高中數(shù)學(xué)第1章1.1命題及其關(guān)系1.1.1四種命題講義(含解析)蘇教版選修2_1

1、1. 1.1 四種命題命題的概念入門皋解觀察下列語句的特點(diǎn)：(1)這幅畫真漂亮！(2)求證/是無理數(shù)；(3)菱形是平行四邊形嗎？(4)等腰三角形的兩底角相等；(5) x>2 012 ;(6)若 x2= 2 012 2,貝U x=2 012.問題：在這些語句中哪些能判斷出真假，哪些不能判斷出真假.提示：(2)(3)(5)不能判斷真假；(6)能判斷真假.1 .能夠判斷真假的語句叫做命題.真命題：判斷為真的命題.2 .命題一*假命題：判斷為彳艮典命題.四種命題及其關(guān)系觀察下列四個(gè)命題：(1)若兩個(gè)三角形全等，則這兩個(gè)三角形相似；(2)若兩個(gè)三角形相似，則這兩個(gè)三角形全等；(3)若兩個(gè)三角形不全

2、等，則這兩個(gè)三角形不相似；(4)若兩個(gè)三角形不相似，則這兩個(gè)三角形不全等.問題：命題(1)與命題(2)、(3)、(4)的條件和結(jié)論之間分別有什么關(guān)系？提示：命題(1)的條件是命題(2)的結(jié)論，且命題(1)的結(jié)論是命題(2)的條件.對(duì)于命題(1)和(3) .其中一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的條件的否定和結(jié)論 的否定；對(duì)于命題(1)和(4) .其中一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論的否定和條件 的否定.3 .四種命題的概念(1)如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論是另一個(gè)命題的結(jié)論和條件，那么這兩個(gè)命題叫做互逆命題.(2)如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的條件的否定和結(jié)論的否定，那么這

3、 兩個(gè)命題叫做互否命題.(3)如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論的否定和條件的否定，那么這 兩個(gè)命題叫做互為逆否命題.4 .命題的四種形式原命題：若p,則q；逆命題：若q,則p;否命題：若非p,則非q;逆否命題：若非 q,則非p.弓為逆命痛為遂否命臉若等q則非廳內(nèi)建命值5 .四種命題之間的關(guān)系四種命題真假之間的關(guān)系入口各科觀察下列命題，回答后面的問題：(1)如果兩個(gè)三角形全等，那么它們的面積相等；(2)如果兩個(gè)三角形的面積相等，那么它們?nèi)龋?3)如果兩個(gè)三角形不全等，那么它們的面積不相等；(4)如果兩個(gè)三角形面積不相等，那么它們不全等.問題1:若把命題(1)看作原命題，這四個(gè)命題

4、之間有什么關(guān)系？提示：(1)與(2)、(3)與(4)為互逆關(guān)系；(1)與、(2)與(4)為互否關(guān)系；(1)與(4)、 (2)與(3)為互為逆否關(guān)系.問題2:判斷四個(gè)命題的真假.提不：命題(4)是真命題；命題(2)(3)是假命題.新船。第6 .四種命題的真假性原命題逆命題否命題逆否命題真真真真真假假真假真真假假假7 .四種命題的真假性之間的關(guān)系(1)兩個(gè)命題互為逆否命題，它們有相同的真假性.(2)兩個(gè)命題互為逆命題或否命題，它們的真假性沒有關(guān)系.歸納，升華.領(lǐng)悟)1 .原命題是相對(duì)其他三種命題而言的.事實(shí)上，可以把任意一個(gè)命題看成原命題，來 研究它的其他形式的命題.2 .當(dāng)一個(gè)命題有大前提而要寫

5、出其他三種命題時(shí)，大前提仍作大前提.3 .若兩個(gè)命題互為逆否命題，則它們有相同的真假性，即它們同真同假.所以，當(dāng)一 個(gè)命題的真假不易判斷時(shí)，可以通過對(duì)其逆否命題的真假的判斷來判斷原命題的真假.例1判斷下列語句是否為命題？若是命題，則判斷其真假：(1)，2是無限循環(huán)小數(shù)； 2(2) x 3x+ 2=0;(3)垂直于同一條直線的兩條直線必平行嗎？(4) 一個(gè)等比數(shù)列的公比大于1時(shí)，該數(shù)列為遞增數(shù)列；(5)當(dāng) x=4 時(shí)，2x+ 1>0;(6)把門關(guān)上.思路點(diǎn)撥 首先判斷是不是命題，如果是，然后再判斷它是真命題還是假命題.精解t析(1)能判斷真假，是命題，是假命題.(2)不是命題，因?yàn)檎Z句中含

6、有變量x,在沒給變量x賦值前，無法判斷語句的真假 (這種語句叫“開語句” ).(3)不能判斷真假，不是命題.(4)是命題，當(dāng)?shù)缺葦?shù)列的首項(xiàng)a1<0,公比q>1時(shí)，該數(shù)列是遞減數(shù)列，因此是一個(gè)假命題.(5)能判斷真假，是命題，是真命題.(6)因?yàn)闆]有作出判斷，所以不是命題.一點(diǎn)通1 .判斷一個(gè)語句是不是命題，關(guān)鍵是看能不能判斷真假.2 .判定一個(gè)命題是真命題時(shí)，一般需要經(jīng)過嚴(yán)格的推理論證，論證要有推理依據(jù)，有 時(shí)應(yīng)綜合各種情況作出正確的判斷；而判定一個(gè)命題為假命題時(shí)，只需舉出一個(gè)反例即可.題制*利1 .下列語句：(1)2 +2 #是有理數(shù)；(2)1 +1>2;(3)2 100是

7、個(gè)大數(shù)；(4)968能被11整除;(5)非典型性肺炎是怎樣傳播的？其中是命題的是.解析：(1)能判斷真假，是命題，是假命題；(2)能判斷真假，是命題，是假命題；(3)不能判斷真假，不是命題；(4)是命題，是真命題；(5)不能判斷真假，不是命題.答案：(1)、(2)、(4)2 .判斷下列命題的真假：(1)函數(shù)y= sin 4x cos4x的最小正周期是 兀；(2)斜率相等的兩條直線平行；(3)不等式|3x 2|>4的解集是(一巴 -|) U (2 , +8)； 3(4)平行于同一平面的兩條直線平行.解：(1) y=sin 4x cos4x= sin 2xcos2x= cos 2x,顯然其最

8、小正周期為兀，故(1)為真命題.(2)斜率相等的兩條直線有可能平行，也有可能重合，故(2)是假命題.(3)由 |3x2|>4 得，3x2>4 或 3x2<4,2. x>2 或 x<-,3 |3 x- 2|>4 的解集是(一巴-2) U (2 , +oo ).3故(3)為真命題. 平行于同一平面的兩條直線可能平行，可能相交，可能異面，故 (4)為假命題.E|四種命題及其真假判斷例2分別寫出下列命題的逆命題、否命題和逆否命題，并判斷其真假：(1)若實(shí)數(shù)a, b, c成等比數(shù)列，則 b2=ac；(2)函數(shù) y= log ax(a>0 且 aw 1)在(0 ,

9、 + 00)上是減函數(shù)時(shí)，log a2<0.思路點(diǎn)撥先分清所給命題的條件和結(jié)論，再按要求寫出逆命題、否命題和逆否命題， 并做出真假判斷.精解t析(1)原命題可以寫成：若實(shí)數(shù) a, b, c成等比數(shù)列，則b2=ac,為真命題.逆命題：若實(shí)數(shù) a, b, c滿足b2=ac,則a, b, c成等比數(shù)列，為假命題.否命題：若實(shí)數(shù) a, b, c不成等比數(shù)列，則 b2wac,為假命題.逆否命題：若實(shí)數(shù) a, b, c,滿足b2wac,則a, b, c不成等比數(shù)列，為真命題.(2)原命題可以寫成：若函數(shù)y= log水(a>0且aw 1)在(0 ,+°°)上是減函數(shù)，則log

10、 a2<0, 為真命題.逆命題：若log a2<0,則函數(shù)y= log水(a>0且aw 1)在(0 , +oo)上是減函數(shù)，為真命題.否命題：若函數(shù) y= log ax( a>0且aw 1)在(0 ,)上不是減函數(shù)，則loga2>0,為真 命題.逆否命題：若log a2> 0,則函數(shù)y= log ax( a>0且aw 1)在(0 ,+8)上不是減函數(shù)，為 真命題.一點(diǎn)通1 .四種命題進(jìn)行轉(zhuǎn)化時(shí)應(yīng)首先找出原命題的條件和結(jié)論，然后利用四種命題的概念直 接轉(zhuǎn)化即可.2 .對(duì)于命題的真假判斷，當(dāng)直接判斷有難度時(shí)，可以通過判斷它的逆否命題的真假來 判斷.題白余翻

11、3 .把下列命題改寫成“若 p,則q”的形式，并判斷命題的真假：(1)等腰三角形的兩個(gè)底角相等；(2)當(dāng) *=2或*= 4 時(shí)，x26x+8 = 0;(3)已知x、y為正整數(shù)，當(dāng)y=x+1時(shí)，y=3, x=2.解：(1)原命題可改寫成：若一個(gè)三角形是等腰三角形，則兩個(gè)底角相等，真命題.(2)原命題可改寫成：若 x= 2或x= 4,則x2 6x + 8 = 0,真命題.(3)原命題可改寫成：已知 x、y為正整數(shù)，若y=x+1,則y = 3, x= 2.假命題.4 .寫出下列原命題的其他三種命題，并分別判斷其真假：(1)在 ABC43,若 a>b,則/ A>Z B；(2)正偶數(shù)不是質(zhì)數(shù)

12、；(3)若 xCA則 xC (AU B) .解：(1)原命題：在 ABOK 若a>b,則/ A>/B,真命題；逆命題：在 ABC若/ A>/B,則a>b,真命題；否命題：在 ABC3,若a<b,則/ AW / B,真命題；逆否命題：在 ABC43,若/ A& / B,則a<b,真命題.(2)原命題：若一個(gè)數(shù)是正偶數(shù)，則它一定不是質(zhì)數(shù)，假命題，例如2;逆命題：若一個(gè)數(shù)不是質(zhì)數(shù)，則它一定是正偶數(shù)，假命題，例如 9;否命題：若一個(gè)數(shù)不是正偶數(shù)，則它一定是質(zhì)數(shù)，假命題，例如 9;逆否命題：若一個(gè)數(shù)是質(zhì)數(shù)，則它一定不是正偶數(shù)，假命題，例如 2.(3)原命題：若

13、x C A,則x C (AU B),真命題；逆命題：若x (AU B) ,則xC A,假命題；否命題：若x?A則x?(AU B),假命題；逆否命題：若x?(AU B),則x?A,真命題.四種命題的綜合應(yīng)用例3 證明：已知函數(shù)f(x)是(一8, +oo )上的增函數(shù)，a, bCR,若f(a)+f(b)> f ( 一 a) + f ( 一 b),則 a+ b> 0.思路點(diǎn)撥根據(jù)原命題與逆否命題的等價(jià)性，先證逆否命題即可.精解t析 法一：原命題的逆否命題為“已知函數(shù)f(x)是(8, +OO )上的增函數(shù)，a, b e R,若 a+ b<0,則 f (a) + f (b)< f

14、 ( a) + f ( b).證明如下：若 a + b<0,貝U a<b, b< a.又 f(x)在(一00, +oo )上是增函數(shù)，.f(a)<f( -b), f (b)<f (-a), - f (a) + f (b)< f( a) + f( b).即原命題的逆否命題為真命題.，原命題為真命題.法二：假設(shè) a+b<0,則 a<-b, b<-a.又；f(x)在(一00, +oo )上是增函數(shù)，.,.f(a)<f( -b), f (b)<f ( a).，f(a) + f(b)<f( a) +f( b).這與已知條件f(a)+

15、f(b)>f(-a)+f(-b)相矛盾.因此假設(shè)不成立，故 a+b>0.一點(diǎn)通由于原命題與它的逆否命題具有相同的真假性，所以在直接證明某一個(gè)命題為真命題有困難時(shí)，可以通過證明它的逆否命題為真命題來間接地證明原命題為真命題.題制*利5 .已知c>0,設(shè)p：函數(shù)y=cx在R上單調(diào)遞減，q：不等式x+| x2c|>1的解集為R, 如果p和q有且僅有一個(gè)正確，求c的取值范圍.解：函數(shù)y=cx在R上單調(diào)遞減？ 0<c<1.記 P= c|0< c<1不等式x+|x 2c|>1的解集為R?函數(shù)y=x+|x2c|在R上恒大于1.2x- 2c, x>2

16、c,1,- x+ | x 2c| =2c, x<2c,，函數(shù)y=x+|x 2c|在R上的最小值為 2c.不等式 x+|x 2c|>1 的解集為 R? 2c>1? c>2.1記 Qi= c| c>2 .如果p正確，且q不正確，小1借助數(shù)軸得0<cw 2.如果p不正確，且q正確，借助數(shù)軸得O1.1c的取值范圍為 0, 2 U 1 , +8 ). 226 .證明：右 a 4b 2a +1w。，貝U aw2b + 1.證明：“若 a2-4b2-2a+ 10,則 aw2b+1” 的逆否命題為“若a = 2b+ 1,則 a2-4b22a+1 = 0”.a=2b+1,a2

17、-4b2-2a+ 1 = (2 b+ 1)2-4b2-2(2 b+1) + 1.22. 一=4b + 1 + 4b 4b 4b 2+1=0.，命題“若a=2b+1,則a2 4b22a+1 = 0”為真命題.由原命題與逆否命題具有相同的真假性可知，結(jié)論正確.方法，規(guī)律.小結(jié))'1 .寫四種命題時(shí)，可以按下列步驟進(jìn)行：(1)找出原命題的條件 p和結(jié)論q；(2)寫出條件p的否定非p和結(jié)論q的否定非q；(3)按照四種命題的概念寫出所有命題.2 .判斷命題的真假時(shí)，可以根據(jù)互為逆否的命題的真假性相同來判斷，這也是反證法 的理論基礎(chǔ).深訓(xùn)練蛙典化.賁在觸羹旁通對(duì)應(yīng)課時(shí)跟蹤訓(xùn)練(一)3 .給出下列語

18、句：空集是任何集合的真子集；三角函數(shù)是周期函數(shù)嗎？一個(gè)數(shù) 不是正數(shù)就是負(fù)數(shù)；老師寫的粉筆字真漂亮！若 xCR,則x2 + 4x+5>0.其中為命題的 序號(hào)是,為真命題的序號(hào)是 .解析：是命題，且是假命題，因?yàn)榭占侨魏畏强占系恼孀蛹?該語句是疑問句， 不是命題；是命題，且是假命題，因?yàn)閿?shù)0既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)；該語句是感嘆句， 不是命題；是命題，因?yàn)?x?+4x+5= (x+2) 2+1>0恒成立，所以是真命題.答案：4 .設(shè)a,b是向量，命題“若 a = - b,則| a| = | b| "的逆命題是 答案：若 | a| =|b| ,則 a=b5 .命題“對(duì)于正數(shù)

19、 a,若a>1,則lg a>0”及其逆命題、否命題、逆否命題四個(gè)命題 中真命題的個(gè)數(shù)為 .解析：逆命題：對(duì)于正數(shù) a,若lg a>0,則a>1.否命題：對(duì)于正數(shù) a,若aw 1,則lg aw 0.逆否命題：又于正數(shù) a,若lg aw。，則aw.根據(jù)對(duì)數(shù)的性質(zhì)可知都是真命題.答案：4 兀一.一.6 .命題“若 a=-4,則tan a =1”的逆否命題是 .解析：將條件與結(jié)論分別否定，再交換即可. 一.兀答案：右tan a W 1 ,則a w I7 .給出下列命題：“若 x2+y2w0,則x, y不全為零”的否命題；“若an既是等 差數(shù)列，又是等比數(shù)列，則 an=an+i(

20、nCN*)”的逆命題；“若m>1,則不等式x2+2x+m>0 的解集為R”的逆否命題.其中所有真命題的序號(hào)是 .解析：的否命題為“若 x2+y2=0,則x, y全為零”是真命題；的逆命題為“數(shù)列 、 * . . . . . - . - . . . .an中，若 an=a + i(ne N),則數(shù)列an既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列”是假命題，如0,0,0 ;對(duì)于當(dāng) m>1時(shí)，A = 4 4m<0恒成立，x2+2x+m>0的解集為 R是真命題.因 此逆否命題是真命題.答案：8 .把下列命題寫成“若 p,則q”的形式，并判斷真假.(1)奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱； 2(2)當(dāng) x 2x3 = 0 時(shí)，x= 3 或 x=1;a<0時(shí)，