(完整版)三角形中的常用輔助線方法總結(jié)

1、數(shù)學(xué)：三角形中的常用輔助線典型例題人說幾何很困難，難點(diǎn)就在輔助線。輔助線，如何添？把握定理和概念。還要刻苦加鉆研，找出規(guī)律憑經(jīng)驗(yàn)。全等三角形輔助線找全等三角形的方法：（1）可以從結(jié)論出發(fā)，尋找要證明的相等的兩條線段（或兩個(gè)角）分別在哪兩個(gè)可能全等的三角形中；（2）可以從已知條件出發(fā)，看已知條件可以確定哪兩個(gè)三角形全等；（3）可從條件和結(jié)論綜合考慮，看它們能確定哪兩個(gè)三角形全等；（4）若上述方法均不可行，可考慮添加輔助線，構(gòu)造全等三角形。三角形中常見輔助線的作法：延長中線構(gòu)造全等三角形；利用翻折，構(gòu)造全等三角形；引平行線構(gòu)造全等三角形；作連線構(gòu)造等腰三角形。常見輔助線的作法有以下幾種：（1）遇到

2、等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質(zhì)解題，思維模式是全等變換中的“對折”。例 1：如圖， ABC是等腰直角三角形， BAC=90， BD平分 ABC交 AC于點(diǎn)D，CE垂直于 BD，交 BD的延長線于點(diǎn) E。求證： BD=2CE。思路分析 ：1）題意分析 ：本題考查等腰三角形的三線合一定理的應(yīng)用2）解題思路 ：要求證 BD=2CE，可用加倍法，延長短邊，又因?yàn)橛蠦D平分 ABC的條件，可以和等腰三角形的三線合一定理結(jié)合起來。解答過程 ：證明：延長BA ，CE 交于點(diǎn) F，在BEF和BEC中， 1= 2， BE=BE ， BEF= BEC=90 ， BEF BEC， EF=EC，從

3、而 CF=2CE 。又 1+ F= 3+ F=90，故 1= 3。在 ABD 和 ACF中， 1= 3， AB=AC ， BAD= CAF=90 ，ABDACF， BD=CF ， BD=2CE 。解題后的思考： 等腰三角形“三線合一”性質(zhì)的逆命題在添加輔助線中的應(yīng)用不但可以提高解題的能力，而且還加強(qiáng)了相關(guān)知識(shí)點(diǎn)和不同知識(shí)領(lǐng)域的聯(lián)系，為同學(xué)們開拓了一個(gè)廣闊的探索空間；并且在添加輔助線的過程中也蘊(yùn)含著化歸的數(shù)學(xué)思想，它是解決問題的關(guān)鍵。（2）若遇到三角形的中線，可倍長中線，使延長線段與原中線長相等，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“旋轉(zhuǎn)”。例 2：如圖，已知ABC 中， AD 是 BA

4、C 的平分線， AD 又是 BC 邊上的中線。求證：ABC是等腰三角形。思路分析 ：1）題意分析 ：本題考查全等三角形常見輔助線的知識(shí)。2）解題思路 ：在證明三角形的問題中特別要注意題目中出現(xiàn)的中點(diǎn)、中線、中位線等條件，一般這些條件都是解題的突破口，本題給出了 AD 又是 BC 邊上的中線這一條件，而且要求證 AB=AC ，可倍長 AD 得全等三角形，從而問題得證。解答過程：證明：延長AD 到 E，使 DE=AD ，連接 BE 。又因?yàn)?AD 是 BC 邊上的中線，BD=DC又 BDE= CDABEDCAD，故 EB=AC ， E= 2， AD 是 BAC 的平分線 1= 2， 1=E，AB=

5、EB，從而 AB=AC，即ABC是等腰三角形。解題后的思考：題目中如果出現(xiàn)了三角形的中線， 常加倍延長此線段， 再將端點(diǎn)連結(jié)，便可得到全等三角形。（3）遇到角平分線，可以自角平分線上的某一點(diǎn)向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是三角形全等變換中的“對折”，所考知識(shí)點(diǎn)常常是角平分線的性質(zhì)定理或逆定理。例 3：已知，如圖， AC平分 BAD， CD=CB，ABAD。求證： B+ADC=180。思路分析 ：1）題意分析 ：本題考查角平分線定理的應(yīng)用。2）解題思路 ：因?yàn)?AC是 BAD的平分線，所以可過點(diǎn) C作 BAD的兩邊的垂線，構(gòu)造直角三角形，通過證明三角形全等解決問題。解答過程 ：證明：作 CEA

6、B于 E，CF AD于 F。AC平分 BAD，CE=CF。在 Rt CBE和 Rt CDF中，CE=CF， CB=CD， Rt CBERtCDF， B=CDF， CDF+ADC=180， B+ADC=180。解題后的思考：關(guān)于角平行線的問題，常用兩種輔助線；見中點(diǎn)即聯(lián)想到中位線。（4）過圖形上某一點(diǎn)作特定的平行線，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“平移”或“翻轉(zhuǎn)折疊”例 4：如圖，ABC中，AB=AC， E 是 AB上一點(diǎn)， F 是 AC延長線上一點(diǎn)，連EF交 BC于 D，若 EB=CF。求證： DE=DF。思路分析 ：1）題意分析 ： 本題考查全等三角形常見輔助線的知識(shí)：作平行線

7、。2）解題思路 ：因?yàn)?DE 、DF 所在的兩個(gè)三角形DEB與DFC不可能全等，又知 EB=CF ，所以需通過添加輔助線進(jìn)行相等線段的等量代換：過E 作 EG/CF，構(gòu)造中心對稱型全等三角形，再利用等腰三角形的性質(zhì)，使問題得以解決。解答過程：證明：過 E 作 EG/AC交 BC于 G，則 EGB= ACB，又 AB=AC， B=ACB， B=EGB， EGD=DCF，EB=EG=CF， EDB= CDF， DGE DCF，DE=DF。解題后的思考： 此題的輔助線還可以有以下幾種作法：例 5：ABC中， BAC=60， C=40，AP平分 BAC交 BC于 P，BQ平分 ABC交 AC于 Q，求

8、證： AB+BP=BQ+AQ。思路分析 ：1）題意分析 ：本題考查全等三角形常見輔助線的知識(shí)：作平行線。2）解題思路 ：本題要證明的是AB+BP=BQ+AQ。形勢較為復(fù)雜，我們可以通過轉(zhuǎn)化的思想把左式和右式分別轉(zhuǎn)化為幾條相等線段的和即可得證。可過 O作BC的平行線。得 ADO AQO。得到 OD=OQ， AD=AQ，只要再證出 BD=OD就可以了。解答過程 ：證明：如圖（ 1），過 O作 OD BC交 AB于 D， ADO=ABC=180 60 40=80，又 AQO= C+QBC=80， ADO=AQO，又 DAO=QAO， OA=AO， ADO AQO，OD=OQ，AD=AQ，又 OD B

9、P， PBO=DOB，又 PBO=DBO， DBO=DOB，BD=OD，又 BPA= C+PAC=70，BOP= OBA+ BAO=70， BOP=BPO，BP=OB，AB+BP=AD+DB+BP=AQ+OQ+BO=AQ+BQ。解題后的思考：（1）本題也可以在 AB上截取 AD=AQ，連 OD，構(gòu)造全等三角形， 即“截長法”。（2）本題利用“平行法”的解法也較多，舉例如下：如圖（ 2），過 O作 ODBC交 AC于 D，則 ADO ABO從而得以解決。如圖（ 5），過 P 作 PDBQ交 AC于 D，則 ABP ADP從而得以解決。小結(jié)：通過一題的多種輔助線添加方法， 體會(huì)添加輔助線的目的在于

10、構(gòu)造全等三角形。而不同的添加方法實(shí)際是從不同途徑來實(shí)現(xiàn)線段的轉(zhuǎn)移的，體會(huì)構(gòu)造的全等三角形在轉(zhuǎn)移線段中的作用。從變換的觀點(diǎn)可以看到，不論是作平行線還是倍長中線，實(shí)質(zhì)都是對三角形作了一個(gè)以中點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心的旋轉(zhuǎn)變換構(gòu)造了全等三角形。（5）截長法與補(bǔ)短法，具體作法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長，使之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說明。這種作法，適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目。例 6：如圖甲， ADBC，點(diǎn) E 在線段 AB上， ADE=CDE， DCE= ECB。求證： CD=AD+BC。思路分析：1）題意分析：本題考查全等三角形常見輔助線的知識(shí)

11、：截長法或補(bǔ)短法。2）解題思路： 結(jié)論是 CD=AD+BC，可考慮用“截長補(bǔ)短法”中的“截長”，即在 CD上截取 CF=CB，只要再證 DF=DA即可，這就轉(zhuǎn)化為證明兩線段相等的問題，從而達(dá)到簡化問題的目的。解答過程 ：證明：在 CD上截取 CF=BC，如圖乙 FCE BCE（SAS）， 2=1。又 ADBC， ADC+BCD=180， DCE+CDE=90， 2+3=90， 1+4=90， 3=4。在 FDE與 ADE中， FDE ADE（ASA），DF=DA，CD=DF+CF，CD=AD+BC。解題后的思考： 遇到求證一條線段等于另兩條線段之和時(shí)， 一般方法是截長法或補(bǔ)短法：截長：在長線段

12、中截取一段等于另兩條中的一條， 然后證明剩下部分等于另一條；補(bǔ)短：將一條短線段延長，延長部分等于另一條短線段，然后證明新線段等于長線段。1）對于證明有關(guān)線段和差的不等式，通常會(huì)聯(lián)系到三角形中兩線段之和大于第三邊、之差小于第三邊，故可想辦法將其放在一個(gè)三角形中證明。2）在利用三角形三邊關(guān)系證明線段不等關(guān)系時(shí)，如直接證明不出來，可連接兩點(diǎn)或延長某邊構(gòu)成三角形， 使結(jié)論中出現(xiàn)的線段在一個(gè)或幾個(gè)三角形中， 再運(yùn)用三角形三邊的不等關(guān)系證明。小結(jié)：三角形圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對折看，對稱以后關(guān)系現(xiàn)。角平分線平行線，等腰三角形來添。角平分線加垂線，三線合一試試看。線段垂直平分線，常向兩端把

13、線連。線段和差及倍半，延長縮短可試驗(yàn)。線段和差不等式，移到同一三角形。三角形中兩中點(diǎn)，連接則成中位線。三角形中有中線，延長中線等中線。同步練習(xí)（答題時(shí)間： 90 分鐘）這幾道題一定要認(rèn)真思考啊，都是要添加輔助線的，開動(dòng)腦筋好好想一想吧！加油！你一定行！1、已知，如圖 1，在四邊形 ABCD中， BCAB， AD=DC，BD平分 ABC。求證： BAD+ BCD=180。2、已知，如圖 2， 1=2，P 為 BN上一點(diǎn)，且 PDBC于點(diǎn) D， AB+BC=2BD。求證： BAP+ BCP=180。3、已知，如圖 3，在 ABC中， C2 B， 1 2。求證： AB=AC+CD。試題答案1、分析：

14、因?yàn)槠浇堑扔?180，因而應(yīng)考慮把兩個(gè)不在一起的角通過全等轉(zhuǎn)化成為平角，圖中缺少全等的三角形，因而解題的關(guān)鍵在于構(gòu)造直角三角形，可通過“截長法或補(bǔ)短法”來實(shí)現(xiàn)。證明：過點(diǎn) D作 DE垂直 BA的延長線于點(diǎn)E，作 DF BC于點(diǎn) F，如圖 1-2 Rt ADERtCDF( HL) ， DAE=DCF。又 BAD+DAE=180， BAD+DCF=180，即 BAD+BCD=1802、分析：與 1 相類似，證兩個(gè)角的和是 180，可把它們移到一起，讓它們成為鄰補(bǔ)角，即證明 BCP=EAP，因而此題適用“補(bǔ)短”進(jìn)行全等三角形的構(gòu)造。證明：過點(diǎn) P 作 PE垂直 BA的延長線于點(diǎn)E，如圖 2-2 Rt

15、 APERtCPD(SAS)， PAE=PCD又 BAP+ PAE=180。 BAP+BCP=1803、分析：從結(jié)論分析，“截長”或“補(bǔ)短”都可實(shí)現(xiàn)問題的轉(zhuǎn)化，即延長AC至 E 使 CE=CD，或在 AB上截取 AF=AC。證明：方法一（補(bǔ)短法）延長 AC到 E，使 DC=CE，則 CDE CED，如圖 3-2 AFD ACD（SAS），DF=DC， AFD ACD。又 ACB2B， FDB B，F(xiàn)D=FB。AB=AF+FB=AC+FD，AB=AC+CD。4、證明：（方法一）將 DE兩邊延長分別交 AB、AC于 M、N，在 AMN中， AM+ANMD+DE+NE； 在 BDM中， MB+MDB

16、D；在 CEN中， CN+NECE； 由 +得：AM+AN+MB+MD+CN+NEMD+DE+NE+BD+CEAB+ACBD+DE+EC（方法二：圖 4-2 ）延長 BD交 AC于 F，延長 CE交 BF 于 G，在 ABF、 GFC和 GDE中有：AB+AFBD+DG+GFGF+FCGE+CEDG+GEDE由 +得：AB+AF+GF+FC+DG+GEBD+DG+GF+GE+CE+DEAB+ACBD+DE+EC。5、分析：要證 AB+AC2AD，由圖想到： AB+BDAD， AC+CDAD，所以有AB+AC+BD+CDAD+AD=2AD，左邊比要證結(jié)論多 BD+CD，故不能直接證出此題，而由

17、2AD想到要構(gòu)造 2AD，即加倍中線， 把所要證的線段轉(zhuǎn)移到同一個(gè)三角形中去 ACD EBD（SAS）BE=CA（全等三角形對應(yīng)邊相等）在 ABE中有： AB+BEAE（三角形兩邊之和大于第三邊）AB+AC2AD。6、分析：欲證 AC=BF，只需證 AC、 BF所在兩個(gè)三角形全等，顯然圖中沒有含有 AC、 BF的兩個(gè)全等三角形，而根據(jù)題目條件去構(gòu)造兩個(gè)含有 AC、BF 的全等三角形也并不容易。這時(shí)我們想到在同一個(gè)三角形中等角對等邊，能夠把這兩條線段轉(zhuǎn)移到同一個(gè)三角形中，只要說明轉(zhuǎn)移到同一個(gè)三角形以后的這兩條線段，所對的角相等即可。思路一、以三角形 ADC為基礎(chǔ)三角形，轉(zhuǎn)移線段 AC，使 AC、 BF在三角形BFH中方法一：延長 AD到 H，使得 DH=AD，連結(jié) BH，證明 ADC和 HDB全等，得AC=BH。通過證明 H=BFH，得到 BF=BH。 ADC HDB(SAS) AC=BH， H=HAC EA=EF HAE=AFE又 BFH=AFEBH=BFBF=AC方法二：過 B 點(diǎn)作 BH平行 AC，與 AD的延長線相交于點(diǎn) H，證明 ADC和 HD