平面向量知識(shí)點(diǎn)易錯(cuò)點(diǎn)歸納

1、段宇昕數(shù)學(xué)資料平面向量知識(shí)點(diǎn)歸納§ 5.1平面向量的概念及線性運(yùn)算1.向量的有關(guān)概念名稱定義備注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的長度(或稱模)平面向量是自由向量零向量長度為0的向量；其方向是任意的記作0單位向量長度等于1個(gè)單位的向量非零向量a的單位向量為±-|a|平行向量方向相同或相反的非零向量0與任一向量平行或共線共線向量方向相冋或相反的非零向量又叫做共線向量相等向量長度相等且方向相同的向量兩向量只有相等或不等，不能比較大小相反向量長度相等且方向相反的向量0的相反向量為02.向量的線性運(yùn)算向量運(yùn)算定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算 三角務(wù)諾M

2、平行四辺殆法曲（1）交換律：a + b =b+ a.結(jié)合 律：（a+ b） + c = a+（b+ c） 減法求a與b的相反向 量一b的和的運(yùn)算 叫做a與b的差xVa- b= a + （ b）5 三角形法則數(shù)乘求實(shí)數(shù)入與向量a的積的運(yùn)算(1)1怯1=1川a|;當(dāng)Q0時(shí)，掃的方向 與a的方向相同；當(dāng) X0時(shí)，淪的方 向與a的方向相反；當(dāng)匸0時(shí)，ya= 0X 0 ）=（入）（a；（入+ M a= ?a+ 厲；X a+ b）= ?a+ X3.共線向量定理人使得b=向量a(az 0)與b共線的充要條件是存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)方法與技巧1 .向量的線性運(yùn)算要滿足三角形法則和平行四邊形法則,做題時(shí),要注意三角形

3、法則與平行四邊形法則的要素.向量加法的三角形法則要素是“首尾相接,指向終點(diǎn)”；向量減法的三角形法則要素是 “起點(diǎn)重合，指向被減向量 ”；平行四邊形法則要素是 “起點(diǎn)重合”.2 可以運(yùn)用向量共線證明線段平行或三點(diǎn)共線.如AB/ CD且AB與CD不共線，則AB / CD;若Ab / Bc，貝u A、B、c三點(diǎn)共線.第1頁共5頁2016年8月24日于資興市立中學(xué)段宇昕數(shù)學(xué)資料平面向量知識(shí)點(diǎn)歸納第2頁共5頁2016 年 8 月 24日于資興市立中學(xué)失誤與防范1.解決向量的概念問題要注意兩點(diǎn):是不僅要考慮向量的大小，更重要的是要考慮向量的方向；二是考慮零向量是否也滿足條件.要特別注意零向量的特殊性.2

4、在利用向量減法時(shí)，易弄錯(cuò)兩向量的順序，從而求得所求向量的相反向量，導(dǎo)致錯(cuò)誤§ 5.2平面向量基本定理及坐標(biāo)表示1.平面向量基本定理如果ei、e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)入、d使a= 1e1 +代.其中，不共線的向量 ei、e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.2.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)向量加法、減法、數(shù)乘及向量的模設(shè) a =(X1, y1), b= (X2, y2),貝Ua+ b= (X1+ X2, yi+ y2l, a b= (x x® y辿, 匕=(入 x,入,|a|=寸X2 + y11.(2)向量坐標(biāo)的求法

5、若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo). 設(shè) A(X1, y1), B(x2, y2)，則 Ab= (x? X, y? y", |AB|=a/(x2 X1 $+(y2 如).3.平面向量共線的坐標(biāo)表示設(shè) a = (x1, y” ,b=(x2,y2),其中bMO.a/b?X1y2- X2.y1= Q.方法與技巧1 .平面向量基本定理的本質(zhì)是運(yùn)用向量加法的平行四邊形法則，將向量進(jìn)行分解.向量的坐標(biāo)表示的本質(zhì)是向量的代數(shù)表示，其中坐標(biāo)運(yùn)算法則是運(yùn)算的關(guān)鍵.2 .平面向量共線的坐標(biāo)表示(1)兩向量平行的充要條件若a =(X1, y”，b= (X2, 丫2)，貝U a / b的充要條

6、件是a = ?b,這與X1y2-X2y1= 0在本質(zhì)上是 沒有差異的，只是形式上不同.三點(diǎn)共線的判斷方法判斷三點(diǎn)是否共線，先求由三點(diǎn)組成的任兩個(gè)向量，然后再按兩向量共線進(jìn)行判定.失誤與防范1.要區(qū)分點(diǎn)的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)，向量坐標(biāo)中包含向量大小和方向兩種信息;有方向相同、相反兩種情況.兩個(gè)向量共線2.若a = (xi, yi), b= (X2, y2)，貝U a/ b的充要條件不能表示成_="，因?yàn)閥2X2, y2有可能等于0，所以應(yīng)表示為X1y2 X2y1 = 0.段宇昕數(shù)學(xué)資料平面向量知識(shí)點(diǎn)歸納§ 5.3平面向量的數(shù)量積1.平面向量的數(shù)量積已知兩個(gè)非零向量 a和b它們的夾

7、角為則數(shù)量aIblcos 0叫做a和b的數(shù)量積(或內(nèi)積),記作 a b= |a|b|cos 0規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0.兩個(gè)非零向量a與b垂直的充要條件是 a b= 0,兩個(gè)非零向量a與b平行的充要條件是 a b=±a|b|.2.平面向量數(shù)量積的幾何意義數(shù)量積a b等于a的長度a與b在a的方向上的投影|b|cos 0的乘積.3.平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì) e a= ae= |a |cos 0;非零向量a, b, a丄b? a b= 0;當(dāng)a與b同向時(shí)，a b=|a|b|;當(dāng) a 與 b 反向時(shí)，a b= |a|b|, a a= a2, |a|=aa; ,、a b(4)cos

8、0=麗；(5)|a b|_<_|a|b|.4.平面向量數(shù)量積滿足的運(yùn)算律(1)a b= b a(交換律);(2)(掃)b=Xa b) = a (血)(入為實(shí)數(shù));(3)(a + b) c= a c+ b c.5.平面向量數(shù)量積有關(guān)性質(zhì)的坐標(biāo)表示設(shè)向量 a = (x1, yj, b= (x2, y2)，貝U a b= xix? +，由此得到(1)若 a= (x, y)，則 |a|2= x2+ y2或 |a|=/x2 + y2.y2)，則 A、b 兩點(diǎn)間的距離 |ab|= |AB|=7(x2X12+02 y1)2.b, a= (x1, y1), b= (x2, y2)，則 a丄 b? xx一

9、+ 也一丫2= 0.設(shè) A(xi, yi), B(X2,(3)設(shè)兩個(gè)非零向量a, 方法與技巧定義、坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積的幾何意義，要靈活選用，和圖形有關(guān) 的不要忽略數(shù)量積幾何意義的應(yīng)用.1.計(jì)算數(shù)量積的三種方法:2 .求向量模的常用方法：利用公式|a |2= a2,將模的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積的運(yùn)算.3 利用向量垂直或平行的條件構(gòu)造方程或函數(shù)是求參數(shù)或最值問題常用的方法與技巧.失誤與防范1. (1)0與實(shí)數(shù)0的區(qū)別：0a= 0工0, a+ ( a) = 0工0, a 0= 0工0; (2)0的方向是任意的，并 非沒有方向，0與任何向量平行，我們只定義了非零向量的垂直關(guān)系.第6頁共5頁2016年8月

10、24日于資興市立中學(xué)2. a b= 0不能推出a = 0或b= 0,因?yàn)閍 b= 0時(shí)，有可能 a丄b.§ 5.4平面向量的應(yīng)用1. 向量在平面幾何中的應(yīng)用平面向量在平面幾何中的應(yīng)用主要是用向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積解決平面幾何中的平行、垂直、平移、全等、相似、長度、夾角等問題.a/ b? a = UbM0)(1)證明線段平行或點(diǎn)共線問題，包括相似問題，常用共線向量定理:? X1y2 X2y1= 0.證明垂直問題，常用數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)a丄 b? a b= 0?+ 畑2= 0.(3)求夾角問題，利用夾角公式a bX1X2 + yycos 0=剛曠硏跖!苻2(0為a與b的夾角).2. 平面向

11、量在物理中的應(yīng)用由于物理學(xué)中的力、速度、位移都是矢量，它們的分解與合成與向量的加法和減法相 似，可以用向量的知識(shí)來解決.物理學(xué)中的功是一個(gè)標(biāo)量，這是力F與位移s的數(shù)量積.即W= F s= |F|s|cos 0( 0為F與s的夾角).3. 平面向量與其他數(shù)學(xué)知識(shí)的交匯平面向量作為一個(gè)運(yùn)算工具，經(jīng)常與函數(shù)、不等式、三角函數(shù)、數(shù)列、解析幾何等知識(shí)結(jié)合，當(dāng)平面向量給出的形式中含有未知數(shù)時(shí)，由向量平行或垂直的充要條件可以得到關(guān)于該未知數(shù)的關(guān)系式.在此基礎(chǔ)上，可以解有關(guān)函數(shù)、不等式、三角函數(shù)、數(shù)列的綜合問題.此類問題的解題思路是轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算，其轉(zhuǎn)化途徑主要有兩種： 一是利用平面向量平行或垂直的充要條件；二是利用向量數(shù)量積的公式和性質(zhì).方法與技巧1.向量的坐標(biāo)運(yùn)算將向量與代數(shù)有機(jī)結(jié)合起來，這就為向量和函數(shù)的結(jié)合提供了前提， 運(yùn)用向量的有關(guān)知識(shí)可以解決某些函數(shù)問題.2 .以向量為載體求相關(guān)變量的取值范圍，是向量與函數(shù)、不等式、三角函數(shù)等相結(jié)合的一類綜合問題.通過向量的坐標(biāo)運(yùn)算，將問題轉(zhuǎn)