高中數學橢圓,知識題型總結

1、陳氏優(yōu)學教學課題 橢圓知識點一：橢圓的定義平面內一個動點P到兩個定點區(qū)、羽的距離之和等于常數（網+咫卜2。因閡），這個動 點尸的軌跡叫橢圓.這兩個定點叫橢圓的焦點，兩焦點的距離叫作橢圓的焦距 .注意：若附+1尸匐=忸胤 ,則動點P的軌跡為線段電；若 YI+：卜用工 ,則動點P的軌跡無圖形.講練結合一.橢圓的定義1.若 MBC的兩個頂點A（-4,0 ）,B（4,0）, MBC的周長為18 ,則頂點C的軌跡方程是知識點二：橢圓的標準方程土+乙=11 .當焦點在1軸上時，橢圓的標準方程：,b2其中二/一廬；2 3L+t =12.當焦點在軸上時，橢圓的標準方程：/ 扭 Q>b>0）,其中二

2、注意：1.只有當橢圓的中心為坐標原點，對稱軸為坐標軸建立直角坐標系時，才能得到橢圓的標準 方程；2,在橢圓的兩種標準方程中，都有口>方>0和二肥；3.橢圓的焦點總在長軸上.當焦點在x軸上時，橢圓的焦點坐標為（6。）,（-，）；當焦點在y 軸上時，橢圓的焦點坐標為（01），（Q-c）。講練結合二.利用標準方程確定參數221 .橢圓+十匕=1的焦距為2,則m = 4 m2 .橢圓5x2 +ky2 =5的一個焦點是(0,2),那么k=。(1)對稱性+1_ _ 1對于橢圓標準方程/ 曠 ,把x換成r,或把y換成r,或把x、y同時換成一X、3，方_+ / 1程都不變，所以橢圓 / y 是以x

3、軸、y軸為對稱軸的軸對稱圖形，且是以原點為對稱中心的中心對稱圖形，這個對稱中心稱為橢圓的中心。(2)范圍橢圓上所有的點都位于直線x=±a和y=±b所圍成的矩形內，所以橢圓上點的坐標滿足|x|&,|y|沂(3)頂點橢圓的對稱軸與橢圓的交點稱為橢圓的頂點。? y2L F + n=l-一一人、1口L、，皿人一 一八、，橢圓/ /(a>b>0)與坐標軸的四個父點即為橢圓的四個頂點，坐標分別為Ai (一a, 0),A2 (a, 0), Bi (0, Hb), B2 (0, b)0線段A1A2, B1B2分別叫做橢圓的長軸和短軸，|AiA2|=2a, |BiB2|=

4、2b。a和b分別叫做橢圓 的長半軸長和短半軸長。(4)離心率2c c橢圓的焦距與長軸長度的比叫做橢圓的離心率，用e表示，記作 2a a。因為a>c>0,所以e的取值范圍是0<e<1°e越接近1,則c就越接近a,從而'="Y 越小，因此橢圓越扁；反之，e越接近于0, c就越接近0,從而b越接近于a,這時橢圓就越接近 于圓。當且僅當a=b時，c=0,這時兩個焦點重合，圖形變?yōu)閳A，方程為 x2+y2=a2。(1)知識點四:I陽I I陰I2,網+網二"由T兩二|%川網=二 |掰=|網=«,閾=|明陞，.|=M=即;廣 y , y

5、工， f+t7t一丁十萬=1，- e橢圓a b1 與/ /（a>b>0）的區(qū)別和聯系1MHMl="E,MI=MI=a+e ,工網WHc標準方程F + A = 1 (l3 > Z> > 0) 1 b2+= 1 0 > S > 0)b w圖形T 上%1叫）性質隹百八、八、司E) %。)與(Q,c) ?焦距| N遙 |= (r = J心”一 /)出用范圍| 哇 y<b|告1) ?j<a對稱性關于x軸、y軸和原點對稱頂點（達電場（Q口（場。） ?軸長軸長=2a,短軸長=2b離心率3 = (0 < e < T) a準線方程x -

6、 ±焦半徑倒M+"閥M-就1區(qū)1:"十取|評#"即 ?j a a a才 y , y 工，注意：橢圓b ，儀力（a>b>0）的相同點為形狀、大小都相同，參數間的關系 = - (0 < s < 1)都有a>b>0和a, a2=b2+c2；不同點為兩種橢圓的位置不同，它們的焦點坐標也不相同。題型一橢圓焦點三角形面積公式的應用22x y 定理 在橢圓 F + q=1 (a>b>0)中，焦點分別為FF2,點P是橢圓上任意一點， /FiPF2=e ,a b即 4a2 -2r1r2(1 cos) =4c2._22_ 22

7、(a -c ) _ 2b1121 cos 11 cos F由任意三角形的面積公式得：S,F1pf2 - 2 r1r2 sin b bC, 2, FSf1Pf2 =b tan 2.典題妙解sin -.2b1 cos1002sin cos22 二 b22丁 b2cos2e tan.2例1 若P是橢圓工 +匕=1上的一點，F1、52是其焦點，且/FPF2 =601求 10064F1PF2的面積.22解法一：在橢圓 y +匕=1 中，a =10,b = 8,c = 6,而8 =60。.記| PF1 |二 r1,| PF2 |= r2.100 64丁點P在橢圓上,二由橢圓的第一定義得：ri +2 = 2

8、a = 20. 22_. _2在F1PF2 中，由余弦定理得：r1 +r2 2r1r2 cos日=(2c).配方，得：(r1 r2)2 -3r1r2 =144.256，400 - 3r1r2 =144.從而 r1r2 =.3S,F1PF21.1 256364 3=r1r2sin=一 =2232322x y解法二：在橢圓 +匚=1中，b2 =64,而日=60：100 64c. 21“64 3.S F1pF2 = b tan = 64tan 30 ' 23解法一復雜繁冗，運算量大，解法二簡捷明了，兩個解法的優(yōu)劣立現!22一一 x y例2已知P是橢圓 +匚=1上的點，F1、F2分別是橢圓的左

9、、右焦點，若 259PF1 PF2I PF1 I I PF2 |F1PF2的面積為()A. 3 3B. 2 3C.、3D. 33解：設 NF1PF2 =日,貝UcosH = PF1 PF2. =-，,= 0 =60"I PF1 | | PF2 |2_. 2一.S F1PF2 =b tan 2 =9tan30 =3% 3.故選答案A.練習6 .已知橢圓的中心在原點，F1、F2為左右焦點，P為橢圓上一點，且-PF1 '巴=-,F1PF2 的面積IPF1 | IPF2I 24 3是33 ,推線方程為x=±,求橢圓的標準方程.3參考答案6.解：設 /F1PF2 =e，二 c

10、ose = PF1 'PF2= 1,e =120*.|PFi I IPF2I 2S序PF2 b2 tan 一 = b? tan 60s = 3b2 = 33，二 b = 1.又丁 E = 4£ 即3= U=c+1=6+&. c 3c c c 33二 c v3 或 c -.3 2當c = U3時，a = Jb2 +c2 =2 ,這時橢圓的標準方程為 上+ y2=i；4.3 o 2. 3 x2 o當c = 2!一時，a =db2+c2 =-,這時橢圓的標準方程為 + y2=1；3343但是，此時點p為橢圓短軸的端點時，e為最大，e =60°,不合題意.2故所求的

11、橢圓的標準方程為 x y2 =1.4題型二中點弦問題 點差法2七二1()b 中，以P(X0，y0)為中點的弦2 x 一2 中點弦問題：遇到中點弦問題常用“ 韋達定理”或依法”求解。在橢圓a 所在直線方程?22例3.過橢圓-1二1內一點M(2, 1)弓L條弦，使弦被M點平分，求這條弦所在的直線方程。分析：本例的實質是求出直線的斜率，在所給已知條件下求直線的斜率方法較多，故本例解法較多，可作進 一步的研究。解：法一設所求直線方程為y-1 = k(x-2),代入橢圓方程并整理，得(4k2 +1)x2 -(2k2 -k)x +4(2k -1)2 -16 =0,又設直線與橢圓的交點為2. A(x1, y

12、1)、 B(x2, y2),貝4x1、 x2是方程的兩個根，于是 x1 + x2 =2,4k 12又M為AB的中點，)1=4(2k2 =2,解之得k = _2,故所求直線方 24k2 12程為x 2y -4 = 0法二 設直線與橢圓的交點為A(x1, y1)、B. y2), M(2, 1)為AB的中點,x1+x2=4,y1+y2=2,又A、B兩點在橢圓上，則x12+4y12=16, x2十4y2= 16,兩式相減得(x2 x2) +4(y12 - y2) = 0.y1 - y2 _ x1 x2 _ 1x1 -x24(y1 y2)21Wk AB = 一一，故所求直線為x +2y -4 = 0 2

13、點差法1.過點(1 ,0)的直線l與中心在原點，焦點在x軸上且離心率為 1的橢圓C相交于A、B兩點，直線y= 2x過線段AB的中點，同時橢圓C上存在一點與右焦點關于直線l對稱，試求直線l與橢圓C的方程.命題意圖：本題利用對稱問題來考查用待定系數法求曲線方程的方法，設計新 穎，基礎性強，屬級題目.知識依托：待定系數法求曲線方程，如何處理直線與圓錐曲線問題，對稱問題 .錯解分析：不能恰當地利用離心率設出方程是學生容易犯的錯誤.恰當地利用好對稱問題是解決好本題的關鍵.技巧與方法：本題是典型的求圓錐曲線方程的問題，解法一，將 A、B兩點坐標代入圓錐曲線方程，兩式相減得關于直線 AB斜率的等式.解法二，

14、用韋達定理解法一：由 e=c=，得土bl，,從而 a2=2b2,c=b. a 2 a 2設橢圓方程為x2+2y2=2b2,A(xi,yi),B(X2,y2)在橢圓上.則 Xi2+2yi2=2b2,X22+2y22=2b2,兩式相 減得，(xi2 X22)+2(yi2 y22)=0, yi二y2-=Xi x2 .Xi X22( yi y2)設AB中點為(xo,yo),則kAB=x，又(xo,yo)在直線y=1x上，yo=xo，于是一三 2yo222yoi,kAB= i，設 l 的方程為 y= x+i.右焦點(b,o)關于l的對稱點設為(x；y),J i則Jx解得'.y'x'

15、;+bU=1bI22由點(1,1b)在橢圓上，得 1+2(1 b)2=2b2,b2W，a2J 1682所求橢圓C的方程為彩吟y2 =1,l的方程為y=-x+1.解法二：由e=£=魚,得笆君=1,從而a2=2b2,c=b.a 2a22，設橢圓C的方程為x2+2y2=2b2,l的方程為y=k(x1),將l的方 程代入 C 的 方程，得(1+2k2)x2 4k2x+2k2 2b2=o,則2xi+x2= 1 +2k2 ,yi+y2=k(xi - 1)+k(x2- 1)=k(xi+x2)-2k=- ；22直線l： y=1x過AB的中點(”2,歸業(yè)),則士，解得k=o,或k= 2221 2k 2

16、1 2k1.若k=o，則l的方程為y=o,焦點F(c,o)關于直線l的對稱點就是F點本身，不能在 橢圓C上，所以k=o舍去，從而k= 1,直線l的方程為y= (x1)，即y= x+1，以 下同解法一.題型三弦長公式與焦半徑公式般弦長公式弦長公式：若直線y =kx+b與圓錐曲線相交于兩點A、B,且X1,x2分別為A、B的橫坐標，則1AB =%1 k2 x1 -x2x=ky+b,則,(若yi，y2分別為A、B的縱坐標，則AB_ T1 k 1y1 - y2AB,12 yLy2=k k)，若弦AB所在直線方程設為2、焦點弦(過焦點的弦)：焦點弦的弦長的計算，一般不用弦長公式計算，而是將焦點弦轉化為兩條

17、焦半徑之和 后，利用第二定義求解。1 .第二定義：平面內與一個定點的距離和它到一條定直線的距離之比是常數e = c(0 <e <1)的動點M的軌跡叫做橢圓，定點為橢圓的一個焦點，定直線為 a橢圓的準線，常數e是橢圓的離心率。注意：對22xT+yT=1(a>b>0)對應于右焦點F2(c, 0)的準線稱為右準線,a b2 方程是x=a-, c2對應于左焦點F1(-c, 0)的準線為左準線x =ce的幾何意義：橢圓上一點到焦點的距離與到相應準線的距離的比。2 .焦半徑及焦半徑公式:橢圓上一個點到焦點的距離叫做橢圓上這個點的焦半徑。對于橢圓22x . y a-b2= 1(aAb

18、>0),設P(x, y)為橢圓上一點，由第二定義:左焦半徑X02 a +cr 左=ex0 + a2a=a ex0 c右焦半徑2ax0 cc- r右=a -ex0 a22 yx已知點P在橢圓勺+丁 =i(a >b A0)上,a bF1、F2為橢圓的兩個焦點，求|PF1| |PF2|的取值范圍6.解：設P(x0, y0),橢圓的準線方程為2=± ,不妨設Fi、F2分別為下焦點、上焦點則 1PFi|PF2|cy02a-y0 c：|PFi| = y0+a, |PFz|=a y°.|PFi| |PF2| = (a+-yo)(a-yo)c222 y0 a- -a Ey。a

19、,當y0 =0時，|PFi| |PF2|最大，最大值為當 y0 = ±a時，|PFi| |PF2|最小，最小值為 a2c2=b2因此，|PFi| |PF2|的取值范圍是b2, a2x例2.橢圓一十=1的焦點為Fi、F2,點P為其上的動點，當/ F1PF2為鈍角時，點P橫坐標的取值范圍是。(2000年全國高考題)分析：可先求/FiPF2=90°時，P點的橫坐標。解：法一 在橢圓中，a =3, b=2, c=J5,依焦半徑公式知|PFi|=3+Y5x, 3|PF2|=3 W5x,由余弦定理知/F1PF2為鈍角 u |PFi|2+|PF2|2 <|FiF2 12y3(3 +

20、 x)2 +(3 - x)2 < (2j5)2 u x2 < , 應填 一3 < x <3335', 5、,5法二 設P(x, y),則當/ PF2=90°時，點P的軌跡方程為x2+y2=5,由此可得點P的橫坐標x = ± *，點P在x軸上時，/ F1 PF2 = 0;點P在y軸上,5時，/ F1PF2為鈍角，由此可得點 P橫坐標的取值范圍是 -3<x<之 .5. 5題型四參數方程3.橢圓參數方程問題：如圖以原點為圓心，分別以 a、b (a>b>0 )為半徑作兩個圓，點 B是大圓半徑OA與小圓的交點，過點A作AN JO

21、x ,垂足為N ,過點B作BN 1AN ,垂足為M ,求當半徑OA繞O旋轉時點M的軌跡的參數方程。解：設點M的坐標是(x, y),中是以Ox為始邊，。四為終邊的正角，取 中為Ox = a cos :(1) y = bsin :這就是橢圓參數方程:中為參數時，中稱為“離心角”說明：1對上述方程（1）消參即x .=cos 22ax y2.2y 10ab=sin M5Jb=1普通方程2由以上消參過程可知將橢圓的普通方程進行三角變形即得參數方程。直線與橢圓位置關系:那么 x -ON =|OA|cos :y = NM =|OB|sin :222y2 =1 y = kx ba b求橢圓上動點 P （x,

22、y）到直線距離的最大值和最小值，（法一，參數方程法；法二，數形結合，求平行 線間距離，作1'力且1'與橢圓相切）例4.已知橢圓x2+8y2=8,在橢圓上求一點 P,使P到直線1: x-y +4 = 0的距離最小并求出距離的最小值（或最大值）？解：法一 設P（2v12cos0, sin8）（由參數方程得）|2 2 cos - sin 二 4| 3sin(二-)一 4| -JT其中tan中=2j2,當g 中=時，dm.2122=2，2、21此時 cos0 =sin 邛=,sin 6 = cos(P =-33 81即P點坐標為P( ，-) 33法二 因l與橢圓相離，故把直線l平移至1

23、',使1'與橢圓相切，則l與1'的距離,即為所求的最小值，切點為所求點('T最大)925x y + m = 0設l': x-y+m = 0,則由22消x得x 8y =89y2 -2my +m2橢圓與"十一 =1(a>b>0)的離心率e=-, A B是橢圓上關于坐標不對稱的 a2 b23兩點，線段AB勺中垂線與x軸交于點P1 0) (1)設AB中點為C(X0, y0),求X0的值。(2)若F是橢圓的右焦點，且|AF|+山F|=3,求橢圓的方程。 -8=0,令色=4m2 -4 X 9(m2 -8) = 0解之得m=±3, (-

24、3為最大)，由圖得m = -3此時P(-,-),由平行線間距離得l(i)令 A(xi； yi)、B (x2, y2)則xi x2 =2xo，yi - y2 =2yoyi f _i-Xoxi -x2yo由2ce = 二3ac2-2A2 a -b 4 、 _ %3 a29b25a2 =922又A、B在橢圓Xr +. =1上a2 b2222222b x1 +a y1 =a b口22,2222b x2+a y2 =a b22/= b (x1 +x2)( x1 -x2) +a (y1 +y2)( y1 -y2) =022= (x1 -x2) b x0 +a yo(y1 -y2)=0,2-yi V2b x

25、o 5 xo,zz =2xi -x2a2yo9 yo5 xo1 -xo =5xo =9 -9xo9 yoyo9 xo 二-4(2)AF BF =3四1 c BF|>Fl=a-exi ”: « 2-2 t 1 -aa aBF =a ex2xi1 x2cca -exi a -ex2 =3一 2 /，、一2 a (x +x2) 33上 c 9xi 十x2 =2xo =32a =3 , 3 = a =3 | -2 匚c 2_ n b =5=c =2a 3一22所求橢圓方程為x二i95=i的焦點為Fi、F2, AB是橢圓過焦點Fi的弦，則&ABF2的周長是2.設Fi, F2為橢圓

26、16x2+25y2 =400的焦點，P為橢圓上的任一點，則APFF2的周長是多少?PF1F2的面積的最大值是多少？223 .設點P是橢圓 土+匕=1上的一點，Fi,F2是焦點，若 NF1PF2是直角，則AF1PF2的面積 25 16為 0變式：已知橢圓9x2 +16y2 =144,焦點為F1、F2 , P是橢圓上一點.若/F1PF2=60，求APF1F2的面積.五.離心率的有關問題1.橢圓小十 =1的離心率為1.則m =4 m22 .從橢圓短軸的一個端點看長軸兩端點的視角為 120°,則此橢圓的離心率e為3 .橢圓的一焦點與短軸兩頂點組成一個等邊三角形，則橢圓的離心率為 4 .設橢圓

27、的兩個焦點分別為F1、F2,過F2作橢圓長軸的垂線交橢圓于點 P,若ZXF1PF2為等腰直 角三角形，求橢圓的離心率。5 .在4ABC中，/A = 300,| AB|=2,S研C = J3 .若以A, B為焦點的橢圓經過點 C ,則該橢圓的離心率e =講練結合六.最值問題2,最小值為1.橢圓L + y2 =1兩焦點為Fl、F2,點P在橢圓上，則|PFl| |PF2|的最大值為 422x y2、橢圓*+言=1兩焦點為Fi、F2, A(3, 1)點P在橢圓上，則|PFi|+|PA|的最大值為小值為最小值2一X 23、已知橢圓 一+ y =1 , A(1 , 0), P為橢圓上任意一點，求|PA|的

28、最大值 4224.設F是橢圓32；+24=1的右焦點，定點A(2,3)在橢圓內，在橢圓上求一點P使|PA|+2|PF|最小，求P點坐標_最小值y+ T =1-r + r = 1知識點四：橢圓廿 與窯否(a>b>0)的區(qū)別和聯系標準方程32r+M=l(由 " >0) a2 /32>5 >。) b2 J圖形y1 上41*1性質i1隹百八、八、引y。），的。）E(0lG,片(Q,C)焦距W遙 |= » g =- )出用范圍|小一|河31 仲，|j仁口對稱性關于x軸、y軸和原點對稱頂點回。）（0 土）（a±«）（功。）軸長軸長=2a

29、,短軸長=26離心率3 = (0 < e < T) a準線方程A = ± C4C焦半徑畫1=。+=|啊3就陽卜闕k-妙）J 222yr y . y .注意：橢圓白方，儀B（a>b>0）的相同點為形狀、大小都相同，參數間的關系匕g 二 一 （0 < 目 < 1）都有a>b>0和2,a2=b2+c2；不同點為兩種橢圓的位置不同，它們的焦點坐標也不相同。1 .如何確定橢圓的標準方程？任何橢圓都有一個對稱中心，兩條對稱軸。當且僅當橢圓的對稱中心在坐標原點，對稱軸是坐 標軸，橢圓的方程才是標準方程形式。此時，橢圓焦點在坐標軸上。確定一個橢圓的標準

30、方程需要三個條件：兩個定形條件a、b, 一個定位條件焦點坐標，由焦點坐標的形式確定標準方程的類型。2 .橢圓標準方程中的三個量 a、b、c的幾何意義橢圓標準方程中，a、b、c三個量的大小與坐標系無關，是由橢圓本身的形狀大小所確定的，分別表示橢圓的長半軸長、短半軸長和半焦距長，均為正數，且三個量的大小關系為：a>b>0,a>c>0,且 a2=b2+c2。a、b、c恰構成一個直角三角形的三條邊，其中 a是斜邊，b、c為兩條直角邊。3 .如何由橢圓標準方程判斷焦點位置橢圓的焦點總在長軸上，因此已知標準方程，判斷焦點位置的方法是：看x2、y2的分母的大小，哪個分母大，焦點就在哪

31、個坐標軸上。4 .方程Ax2+By2=C （A、B、C均不為零）表示橢圓的條件x y 1AjP By2C+C=T 1=方程Ax2+By2=C可化為C C ，即達8,所以只有A、B、C同號，且A汨 時，方程表示橢圓。C C 一當用5時，橢圓的焦點在x軸上；£ C當工 萬時，橢圓的焦點在y軸上。5 .求橢圓標準方程的常用方法：待定系數法：由題目條件確定焦點的位置，從而確定方程的類型，設出標準方程，再由條件確定方程中的參數Q、b、C的值。其主要步驟是“先定型，再定量”；定義法：由題目條件判斷出動點的軌跡是什么圖形，然后再根據定義確定方程。6 .共焦點的橢圓標準方程形式上的差異共焦點，則c相

32、同。r y .x y .+ - = 1 -=與橢圓a b(a>b>0)共焦點的橢圓方程可設為a +k b +上(k>b2)。此類問題常用待定系數法求解。7 .判斷曲線關于x軸、y軸、原點對稱的依據：若把曲線方程中的x換成r,方程不變，則曲線關于y軸對稱；若把曲線方程中的y換成一y,方程不變，則曲線關于x軸對稱；若把曲線方程中的x、y同時換成一X、一y,方程不變，則曲線關于原點對稱。8 .如何解決與焦點三角形 PF1F2 （P為橢圓上的點）有關的計算問題？與焦點三角形 抒祝有關的計算問題時，常考慮到用橢圓的定義及余弦定理（或勾股定理）、三角形面積公式“喀=5圈%相結合的方法進行

33、計算與解題，將有關線段四、幽U肌 ,有關角/里羽（必理，可陰,）結合起來，建立|網+網、網陶之間的關系.9 .如何研究橢圓的扁圓程度與離心率的關系？C& =長軸與短軸的長短關系決定橢圓形狀的變化。離心率” ,因為c課后作業(yè) 已知 Fi（-8, 0）, F2（8, 0）,動點 P 滿足 |PFi|+|PF 2|=16 ,則點 P 的軌跡為（）A圓B橢圓 C線段D直線x2y22、橢圓 匚=1左右焦點為Fi、F2, CD為過Fi的弦，則A CDF i的周長為169 23已知方程 +一=1表示橢圓，則k的取值范圍是（）1k 1kA -i<k<iB k>0C k 冷D k>i 或 k<-i4、求滿足以下條件的橢圓的標準方程（1）長軸長為10,短軸長為 6=a2b2, a>c>0,用a