中點(diǎn)四邊形的探究活動(dòng)設(shè)計(jì)

1、中點(diǎn)四邊形的探究 活動(dòng)設(shè)計(jì)德化第三中學(xué)蘇華強(qiáng) 2014-101.2.一、活動(dòng)目的：3.4.5.通過活動(dòng)進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)“三角形中位線”性質(zhì)的理解。 通過活動(dòng)滲透常見數(shù)學(xué)思想與方法如一般與特殊、轉(zhuǎn)化、整體思想等。通過活動(dòng)進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的推理能力。通過活動(dòng)進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的綜合分析問題的能力和嚴(yán)密的邏輯思維能力。 通過活動(dòng)，使學(xué)生獲取成功的體驗(yàn)，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生合作學(xué)習(xí)的能力。二、知識(shí)準(zhǔn)備：“三角形中位線”性質(zhì)三、器材準(zhǔn)備：多媒體、白紙、直尺、刻度尺、鉛筆、各種四邊形四、活動(dòng)方式：教師主導(dǎo)，學(xué)生小組合作五、活動(dòng)準(zhǔn)備：有關(guān)操作的熟悉和使用：課件、找中點(diǎn)、作平行線、量線段長(zhǎng)、測(cè)面積等等。六、活動(dòng)過程：（一

2、）最新華師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)課本P79頁(yè)中，有一道關(guān)于中點(diǎn)四邊形的練習(xí)題?，F(xiàn)在，我們來探究一下中點(diǎn)四邊形的問題。1、中點(diǎn)四邊形概念：依次連接任意四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形稱為中點(diǎn)四邊形。-7 -(1)、(2)、(3) 、(4) 、2、探索問題：任意四邊形的中點(diǎn)四邊形是什么形狀？為什么？任意平行四邊形的中點(diǎn)四邊形是什么形狀？為什么？任意矩形菱形和正方形的中點(diǎn)四邊形分別是什么形狀？為什么? 這些中點(diǎn)四邊形的周長(zhǎng)和面積是什么？探索1.不管原四邊形的形狀怎樣改變，中點(diǎn)四邊形的形狀始終是平行四邊形（配合幾何畫板展示）EFGH則四邊形EFGH為中點(diǎn)四邊形，連接 解法一：在 ABC中，E、1 所以EF=-AC2

3、1 同理GHd AC，21EH= - BD21GF= -BD2所以四邊形BDF為ABEF /BC中點(diǎn)-AC21 GH/ - AC2 1EH / BD21 GF / - BD2EFGH為平行四邊形設(shè)有一任意四邊形 ABCDAB中點(diǎn)為E,BC中點(diǎn)F, CD中點(diǎn)為G AD中點(diǎn)H,連接四邊形解法二：利用兩組對(duì)邊分別相等證明解法三：利用兩組對(duì)邊分別平行證明 探索2、滿足什么條件的四邊形其中點(diǎn)四邊形是特殊四邊形？ 分組探討矩形、菱形的中點(diǎn)四邊形的特征。 分組探討梯形，等腰梯形的中點(diǎn)四邊形的特征。（在以上兩個(gè)活動(dòng)中，學(xué)生利用畫圖并思考，得出結(jié)論并說明理由。老師要不停指點(diǎn)及時(shí)鼓勵(lì), 時(shí)引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)其中的一般規(guī)

4、律。 分析矩形、等腰梯形的中點(diǎn)四邊形都是菱形，它們有什么共同特征？（學(xué)生思考，引導(dǎo)學(xué)生從對(duì)角線角度去考慮） 問題1:是不是所有對(duì)角線相等的四邊形的中點(diǎn)四邊形均為菱形？ 學(xué)生畫圖，驗(yàn)證。附：說理過程在 ABC中，E、F為AB BC中點(diǎn)CD1所以EF=AC21同理GH= AC21 EH=丄 BD21GF= -BD2 又因?yàn)锳C=BD 所以 EF=FG=GH=HE所以四邊形EFGH為菱形 問題2:那什么情況下中點(diǎn)四邊形是矩形？C（從前面證明過程及問題 1引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)對(duì)角線的特征，并畫圖、驗(yàn)證） 附：說理過程在 ABC中，E、F為AB BC中點(diǎn)21同理GHh AC,21 1 所以 EF=AC , EF

5、 / AC21GH/ AC211EH= BD EH / BD2211GF= -BD GF / - BD22所以四邊形EFGH為平行四邊形又因?yàn)锳C丄BD所以ACI EH所以EH丄EF即/ HEF=90所以四邊形EFGH為矩形問題3:那什么情況下中點(diǎn)四邊形是正方形？（學(xué)生自己說明）結(jié)論11、任意四邊形的中點(diǎn)四邊形為平行四邊形；2、對(duì)角線相等的四邊形中點(diǎn)四邊形為菱形；3、對(duì)角線垂直的四邊形中點(diǎn)四邊形為矩形；4、對(duì)角線相等且垂直的四邊形的中點(diǎn)四邊形為正方形。探索3：中點(diǎn)四邊形的每條邊都是原四邊形對(duì)角線的一半，所以中點(diǎn)四邊形周長(zhǎng)是原四邊形對(duì)角線的和。 畫畫量量：學(xué)生通過畫圖、測(cè)量得出結(jié)論。 教師用幾何

6、畫板進(jìn)行展示驗(yàn)證。 說明結(jié)論（小組討論：由中點(diǎn)考慮如何解決）解：連接AC在 ABC中，E1所以 EF/ - AC,21F為AB BC中點(diǎn)1EF= - AC2同理GH / AC,2EF+GHh ACEH+FG= BDGH= -AC2所以：同理：EF+GH+EH+FGAC+BD即四邊形EFGH的周長(zhǎng)為原四邊形對(duì)角線的和。C探索4:中點(diǎn)四邊形的面積與原圖形面積關(guān)系 特殊化：I、利用幾何畫板算算矩形及其中點(diǎn)四邊形的面積n、算算菱形及其中點(diǎn)四邊形的面積 猜測(cè)結(jié)論：中點(diǎn)四邊形的面積為原圖形面積的一半。 驗(yàn)證說理：如圖，四邊形ABCD取其四邊中點(diǎn)E、F、GH,得四邊形EFGH若四邊形ABCD的面積為a,則：

7、S四邊形efgh=?成果展示：思路一：（整體思想與轉(zhuǎn)化思想）要說明，四邊形EFGH的面積是1 Sabcd ,轉(zhuǎn)化為說明2SEH +S舌eF + S逝cG中S兇gD = "2 S四邊形abcD。連接BD說明: Saeh1+ SfcG =SabCD , SBEF + SDGH4EC1 S四邊形ABGD即可。4方法二:（轉(zhuǎn)化思想）要說明,S四邊形E PQH =1四邊形EFGH的面積是一Sabcd，轉(zhuǎn)化為說明21 12 SABD 和 S四邊形 G FPQ = 2 SBCD連接BD找BD中點(diǎn)M,連接EM HM只需說明 A AHEA MEHA DHQ2 A MPEA EBP A HM（即可。BC

8、方法三：（整體思想與轉(zhuǎn)化思想）延長(zhǎng)EH于 M 使HM=EH延長(zhǎng)FG至N,使GN=FG連接 MN1要說明，S平行四邊形EFGH = Sabcd，轉(zhuǎn)化為說明2=1 =S平行四邊形EFGH =2 S平行四邊形EFNM ； S平行四邊形eFNM = S四邊形ABCDA AEH A DHMFGG A NDGMD降A(chǔ) EBF即可。只要說明：ACA結(jié)論2:5、中點(diǎn)四邊形的周長(zhǎng)為原四邊形對(duì)角線的和。6、中點(diǎn)四邊形的面積為原四邊形面積的一半。（三）應(yīng)用：1、 （2011湖北襄陽(yáng)）順次連接四邊形ABGD各邊的中點(diǎn)所得四邊形是菱形，則四邊形（ ）A.菱形B.對(duì)角線互相垂直的四邊形G.矩形D.對(duì)角線相等的四邊形2、（ 2011重慶江津）如圖，四邊形ABGD中 ,AC=a,BD=b,且AC丄BD,順次連接四邊形 ABGD各邊中點(diǎn)，得 到四邊形 A1B1C1D,再順次連接四邊形 A1B1CD各邊中點(diǎn)，得到四邊形 A2B2G2D2,如此進(jìn)行下去，得到四 邊形 AnBnGDi.（1）（2）（4）ABGD - 一定是證明：四邊形ABGD是矩形；寫出四邊形ABGD和四邊形ABGC2的面積; 寫出四邊形ABGD的面積