高中數(shù)學(xué)第8章圓錐曲線方程（第9課時(shí)）雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程（2）

1、課 題：83雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程（二）1使學(xué)生掌握雙曲線的定義，熟記雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，并能初步應(yīng)用；2使學(xué)生初步會(huì)按特定條件求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程； 3培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維的能力教學(xué)重點(diǎn)：標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡單應(yīng)用教學(xué)難點(diǎn)：雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)及待定系數(shù)法解二元二次方程組授課類型：新授課 課時(shí)安排：1課時(shí) 教 具：多媒體、實(shí)物投影儀 教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入： 名 稱橢 圓雙 曲 線圖 象定 義 平面內(nèi)到兩定點(diǎn)的距離的和為常數(shù)（大于）的動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫橢圓。即 當(dāng)22時(shí)，軌跡是橢圓， 當(dāng)2=2時(shí)，軌跡是一條線段 當(dāng)22時(shí)，軌跡不存在平面內(nèi)到兩定點(diǎn)的距離的差的絕對(duì)值為常數(shù)（小于）的動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫雙曲線。即當(dāng)22時(shí)，軌跡

2、是雙曲線當(dāng)2=2時(shí)，軌跡是兩條射線當(dāng)22時(shí)，軌跡不存在標(biāo)準(zhǔn)方 程 焦點(diǎn)在軸上時(shí)： 焦點(diǎn)在軸上時(shí)： 注：是根據(jù)分母的大小來判斷焦點(diǎn)在哪一坐標(biāo)軸上焦點(diǎn)在軸上時(shí)： 焦點(diǎn)在軸上時(shí)：注：是根據(jù)項(xiàng)的正負(fù)來判斷焦點(diǎn)所在的位置常數(shù)的關(guān) 系 （符合勾股定理的結(jié)構(gòu)）， 最大，（符合勾股定理的結(jié)構(gòu)）最大，可以二、講解范例：例1 已知雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，中心在原點(diǎn)，且點(diǎn)，在此雙曲線上，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程分析：由于已知焦點(diǎn)在軸上，中心在原點(diǎn)，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可用設(shè)出來，進(jìn)行求解 本題是用待定系數(shù)法來解的，得到的關(guān)于待定系數(shù)的一個(gè)分式方程組，并且分母的次數(shù)是2，解這種方程組時(shí)利用換元法可將它化為二元二次方程組；也可將

3、的倒數(shù)作為未知數(shù)，直接看作二元一次方程組 解：因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)在軸上，中心在原點(diǎn)，所以設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 （）則有 ，即解關(guān)于的二元一次方程組，得 所以，所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 變式例題1 點(diǎn)A位于雙曲線上，是它的兩個(gè)焦點(diǎn)，求的重心G的軌跡方程 分析：要求重心的軌跡方程，必須知道三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)，利用相關(guān)點(diǎn)法進(jìn)行求解 注意限制條件 解：設(shè)的重心G的坐標(biāo)為，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為因?yàn)辄c(diǎn)A位于雙曲線上，從而有，即所以，的重心G的軌跡方程為 點(diǎn)評(píng)：求軌跡方程，常用的方法是直接求法和間接求法兩種 例1是直接利用待定系數(shù)法求軌跡方程 本題則是用間接法(也叫代入法)來解題，補(bǔ)充本例是為了進(jìn)一步提高學(xué)生

4、分析問題和解決問題的能力 另外本題所求軌跡中包含一個(gè)隱含條件，它表現(xiàn)為軌跡上點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)滿足一個(gè)不等關(guān)系，而這一點(diǎn)正是學(xué)生容易忽略，造成錯(cuò)誤的地方，所以講解本題有利于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的縝密性，養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)細(xì)致的學(xué)習(xí)品質(zhì) 變式例題2 已知的底邊BC長為12，且底邊固定，頂點(diǎn)A是動(dòng)點(diǎn)，使，求點(diǎn)A的軌跡分析：首先建立坐標(biāo)系，由于點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)規(guī)律不易用坐標(biāo)表示，注意條件的運(yùn)用，可利用正弦定理將其化為邊的關(guān)系，注意有關(guān)限制條件解：以底邊BC 為軸，底邊BC的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，這時(shí)，由得,即 所以，點(diǎn)A的軌跡是以為焦點(diǎn)，2=6的雙曲線的左支 其方程為：點(diǎn)評(píng)：求軌跡方程的過程中，有一個(gè)重要的步驟就是找出(或聯(lián)想

5、到)軌跡上的動(dòng)點(diǎn)所滿足的幾何條件，列方程就是根據(jù)這些條件確定的，由于軌跡問題比較普遍，題型多樣，有些軌跡上的動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件可能比較隱蔽和復(fù)雜解決它需要突出形數(shù)結(jié)合的思考方法，運(yùn)用邏輯推理，結(jié)合平面幾何的基本知識(shí)，分析、歸納，這里安排本例就是針對(duì)以上情況來進(jìn)行訓(xùn)練的 例2 一炮彈在某處爆炸，在A處聽到爆炸聲的時(shí)間比在B處晚2s(1)爆炸點(diǎn)應(yīng)在什么樣的曲線上？(2)已知A、B兩地相距800m，并且此時(shí)聲速為340 ms，求曲線的方程分析：解應(yīng)用題的關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型 根據(jù)本題設(shè)和結(jié)論，注意到在A處聽到爆炸聲的時(shí)間比B處晚2s,這里聲速取同一個(gè)值 解：(1)由聲速及A、B兩處聽到爆炸聲的時(shí)間差，

6、可知A、B兩處與爆炸點(diǎn)的距離的差，因此爆炸點(diǎn)應(yīng)位于以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線上因?yàn)楸c(diǎn)離A處比離B處更遠(yuǎn)，所以爆炸點(diǎn)應(yīng)在靠近B處的一支上(2)如圖，建立直角坐標(biāo)系，使A、B兩點(diǎn)在軸上，并且點(diǎn)O與線段AB的中點(diǎn)重合設(shè)爆炸點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則 |PA|PB|=340×2=680，即 2680，340又|AB|=800， 2c=800，c=400，44400 |PA|PB|6800， 0所求雙曲線的方程為 （0）例2說明，利用兩個(gè)不同的觀測(cè)點(diǎn)測(cè)得同一炮彈爆炸聲的時(shí)間差，可以確定爆炸點(diǎn)所在的雙曲線的方程，但不能確定爆炸點(diǎn)的準(zhǔn)確位置如果再增設(shè)一個(gè)觀測(cè)點(diǎn)C，利用B、C(或A、C)兩處測(cè)得的爆炸聲的時(shí)間

7、差，可以求出另一個(gè)雙曲線的方程，解這兩個(gè)方程組成的方程組，就能確定爆炸點(diǎn)的準(zhǔn)確位置這是雙曲線的一個(gè)重要應(yīng)用想一想，如果A、B兩處同時(shí)聽到爆炸聲，那么爆炸點(diǎn)應(yīng)在什么樣的曲線上（爆炸點(diǎn)應(yīng)在線段AB的中垂線上）點(diǎn)評(píng)：本例是培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用雙曲線知識(shí)解決實(shí)際問題的一道典型題目，安排在此非常有利于強(qiáng)化學(xué)生“應(yīng)用數(shù)學(xué)”的意識(shí)，后面對(duì)“想一想”的教學(xué)處理，有利于調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)主動(dòng)性和積極性，培養(yǎng)他們的發(fā)散思維能力例3求與圓及都外切的動(dòng)圓圓心的軌跡方程解：設(shè)動(dòng)圓的半徑為r，則由動(dòng)圓與定圓都外切得，又因?yàn)?，由雙曲線的定義可知，點(diǎn)M的軌跡是雙曲線的一支所求動(dòng)圓圓心的軌跡是雙曲線的一支，其方程為： 三、課堂練習(xí)：1判斷方程所表示的曲線。解：當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，是橢圓；當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，是雙曲線；2求焦點(diǎn)的坐標(biāo)是（-6，0）、（6，0），并且經(jīng)過點(diǎn)A（-5，2）的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。答案： 3求經(jīng)過點(diǎn)和，焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程答案：4橢圓和雙曲線有相同的焦點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的值是 （ ） A B C 5 D 9答案：B5已知是雙曲線的焦點(diǎn)，PQ是過焦點(diǎn)的弦，且PQ的傾斜角為600，那么的值為（答案： 416）6設(shè)是雙曲線的焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上,且,則點(diǎn)P到軸的距離為( ) A 1 B C 2 D 答案：B 的面積為，從而有7P為雙曲線上一點(diǎn)，若F是一個(gè)焦點(diǎn)