常微分方程證明題(5)

1、常微分方程習(xí)題集（5）（五）證明題1. 試證：如果是滿足初始條件的解，那么.2. 設(shè)和是方程的任意兩個(gè)解，求證：它們的朗斯基行列式，其中為常數(shù)3. 假設(shè)不是矩陣的特征值，試證非齊線性方程組，有一解形如：，其中是常數(shù)向量.4. 設(shè)及連續(xù),試證方程為線性方程的充要條件是它有僅依賴與x的積分因子.5. 設(shè)在上連續(xù)，且，求證：方程的任意解均有.6. 試證:若已知黎卡提方程的一個(gè)特解,則可用初等積分法求它的通解.7. 階齊線性方程一定存在個(gè)線性無(wú)關(guān)解.8. 設(shè)是一階非齊次線性方程于區(qū)間上的任一解，是其對(duì)應(yīng)一階齊次線性方程于區(qū)間上的一個(gè)非零解。則含有任意常數(shù)C的表達(dá)式：是一階非齊次線性方程于區(qū)間上的全部解

2、的共同表達(dá)式。9. 設(shè)矩陣函數(shù)，在（a, b）上連續(xù)，試證明，若方程組與有相同的基本解組，則。10. 證明： 一個(gè)復(fù)值向量函數(shù)是（LH）的解的充要條件，它的實(shí)部和虛部都是（LH）的解。（五）、證明題參考答案 1. 試證：如果是滿足初始條件的解，那么.證明：因?yàn)槭堑幕窘饩仃嚕瞧浣?，所以存在常向量使得?， 令，則： ， 所以 ， 故 2. 設(shè)和是方程的任意兩個(gè)解，求證：它們的朗斯基行列式，其中為常數(shù)證明：設(shè)在區(qū)間上連續(xù)，由劉維爾公式可知，對(duì)任意，它們的朗斯基行列式滿足： ， 而在方程中，所以 ， 即 ， 3. 假設(shè)不是矩陣的特征值，試證非齊線性方程組，有一解形如：.其中是常數(shù)向量.證明：要證

3、是解，就是要證能夠確定常數(shù)向量，它使得 ， 即，成立。 亦即 ， 由于不是的特征值，故，從而存在逆矩陣， 那么可取向量 ， ， 這樣方程就有形如的解. 4. 設(shè)及連續(xù),試證方程為線性方程的充要條件是它有僅依賴與x的積分因子.證明：先證必要性，設(shè)方程為線性方程，即 ， 所以 ， ， 即它有僅依賴與x的積分因子，且 是其積分因子。再證充分性，因?yàn)樵诜匠?，中所?， 如果它有僅依賴與的積分因子，則是的函數(shù)，設(shè) 關(guān)于積分得：，是的可微函數(shù)，故方程可表為：是線性方程. 5. 設(shè)在上連續(xù)，且，求證：方程的任意解均有.證明：設(shè)為方程的任一解，它滿足初始值條件，由常數(shù)變易法有：， 于是 = 0 + 6. 試證

4、:若已知黎卡提方程的一個(gè)特解,則可用初等積分法求它的通解.證明：設(shè)為黎卡提方程的一個(gè)特解，則 ， 令，則有 整理得： 它是的伯努利方程，可用初等積分法求它的通解. 7. 階齊線性方程一定存在個(gè)線性無(wú)關(guān)解.證明：設(shè)的系數(shù)矩陣在區(qū)間上連續(xù)，任意取定一點(diǎn)和個(gè)線性無(wú)關(guān)的維常向量。 對(duì)于每一個(gè)，以表示滿足初始條件的解向量。 由存在與唯一性定理可知，此解向量在區(qū)間上存在且有定義。 由于常向量組是線性無(wú)關(guān)的，從而向量函數(shù)組于區(qū)間上線性無(wú)關(guān). 8. 設(shè)是一階非齊次線性方程于區(qū)間上的任一解，是其對(duì)應(yīng)一階齊次線性方程于區(qū)間上的一個(gè)非零解。則含有任意常數(shù)的表達(dá)式：是一階非齊次線性方程于區(qū)間上的全部解的共同表達(dá)式。證

5、明：將直接代入一階非齊次線性方程可知，對(duì)任意常數(shù)，都是一階非齊次線性方程的解。 反之，設(shè)是一階非齊次線性方程的任一解，則是其對(duì)應(yīng)齊次方程的解。 任取，由于是其對(duì)應(yīng)一階齊次線性方程于區(qū)間上的一個(gè)非零解，所以。 令，則 和都是其對(duì)應(yīng)齊次方程的解，并且在時(shí)取相同的值，故由初值問(wèn)題解的唯一性知，應(yīng)有，即。9. 設(shè)矩陣函數(shù)，在（a, b）上連續(xù)，試證明，若方程組與在（a, b）上有相同的基本解組，則，.證明：因?yàn)榉匠探M與在（a, b）上有相同的基本解組，所以可設(shè)是其基本解矩陣。 從而有： ， 與 ，成立。 所以 ， 又由于是其基本解矩陣，所以，即可逆，故，. 10. 證明： 一個(gè)復(fù)值向量函數(shù)是（LH）的解的充要條件，它的實(shí)部和虛部都是