三次樣條插值方法的應(yīng)用

1、CENTRAL SOUTH UNIVERSITY數(shù)值分析實(shí)驗(yàn)報(bào)告三次樣條插值方法的應(yīng)用一、問(wèn)題背景分段低次插值函數(shù)往往具有很好的收斂性，計(jì)算過(guò)程簡(jiǎn)單，穩(wěn)定性好，并且易于在在電子計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)，但其光滑性較差，對(duì)于像高速飛機(jī)的機(jī)翼形線船體 放樣等型值線往往要求具有二階光滑度，即有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，早期工程師制圖時(shí)， 把富有彈性的細(xì)長(zhǎng)木條(即所謂的樣條)用壓鐵固定在樣點(diǎn)上，在其他地方讓他 自由彎曲，然后沿木條畫下曲線，稱為樣條曲線。樣條曲線實(shí)際上是由分段三次 曲線并接而成，在連接點(diǎn)即樣點(diǎn)上要求二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)， 從數(shù)學(xué)上加以概括就得到 數(shù)學(xué)樣條這一概念。下面我們討論最常用的三次樣條函數(shù)及其應(yīng)用。二、數(shù)學(xué)模型

2、樣條函數(shù)可以給出光滑的插值曲線(面)，因此在數(shù)值逼近、常微分方程和 偏微分方程的數(shù)值解及科學(xué)和工程的計(jì)算中起著重要的作用。設(shè)區(qū)間a,b上給定有關(guān)劃分a xo Xix. b， S為a,b上滿足下面條件的函數(shù)。S C2 a,b ；S在每個(gè)子區(qū)間Xi, Xi i上是三次多項(xiàng)式則稱S為關(guān)于劃分的三次樣條函數(shù)。常用的三次樣條函數(shù)的邊界條件有三種類型：I型S xnf'o,S' Xn1f n oU型s" Xnf”0,S'' Xnf''n，其特殊情況為S" Xn S'' Xn 0川型Sj x0Sj xn , j0,123 ，此

3、條件稱為周期樣條函數(shù)。鑒于U型三次樣條插值函數(shù)在實(shí)際應(yīng)用中的重要地位，在此主要對(duì)它進(jìn)行詳細(xì)介紹。三、算法及流程按照傳統(tǒng)的編程方法，可將公式直接轉(zhuǎn)換為 MATLAB可是別的語(yǔ)言即可；另 一種是運(yùn)用矩陣運(yùn)算，發(fā)揮MATLAB在矩陣運(yùn)算上的優(yōu)勢(shì)。兩種方法都可以方便 地得到結(jié)果。方法二更直觀，但計(jì)算系數(shù)時(shí)要特別注意。這里計(jì)算的是方法一的 程序，采用的是U型邊界條件，取名為。Matlab代碼如下：function s=spline2(x0,y0,y21,y2n,x)%s=spli ne2(x0,y0,y21,y2 n,x)%xO,yO are existed poin ts,x are in sert

4、poin ts,y21,y2 n are the sec ond%dirivitive n umbers give n.n=len gth(xO);km=le ngth(x);a(1)=；b(1)=3*(y0(2)-y0(1)/(2*(x0(2)-x0(1);for j=1:( n-1)h(j)=x0(j+1)-x0(j);endfor j=2:( n-1)alpha(j)=h(j-1)/(h(j-1)+h(j); beta(j)=3*(1-alpha(j)*(y0(j)-y0(j-1)/h(j-1)+alpha(j)*(y0(j+1)-y0(j)/h(j);a(j)=-alpha(j)/(2

5、+(1-alpha(j)*a(j-1);b(j)=(beta(j)-(1-alpha(j)*b(j-1)/(2+(1-alpha(j)*a(j-1);endm(n )=(3*(y0( n)-y0( n-1)/h( n-1)+y2 n*h( n-1)/2-b( n-1)/(2+a( n-1);for j=( n-1):-1:1m(j)=a(j)*m(j+1)+b(j);endfor k=1:kmfor j=1:( n-1)if(x(k)>=xO(j)&(x(k)<x0(j+1)l(k)=j;endendendfor k=1:kmsum=(3*(x0(l(k)+1)-x(k)A

6、2/h(l(k)A2-2*(x0(l(k)+1)-x(k)A3/h(l(k)A3)*y0(l(k);sum=sum+(3*(x(k)-x0(l(k)A2/h(l(k)A2-2*(x(k)-x0(l(k)A3/h(l(k)A3)*y0(l(k)+1);sum=sum+h(l(k)*(xO(l(k)+1)-x(k)A2/h(l(k)A2-(xO(l(k)+1)-x(k)A3/h(l(k)A3)*m(l(k);s(k)=sum-h(l(k)*(x(k)-xO(l(k)A2/h(l(k)A2-(x(k)-xO(l(k)A3/h(l(k)A3)*m(l(k)+1);end四、計(jì)算結(jié)果及分析給定如下數(shù)值表，試求三次樣條插值函數(shù)滿足邊界條件S'' 28.7s''