最短路徑問題(將軍飲馬問題)--教學(xué)設(shè)計(jì)(共8頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上最短路徑問題將軍飲馬問題及延伸湖南省永州市雙牌縣茶林學(xué)校熊東旭最短路徑問題 教學(xué)內(nèi)容解析：本節(jié)課的主要內(nèi)容是利用軸對稱研究某些最短路徑問題，最短路徑問題在現(xiàn)實(shí)生活中經(jīng)常遇到，初中階段，主要以“兩點(diǎn)之間，線段最短”“三角形兩邊之和大于第三邊”為知識基礎(chǔ)，有時(shí)還要借助軸對稱、平移變換進(jìn)行研究。本節(jié)課以數(shù)學(xué)史中的一個(gè)經(jīng)典故事-“將軍飲馬問題”為載體開展對“最短路徑問題”的課題研究，讓學(xué)生經(jīng)歷將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)的線段和最小問題，再利用軸對稱將線段和最小問題轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間、線段最短”的問題。教學(xué)目標(biāo)設(shè)置：1、 能利用軸對稱解決最短路徑問題。2、 在解題過程能總結(jié)出解題方法，

2、能進(jìn)行一定的延伸。3、體會“軸對稱”的橋梁作用，感悟轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)：重點(diǎn)：利用軸對稱將最短路徑問題轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間、線段最短”問題。難點(diǎn)：如何利用軸對稱將最短路徑問題轉(zhuǎn)化為線段和最小問題。學(xué)情分析：1、八年級學(xué)生的觀察、操作、猜想能力較強(qiáng)，但演繹推理、歸納和運(yùn)用數(shù)學(xué)意識的思想比較薄弱，自主探究和合作學(xué)習(xí)能力也需要在課堂教學(xué)中進(jìn)一步引導(dǎo)。此年齡段的學(xué)生具有一定的探究精神和合作意識，能在一定的親身經(jīng)歷和體驗(yàn)中獲取一定的數(shù)學(xué)新知識，但在數(shù)學(xué)的說理上還不規(guī)范，集合演繹推理能力有待加強(qiáng)。2、學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過 “兩點(diǎn)之間，線段最短?！币约啊按咕€段最短”。以及剛剛學(xué)習(xí)的軸對稱和垂直平分線的性質(zhì)作

3、為本節(jié)知識的基礎(chǔ)。教學(xué)條件分析:在初次解決問題時(shí)，學(xué)生出現(xiàn)了多種方法，通過測量，發(fā)現(xiàn)利用軸對稱將同側(cè)兩點(diǎn)轉(zhuǎn)化為異側(cè)兩點(diǎn)求得的線段和比較短；進(jìn)而利用PPT動畫演示，實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了結(jié)論的一般性；最后通過邏輯推理證明。教具準(zhǔn)備：直尺、ppt教學(xué)過程：環(huán) 節(jié)教師活動學(xué)生活動設(shè)計(jì)意圖一復(fù)習(xí)引入1.【問題】：看到圖片，回憶如何用學(xué)過的數(shù)學(xué)知識解釋這個(gè)問題？2.這樣的問題，我們稱為“最短路徑”問題。1、兩點(diǎn)之間，線段最短。2、兩邊之和大于第三邊。從學(xué)生已經(jīng)學(xué)過的知識入手，為進(jìn)一步豐富、完善知識結(jié)構(gòu)做鋪墊。二探究新知1.探究一：【故事引入】：唐朝詩人李頎在古從軍行中寫道：“白日登山望峰火，黃昏飲馬傍交河”詩中就隱

4、含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問題，古時(shí)候有位將軍，每天從軍營回家，都要經(jīng)過一條筆直的小河。而將軍的馬每天要到河邊喝水，那么問題來了，問題：怎樣走才能使總路程最短呢？認(rèn)真讀題，仔細(xì)思考。將實(shí)際問題中的“地點(diǎn)”“河”抽象為數(shù)學(xué)中的“點(diǎn)”“線”，把實(shí)際問題抽象線段和最小問題。從異側(cè)問題入手，由簡到難，逐步深入。二探究新知2.探究二：【變換情境】：后來將軍把家搬到了河的對面，若還是要帶馬先到河邊喝水，然后再回家，應(yīng)該怎樣走，才能使總路程最短呢？（1）【轉(zhuǎn)化】：你能將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題嗎？（2）【展示】：讓學(xué)生猜想，并畫出圖形。巡視發(fā)現(xiàn)學(xué)生不同的作法（盡可能多），分別展示各小組的作法。給予學(xué)生一定的提示。（3

5、）【度量】：如何才能判斷哪種猜想是正確的呢？（測量一下）在幾何畫板中分別度量出AC,BC的長度，并計(jì)算AC+BC。讓學(xué)生觀察數(shù)值如何變化。并反思各自的作法是否正確。【回答】：學(xué)生思考并回答，如何將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題。已知：直線L和同側(cè)兩點(diǎn)A、B求作：直線L上一點(diǎn)C，使C滿足AC+BC的值最小。【學(xué)生展示】：作法1： 作法2：作法3：【學(xué)生反思】：第1種作法是利用“垂線段最短”，得到AC最短，利用“兩點(diǎn)之間線段最短”，得到BC最短，但不能確定AC+BC是最短的。第2種作法只能說明在河l上取一點(diǎn)，到A、B兩地的距離相等，也就是ACBC。不能說明AC+BC最短第3種作法應(yīng)該是正確的。學(xué)生主動探索

6、，充分發(fā)揮學(xué)生的主動性。展示多種方法，產(chǎn)生思維沖突，引發(fā)學(xué)生進(jìn)一步探究的學(xué)習(xí)欲望。二探究新知3.解決問題【追問】用第3種作法的同學(xué)，你們是怎樣想到作點(diǎn)B關(guān)于直線L的對稱點(diǎn)的？為什么要作對稱點(diǎn)？如果做點(diǎn)B關(guān)于直線L的對稱點(diǎn)，就是把點(diǎn)B移到了另一側(cè)，而且滿足了BCBC。其實(shí)直線L上所有點(diǎn)到B和B的距離都相等。也可是根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)，L就是線段BB的垂直平分線，而垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等。利用軸對稱將同側(cè)線段和最短轉(zhuǎn)化為異側(cè)線段和最短問題。借助軸對稱，把折線轉(zhuǎn)化為線段的長來求解。讓學(xué)生進(jìn)一步體會做法的正確性，提高邏輯思維能力。讓學(xué)生在反思的過程中，體會軸對稱的作用，感悟轉(zhuǎn)化思想，

7、豐富數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)。（4）【推理論證】：如何證明AC+BC最短呢？【提示】：沒有比較就不會產(chǎn)生大小。通常我們要在直線上任另取一點(diǎn)C（與點(diǎn)C不重合），只要證明AC+BCAC+BC即可。老師動手操作，驗(yàn)證結(jié)論的正確性。（1）學(xué)生自主證明，教師糾錯。（2）師生共同分析，學(xué)生說明證明過程，教師版書。（3）共同完成證明過程。認(rèn)真觀察，思考，要想確認(rèn)AC+BC最短，可以在直線l上任取一點(diǎn)C（不與點(diǎn)C重合）1.獨(dú)立糾錯2.兵教兵讓學(xué)生進(jìn)一步體會作法的正確性，提高邏輯思維能力。通過動畫演示，從特殊到一般地驗(yàn)證了前面的結(jié)論。三發(fā)散思維除了作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)以外，還有沒有別的作法？還可以作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對稱

8、點(diǎn)。發(fā)散思維，培養(yǎng)學(xué)生一題多解的能力。四得出結(jié)論【問題】：我們是如何解決將軍飲馬問題的？先將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題。然后作其中一個(gè)點(diǎn)關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)，連接對稱點(diǎn)和另一點(diǎn)與直線的交點(diǎn)就是滿足最短距離的點(diǎn)的位置。讓學(xué)生反思剛才的探究過程。培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維，和及時(shí)總結(jié)所學(xué)的知識的好習(xí)慣。五 變式鞏固【問題】：如圖，已知：P、Q是ABC的邊AB、 AC上的點(diǎn)，你能在BC上確定一點(diǎn)R， 使PQR的周長最短嗎？在具體問題中實(shí)踐已有模型，固化已有模型。為進(jìn)一步豐富、完善知識結(jié)構(gòu)做鋪墊。六 拓展提升【問題】：如圖,一位將軍騎馬從駐地A出發(fā)，先牽馬去草地 OM吃草，再牽馬去河邊ON喝水， 最后回到駐地A問：這位將

9、軍怎樣走路程最短？【問題】：如圖，A為馬廄，B為帳篷，將軍某一天要從馬廄牽出馬，先到草地邊某一處牧馬，再到河邊飲馬，然后回到帳篷，請你幫助確定這一天的最短路線。七鞏固練習(xí)1. 【題目】：如圖，已知： MON內(nèi)兩點(diǎn)A、B.求作：點(diǎn)C和點(diǎn)D,使得點(diǎn)C在OM上，點(diǎn)D在ON上，且AC+CD+BD+AB最短。2. 【題目】：如圖，如圖，OMCN是矩形的臺球桌面，有黑、白兩球分別位于B、A兩點(diǎn)的位置上，試問怎樣撞擊白球，使白球A依次碰撞球臺邊OM、ON后，反彈擊中黑球？習(xí)題難度，由易到難，逐步深入。讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固解決最短路徑問題的基本策略和基本方法。八課堂小結(jié)1.【問題】：本節(jié)課研究問題的基本過程是什么？ 當(dāng)我們遇到一個(gè)實(shí)際問題，首先，我們要將實(shí)際問題變成一個(gè)數(shù)學(xué)問題（群答），也就是抽象成一個(gè)數(shù)學(xué)模型，這樣可以幫助我們進(jìn)行實(shí)驗(yàn)觀察，進(jìn)而運(yùn)用合情推理得到一個(gè)猜想，然后我們可以通過嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬜C明，驗(yàn)證猜想，從而得出結(jié)論，最后再將結(jié)論運(yùn)用到實(shí)際問題里。2.【問題】：今天我們學(xué)習(xí)了最短路徑的相關(guān)問題，我們應(yīng)該怎么樣找到它們的最短路徑呢？先確定對稱軸，找出定點(diǎn)的對稱點(diǎn)。然后連接對稱點(diǎn)與另一點(diǎn)確定所求位置點(diǎn)（連接各對稱點(diǎn)確定所求位置點(diǎn)）。我們要先將實(shí)際問題變成一個(gè)數(shù)學(xué)