高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽專題復(fù)習(xí)學(xué)案14講 第6講 數(shù)列（二）

1、第6講 數(shù)列（二）一、知識(shí)歸納（一）遞推數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)1、概念：、遞推式：一個(gè)數(shù)列an中的第n項(xiàng)an與它前面若干項(xiàng)an-1,an-2an-k（k<n）的關(guān)系式稱為遞歸式。 、遞推數(shù)列：由遞歸式和初始值確定的數(shù)列成為遞歸數(shù)列。2、常用方法：累加法，迭代法，代換法，代入法，不動(dòng)點(diǎn)法，歸納猜想等。3、思想策略：構(gòu)造新數(shù)列的思想，尤其是利用待定系數(shù)法構(gòu)造類似于“等比數(shù)列”的新數(shù)列來(lái)求解。（二）遞推數(shù)列的常見(jiàn)類型通過(guò)遞推關(guān)系探討數(shù)列的通項(xiàng)公式，是高考數(shù)列問(wèn)題的熱點(diǎn)。這類問(wèn)題的處理方法是向特殊數(shù)列（等差、等比數(shù)列）轉(zhuǎn)化，利用特殊數(shù)列的性質(zhì)求數(shù)列的通項(xiàng)公式。下面提供6類常見(jiàn)變形： 遞推關(guān)系行如：的數(shù)列

2、用累加法直接求解，得，（）然后求解。 遞推關(guān)系形如：的數(shù)列用累乘法直接求解，得，（） 遞推關(guān)系形如：（為常數(shù)且）的數(shù)列兩邊同除于，求出的表達(dá)式，再求；還有形如的遞推式，也可采用取倒數(shù)方法轉(zhuǎn)化成為形式，利用后面的第類方法解決； 遞推關(guān)系形如：（為p，q為常數(shù)且）的數(shù)列（）通過(guò)待定系數(shù)法化為，再利用等比數(shù)列求出的表達(dá)式，進(jìn)而求出；（）也可由得兩式相減可得：，利用成等比數(shù)列求出，再利用累加法求；（）也可利用迭代法得：，求和得； 遞推數(shù)列形如：的數(shù)列（為常數(shù)且）（）可化為 ，利用第種類型求出后解出；（）也可利用累加法：， ，由上述個(gè)等式相加可解解出； 遞推數(shù)列形如：的數(shù)列用待定系數(shù)法，設(shè)為，就是，則可

3、從，解得，于是是公比為的等比數(shù)列，這樣就轉(zhuǎn)化為類型。（三）遞推數(shù)列的選講內(nèi)容（1）特征根法特征根法是專用來(lái)求線性遞推式的好方法，先來(lái)了解特征方程的一般例子，通過(guò)這個(gè)來(lái)學(xué)會(huì)使用特征方程。：特征方程為，令其兩根為則其通項(xiàng)公式為，用待定系數(shù)法求得。：特征方程為，令其三根為則其通項(xiàng)公式為，用待定系數(shù)法求得。（2）不動(dòng)點(diǎn)法當(dāng)時(shí)，的取值稱為不動(dòng)點(diǎn)，不動(dòng)點(diǎn)是我們?cè)诟?jìng)賽中解決遞推式的基本方法。典型例子：注：我們?nèi)绻靡话惴椒ń鉀Q此題也不是不可以，只是又要待定系數(shù)，又要求倒數(shù)之類的，太復(fù)雜，如果用不動(dòng)點(diǎn)的方法，此題就很容易了。令，即，令此方程的兩個(gè)根為：若，則有（構(gòu)造等差數(shù)列）其中可以用待定系數(shù)法求解，然后再利

4、用等差數(shù)列通項(xiàng)公式求解。若，則有其中，可以用待定系數(shù)法求解，然后再利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式求解。我們上面探討了形如的遞推數(shù)列（其中函數(shù)為基本初等函數(shù)復(fù)合而成），其基本解題思路是通過(guò)構(gòu)造等差或等比數(shù)列來(lái)求解。數(shù)列還可與其它章節(jié)的內(nèi)容產(chǎn)生很多交匯點(diǎn)，比如數(shù)列與函數(shù)、數(shù)列與不等式、數(shù)列與解析幾何等。此類問(wèn)題，一般可先求其通項(xiàng)公式，利用通項(xiàng)公式，結(jié)合多方面的知識(shí)和各種數(shù)學(xué)方法加以解決。如與不等式結(jié)合的綜合題，就利用比較法、放縮法等。若給出的數(shù)列難于求通項(xiàng)，可借助與構(gòu)造法、數(shù)學(xué)歸納法、函數(shù)與方程的知識(shí)等加以解決。二、精例剖析例1在各項(xiàng)均不為零的等差數(shù)列中，若，則（ ） 例2在數(shù)列中，已知，求通項(xiàng)公式。例3在

5、數(shù)列中，求的通項(xiàng)公式和其前項(xiàng)和。變式1數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，寫出與的遞推關(guān)系式，并求關(guān)于的表達(dá)式；變式2 已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列，滿足：，且，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求，并確定最小正整數(shù)，使為整數(shù)例4. 在數(shù)列中，當(dāng)時(shí)，有，求的通項(xiàng)公式。例5.在數(shù)列中，當(dāng)時(shí)，有，求的通項(xiàng)公式。變式3 已知b0，b±1，寫出用n和b表示的通項(xiàng)公式。變式4 在數(shù)列中，求的通項(xiàng)公式。例6.如圖，在平面上有一系列點(diǎn)，對(duì)每個(gè)自然數(shù)，點(diǎn)位于函數(shù)的圖像上，以點(diǎn)為圓心的與軸都相切，且與.（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列； （2）設(shè)的面積為，求證：變式5如圖，在軸的正半軸上依次有點(diǎn)其中點(diǎn)，且,，在射線上依次有點(diǎn)，

6、點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,3)，且.用含的式子表示；用含的式子表示的坐標(biāo)；求四邊形面積的最大值.說(shuō)明：本例為數(shù)列與幾何的綜合題。由題意知為等比，為等差，還要學(xué)會(huì)利用作差法判斷數(shù)列的單調(diào)性，從而求數(shù)列的最值。例7*設(shè)數(shù)列和滿足，且 求證：是完全平方數(shù)。（2000年全國(guó)高中聯(lián)賽加試題）【分析】先用代入法消去和，得，如果等式中沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)6，就可以利用特征根方法求通項(xiàng)，因此可令，易求得。變式*用1，2，3三個(gè)數(shù)字寫n位數(shù)，要求數(shù)中不出現(xiàn)緊挨著的兩個(gè)1，問(wèn)能構(gòu)成多少個(gè)n位數(shù)？三、課后鞏固滿足，則=（ ）A0 B C D2.在數(shù)列中，若， ()，則該數(shù)列的通項(xiàng)=_.【點(diǎn)評(píng)】形如（）的遞推式要熟練掌握求解方法，常見(jiàn)的

7、方法是配湊法和待定系數(shù)法。答案：滿足，若，則（ ）（） （） （） （）【點(diǎn)評(píng)】雖然新課程已經(jīng)取消了極限，但這題如果改成求，則又是一道好題，對(duì)訓(xùn)練學(xué)生思維很有好處，大家不妨試試。答案：B4數(shù)列，記 （）求b1、b2、b3、b4的值；（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式及數(shù)列的前n項(xiàng)和【點(diǎn)評(píng)】本題條件雖給出了關(guān)于的遞推式，但直接求解比較困難，應(yīng)該將反解再代入遞推式，得到一個(gè)相對(duì)比較簡(jiǎn)單一些的關(guān)于的遞推式，解出；然后整體代換解出（沒(méi)必要解出），再用分組求和法算；本題的還有一個(gè)思路是通過(guò)觀察前幾項(xiàng)找出規(guī)律，然后進(jìn)行歸納、證明，但要想觀察出的規(guī)律其實(shí)也不容易。5已知數(shù)列滿足（）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（）求數(shù)列的通項(xiàng)公

8、式；（）若數(shù)列滿足證明是等差數(shù)列?！军c(diǎn)評(píng)】考查數(shù)列的基本概念；雖然出現(xiàn)三項(xiàng)之間的遞推關(guān)系，但題目已有暗示，難度不大。.科.網(wǎng)6已知數(shù)列（1）證明；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式an.7在直角坐標(biāo)平面上有一點(diǎn)列，對(duì)一切正整數(shù)，點(diǎn)位于函數(shù)的圖象上，且的橫坐標(biāo)構(gòu)成以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列.（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）設(shè)拋物線列中的每一條的對(duì)稱軸都垂直于軸，第條拋物線的頂點(diǎn)為，且過(guò)點(diǎn)，記與拋物線相切于的直線的斜率為，求：；（3）設(shè)，等差數(shù)列的任一項(xiàng)，其中是中的最大數(shù)，求的通項(xiàng)公式.8（第22屆IMO預(yù)選題）在數(shù)列中，求?！痉治觥勘绢}的難點(diǎn)是已知遞推關(guān)系式中的較難處理，可構(gòu)建新數(shù)列，令，這樣就巧妙地去掉了根式，便

9、于化簡(jiǎn)變形。9設(shè)數(shù)列滿足，對(duì)一切，有，求所有被11整除的的一切n值?！痉治觥孔冃芜f推關(guān)系式為，就容易想到怎樣構(gòu)建新數(shù)列了。10*已知向量,其中，把其中所滿足的關(guān)系式記為，若函數(shù)為奇函數(shù).（）求函數(shù)的表達(dá)式；（）已知數(shù)列的各項(xiàng)都是正數(shù)，為數(shù)列的前項(xiàng)和，且對(duì)于任意，都有“數(shù)列的前和”等于，求數(shù)列的首項(xiàng)和通項(xiàng)式；（）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的最小值.第6講 數(shù)列（二） 答案例1解：設(shè)公差為d，則an1and，an1and，由可得2an0，解得an2（零解舍去），故2×（2n1）4n2，故選A例2解：已知遞推式化為，即所以，將以上個(gè)式子相加，得，即，所以例3解：當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，所以，故，變式1 解：

10、由得：，即，所以，對(duì)成立。由，相加得：，又，所以，當(dāng)時(shí)，也成立。變式2 解：（1）條件可化為，因此為一個(gè)等比數(shù)列，其公比為2，首項(xiàng)為，所以 1°因，由1°式解出 2°（2）由1°式有為使為整數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)為整數(shù)，當(dāng)時(shí)，顯然不為整數(shù)；當(dāng)時(shí)，所以只需為整數(shù)，因?yàn)榕c3互質(zhì)，所以為9的整數(shù)倍；當(dāng)時(shí)，為整數(shù)，故的最小值為9例4. 解法1：設(shè)，即有，對(duì)比，得，于是得，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列，所以有解法2：當(dāng)時(shí)，已知遞推式，得，上述兩式相減，得，因此，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列，所以，即，所以 【注：在得到后，也可用累加法求得（過(guò)程略）】例5.解

11、：設(shè)，則，所以，即設(shè)，這時(shí)，且，則是以3為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，所以有，由此得：。說(shuō)明：通過(guò)引入一些尚待確定的系數(shù)轉(zhuǎn)化命題結(jié)構(gòu)，經(jīng)過(guò)變形與比較，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化成基本數(shù)列（等差或等比數(shù)列）。變式3解：將已知遞推式兩邊乘以，得，又設(shè)，于是，原遞推式化為，仿例4，可解得，故。變式4解：在兩邊減去，得，所以是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，所以，令，再把這個(gè)等式累加，得，所以。例6. 解：（1）依題意，的半徑，與彼此外切，兩邊平方化簡(jiǎn)得：(2)變式5解：（1），（2）由（1）得的坐標(biāo)，是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列（3）連接，設(shè)四邊形的面積為，則，單調(diào)遞減.的最大值為.說(shuō)明：本例為數(shù)列與幾何的綜合題。由題

12、意知為等比，為等差，還要學(xué)會(huì)利用作差法判斷數(shù)列的單調(diào)性，從而求數(shù)列的最值。例7*【分析】先用代入法消去和，得，如果等式中沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)6，就可以利用特征根方法求通項(xiàng)，因此可令，易求得。證明：由式得， 代入得化為，構(gòu)建新數(shù)列，且，由特征方程得兩根：，所以當(dāng)，1時(shí)，有，解得：則 則因?yàn)?為正偶數(shù)，所以是完全平方數(shù)。注：從上述各題構(gòu)建新數(shù)列的過(guò)程中，可以看出對(duì)題設(shè)中遞推式的觀察、分析，并據(jù)其結(jié)構(gòu)特點(diǎn)進(jìn)行合理變形，是成功構(gòu)建新數(shù)列的關(guān)鍵。構(gòu)建新數(shù)列的目的是為了化繁為簡(jiǎn)、化未知為已知、化不熟悉為熟悉，這也是解答數(shù)學(xué)問(wèn)題的共性之所在。變式*解：設(shè)符合條件的n位數(shù)共有an種，按首位劃分為：（1）首位是2或3，則

13、以下n-1位各有an-1個(gè)，共2an-1個(gè)；（2）首位是1，第二位只能為2或3，共有2an-2個(gè)，故 an=2an-1+2an-2 易知a1=3,a2=8特征方程是x2-2x-2=0，特征根為和,所以可設(shè)) 取n=1、2，得 ，三、課后鞏固1答案：B，本題考查周期數(shù)列，由于是客觀題，可以通過(guò)觀察前幾項(xiàng)找出規(guī)律。4【點(diǎn)評(píng)】本題條件雖給出了關(guān)于的遞推式，但直接求解比較困難，應(yīng)該將反解再代入遞推式，得到一個(gè)相對(duì)比較簡(jiǎn)單一些的關(guān)于的遞推式，解出；然后整體代換解出（沒(méi)必要解出），再用分組求和法算；本題的還有一個(gè)思路是通過(guò)觀察前幾項(xiàng)找出規(guī)律，然后進(jìn)行歸納、證明，但要想觀察出的規(guī)律其實(shí)也不容易。解法一：（I

14、），（II）因，故猜想，因，（否則將代入遞推公式會(huì)導(dǎo)致矛盾），故的等比數(shù)列., 解法二：（）由整理得（）由，所以故，由得故解法三：（）同解法一（）從而故5【點(diǎn)評(píng)】考查數(shù)列的基本概念；雖然出現(xiàn)三項(xiàng)之間的遞推關(guān)系，但題目已有暗示，難度不大。解：本小題主要考查數(shù)列、不等式等基本知識(shí)，考查化歸的數(shù)學(xué)思想方法，考查綜合解題能力。（I）證明：是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列。（II）解：由（I）得（III）證明：；，得即；，得即是等差數(shù)列。6（1）方法一（用數(shù)學(xué)歸納法證明）1°當(dāng)n=1時(shí)， ，命題正確.2°假設(shè)n=k時(shí)有 則 而又時(shí)命題正確，由1°、2°知，對(duì)一切nN

15、時(shí)有方法二：（數(shù)學(xué)歸納法結(jié)合單調(diào)性證明）1°當(dāng)n=1時(shí)，；2°假設(shè)n=k時(shí)有成立，令，在0，2上單調(diào)遞增，所以由假設(shè)有：即也即當(dāng)n=k+1時(shí) 成立，所以對(duì)一切 （2）下面來(lái)求數(shù)列的通項(xiàng)：，所以，又，所以7解：（1），（2）的對(duì)稱軸垂直于軸,且頂點(diǎn)為，設(shè)的方程為：把代入上式，得，的方程為：。，=（3）根據(jù)題意，因?yàn)槎?，都有，故，所以又因?yàn)?，故可設(shè)，其中，根據(jù)題意可得：，故，所以8解：構(gòu)建新數(shù)列，使，則，即，化簡(jiǎn)得 ，即 ，數(shù)列 是以2為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列。，即，注：這類問(wèn)題可通過(guò)構(gòu)建新數(shù)列進(jìn)行代換，使遞推關(guān)系式簡(jiǎn)化，這樣就把原數(shù)列變形轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列、等比數(shù)列和線性數(shù)列等容易處理的數(shù)列，使問(wèn)題由難變易，所用的即換元和化歸的思想。9