不定方程在解題中的應(yīng)用

1、個人收集整理僅供參考學(xué)習(xí)不定方程在解題中的應(yīng)用不定方程是數(shù)論的一個分支，它有著悠久的歷史與豐富的內(nèi)容所謂不定方程是指解得范圍為整數(shù)、正整數(shù)、有理數(shù)或代數(shù)整數(shù)的方程或方程組，其未知數(shù)的個數(shù)通常多于方程的個數(shù).古希臘數(shù)學(xué)家丟番圖于三世紀(jì)就開始研究不定方程，因此常稱不定方程為丟番圖方程.1969年,莫德爾較系統(tǒng)地總結(jié)了這方面的研究成果.研究不定方程要解決三個問題：判斷何時 有解.有解時決定解的個數(shù).求出所有的解.中國是研究不定方程最早的國家，公元5世紀(jì)的張丘建算經(jīng)中的百雞問題標(biāo)志中國對不定方程理論有了系統(tǒng)研究.百雞問題說："雞翁一，直錢五，雞母一，直錢三，雞雛三，直錢一.百錢買百雞，問雞翁

2、、母、雛各幾何？".設(shè)x，y，z，分別表雞翁、母、雛的個數(shù) 則此問題即為不定方程組的非負(fù)整數(shù)解x，y，乙這是一個三元不定方程組問題.下面我們主要討論二元一次不定方程有整數(shù)解的條件與解法.關(guān)于二元一次不定方程 axby二c，有三個定理，徹底解決了它的解得存在性、通解 結(jié)構(gòu)以及求解方法.定理1若(a，b) d，a =ad，b =bd，c ：=Z，則不定方程ax +by =c有整數(shù)解的充要條件是d | c.定理2若(a，b)|c，則不定方程ax+by=c有特解Xo=ctc/d，yo=比/d.其中a，P由帶余除法給出，滿足a a +Pb =d.定理3若不定方程ax by c有特解x =x)，

3、y =y0，則其通解為x 丸 bt，=y° a't，t =0，±，±2,.證明定理 2 因?yàn)閍x0 +by0 =aac/d +bBc/d =(aa +bB)c/d= dc /d c,所以 x0, y0 是 ax，by=c 的解.解不定方程沒有固定的方法，需具體問題具體分析，經(jīng)常用到整數(shù)的整除、奇數(shù) 偶數(shù)的特性、因數(shù)分解、不定式估值、窮舉、分離整數(shù)、配方等知識與方法，解不定方程的技巧是對方程適當(dāng)變形，靈活運(yùn)用相關(guān)知識.本文就幾類常見的不定方程做如下淺析.2.1非負(fù)數(shù)的巧用在初中數(shù)學(xué)中，經(jīng)常用的非負(fù)數(shù)有： a2 _0；a _0;_0若干個非負(fù)數(shù)的和 為0,那么

4、每個非負(fù)數(shù)均為0.例11已知x2亠y2 x亠2y亠5 4 0,求x、y的值.分析：方程左邊配方可變?yōu)榉秦?fù)數(shù)之和解：由 x2 y2 -x 2y 5 4=0得(x 1 2)2 (y 1)2 =0因?yàn)?x -1 2)2亠0,(y 1)-0.一般地,幾個非負(fù)數(shù)之和為0,則每個非負(fù)數(shù)均為0.1所以x =, y =122.2利用放縮法解不定方程在解一下涉及到多個變元的問題，如果題設(shè)條件并沒有給出未知數(shù)的大小順序，在不影響命題的成立的前提下，給它們假定一個大小順序，那么就可將問題轉(zhuǎn)化為解不等式(組),通過縮小范圍而求解.1117例12求方程-二的正整數(shù)解.x y z 8分析：這個方程是關(guān)于 x、y、z的輪換

5、對稱式，易知x、y、z都大于1,不妨取1 ： x _ y _ z,111則丄_丄_丄.將復(fù)雜的三元不定方程轉(zhuǎn)化為一元不等式，通過解不等式對某個未知數(shù)的取值x y z作出估計(jì),縮小x、y、z的取值范圍,求出其結(jié)果.解：不妨設(shè) 1 ： x My 三z,貝U 1 ： 1 1 1 三 3 ,即 1 ： 8 三 3,所以x = 2,3. xxyzx x 7 x113 111132 當(dāng)x =2時,丄1仝,丄：丄,即丄：-<-,所以y =3,4,5.yz8yyzy 8y此時(x, y,z)共有(2,3,24)、(2,4,8)兩組.111311121132 當(dāng)x =3時,，且，所以，yz24y y z

6、yy24y所以y =2,3.此時(x, y, z)的值為(3,2,24).由于x、y、z在方程中的地位平等，將上述結(jié)果作排列，共有下面12組解(x, y, z)的值分別是:(2,3,24),(2,24,3),(3,2,24),(3,24,2),(24,2,3),(24,3,2),(2,4,8) (2,8,4),(4,2,8),( 4,8,2),(8,2,4),(8,4,2).2.3二元一次方程的整數(shù)解一個二元一次方程得分解有無數(shù)多個，但我們常常只求整數(shù)解，甚至只求正整數(shù)解， 加上這一限制后，解可能唯一確定或只有有限個或無解.求它的整數(shù)解時，在這里我們介紹三種方法：例13求321x 111y =

7、75的通解.解一輾轉(zhuǎn)相除法由于(321,111) =3,3| 75,故原方程有整數(shù)解，并等價于107 x 37y =25(1)為了求(1的一組整數(shù)解，對107,37作輾轉(zhuǎn)相除：107=372+33,37=331+4,33=48+1,4=14.從余數(shù)是零的前一個等式開始，由下向上依次代入,得1=33-48 =338 (37 -33)=33 937 8=(107 -37 2) 9 -37 8 =107 9-37 26.這就找出(1)的一組解xo=9X25 y0=2625.于是原方程的通解為x =225 37u,y =-650 -107u,u=0,±1,±2,?.由于x =3 -

8、 37(6 u),y - -8 -107(6u),所以原方程的通解也可以寫成,=3 +37t,y Y -107t,t =0, _1,_2,?.解二逐漸減小系數(shù)選擇系數(shù)的絕對值較小的未知數(shù)y來解用37除(1)的兩邊，得-2x25 - 33x37如果x, y都是整數(shù)，則(25 _33x)/37必是整數(shù),設(shè)它為u.這就有33x +37u =25.上式兩邊除以33,得± 25 4ux - -u33同理,(25 -4u)/33必是整數(shù)，設(shè)它為v,于是4u +33v = 25.上式兩邊除以4,得1 vu =6 8v4令(1 _v)/4 =t,得v=1 -4t,而u = -2 - 33t,從而可得

9、原方程的通解jx 二 3 - 37t,y = -8 107t,t =0, _1,_2,.解三37 2-107=-33(2)由于37去除107所得的商的整數(shù)部分為2,做兩個等式37x(2 +1)-107 =4(3)將(3)式乘 2 加(4)式就得到 37 8 -107 3 = -25，即為：37 (£廠 107 (-3)=25.I x0 =3,于是得到原不定方程的一組特解：卜0 =，fx =337t,從而得原方程的整數(shù)解：y =+107t,t =0,±1,址？.在這里，我們重點(diǎn)講解第三種方法設(shè)二元一次不定方程 ax by c(4)(a,b,c都是整數(shù)，ab工0,(a,b) =

10、1 這里規(guī)定a 0,且a .；：Jb )用a去除b得商q,余數(shù)為r1,(q,n為整數(shù)，且0 ： n : a), 即 b = aq r1aq _ b = -r1(5)列二等式：0(q+1)b=r2(6)由初等數(shù)論知，(a,b) =(")=1進(jìn)而存在二整數(shù)s,t.使sr, +tr2 =c成立于是可從 、(6)兩式作線性迭加求得(4)的一組特解(x0,y°),進(jìn)而得到(4)的整數(shù)解的 通式：工x = x0 - bt$(t為整數(shù)).y 二y。+at為了證明(5)、(6)公式中r1,r2均為互素的正整數(shù)需要引入初等數(shù)論中的下述定理定理1：假設(shè)a,b都是正整數(shù)，且b>a,b=aq

11、+r 0 cr va,其中q和r都是正整數(shù)，則a 和b的最大公因數(shù)等于a和r的最大公因數(shù)，即(a,b)=(a,r).(此定理的證明在一般數(shù) 論教材中都有，可參閱.)由此定理可得到一下推論.推論：如果a,b是互素的兩個正整數(shù)，且ba,b二aq r 0 :r : a,其中q和r都是正 整數(shù)，則a和r也- 互素的.現(xiàn)在來證明公式(5)、(6)中r1,r2是互素的正整數(shù).從公式 中得到b二aq幾，因?yàn)?a,b是互素的兩個正整數(shù)，口和r1又是正整數(shù),且0<n：a,由以上推論可知a和n是互素的. 將等式 減去等式 得到 r1 r2,由于a和*是互素的因此根據(jù)推論可知 幾和r2是互 素的因此，對于不定

12、方程 中的任何c值，總可以從 和 兩式線性迭加出一組 特解 來.因?yàn)閺某醯葦?shù)論中可知，若幾和r2是互素的正整數(shù)，而c是一個整數(shù)，則一定存在有兩 個整數(shù)',使得：工 r2 c成立.說明：利用這種方法解二元一次不定方程的關(guān)鍵是作兩個等式，但這兩個等式并非一定要取上述的（5）、6）兩式的形狀不可,如任取四個非零整數(shù)x1, x2,x3,x4,作成以 下兩個等式的形式ax bx2 = y1,+bx4 =y2只要yi,y2為兩個互素的整數(shù)',將這兩個式子線性迭加也可以得出方程（4）的一組特解來，但這種隨意取得 捲必,対,&,不能保證和y2定互素，而本文所述的方法能確保前面（5）、（

13、6）兩式中幾和r2為互素的正整數(shù)，因此,可以得出二元一次不定方程（4）在任意變形情況下的特解來綜上所述,可以看出此方法簡單易行，避免了輾轉(zhuǎn)相除法解不定方程的繁復(fù)轉(zhuǎn)化 過程,不失為二元一次不定方程的又一種行之有效地解題方法版權(quán)申明本文部分內(nèi)容，包括文字、圖片、以及設(shè)計(jì)等在網(wǎng)上搜集整理版權(quán)為個人所有This articlein eludes someparts, in cludi ng text, pictures,and desig n. Copyright is pers onal own ership.b5E2RGbCAP用戶可將本文地內(nèi)容或服務(wù)用于個人學(xué)習(xí)、研究或欣賞，以及其他非商業(yè)性或非

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