專題13反證法選講

1、-1-全國(guó)名校初高中數(shù)學(xué)銜接專題匯編(附詳解)反證法小明某一天早晨起床，發(fā)現(xiàn)屋頂和地面上都是潮的，他就說“昨晚下過雨 了”.這個(gè)判斷可以這樣得到的：假設(shè)昨晚沒下雨，那么屋頂和地面上就應(yīng)該是 干的.但這與事實(shí)不相符合，所以假設(shè)是錯(cuò)誤的.所以“昨晚下過雨”.如圖1,如果OA=OC,OBVOD，那么四邊形ABCD不是平行四邊形. 個(gè)結(jié)論成立嗎？如果成立，你能證明嗎？假設(shè)四邊形ABCD是平行四邊形，那么OA=OC,OB=OD，這與條件 2,求證：12與1+y2中至少有一個(gè)y x成立.分析：命題中出現(xiàn)：“至多”“至少”“唯一”，宜用反證法。由題設(shè)條件，至證明：假設(shè)上2與巴2同時(shí)成立。yxyx因?yàn)閤0,y

2、0,所以1+xX2y,且1+y2x,兩式相加，得2+x+y32x+2y.所以，x+y乞2,這與已知條件x+y2相矛盾，因此 匸乜v 2與nm+n，m-n為正整數(shù)，又因?yàn)?、3、5、67均為素?cái)?shù).嚴(yán)-門=1或嚴(yán)-門=2Lm+ n= 2010m + n= 100例2 2已知： 求證：分析：少有一個(gè)的反設(shè)是一個(gè)都沒有，即結(jié)論反設(shè)是1+x工2與1+2同時(shí)成立。y x-n =3或1 m-n = 5+ n = 670 Im + n = 402-3-全國(guó)名校初高中數(shù)學(xué)銜接專題匯編（附詳解）m n =15或!m n = 30m +n = 134m + n = 67準(zhǔn)確地作出反設(shè)是反證法證題的前提，下表是一些常

3、用的反設(shè)詞:嫖結(jié)論是不是一個(gè)也沒有都是不都是至吳宥一個(gè)S S少有兩個(gè)丸于不大于至少甫n n個(gè)至務(wù)有（nTnT）個(gè)小于不小于至甫n n個(gè)至少有（rridrrid）個(gè)存在某X X不成立P P如非P P且非q q.m -n =6.或 或m n =10亠或m + n = 20f2011m =22009n =1007m =或21003_ 673-2667n =2407m =或2397 m = I 2341m =2329n =或.211m =2191n =2149m =21192或.97m =237n =上述方程均無整數(shù)解，這與假設(shè)不成立不存在正整數(shù)m和n,使得歸納總結(jié)適宜應(yīng)用反證法解決的問題：m n為正

4、整數(shù)矛盾.m2=n2+2010.直接證明困難； 需分成很多類進(jìn)行討論； 結(jié)論為“至少”、“至多”、“有無窮多個(gè)”一類命題; 結(jié)論為“唯一”類命題.-4-時(shí)住何X X不成存在某*成立P P盤q q非P P或非q q-5-全國(guó)名校初高中數(shù)學(xué)銜接專題匯編(附詳解)練習(xí)1.用反證法證明命題用反證法證明命題： “若整系數(shù)一元二次方程ax?+bx+C = 0(aH0)有有理根，那么a,b,c中至少有一個(gè)是偶數(shù)時(shí)，下列假設(shè)中正確的是：(A)假設(shè)a,b,c都是偶數(shù)；(B)假設(shè)a,b,c都不是偶數(shù)；(C)假設(shè)a,b,c至多有一個(gè)是偶數(shù)；(D)假設(shè)假設(shè)a,b,c至多有兩個(gè)是偶數(shù)2.用反證法證明命題“若O O的半徑

5、為r，點(diǎn)P到圓心0的距離d大于r, 則點(diǎn)P在OO外部.”首先應(yīng)假設(shè)().(A)dvr (B)d180.這與三角形內(nèi)角和定理相矛盾.(2)所以/Bv 90 .(3)假設(shè)/B90.(4)那么，由AB=AC得/B=/O 90 .即/B+/0180 .這四個(gè)步驟正確的順序應(yīng)是()A.(1) (2)(3)B.(3X4)( 2)(1) C.(1)(2)D.(3)( 2)(1)5.用反證法證明：已知：如圖，AB/CD,AB/EF.求證：CD/EF.A AS SC CD D(B)三角形中沒有一個(gè)內(nèi)角大于(C)三角形中每一個(gè)內(nèi)角都大于60(D)三角形中沒有一個(gè)內(nèi)角等于-6-E EF F-7-全國(guó)名校初高中數(shù)學(xué)銜

6、接專題匯編（附詳解）6.用反證法證明：等腰三角形的底角必為銳角.7.如圖，梯形ABCD中，AD/BC,/A=90，O O經(jīng)過點(diǎn)A、B、D， 求證：點(diǎn)C不在O O上.AD8.設(shè)a、b、c是不全相等的實(shí)數(shù).三個(gè)方程ax2+2bx+c=0, bx2+2cx+a=0 , ex2+2ax+b=0能同時(shí)有相等實(shí)數(shù)根嗎？2 2 2 29.設(shè)三個(gè)方程X+4m)+4m+2nr+3=0,x+(2nr+1)x+m=0,(m-1)x2+2mx m-1=0中至少有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)根，求m的取值范圍.10.A、B、C三個(gè)人，A說B撒謊，B說C撒謊，C說A、B都撒謊.則C必定是在撒謊，為什么？1-8-參考答案：1.B 2.D

7、 3.C 4. C 5.假設(shè)CD與EF不平行，那么CD與EF必相全國(guó)名校初高中數(shù)學(xué)銜接專題匯編(附詳解)交，因?yàn)锳B/CD，所以AB與EF也相交，這與AB/EF矛盾，所以假設(shè)不 成立.所以CD/EF.6.假設(shè)底角不是銳角，貝U底角90，那么等腰三角形 的兩底角之和就大于等于180，這與三角形內(nèi)角和是180。矛盾，所以假設(shè)不 成立所以等腰三角形的底角必為銳角.7提示：假設(shè)C點(diǎn)在OO上，由此 可推出/D=90,CD/ AB與題設(shè)CD不平行AB矛盾.8.假設(shè)同時(shí)有相等實(shí) 數(shù)根，那么三個(gè)方程的判別式都為0,艮卩4(b2ac)= 4( c ab)=4(a2be)=0 2(b2ae) +2(e2ab) +2(a2be)=02 2 2I(ab) +(be) +(ea)=0 a=b=e這與條件矛盾.因此所給方程不能同時(shí)有相等實(shí)數(shù)根.9.(1)假設(shè)m 1，且三個(gè)方程均無實(shí)數(shù)根，則有1=4(2m+3),2=4m+1,313=8m4,解這個(gè)不等式組得-m -.(2)設(shè)m=1,那么第三個(gè)方程是24312x=0