定積分知識點(diǎn)總結(jié)

1、定積分知識點(diǎn)總結(jié)北京航空航天大學(xué)李權(quán)州一、定積分定義與基本性質(zhì)1. 定積分定義 設(shè)有一函數(shù)f(x)給定在某一區(qū)間a,b上.我們在a與b之間插入一些分 點(diǎn) a x0 x1 x2 . xn b . 而 將 該 區(qū) 間 任 意 分 為 若 干 段 . 以 | | 表 示 差 數(shù) xi xi 1 xi (i 0,1,., n 1) 中最大者 .在每個(gè)分區(qū)間 xi,xi 1 中各取一個(gè)任意的點(diǎn) x i .xi i xi 1(i 0,1,.,n 1)而做成總和n1 f ( i) xii0然后建立這個(gè)總和的極限概念：lim | | 0另用 語言進(jìn)行定義：0，0，在 | | 時(shí)，恒有I| 則稱該總和0時(shí)有極限

2、 I.總和0時(shí)的極限即f(x)在區(qū)間a到b上的定積分，符號表示為bI f (x)dxa2?性質(zhì)設(shè)f(x)，g(x)在a,b:上可積，貝卩有下列性質(zhì)(1) 積分的保序性bb如果任意 x a,b, f (x),g(x) ，貝 f (x)dx g(x)dx, 特別地，如果任意 x a,b, f(x) 0,則 f(x)dx 0(2)積分的線性性質(zhì)(f (x) g(x)dx f(x)dx g(x)dxaaabb特別地，有 cf (x)dx c f (x).aa設(shè)f(x)在a,b:上可積，且連續(xù)，(1)設(shè)c為a,b:區(qū)間中的一個(gè)常數(shù)，則滿足bcbf(x)dx f(x)dx f(x)dxaac實(shí)際上，將a,

3、b,c三點(diǎn)互換位置，等式仍然成立(4)存在 :a,b ，使得f (x)dx (b a) f ()a二、達(dá)布定理1.達(dá)布和分別以mi和Mi表示函數(shù)f(x)在區(qū)間心人里的下確界及上確界并且做總和_nnS( , f)Mi(Xi Xi 1),S( , f)mi (Xi x 1)i 1i 1S( ,f)稱為f(x)相應(yīng)于分割n的達(dá)布上和，S( ,f)稱為f(x)相應(yīng)于分割n的達(dá)布下和 特別地, 當(dāng)f(x)連續(xù)時(shí)，這些和就直接是相應(yīng)于任意分割法的積分和的最小者和最大者，因?yàn)樵谶@種情形下f(x)在沒一個(gè)區(qū)間上都可以達(dá)到其上下確界 回到一般情況，有上下界定義知道m(xù)i f( i) Mi將這些不等式逐項(xiàng)各乘以Xi

4、( Xi是正數(shù))并依i求其總和，可以得到S( , f) S( ,f)推論1設(shè)f(x)在a,b:上有界設(shè)有兩個(gè)分割，是在的基礎(chǔ)上的加密分割，多加了 k 個(gè)新分店，則S(, f)S( , f)S( , f)kIIII,S(,f)S( , f)S( , f)k|,這里M m,M,m分別為f在a,b 上的上、下確界.推論2設(shè)f(x)在a,b:上有界.對于任意兩個(gè)分割，有m(b a) S( , f)S( , F) M (b a)2. 達(dá)布定理定義設(shè)f(x)在a,b:上有界，定義I inf S( , f) |為a,b 上一個(gè)分割,L supS( , f)|為a,b 上一個(gè)分割。稱I為f(x)在a,b 上的

5、上積分，I為f(x)在a,b 上的下積分.定理 對于f(x)在a,b:上的有界函數(shù)，貝卩有l(wèi)im S( , f) I, lim S( , f) I.| | 0 | | 0 一3?函數(shù)可積分條件設(shè)f(x)在a,b:上有界，下列命題等價(jià)：(1) f(x) 在 a,b 可積；(2) I I;n(3) 對于a,b:上的任何一個(gè)分害v, ilimoi(xi xi i) 0 ;(4) 任給 0，存在0，對于a,b:上的任何分割，當(dāng)| | ,有n i(x Xi 1)成立;(5) 任給 0，在a,b:存在一個(gè)分割，當(dāng)| |時(shí)有ni(Xi Xi 1)成立這里i Mi mi為f(x)在區(qū)間xi,xii上的振幅.三

6、、微積分基本定理定理(Newto n-Leib niz公式)設(shè)f(x)在a,b 上可積，且在a,b 上有原函數(shù)F(x)，貝卩 bf (x)dx F(b) F(a)a注：1.f(x)是fx)的原函數(shù)，故當(dāng)f R( :a,b)時(shí)，該公式可寫為bf(x)dx f (b) f (a)a2?上述定理并不是說可積函數(shù)一定有圓環(huán)數(shù)，而是說如果存在原函數(shù)，那么可用來計(jì)算定積分的值 .Newt on-Leib niz 公式把原先在復(fù)雜的定積分中的定義的積分值計(jì)算化為求原函數(shù)的問題，為普及微積分打開了大門 .四、定積分的計(jì)算除了利用 Newton-Leibniz 公式計(jì)算微積分外，還可以使用換元公式和分部積分計(jì)算

7、微 積分.b1定積分中變量替換公式設(shè)要計(jì)算積分f(x)dx，這里f(x)是在區(qū)間a,b:內(nèi)連續(xù)的.a令x (t)，函數(shù)(t)具備下列條件：歡迎下載51) 函數(shù)(t)在某一區(qū)間,內(nèi)有定義且連續(xù)，而其值當(dāng)t在，:內(nèi)變化時(shí)恒不越出區(qū)間a,b:的范圍；2) ( ) a, ( ) b;3) 在區(qū)間,有一連續(xù)函數(shù)(t).于是成立公式bf(X)dX f()(t)dta由于被積函數(shù)假設(shè)是連續(xù)的，不但這些定積分存在，同時(shí)其相應(yīng)不定積分也存在，并且在兩情形都可以用基本公式2定積分的分部積分法在不定積分部分曾經(jīng)討論過公式udv uv vdu,這里假設(shè)以x為自變量的函數(shù)u,v以及其導(dǎo)函數(shù)uv都是在考慮區(qū)間a,b 里連

8、續(xù)的.則我們有udva五、定積分中值定理微分中值公式F(b) F(a) F( )(b a),說明，函數(shù)值的差可以通過其導(dǎo)數(shù)值來表達(dá)和估算算，那么就有相應(yīng)的積分的中值公式：記b uv a vdua(a,b).如果從微分運(yùn)算的逆運(yùn)算來認(rèn)識積分運(yùn)F(x)二f(x)，即把F(x)看作是可積函數(shù)f(x)的原函數(shù)，則上述公式化為f(x)dx f( )(b a),(a,b)這一類公式稱之為積分中值公式，它顯示出一個(gè)函數(shù)的定積分可以通過其自身進(jìn)行表達(dá)和估算上述公式的幾何意義可以從面積的意義來考察：設(shè)f(x)是a,b 上的正值連續(xù)函數(shù)，則公式左邊的面積與右邊表達(dá)式所代表的舉矩形面積相等，上的積分平均值 :而矩形

9、的高f()正是f(x)在a,b f()八；f(x)dx1 定積分第一中值公式 x a,b, g(x) 0 或 g(x) 0).設(shè) g R(a,b), 且函數(shù)值不變號 ( 即對一切supu (x) , minff( x)，貝y存在：m M,x a,b,a,b使得ba f(x)g(x)dxaba g(x)dx若f C( : a,b)，則存在a,b ，使得ba f (x)g(x)dxf(ab)ag(x)dxa2 定積分第二中值公式弓1理(Abel)設(shè)有兩組數(shù)aa2,k,., db, 0記 A(1)若 f R(a,b) ，且記 Ma?k 1,2 ,n)，則i 1b l) Anbn0.bn0，則有推論若

10、有 mAkM(k 1,2,.,n) ，且 0nmbiaAMbii 1定理 (Bonnet 型) 設(shè) g R(a,b) .(1) 若f(x)是a,b:上非負(fù)遞減函數(shù)，貝y存 a,b，使得 在bf(a) g(ax)dxf (x)g(x)dx(2) 若f(x)是a,b 上非負(fù)遞增函數(shù)，貝 S :a,b，使得 存在f(x)g(x)dx f(a) g(x)dxa a3 定積分第三中值公式定理(Weierstrassz型)設(shè)f(x)在a,b 上是單調(diào)函數(shù)，g R( : a,b )，則存在a,b ，使bbf (x)g(x)dx f (a) g(x)dx f (b) g(x)dx a a六、函數(shù)可積分的勒貝格定理定義 設(shè)A是實(shí)數(shù)集合，若，對任意0，存在至多可數(shù)的系列開區(qū)間In,n N*,它是 A 的一個(gè)開覆蓋，并且|In| ，則稱 A 為零測度集或者零測集