(完整版)排列組合知識點總結+典型例題及答案解析

1、排列組合知識點總結 +典型例題及答案解析一基本原理1加法原理：做一件事有n 類辦法，則完成這件事的方法數等于各類方法數相加。2乘法原理：做一件事分n 步完成，則完成這件事的方法數等于各步方法數相乘。注：做一件事時，元素或位置允許重復使用，求方法數時常用基本原理求解。二 排列：從n 個不同元素中，任取m（ m n ）個 元素，按照一定的順序排成一列，叫做從 n個不同元素中取出m個元素的一個排列，所有排列的個數記為Anm .1. 公式： 1. Anmn n 1 n 2n m 1n!nm !2.規(guī)定： 0!1(1) n!n( n1)!,( n1)n!(n1)!(2)nn!( n1)1n!(n1)n!

2、n!(n1)!n! ；(3)nn1 1n1111(n1)!(n1)!( n1)!(n 1)!n!( n 1)!三組合：從 n 個不同元素中任取m（mn）個元素并組成一組，叫做從n 個不同的 m 元素中任取 m 個元素的組合數，記作Cn 。1. 公式：CnmA nmn n1nm1n!C n01A mmm!m! nm !2.組合數性質：C nmC nnmC nmCnm 1C nm1 C n0C n1C nn2n；注： CrrCrr1Crr2L Cnr1CnrCrr11Crr1Crr2 L Cnr1CnrCrr21Crr2L Cnr1 CnrCnr11若 Cnm1Cnm2 m1 =m 2 m1+m

3、2n四處理排列組合應用題1.明確要完成的是一件什么事 （審題）有序還是無序分步還是分類。2解排列、組合題的基本策略（1）兩種思路：直接法；間接法：對有限制條件的問題，先從總體考慮，再把不符合條件的所有情況去掉。這是解決排列組合應用題時一種常用的解題方法。（2）分類處理：當問題總體不好解決時， 常分成若干類， 再由分類計數原理得出結論。注意：分類不重復不遺漏。即：每兩類的交集為空集，所有各類的并集為全集。（3）分步處理：與分類處理類似，某些問題總體不好解決時，常常分成若干步，再由分步計數原理解決。 在處理排列組合問題時， 常常既要分類， 又要分步。其原則是先分類，后分步。（4）兩種途徑：元素分析

4、法；位置分析法。3排列應用題：（1）窮舉法（列舉法）：將所有滿足題設條件的排列與組合逐一列舉出來；(2)、特殊元素優(yōu)先考慮、特殊位置優(yōu)先考慮；（3）相鄰問題：捆邦法：對于某些元素要求相鄰的排列問題，先將相鄰接的元素“捆綁”起來，看作一“大”元素與其余元素排列，然后再對相鄰元素內部進行排列。（4）、全不相鄰問題，插空法：某些元素不能相鄰或某些元素要在某特殊位置時可采用插空法. 即先安排好沒有限制條件的元素，然后再將不相鄰接元素在已排好的元素之間及兩端的空隙之間插入。（5）、順序一定，除法處理。先排后除或先定后插解法一：對于某幾個元素按一定的順序排列問題，可先把這幾個元素與其他元素一同進行全排列，

5、然后用總的排列數除于這幾個元素的全排列數。即先全排，再除以定序元素的全排列。解法二：在總位置中選出定序元素的位置不參加排列，先對其他元素進行排列，剩余的幾個位置放定序的元素， 若定序元素要求從左到右或從右到左排列，則只有 1 種排法；若不要求，則有 2 種排法；（6）“小團體”排列問題采用先整體后局部策略對于某些排列問題中的某些元素要求組成“小團體”時，可先將“小團體”看作一個元素與其余元素排列，最后再進行“小團體”內部的排列。（7）分排問題用“直排法”把元素排成幾排的問題，可歸納為一排考慮，再分段處理。（8）數字問題（組成無重復數字的整數） 能被 2 整除的數的特征：末位數是偶數；不能被2

6、整除的數的特征：末位數是奇數。能被 3 整除的數的特征：各位數字之和是3 的倍數；能被 9 整除的數的特征：各位數字之和是9 的倍數能被4 整除的數的特征：末兩位是4的倍數。能被 5 整除的數的特征：末位數是0 或 5。能被 25 整除的數的特征：末兩位數是25，50，75。能被 6 整除的數的特征：各位數字之和是 3 的倍數的偶數。4組合應用題：（ 1）. “至少”“至多”問題用間接排除法或分類法:（2） “含”與“不含”用間接排除法或分類法:3分組問題：均勻分組：分步取，得組合數相乘，再除以組數的階乘。即除法處理。非均勻分組：分步取，得組合數相乘。即組合處理?；旌戏纸M：分步取，得組合數相乘

7、，再除以均勻分組的組數的階乘。4分配問題：定額分配：（指定到具體位置）即固定位置固定人數，分步取，得組合數相乘。隨機分配：（不指定到具體位置）即不固定位置但固定人數，先分組再排列，先組合分堆后排，注意平均分堆除以均勻分組組數的階乘。5隔板法：不可分辨的球即相同元素分組問題例 1. 電視臺連續(xù)播放 6 個廣告，其中含 4 個不同的商業(yè)廣告和2 個不同的公益廣告，要求首尾必須播放公益廣告，則共有種不同的播放方式（結果用數值表示） .解：分二步：首尾必須播放公益廣告的有2種；中間 4 個為不同的商業(yè)廣告有4種，從而A2A42448. 從而應填 48應當填 A·A24例 3.6 人排成一行，

8、甲不排在最左端，乙不排在最右端，共有多少種排法？解一：間接法：即A66A55A55A447202 12024504解二：（ 1）分類求解：按甲排與不排在最右端分類.(1)甲排在最右端時 , 有 A55 種排法； (2)甲不排在最右端（甲不排在最左端）時，則甲有A14種排法，乙有1種排法，其他人有4種排法，共有114種排法，分類相加得共有44444AAAAAA55 + A41 A14 A44 =504 種排法例. 有 4 個男生， 3 個女生，高矮互不相等，現將他們排成一行，要求從左到右，女生從矮到高排列，有多少種排法？分析一：先在 7 個位置上任取 4 個位置排男生，有 A47 種排法 . 剩

9、余的 3 個位置排女生，因要求“從矮到高”，只有 1 種排法，故共有 A47 · 1=840種.1. 從 4 臺甲型和 5 臺乙型電視機中任取 3 臺，其中至少要甲型和乙型電視機各一臺，則不同的取法共有解析 1：逆向思考，至少各一臺的反面就是分別只取一種型號，不取另一種型號的電視機，故不同的取法共有C93C43C5370 種, 選. C解析 2：至少要甲型和乙型電視機各一臺可分兩種情況：甲型1 臺乙型 2 臺；甲型 2 臺乙型1 臺；故不同的取法有 C52C14C51C4270 臺, 選 C .2從 5 名男生和 4 名女生中選出4 人去參加辯論比賽（1）如果 4 人中男生和女生各選

10、2 人，有種選法；（2）如果男生中的甲與女生中的乙必須在內，有種選法；（3）如果男生中的甲與女生中的乙至少要有1 人在內，有種選法；（4）如果 4 人中必須既有男生又有女生，有種選法分析：本題考查利用種數公式解答與組合相關的問題. 由于選出的人沒有地位的差異，所以是組合問題 .解：（1）先從男生中選 2 人，有 C52 種選法，再從女生中選 2 人，有 C42 種選法，所以共有 C52C42 =60（種）；（2）除去甲、乙之外，其余 2 人可以從剩下的7 人中任意選擇， 所以共有 C22C72 =21（種）；（3）在 9 人選 4 人的選法中，把甲和乙都不在內的去掉， 得到符合條件的選法數：

11、C94C74 =91（種）；直接法，則可分為3 類：只含甲；只含乙；同時含甲和乙，得到符合條件的方法數C11 C73C11C73C22 C72C73C73C72 =91（種） .（4）在 9 人選 4 人的選法中，把只有男生和只有女生的情況排除掉，得到選法總數C94C54C44 =120（種） .直接法：分別按照含男生1、2、3 人分類，得到符合條件的選法為C51C43C52C42C53C 14 =120（種） .16 個人分乘兩輛不同的汽車，每輛車最多坐4 人，則不同的乘車方法數為()A40B50C60D7023C 解析 先分組再排列，一組 2 人一組 4 人有 C15 種不同的分法；兩組各

12、63 人共有 2106A2種不同的分法，所以乘車方法數為25×250，故選 B.2有 6 個座位連成一排，現有3 人就坐，則恰有兩個空座位相鄰的不同坐法有()A36 種B48 種 C 72 種D96 種 解析 恰有兩個空座位相鄰，相當于兩個空位與第三個空位不相鄰，先排三個人，然后插32空，從而共 A3 A472 種排法，故選 C.3只用 1,2,3 三個數字組成一個四位數，規(guī)定這三個數必須同時使用，且同一數字不能相鄰出現，這樣的四位數有()A6 個B9 個C18 個D36 個 解析 注意題中條件的要求，一是三個數字必須全部使用，二是相同的數字不能相鄰，選1種) 選法，即 1231,1

13、232,1233，而每種選擇有22種) 排法，所以四個數字共有 C3 3(A2×C36(共有 3×618( 種) 情況，即這樣的四位數有18 個4男女學生共有8 人，從男生中選取2 人，從女生中選取1 人，共有 30 種不同的選法，其中女生有 ()A2人或 3人B 3人或 4人C3人D4人21 解析 設男生有 n 人，則女生有 (8 n) 人，由題意可得CnC8n30，解得 n5 或 n6，代入驗證，可知女生為2 人或 3 人5某幢樓從二樓到三樓的樓梯共10 級，上樓可以一步上一級，也可以一步上兩級，若規(guī)定從二樓到三樓用8 步走完，則方法有 ()A45 種B36 種C28

14、種D25 種 解析 因為 10÷8 的余數為 2，故可以肯定一步一個臺階的有6 步，一步兩個臺階的有22步，那么共有 C828 種走法6某公司招聘來 8 名員工，平均分配給下屬的甲、乙兩個部門，其中兩名英語翻譯人員不能分在同一個部門，另外三名電腦編程人員也不能全分在同一個部門，則不同的分配方案共有()A24 種B36 種 C 38 種D108 種解析本題考查排列組合的綜合應用，據題意可先將兩名翻譯人員分到兩個部門，共有2種方法，第二步將3 名電腦編程人員分成兩組，一組1種分法，然后1 人另一組 2 人，共有 C3123 人分成兩組，一組 1 人另一組 2 人即再分到兩部門去共有 CA

15、種方法，第三步只需將其他32可，由于是每個部門各4 人，故分組后兩人所去的部門就已確定，故第三步共有1C3種方法，由分步乘法計數原理共有1212CA C36(種) 3237已知集合 A5 ，B1,2 ，C1,3,4 ，從這三個集合中各取一個元素構成空間直角坐標系中點的坐標，則確定的不同點的個數為()A33B34C35D36解析所得空間直角坐標系中的點的坐標中不含1312 個；1的有 C·A23所得空間直角坐標系中的點的坐標中含有1331個1的有 C2·A3A318 個；所得空間直角坐標系中的點的坐標中含有13 個2個1的有 C3故共有符合條件的點的個數為1218333 個，

16、故選 A.8由 1、2、3、4、5、6 組成沒有重復數字且1、3 都不與 5 相鄰的六位偶數的個數是()A72B96C 108D144解析 分兩類：若 1 與21223336(個)3 相鄰，有 A·CA A72(個) ，若 1 與 3 不相鄰有 A ·A232333故共有 7236108 個9如果在一周內 ( 周一至周日 ) 安排三所學校的學生參觀某展覽館，每天最多只安排一所學校，要求甲學校連續(xù)參觀兩天，其余學校均只參觀一天，那么不同的安排方法有()A50 種B60 種C120 種D210 種解析先安排甲學校的參觀時間， 一周內兩天連排的方法一共有6 種：(1,2)、(2,

17、3) 、(3,4)、(4,5) 、(5,6)、(6,7)1天中任選 2 天有序地安排其余兩所，甲任選一種為 C，然后在剩下的 56212學校參觀，安排方法有 A5種，按照分步乘法計數原理可知共有不同的安排方法C6·A5120 種，故選 C.10安排 7 位工作人員在 5 月 1 日到 5 月 7 日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不能安排在 5 月 1 日和 2 日，不同的安排方法共有_種 ( 用數字作答 )解析25先安排甲、乙兩人在后 5 天值班，有 A520( 種) 排法，其余 5 人再進行排列， 有 A5120( 種) 排法，所以共有20×1202400( 種)

18、安排方法11今有 2 個紅球、3 個黃球、4 個白球，同色球不加以區(qū)分，將這 9 個球排成一列有 _種不同的排法 ( 用數字作答 )解析423種)由題意可知，因同色球不加以區(qū)分，實際上是一個組合問題， 共有 C9·C5·C3 1260(排法12將 6 位志愿者分成 4 組，其中兩個組各2 人，另兩個組各1 人，分赴世博會的四個不同場館服務，不同的分配方案有 _種( 用數字作答 ) 22解析C6C4先將 6 名志愿者分為 4 組，共有 2種分法，再將 4 組人員分到 4 個A2224C6· C44不同場館去，共有 A4種分法，故所有分配方案有：2·A41

19、080 種A213要在如圖所示的花圃中的5 個區(qū)域中種入 4 種顏色不同的花， 要求相鄰區(qū)域不同色，有_種不同的種法 ( 用數字作答 ) 解析5 有 4 種種法， 1 有 3 種種法， 4 有 2 種種法若 1、3 同色， 2 有 2 種種法，若 1、3 不同色， 2 有 1 種種法，有 4×3×2×(1 ×21×1) 72 種14. 將標號為 1，2，3，4，5，6 的 6 張卡片放入3 個不同的信封中若每個信封放張，其中標號為1，2 的卡片放入同一信封，則不同的方法共有（A）12 種（B）18 種（C）36 種（D）54 種【解析】標號1,

20、2 的卡片放入同一封信有種方法；其他四封信放入兩個信封，每個信封兩2個有種方法，共有種，故選 B.15. 某單位安排 7 位員工在 10 月 1 日至 7 日值班，每天 1 人，每人值班 1 天，若 7 位員工中的甲、乙排在相鄰兩天，丙不排在 10 月 1 日，丁不排在 10 月 7 日，則不同的安排方案共有A.504種B.960種C.1008種D.1108種解析：分兩類：甲乙排1、2號或6、7號 共有2A22 A14 A44 種方法甲乙排中間, 丙排7 號或不排7 號，共有4 A22 ( A44A31 A31 A33 )種方法故共有1008 種不同的排法排列組合二項式定理1，分類計數原理完成

21、一件事有幾類方法，各類辦法相互獨立每類辦法又有多種不同的辦法（每一種都可以獨立的完成這個事情）分步計數原理完成一件事，需要分幾個步驟，每一步的完成有多種不同的方法2，排列排列定義：從n 個不同元素中，任取m（ m n）個元素（被取出的元素各不相同），按照一定的順序排成一列，叫做從n 個不同元素中取出m個元素的一個排列。m排列數定義；從n 個不同元素中，任取m（mn）個元素的所有排列的個數Anmn!公式An = (nm)!規(guī)定 0！ =13，組合組合定義從 n 個不同元素中，任取m（mn）個元素并成一組，叫做從n 個不同元素中取出m個元素的一個組合m組合數從 n 個不同元素中，任取m（mn）個元

22、素的所有組合個數Cnm =n!C nm!( nm)!mn mmmm 1性質Cn=CnCn 1CnC n排列組合題型總結一直接法1 .特殊元素法例 1 用 1，2 ，3 ，4 ，5 ，6 這 6 個數字組成無重復的四位數，試求滿足下列條件的四位數各有多少個（1）數字 1 不排在個位和千位（ 2）數字 1 不在個位，數字 6 不在千位。分析：（1）個位和千位有5 個數字可供選擇 A52 ，其余 2 位有四個可供選擇A42 ，由乘法原理：A52 A42 =2402特殊位置法（2）當 1 在千位時余下三位有A53 =60 ，1 不在千位時，千位有A14 種選法，個位有A14 種，余下的有 A42 ，共

23、有 A41A14 A42 =192所以總共有192+60=252二 間接法當直接法求解類別比較大時，應采用間接法。如上例中（2）可用間接法A642A53A42 =252例：有五張卡片，它的正反面分別寫0 與1 ，2與3， 4與 5，6與7 ，8與9 ，將它們任意三張并排放在一起組成三位數，共可組成多少個不同的三位數？分析：任取三張卡片可以組成不同的三位數C 5323A33 個，其中0 在百位的有C 4222A22 個，這是不合題意的。故共可組成不同的三位數C 5323A33 - C4222A22 =432例： 三個女生和五個男生排成一排（1）女生必須全排在一起有多少種排法（捆綁法）（2）女生必

24、須全分開（插空法須排的元素必須相鄰）（3）兩端不能排女生（4）兩端不能全排女生（5）如果三個女生占前排，五個男生站后排，有多少種不同的排法二插空法當需排元素中有不能相鄰的元素時，宜用插空法。例 3在一個含有 8 個節(jié)目的節(jié)目單中， 臨時插入兩個歌唱節(jié)目， 且保持原節(jié)目順序， 有多少中插入方法？分析：原有的 8 個節(jié)目中含有 9 個空檔，插入一個節(jié)目后， 空檔變?yōu)?10 個，故有 A19A101 =100中插入方法。三捆綁法當需排元素中有必須相鄰的元素時，宜用捆綁法。1四個不同的小球全部放入三個不同的盒子中，若使每個盒子不空，則不同的放法有種（ C42 A33 ）,2，某市植物園要在30 天內接

25、待 20 所學校的學生參觀， 但每天只能安排一所學校，其中有一所學校人數較多，要安排連續(xù)參觀2 天，其余只參觀一天，則植物園 30 天內不同的安排方法有（ C 291A2819 ）（注意連續(xù)參觀 2 天，即需把 30天種的連續(xù)兩天捆綁看成一天作為一個整體來選有C291 其余的就是 19所學校選 28 天進行排列）四閣板法名額分配或相同物品的分配問題，適宜采閣板用法例 5 某校準備組建一個由 12 人組成籃球隊，這 12 個人由 8 個班的學生組成， 每班至少一人，名額分配方案共種。分析：此例的實質是12 個名額分配給 8 個班，每班至少一個名額，可在12 個名額種的 11 個空當中插入 7 塊閘板，一種插法對應一種名額的分配方式，故有C117 種五 平均分推問題例： 6 本不同的書按一下方式處理，各有幾種分發(fā)？（1）平均分成三堆，（2）平均分給甲乙丙三人（3）一堆一本，一堆兩本，一對三本（4）甲得一本，乙得兩本，丙得三本（一種分組對應一種方案）（5）一人的一本，一人的兩本，一人的三本分析： 1，分出三堆書（ a1 ,a2 ） ,(a3 ,a4)，（ a5,a6 ）由順序不同可以有A33 =6 種，而這6 種分法只算一種分堆方式，故 6 本不同的書平均分成三堆方式有C62 C42C22=15 種A332，六本不同的書，平均分成三堆有x