第三章《數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入 復(fù)數(shù)》學(xué)案(新人教A版選修1-2)

1、復(fù)數(shù)復(fù)習(xí)學(xué)案一知識結(jié)構(gòu)由于復(fù)數(shù)在整個高中數(shù)學(xué)所處的地位的改變，今后高考時復(fù)數(shù)不會有太多太高的要求，試題數(shù)量穩(wěn)定在一道試題，難度不會太大，復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的運(yùn)算是復(fù)數(shù)應(yīng)用的基礎(chǔ)，是高考考查的重點(diǎn)，復(fù)數(shù)的運(yùn)算是復(fù)數(shù)的中心內(nèi)容，是高考命題的熱點(diǎn)。而復(fù)數(shù)的乘、除更是考查的重點(diǎn)，主要考查基本運(yùn)算能力，另外復(fù)數(shù)的有關(guān)概念眾多，涉及知識面廣，易與三角、幾何、向量知識、不等式等結(jié)合起來考查。三技巧方法1、 設(shè)zabi(a,bR),利用復(fù)數(shù)相等轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)問題是解決復(fù)數(shù)問題常用的方法，同時要學(xué)會以整體的角度出發(fā)去分析和求解，如果遇到復(fù)數(shù)就設(shè)zabi(a,bR),有時帶來不必要的運(yùn)算上的困難，若能把握住復(fù)數(shù)的整體性

2、質(zhì)，充分運(yùn)用整體思想求解，則能事半功倍。2、 在簡化運(yùn)算中，如能合理運(yùn)用i和復(fù)數(shù)的模等有關(guān)的性質(zhì)，常能出奇制勝，事半功倍，所以在學(xué)習(xí)中注意積累并靈活運(yùn)用。3、 性質(zhì)：zz=|z|2=|z|2是復(fù)數(shù)運(yùn)算與實(shí)數(shù)運(yùn)算相互轉(zhuǎn)化的重要依據(jù)，也是把復(fù)數(shù)看作整體進(jìn)行運(yùn)算的主要依據(jù)，在解題中加以認(rèn)識并逐漸領(lǐng)會。4、 學(xué)習(xí)本章時，應(yīng)注意聯(lián)系全面學(xué)過的實(shí)數(shù)的性質(zhì)，實(shí)數(shù)的運(yùn)算內(nèi)容，以便對復(fù)數(shù)的知識有較完整的認(rèn)識。四、注意點(diǎn)析1、 要注意實(shí)數(shù)、虛數(shù)。純虛數(shù)、復(fù)數(shù)之間的聯(lián)系與區(qū)別，實(shí)數(shù)集和虛數(shù)集都是復(fù)數(shù)集的真子集，它們的并集是復(fù)數(shù)集，它們的交集是空集，純虛數(shù)集是虛數(shù)集的真子集，2、 當(dāng)概念擴(kuò)展到復(fù)數(shù)后，實(shí)數(shù)集R中的一些

3、運(yùn)算性質(zhì)、概念、關(guān)系就不一定適用了，如不等式的性質(zhì)、絕對值的定義、偶次方非負(fù)等。3、 熟練掌握復(fù)數(shù)乘法、除法的運(yùn)算法則，特別是除法法則，更為重要，是考試的重點(diǎn)。五、思想方法1、 數(shù)形結(jié)合這是本章的主要數(shù)學(xué)思想，例如復(fù)數(shù)本身的幾何意義及四則運(yùn)算的幾何意義等。圖形要畫得合乎題意，充分利用圖形的直觀性，簡捷巧妙的解題。2、 方程的思想，主要體現(xiàn)在復(fù)數(shù)相等的充要條件和復(fù)數(shù)方程。3、轉(zhuǎn)化思想，轉(zhuǎn)化思想是復(fù)數(shù)的重要思想方法，既然在實(shí)數(shù)的基礎(chǔ)上擴(kuò)展到復(fù)數(shù)，自然復(fù)數(shù)中的許多問題都可以轉(zhuǎn)化到實(shí)數(shù)集內(nèi)解決，如求模運(yùn)算，復(fù)數(shù)相等的充要條件及zz=|z|2=|z|2等，進(jìn)行復(fù)數(shù)與實(shí)數(shù)間的轉(zhuǎn)化。4、分類討論思想：它是一

4、種比較重要的解題策略和方法，在復(fù)數(shù)中它能夠使復(fù)雜問題簡單化，從而化整為零，各個擊破。5、主要方法有：待定系數(shù)法、整體法；待定系數(shù)法是利用復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，設(shè)復(fù)數(shù)zabi的形式代入，再利用復(fù)數(shù)相等或其它途徑，轉(zhuǎn)化為與a，b相關(guān)的等式，求出a，b即可得到復(fù)數(shù)z。在復(fù)數(shù)學(xué)習(xí)中有必要根據(jù)條件與待求結(jié)論的特點(diǎn)，通過研究問題的整體形式、整體結(jié)構(gòu)或作某些整體處理，這樣往往可以避繁就簡，化難為易，順?biāo)俳鉀Q問題。 六、典例分析1、基本概念計(jì)算類例1若z1=a+2i,z2=3-4i,且z1為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為_ z2解：因?yàn)?，z1a+2i(a+2i)(3+4i)3a+6i+4ia-83a-8+(6+4a)i=，

5、 3-4i(3-4i)(3+4i)2525z2又z18為純虛數(shù)，所以，3a80，且64a0。a= 3z22、復(fù)數(shù)方程問題2例2證明：在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，方程|z|+(1-i)z=5-5i（i為虛數(shù)單位）無解。 2+i證明：原方程化簡為|z|+(1-i)z-(1+i)z=1-3i,設(shè)zxyi(x、yR)，代入上述方程x2+y2=12得x+y-2xi-2yi=1-3i. 整理得8x-12x+5=02x+2y=322=-16<0.方程無實(shí)數(shù)解，所以原方程在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)無解。點(diǎn)評：本題主要考查復(fù)數(shù)方程等知識，一般是設(shè)Z的代數(shù)形式，利用復(fù)數(shù)相等的充要條件轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程。3、綜合類例3設(shè)z是虛數(shù)，=z+1是

6、實(shí)數(shù)，且1<<2 z（1） 求|z|的值及z的實(shí)部的取值范圍；（2） 設(shè)M= 1-z，求證：M為純虛數(shù)； 1+z2（3） 求-M的最小值。分析：本題考查復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的模、復(fù)數(shù)的運(yùn)算及不等式的知識，以及運(yùn)算能力和推理能力。解：（1）設(shè)zabi（a，bR,b0）1ab=(a+2)+(b-)i, 因?yàn)?，是?shí)數(shù)，b0 a+bia+b2a2+b2122所以，a+b=1，即|z|1， 因?yàn)?a，1<<2，-<a<1 2=a+bi+所以，z的實(shí)部的取值范圍（1,1）。 21-z1-a-bi(1-a-bi)(1+a-bi)1-a2-b2-2bibi（2）M=（這=-22

7、1+z1+a+bi(1+a+bi)(1+a-bi)a+1(1+a)+b里利用了（1）中a+b=1）。 因?yàn)閍（2221,1），b0，所以M為純虛數(shù)。 2b21-a2a-1（3）-M=2a+ =2a+=2a-22a+1(a+1)(a+1)21=2(a+1)+-3 a+1a+112因?yàn)?，a（,1），所以，a1>0， 所以-M2×231， 212當(dāng)a1，即a0時上式取等號， 所以，-M的最小值是1。 a+1=2a-1+點(diǎn)評：本題以復(fù)數(shù)的有關(guān)概念為載體，考查學(xué)生的化歸能力，考查了均值不等式的應(yīng)用，綜合考查學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識解決問題的能力。正是高考的重點(diǎn)。4、創(chuàng)新類 例4對于任意兩個復(fù)數(shù)z

8、1=x1+y1i,z2=x2+y2i(x1,x2,y1,y2R)定義運(yùn)算“”為設(shè)非零復(fù)數(shù)1,2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)分別為Pz1z2x1x2+y1y2，1,P2,點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若120，則在P1OP2中，P1OP2的大小為_.分析：本題立意新穎，解題入口寬，是一道不可多得的好題。解法一：（解析法）設(shè)1=a1+b1i,2=a2+b2i(a1,a20)，故得點(diǎn)P1(a1,b1)，P2(a2,b2)，且a1a2+b1b20，即b1b2=-1 a1a2從而有kOP11kOP22b1b20=-1 故OP1OP2,也即P1OP2=90 a1a2解法二：（用復(fù)數(shù)的模）同法一的假設(shè)，知2222|OP1|=|1|=a1+b122 |OP2|2=|2|2=a2+b2222|P1P2|=|1-2|=|(a1-a2)+(b1-b2)i|a1+b1a2+b22（a1a2+b1b2）a1+b1a2+b22×0a1+b1a2+b2|OP2| 1