物理競賽復(fù)賽模擬訓(xùn)練卷1

1、物理競賽復(fù)賽模擬訓(xùn)練卷1一. (20分在用質(zhì)子(11P 轟擊固定鋰(73Li 靶的核反應(yīng)中,(1計算放出粒子的反應(yīng)能。(2如果質(zhì)子能量為1兆電子伏特,問在垂直質(zhì)子束的方向觀測到粒子的能量大約有多大? 有關(guān)原子核的質(zhì)量如下:H 11,1.007825;He 42,4.002603;Li 73,7.015999。二.(20分2mol 初始溫度為270C ,初始體積為20L 的氦氣,先等壓膨脹到體積加倍,然后是絕熱膨脹回到初始溫度。(1在P V 圖上畫出過程方程;(2在這一過程中系統(tǒng)總吸收熱量等于多少?(3氦氣對外界做的總功等于多少?其中絕熱膨脹過程對外界做功是多少?三.(15分觀測者S 測得兩個事

2、件的空間和時間間隔分別為600m 和8×10-7s ,而觀測者S 1測得這兩個事件同時發(fā)生。試求S 1相對S 的速度,以及S 1測得這兩個事件的空間距離。四.(20分神奇的自聚焦透鏡:自聚焦透鏡依靠折射率的恰當(dāng)變化對近軸光線成像。該透鏡呈圓柱狀,截面半徑為R ,長為l 。其折射率在截面內(nèi)延半徑方向呈拋物線狀連續(xù)變小,可表示為211(22202r a n n r -= 式中n 0為中心的折射率,a 為比1小得多的正數(shù)。(1 求從圓心入射與圓柱平面夾角為0的光線在自聚焦透鏡內(nèi)傳播的軌跡方程。 (2 平行于z 軸的平行入射光經(jīng)過自聚焦透鏡后交匯于一點,求自聚焦透鏡的焦距。 五.(20分如圖

3、所示,有二平行金屬導(dǎo)軌,相距l(xiāng) ,位于同一水平面內(nèi)(圖中紙面,處在磁感應(yīng)強度為B 的勻強磁場中,磁場方向豎直向下(垂直紙面向里.質(zhì)量均為m 的兩金屬桿ab 和cd 放在導(dǎo)軌上,與導(dǎo)軌垂直.初始時刻, 金屬桿ab 和cd 分別位于x = x 0和x = 0處。假設(shè)導(dǎo)軌及金屬桿的電阻都為零,由兩金屬桿與導(dǎo)軌構(gòu)成的回路的自感系數(shù)為L 。今對金屬桿cd 施以沿導(dǎo)軌向右的瞬時沖量,使它獲得初速v 0.設(shè)導(dǎo)軌足夠長,x 0也足夠大,在運動過程中,兩金屬桿之間距離的變化遠小于兩金屬桿的初始間距x 0,因而可以認為在桿運動過程中由兩金屬桿與導(dǎo)軌構(gòu)成的回路的自感系數(shù)L 是恒定不變的。桿與導(dǎo)軌之間摩擦可不計。求兩

4、桿之間的距離第一次達到最大值時導(dǎo)軌構(gòu)成的回路中的電流i 。(由第21屆復(fù)賽試題改編 六.(20分兩個相同質(zhì)量為M ,半徑為a的粗糙的均質(zhì)圓柱體置于粗糙的水平面上,兩軸線相距,第三個半徑為a 、質(zhì)量為2M 的粗糙均質(zhì)圓柱體對稱地置于上述兩個圓柱體上面。要使三圓 柱體保持平衡狀態(tài),圓柱體之間的摩擦因數(shù)1和圓柱體與水平面之間的摩擦因數(shù)2應(yīng)滿足什么條件?大題典力學(xué)上 P425七.(20分如圖所示,兩平行的電極板之間形成一均勻的電場E,在此電場上另加有一均勻的磁場B,其方向為向內(nèi)垂直于紙面,兩者構(gòu)成一均勻的正交電磁場。現(xiàn)有一質(zhì)量為m ,帶有正電量q的粒子,從左方沿著平行于兩極板之間的中央平分線(即向著+

5、x 方向,且垂直于磁場的方向,以速度v 射入此正交電磁場內(nèi)?；卮鹣铝袉栴}:1.若入射粒子的速度值恰好等于某一特定值0v ,則此粒子將沿同一直線作等速度運動,試求此0v 值。2.若粒子的入射速度v ,不等于0v ,則該粒子的運動軌跡將不會是一條直線,那么粒子的入射速度v 為何值時,有可能使該粒子在整個運動過程中,會出現(xiàn)逆轉(zhuǎn)向左方運動的情形(即向著-x 方向運動?3.承2小題,分成下列兩種情況,分別導(dǎo)出帶電粒子的運動軌跡方程式,并畫出其圖形: (i 若0v v > (ii 若00v v <<。八.(25分一宇宙飛船圍繞質(zhì)量為M 的恒星作半徑為r 0的圓周運動,宇宙飛船的發(fā)動機可以

6、迅速點燃起動,使速度瞬間改變v ,點燃的方位用飛船速度v 和v 之間的夾角來說明(如圖所示。為了節(jié)省燃料,在連續(xù)N 次點燃中,希望v =1|Nii v =減至最小,稱v 叫做比沖量。(1假設(shè)我們要利用飛船的發(fā)動機逃離這個恒星,且發(fā)動機只點燃一次,需要的最少的比沖量有多大?在什么方位點燃?(2假設(shè)我們希望在半徑r 1(r 1>r 0圓軌道上視察一顆行星,讓發(fā)動機再次點燃,達到該行星軌道所需要的最小比沖量多大?(3假如我們要使飛船撞上恒星(假定恒星的半徑可忽略,對下列兩種點火策略計算最小比沖量:A 、在=1800一次迅速點燃;B 、在=00第一次迅速點燃,然后在晚些時候在=1800第二次點燃

7、,為使總的比沖量最小,如何選擇第二次點燃的時間和每次點燃的強度(即速度的改變量。 參考答案一.解:(1核反應(yīng)方程如下:He He P Li 42421173+ 靜質(zhì)量 0M 1M 3M 2M動 能0E 1E 3E 2E由總質(zhì)量和總能量守恒:233222211200c E M c E M c E M c E M +=+由反應(yīng)能Q 的定義得:(1032E E E E Q +-+=23210(c M M M M +-+=.7(-= 35.17=MeV其中:28272/10997925.2(1066.1(1秒米千克=-cu6105.931=MeV(2設(shè)鋰靶是靜止的,根據(jù)動量守恒,可知,反應(yīng)所產(chǎn)生的兩個

8、相同的粒子(He 42核,應(yīng)沿入射質(zhì)子的方向?qū)ΨQ分開,如圖51-21所示。由動量守恒定律有321p p p +=1p矢量321,p p p 合成的三角形,兩底角皆為,又因32M M =,因而有32E E =已知反應(yīng)能Q=17.35 MeV ,且132E E E Q -+=其中11=E MeV ,可得(21132E Q E E += 135.17(21+=9.175 MeV即反應(yīng)所生成的粒子其能量為9.175 MeV 。粒子飛出方向與入射質(zhì)子的方向之間的夾角為,因此 cos 221222123p p P P P -+=由于ME P22=,得:cos 22121221133E E M M E M

9、E M E M -+=代入反應(yīng)能Q 的定義式:132E E E Q -+=- +=將上式中質(zhì)量數(shù)改為質(zhì)量比得其中11=A ,432=A A ,代入上式:cos 4322112E E E E Q -=所以 2112432c o s E E E Q E -=4335.17175.92=-=所以 6185'= 由此可知,在垂直于質(zhì)子束的方向上觀察到He 42的能量近似就是9.175 MeV 。 五解:設(shè)在任意時刻t ,ab 桿和cd 桿的速度分別為v 1和v 2(相對地面參考系S ,當(dāng)v 1、v 2為正時,表示速度沿x 軸正方向;若規(guī)定逆時針方向為回路中電流和電動勢的正方向,則因兩桿作切割磁

10、力線的運動而產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢(21v v -=Bl E(1當(dāng)回路中的電流i 隨時間的變化率為t i 時,回路中的自感電動勢ti LL -=E (2根據(jù)歐姆定律,注意到回路沒有電阻,有0=+L E E(3金屬桿在導(dǎo)軌上運動過程中,兩桿構(gòu)成的系統(tǒng)受到的水平方向的合外力為零,系統(tǒng)的質(zhì)心作勻速直線運動.設(shè)系統(tǒng)質(zhì)心的速度為V C ,有 C mV m 20=v(4得2v =C V (5V C 方向與v 0相同,沿x 軸的正方向.現(xiàn)取一新的參考系S ',它與質(zhì)心固連在一起,并把質(zhì)心作為坐標(biāo)原點O ',取坐標(biāo)軸x O ''與x 軸平行.設(shè)相對S '系,金屬桿ab 的速度

11、為u ,cd 桿的速度為u ',則有 u V C +=1v (6u V C '+=2v(7因相對S '系,兩桿的總動量為零,即有0='+u m mu (8由(1、(2、(3、(5、(6 、(7 、(8各式,得ti LBlu =2 (9在S '系中,在t 時刻,金屬桿ab 坐標(biāo)為x ',在t +t 時刻,它的坐標(biāo)為x x '+',則由速度的定義tx u '=(10代入 (9 式得i L x Bl ='2 (11若將x '視為i 的函數(shù),由(11式知i x '為常數(shù),所以x '與i 的關(guān)系可用一

12、直線方程表示b i BlLx +='2 (12式中b 為常數(shù),其值待定.現(xiàn)已知在t =0時刻,金屬桿ab 在S '系中的坐標(biāo)x '=021x ,這時i = 0,故得0212x i Bl L x +=' (13或 -'=0212x x L Bl i (14021x 表示t =0時刻金屬桿ab 的位置.x '表示在任意時刻t ,桿ab 的位置,故 -'021x x 就是桿ab 在t 時刻相對初始位置的位移,用X 表示,021x x X -'= (15當(dāng)X >0時,ab 桿位于其初始位置的右側(cè);當(dāng)X <0時,ab 桿位于其初

13、始位置的左側(cè).代入(14式,得X LBli 2=(16這時作用于ab 桿的安培力X Ll B iBl F 222-=-= (17ab 桿在初始位置右側(cè)時,安培力的方向指向左側(cè);ab 桿在初始位置左側(cè)時,安培力的方向指向右側(cè),可知該安培力具有彈性力的性質(zhì).金屬桿ab 的運動是簡諧振動,振動的周期Ll B mT 2222=(18在任意時刻t , ab 桿離開其初始位置的位移+=t T A X 2cos (19 A 為簡諧振動的振幅, 為初相位,都是待定的常量.通過參考圓可求得ab 桿的振動速度+ -=t T T A u 2sin 2 (20(19、(20式分別表示任意時刻ab 桿離開初始位置的位移

14、和運動速度.現(xiàn)已知在t =0時刻,ab 桿位于初始位置,即X = 0 速度00002121v v v v =-=-=C V u故有cos 0A =sin 220-=T A v 解這兩式,并注意到(18式得23=(2122400mLBlT A vv = (22由此得ab 桿的位移t TmL Bl t TmL BlX 2sin 22232cos 2200v v = +=(23由參考圓可以知道,經(jīng)過t=3T/4時間,兩桿距離第一次達到最大值?；芈分械碾娏饔?16 式得 Lmv T T (sin mL Bl v L Bl X L Bl i 0243222220=×=七.解:帶電粒子在電磁場中

15、所受的電力E F qE = ;所受的磁力M F qv B =,故粒子所受的合力為(E M F F F q E v B =+=+若該粒子沿直線作等速度運動,則0F =,其速度0v 必須滿足下列條件:00E v B += 000E E v B v B-=(1 若0v v ,則入射粒子的速度可寫為(00v v v v -+=,即可分成兩個速度分量0v 和0v v-,前者使粒子沿直線作等速度運動,后者使粒子受到磁力的作用,而作等速率圓周運動。粒子的運動方程式可寫為(00000(F qE q v v v Bq E v B q v v B q v v B=+-=+-=-粒子的運動軌跡為上述等速度直線運動和

16、等速率圓周運動的合成。單就等速率圓周運動而言,上式中的速度分量0v v-所引起的磁力,提供粒子作圓周運動所需的向心力,設(shè)其圓軌跡的半徑為R ,若0v v >,則圓心位在x 軸的上方,得 200(m v v q v v B R -=- 0(m v v R qB-= 圓周運動的角頻率為0v v qBR m-=。粒子在x 方向的速度分量是由等速度直線運動的o v 和等速率圓周運動的x 軸速度分量共同決定,即00(x x v v v v =+-。等速率圓周運動的x 軸速度分量,向 -x 方向的最大速度值為o v v -,故v x 的最小值為min 000(2x v v v v v v =-=-。

17、因此若欲使粒子的運動轉(zhuǎn)向-x 方向,則需滿足下列的條件:min 002(202x Ev v v v v B=-<>= (2 由于粒子的運動軌跡為等速度直線運動和等速率圓周運動的合成,因此可先分別求出這兩個運動在x 和y 方向的位移,再求其合位移。 (i 若0v v > 等速度直線運動: 1010x v ty =等速率圓周運動:由于00v v ->,故粒子沿逆時鐘方向作圓運動,圓心位在x 軸的上方。參考上圖,由圖上的幾何關(guān)系可得 22sin cos x R ty R R t =-粒子軌跡的參數(shù)方程式為 12012sin cos x x x v t R ty y y R R

18、 t =+=+=+=-上式為擺線方程式。粒子的軌跡圖形可分成三種情況,如下所述: (102v v >(粒子會出現(xiàn)向-x 方向的運動下左圖 (202v v =(粒子的運動方向恒朝向+x 方向下右圖 (3 2 v 0 > v > v 0 （粒子的運動方向恒朝向+x 方向） y O x (ii 若 v < v0 等速度直線運動： í ì x1 = v 0 t î y1 = 0 等速率圓周運動： 由于 v - v 0 < 0 ，故粒子沿逆時鐘方向作圓運動，圓心位在 x 軸的下方。參考下圖，可得 ì x 2 = - R ¢ sin w t í î y 2 = - ( R ¢ - R ¢ co