高一物理-等時(shí)圓專題

1、高一物理“等時(shí)圓”模型專題圖1再由幾何關(guān)系,細(xì)桿長(zhǎng)度L = 2R cos e 一、何謂“等時(shí)圓”“等時(shí)圓”是從一道高考題得到的一個(gè)重要結(jié)論及其應(yīng)用，高考原題如下：在物理教學(xué)中，借助各種模型，把抽象問題具體化，把復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，能使得物理問題 便于理解和接受?；诖宋覍?duì)“等時(shí)圓”規(guī)律和應(yīng)用闡述如下：2004年江西高考試題：如圖1所示，ad、bd、cd是豎直面內(nèi)三根固定的光滑細(xì)桿，a、b、c、d位于同一圓周上，a點(diǎn)為圓周的最高點(diǎn)，d點(diǎn)為最低點(diǎn)。每根桿上都套有一個(gè)小滑環(huán) 中未畫出），三個(gè)滑環(huán)分別從 a、b、c處釋放（初速為 0）,用S t2、t3依次表示 各滑環(huán)到達(dá)d所用的時(shí)間，則（）A.t 1&l

2、t;t2 Vt3B.tl>t2>t3C.t3>tl>t2D.tl=t2=t3解析：選任一桿上的環(huán)為研究對(duì)象，受力分析并建立坐標(biāo)如圖所示，設(shè)圓半 徑為R,由牛頓第二定律得，mg cos 1 - ma設(shè)下滑時(shí)間為由以上三式得,R 可見下4滑時(shí)間與細(xì)桿傾角無(wú)關(guān)， 所以D正確。 g由此題我們可以得出一個(gè)結(jié)論。點(diǎn)的時(shí)間相等，均等于小球沿豎直直徑（ d ）自由落體的時(shí)間。結(jié)論：物體沿著位于同一豎直圓上的所有光滑弦由靜止下滑，到達(dá)圓周最低推論：若將圖1倒置成圖2的形式，同樣可以證明物體從最高點(diǎn)由靜止開始 沿不同的光滑細(xì)桿到圓周上各點(diǎn)所用的時(shí)間相等，均等于小球沿豎直直徑（ 自由落體的時(shí)

3、間。像這樣的豎直圓我們簡(jiǎn)稱為“等時(shí)圓”、“等時(shí)圓”的應(yīng)用，巧用等時(shí)圓模型解題對(duì)于涉及豎直面上物體運(yùn)動(dòng)時(shí)間的比較、計(jì)算等問題可考慮用等時(shí)圓模型求解.例1:如圖3,通過空間任一點(diǎn) A可作無(wú)限多個(gè)斜面，若將若干個(gè)小物體從點(diǎn)A分別沿這些傾角各不相同的光滑斜面同時(shí)滑下，那么在同一時(shí)刻這些小物體所在位置所構(gòu)成的面是（A.球面B.拋物面）C.水平面D.無(wú)法確定解析：由“等時(shí)圓”可知，同一時(shí)刻這些小物體應(yīng)在同一 “等時(shí)圓”上，所 以A正確?！咀兪接?xùn)練】如圖所示,AB和CD是兩條光滑斜槽，它們各自的兩端分別位于半徑為R和r的兩個(gè)相切的豎直圓上，并且斜槽都通過切點(diǎn)P.設(shè)有一個(gè)重物先后沿BB. 1 ： 1C.3 ：

4、 1D. 1 ： 2例2:如圖5,位于豎直平面內(nèi)的固定光滑圓軌道與水平面相切于與豎直墻相切于點(diǎn)A,豎直墻上另一點(diǎn)B與M的連線和水平面的夾角為M點(diǎn),600,C是圓環(huán)軌道的圓心, 已知在同一時(shí)刻：D是圓環(huán)上與 M靠得很近的一點(diǎn)（ DM遠(yuǎn)小于CM）。a、b兩球分別由A、 B兩點(diǎn)從靜止開始沿光滑傾斜直軌道運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)；c球由C點(diǎn)自由下落到M點(diǎn);d球從D點(diǎn)靜止出發(fā)沿圓環(huán)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)。則：（）.CAM圖5B匚A、a球最先到達(dá)M點(diǎn)B、b球最先到達(dá)C、c球最先到達(dá)M點(diǎn)D、d球最先到達(dá)解析：設(shè)圓軌道半徑為R,“等時(shí)圓”理論,M點(diǎn)=2tb> ta，一一2 R 一 一一一體運(yùn)動(dòng)tc= I；而d球滾下是個(gè)單擺模型，擺

5、長(zhǎng)為-,所以C正確。斜槽從靜止出發(fā)，從 A滑到B和從C滑到D,所用的時(shí)間分別等于 t1和t2,則t1和 t2之比為（g 一定，所以e越大時(shí)，下滑21tb > ta > td > tc.例3：三個(gè)相同小球從a點(diǎn)沿ab、ac、ad三條光滑軌道從靜止釋放，哪個(gè)小球先運(yùn)動(dòng)到 最低點(diǎn)?解析1 ：設(shè)斜面?zhèn)冗呴L(zhǎng)為1 ,傾角為0,則物體沿光滑斜面下滑時(shí)加速度 為a = g sin 0 ,物體的位移為 x =l/sin日。物體由斜面頂端由靜止開始運(yùn)動(dòng)到底端，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得所用時(shí)間越短解析2:按照右圖做三個(gè)輔助圓，根據(jù)“等時(shí)圓”模型可知tac =taf , tab = t ag。由 1 ae &

6、lt; 1 af < 1 ag 可推知 t ae < t af <t ag ,所以。< t ac < t ab例4:兩光滑斜面的高度都為 h,甲、乙兩斜面的總長(zhǎng)度都為 成，如圖5所示，將兩個(gè)相同的小球從斜面的頂端同時(shí)由靜止釋放，1,只是乙斜面由兩部分組不計(jì)拐角處的能量損失,問哪一個(gè)球先到達(dá)斜面底端?解析：構(gòu)想一輔助圓如圖8所示：在AF上取一點(diǎn)O,使OA=OC，以。點(diǎn)為圓心，以O(shè)A為半徑畫圓，此圓交AD于E點(diǎn)。由 等時(shí)圓”可知，tAC =tAE由機(jī)械能守恒定律可知:Vc >Ve , Vb =Vd ,所以Vbc > Ved。又因?yàn)閮尚泵鎠的總長(zhǎng)度相等，所以

7、SBC <SDE ,根據(jù)V =得，tBC <tED ,所以有tt即乙球先到達(dá)斜面底端。例5:在離坡底B為10cm的山坡面上豎直地固定一根直桿，桿高上端A到坡底B之間有鋼繩，一穿心于鋼繩上的物體（如圖9）從A點(diǎn)由靜止開始沿鋼繩無(wú)摩擦地滑下，求它在鋼繩上滑行時(shí)間 2 （g=10m/s ）答案：如圖10,把AO延長(zhǎng)到C,使OC=OA=10cm ,則點(diǎn)。到A、 B、C三點(diǎn)的距離相等。以 。為圓心，OA為半徑作圓，則 B、C 一定 在該圓的圓周上，由結(jié)論可知，物體從A到B的時(shí)間與從A到C的時(shí)OA也是10cm。桿的圖9圖10間相等，即 tAB =tAC -j'2 AC /g-=、；2

8、20 /10-=：2s。例6:傾角為30°的長(zhǎng)斜坡上有 C、O、B三點(diǎn)，CO = OB = 10m,在C點(diǎn) 豎直地固定一長(zhǎng)10 m的直桿AO。A端與C點(diǎn)間和坡底B點(diǎn)間各連有一光滑的 鋼繩，且各穿有一鋼球（視為質(zhì)點(diǎn)） ，將兩球從 A點(diǎn)由靜止開始、同時(shí)分別沿 兩鋼繩滑到鋼繩末端，如圖 11所示，則小球在鋼繩上滑行的時(shí)間tAC和tAB分別為（取 g = 10m/s2）A. 2s和 2sB. J2s 和 2sC. Qs 和 4sD. 4s 和 <2s解析：由于CO = OB =OA，故A、B、C三點(diǎn)共圓，。為圓心。又因直桿AO豎直，A點(diǎn)是該圓的最高點(diǎn)，如圖 12所示。兩球由靜止釋放，且

9、光滑無(wú)摩 擦，滿足“等時(shí)圓”條件。設(shè)鋼繩 AB和AC與豎直方向夾角分別為 a 1、a 2 該圓半徑為r,則對(duì)鋼球均有122 r cos = g cos : *t2解得：t=J,鋼球滑到斜坡時(shí)間t跟鋼繩與豎直方向夾角 a無(wú)關(guān)，且都等 ,g于由A到D的自由落體運(yùn)動(dòng)時(shí)間。代入數(shù)值得t=2s,選項(xiàng)A正確。圖12例7:如圖5所示，在同一豎直線上有 A、B兩點(diǎn)，相距為h, B點(diǎn)離地高度為 H,現(xiàn)在要在地面上尋找一點(diǎn) P,使得從A、B兩點(diǎn)分別向點(diǎn)P安放的光滑木板， 滿足物體從靜止開始分別由 A和B沿木板下滑到P點(diǎn)的時(shí)間相等，求 O、P兩點(diǎn)之間的距離0Po解析：由“等時(shí)圓”特征可知，當(dāng) A、B處于等時(shí)圓周上，

10、且 P點(diǎn)處于等時(shí)圓的最低點(diǎn)時(shí)，即能滿足題設(shè)要求。如圖6所示，此時(shí)等時(shí)圓的半徑為：hR = 01 P = H -2所以 0 P = . R2-( )2 = H (H h )例8:如圖15,在斜坡上有一根旗桿長(zhǎng)為 L,現(xiàn)有一個(gè)小環(huán)從旗 桿頂部沿一根光滑鋼絲 AB滑至斜坡底部，又知 0B=L。求小環(huán)從A 滑到B的時(shí)間。（此題與例5例6均屬于同種類型）【解析】：可以以0為圓心，以L為半徑畫一個(gè)圓。根據(jù)“等 時(shí)圓”的規(guī)律可知，從 A滑到B的時(shí)間等于從A點(diǎn)沿直徑到底端 DD圖151例9:如圖所小,圓弧 AB是半彳空為R的4圓弧，在AB上放置 一光滑木板BD , 一質(zhì)量為m的小物體在BD板的D端由靜止下滑，

11、 然后沖向水平面 BC,在BC上滑行L后停下.不計(jì)小物體在 B點(diǎn)的 能量損失，已知小物體與水平面BC間的動(dòng)摩擦因數(shù)為 小求：小物體在BD上下滑過程中重力做功的平均功率.解析：由動(dòng)能定理可知小物體從D至ij C有WG 科mgL = 0,所以 WG =科mgL ,由等時(shí)圓知p=wg=mgL rgt 2 V R.識(shí)可知小物體從 D到B的時(shí)間等于物體從圓周的最高點(diǎn)下落到B點(diǎn)的時(shí)間，即為t =小物體在木板BD上下滑過程中，重力做功的平均功率為例10:如圖17, 一質(zhì)點(diǎn)自傾角為 a的斜面上方的定點(diǎn) O沿光滑斜槽OP從靜止 開始下滑，為使質(zhì)點(diǎn)從 O點(diǎn)滑到斜面的時(shí)間最短，則斜槽與豎直方向的夾角 P應(yīng)為 多大？

12、解析：如圖17,作以O(shè)P為弦的輔助圓，使圓心 O/與O的連線在豎直線上，且與斜面相切于 P點(diǎn)。由“等時(shí)圓”可知，唯有在O點(diǎn)與切點(diǎn)P點(diǎn)架設(shè)的斜槽滿足題圖17設(shè)條件，質(zhì)點(diǎn)沿其它斜槽滑至斜面的時(shí)間都大于此時(shí)間。由圖可知，/PO 'A =u ,又O O P為等腰三角形，所以 P =5。2【變式訓(xùn)練1】：如圖18, AB是一傾角為。的輸送帶，P處為原料輸入口，為避免粉 塵飛揚(yáng)，在P與AB輸送帶間建立一管道（假使光滑），使原料從P處以最短的時(shí)間到達(dá)輸 送帶上，則管道與豎直方向的夾角應(yīng)為多大？由于 pm = 1 at 22聯(lián)立解得：t2hg cos cos( u - ：)令根式中分母y =cos a

13、cos( 0 -a),利用積化和差得:解析：借助“等時(shí)圓”，可以過P點(diǎn)的豎直線為半徑作圓，要求該圓與輸送帶AB相切,如圖19所示，C為切點(diǎn)，O為圓心。顯然，沿著 PC弦建立管道，原料從 P處到達(dá)C點(diǎn)處 的時(shí)間與沿其他弦到達(dá)“等時(shí)圓”的圓周上所用時(shí)間相等。因而，要使原料從P處到達(dá)輸送帶上所用時(shí)間最短，需沿著PC建立管道。由幾彳S關(guān)系可得：PC與豎直方向間的夾角等于。/ 2?！咀兪接?xùn)練2】：如圖20所示，在同一豎直平面內(nèi)， 從定點(diǎn)P到固定斜面（傾角為。）搭建 一條光滑軌道 PM,使物體從P點(diǎn)釋放后，沿軌道下滑到斜面的時(shí)間最短，則此軌道與豎直線的夾角“為多少？解析1：解析法求解。從定點(diǎn) P向斜面作垂

14、線，垂足為 D,如圖21所示，設(shè)P到斜面距離為h,則軌道長(zhǎng)度為hPM 二cos（ 1 - :）物體沿軌道下滑的加速度a = g cos a1 Iy = - Cos 8 +cos（ 2a 8） , 0 一7E,當(dāng)口 = 時(shí)，分母y取得取大值，物體沿軌道下滑 22的時(shí)間t最小。解析2：: “等時(shí)圓”作圖求解。以定點(diǎn) P為“等時(shí)圓”最高點(diǎn)，作出系列半徑 r不同（動(dòng)態(tài)的）“等時(shí)圓”，所有軌道的末端均落在對(duì)應(yīng)的“等時(shí)圓”圓周上，如圖22中甲所示，則軌道長(zhǎng)度均可表示為PM = 2 R cos二.物體沿軌道下滑的加速度a = g cos 口12由于PM = at ,故得:2t欲t最小，則須“等時(shí)圓”的半徑r

15、最小。顯然，半徑最小的“等時(shí)圓”在圖中與斜面相切于 M2 點(diǎn)，如圖22中乙所示。再根據(jù)幾何關(guān)系可知：9a =。2在這里，用了轉(zhuǎn)化的思想，把求最短時(shí)間轉(zhuǎn)化為求作半徑最小的 “等時(shí)圓”，避免了用解 析法求解的復(fù)雜計(jì)算。圖22例11:如圖23所示，在豎直面內(nèi)有一圓，圓內(nèi)OM水平線，圓周上有三根互成3 00的光滑桿OA、OB、O C ,每根桿上套著一個(gè)小 球（圖中未畫出）。現(xiàn)讓一個(gè)小球分別沿三根桿頂端無(wú)初速下滑到O所用的時(shí)間分別為tA、tB、tc ,則（）A tA =tB =k BtA <tB <tc C tA >tB Rc D 無(wú)法確定解析：題設(shè)圖24中O點(diǎn)不在圓的最低點(diǎn)，故不是“

16、等時(shí)圓” 。延 長(zhǎng)OA,過B作B/BBO ,則 O、B、B/在同一圓周上，B，處自由下 落到O的時(shí)間和小球沿光滑桿由B無(wú)初速滑到O的時(shí)間相同。同理，過C作C/CLCO,則O、C、C/在同一圓周上，C/處自由下落到 O的時(shí) 間和小球沿光滑桿由 C無(wú)初速滑到O的時(shí)間相同。C/、B/、A自由下落 到O的時(shí)間依次遞減，故選項(xiàng) B正確。B圖23圖24例12:有三個(gè)光滑斜軌道 1、2、3,它們的傾角依次是60°, 450和30°,這些軌道交于 O點(diǎn).現(xiàn)有位于同一豎直線上的3個(gè)小物體甲、乙、丙，分別沿這3個(gè)軌道同時(shí)從靜止自由下滑，如圖，物體滑到順序是（）A.甲最先，乙稍后，丙最后B.乙最

17、先，然后甲和丙同時(shí)到達(dá)O點(diǎn)的先后水平而C.甲、乙、丙同時(shí)到達(dá)D.乙最先，甲稍后，丙最后解析：設(shè)斜面底邊長(zhǎng)為l ,傾角為9 ,則物體沿光滑斜面下滑時(shí)加速度為a = g sin日，物體的位移為x =l/cos 9。物體由斜面頂端由靜止開始運(yùn)動(dòng)到底端，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得l 1二_ gcos 二 2sin Qt 2 ?21g g sin 0cos 0 g sin 2 日4l , l、g 一定，所以當(dāng)0=45 口時(shí)，tmin例13:如圖，圓柱體的倉(cāng)庫(kù)內(nèi)有三塊長(zhǎng)度不同的滑板aO、bO、底部圓心O,而上端則擱在倉(cāng)庫(kù)側(cè)壁，三塊滑塊與水平面的夾角依次為 有三個(gè)小孩同時(shí)從 a、b、c處開始下滑（忽略阻力），則 （cO

18、,其下端都固定于30°、45°、60°。若A、 a處小孩最先到。點(diǎn) C、c處小孩最先到O點(diǎn)B、b處小孩最先到。點(diǎn)D、a、c處小孩同時(shí)到。點(diǎn)解析：三塊滑塊雖然都從同一圓柱面上下滑，但a、b、c三點(diǎn)不可能在同一豎直圓周上，所以下滑時(shí)間不一定相等。設(shè)圓柱底面半徑為R,則-R-=gsin 0 t2, t2=,當(dāng) 0 =450 時(shí)，t 最小，當(dāng)2g sin 21=300 和 600 時(shí),sin2 0的值相等。例14:如圖27,在設(shè)計(jì)三角形的屋頂時(shí)，為了使雨水能盡快地從屋頂流下，并認(rèn)為雨水是從靜止開始由屋頂無(wú)摩擦地流動(dòng)。試分析和解：在屋頂寬度（21） 一定的條件下，屋頂?shù)膬A角

19、應(yīng)該多大？雨水流下的最短時(shí)間是多少?解析1:如圖所示，設(shè)斜面底邊長(zhǎng)為1 ,傾角為日，則雨滴沿光滑斜面下淌時(shí)加速度為a = g sin 9 ,雨滴的位移為 x =l/cos日。雨滴由斜面頂端由靜止開始運(yùn)動(dòng)到底端,由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得 1cos1g sin2圖27821cos g sin 2 1Jin解析2（等時(shí)圓）：相垂直；并以L為半徑、角不同的屋頂A1B 、 A2l、 g一定，所以當(dāng)e = 45。時(shí)，如圖4所示，通過屋頂作垂線 AC與水平線BDO為圓心畫一個(gè)圓與AC、BC相切。然后，畫傾B、 A3B從圖28可以看出：在不同傾角的屋頂中，只有A2B是圓的弦，而其余A小B 一 C圖28均為圓的割線。根據(jù) 等時(shí)圓”規(guī)律，雨水沿A?B運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最短，且最短 時(shí)間為tmin而屋頂?shù)膬A角則為L(zhǎng)otan - =1 = 45【變式訓(xùn)練】： 的定圓的