部數(shù)據(jù)，從 0 變到

10、 1800，可求出一系列頻域過零點(diǎn)的數(shù) 據(jù)集合。 v S u 現(xiàn)在從極坐標(biāo)看，設(shè)采樣 M 個(gè)點(diǎn)，即有 M 個(gè)離散數(shù)據(jù)。 原來是直角坐標(biāo) f ( x , y 的傅里葉變換 F (u , v ，現(xiàn)用極坐標(biāo) 8 第五章 圖像重建 (S, 表示 F (u , v ，對(duì)應(yīng)傅里葉反變換為 f ( x, y = 其中 1 (2 2 + 0 F (S, exp j 2 ( xS cos + yS sin S u = S cos v = S sin dSd S 對(duì)應(yīng) u . 當(dāng) = 0 ，空域投影經(jīng)傅里葉變換在頻域得到 P (u , v = = F ( S , = = S ( S , = 0 0 0 已經(jīng)表示為頻域極坐標(biāo)形式，而 u 相應(yīng)于極軸 S，得用投影 S ( S , 重 建圖像 f ( x , y 的公式，所以 f ( x, y = 1 (2 2 + 0 S ( S , exp j 2 S ( x cos + y sin S dSd 這里把從 0