一元二次方程根的分布

1、合肥一中高一數(shù)學組 姚微微 2012-11-8一元二次方程根的分布一知識要點 二次方程的根從幾何意義上來說就是拋物線與軸交點的橫坐標，所以研究方程的實根的情況，可從的圖象上進行研究 若在內(nèi)研究方程的實根情況，只需考察函數(shù)與軸交點個數(shù)及交點橫坐標的符號，根據(jù)判別式以及韋達定理，由的系數(shù)可判斷出的符號，從而判斷出實根的情況 若在區(qū)間內(nèi)研究二次方程，則需由二次函數(shù)圖象與區(qū)間關系來確定表一：（兩根與0的大小比較即根的正負情況）分布情況兩個負根即兩根都小于0兩個正根即兩根都大于0一正根一負根即一個根小于0，一個大于0大致圖象（）得出的結論大致圖象（）得出的結論綜合結論（不討論）表二：（兩根與的大小比較）

2、分布情況兩根都小于即兩根都大于即一個根小于，一個大于即大致圖象（）得出的結論大致圖象（）得出的結論綜合結論（不討論）表三：（根在區(qū)間上的分布）分布情況兩根都在內(nèi)兩根有且僅有一根在內(nèi)（圖象有兩種情況，只畫了一種）一根在內(nèi)，另一根在內(nèi)，大致圖象（）得出的結論或大致圖象（）得出的結論或綜合結論（不討論）根在區(qū)間上的分布還有一種情況：兩根分別在區(qū)間外，即在區(qū)間兩側，（圖形分別如下）需滿足的條件是 （1）時，； （2）時，對以上的根的分布表中一些特殊情況作說明： 兩根有且僅有一根在內(nèi)有以下特殊情況： 若或，則此時不成立，但對于這種情況是知道了方程有一根為或，可以求出另外一根，然后可以根據(jù)另一根在區(qū)間內(nèi)，

3、從而可以求出參數(shù)的值。如方程在區(qū)間上有一根，因為，所以，另一根為，由得即為所求； 方程有且只有一根，且這個根在區(qū)間內(nèi)，即，此時由可以求出參數(shù)的值，然后再將參數(shù)的值帶入方程，求出相應的根，檢驗根是否在給定的區(qū)間內(nèi)，如若不在，舍去相應的參數(shù)。 如方程有且一根在區(qū)間內(nèi)，求的取值范圍。分析：由即得出；由即得出或，當時，根，即滿足題意；當時，根，故不滿足題意；綜上分析，得出或二例題選講（1）兩個根在實數(shù)的同一側例1已知方程有兩個負根，求的取值范圍（2）兩個根在實數(shù)的異側例2：求實數(shù)的范圍，使關于的方程（）有兩個實根，且一個比大，一個比?。ǎ┯袃蓚€實根，且滿足（）至少有一個正根（3）在區(qū)間有且只有一個實根例3：已知關于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.若方程有兩根，其中一根在區(qū)間(1，0)內(nèi)，另一根在區(qū)間(1，2)內(nèi)，求m的范圍.（4）在區(qū)間有兩個實根例4：已知方程x2 + (3m-1)x + (3m-2)=0的兩個根都屬于( -3, 3)，且其中至少有一個根小于1，求m的取值范圍（5） 在區(qū)間有實根例5已知是實數(shù)，函數(shù)，如果函數(shù)在區(qū)間上有零點，求的取值范圍三鞏固練習1已知二次方程有且只有一個實根屬于( -1, 1)，求m的取值范圍2已知二次方程有且只有一個實根屬于（1，2），且都不是方程的根，求的取值范圍3已知二次方程的兩個根都屬于（