小球與圓環(huán)的匯編

1、小球與圓環(huán)的“不解之緣”摘要:小球與圓環(huán)的搭配是一種典型的運(yùn)動(dòng)模型，對(duì)于題目的難度更是難以把握，可易 可難，變動(dòng)性較大。對(duì)于難度適中的題目即單純的小球與圓環(huán)的構(gòu)造模型，多利用 動(dòng)能定理、機(jī)械能守恒、以及向心運(yùn)動(dòng)等理論知識(shí)的題目，大多是求解是否能達(dá)到最 高點(diǎn)，最高點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度，最低點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度亦或是能達(dá)到的最高高度。對(duì)于難度 較大的題目即在小球與圓環(huán)之上為小球加上電荷、在模型上加勻強(qiáng)電場(chǎng)，使小球受到 電場(chǎng)力和重力的共同作用；亦或是在小球與圓環(huán)上不只加勻強(qiáng)電場(chǎng)還可以加以磁場(chǎng)， 而此類(lèi)題目更在高考中以“高分大題”的姿態(tài)出現(xiàn)。關(guān)鍵詞：小球 圓環(huán)最高點(diǎn)最低點(diǎn)動(dòng)能定理機(jī)械能守恒 向心運(yùn)動(dòng)速度高度正文：不論

2、是在考場(chǎng)上還是在平時(shí)的習(xí)題訓(xùn)練上，小球與圓環(huán)的身影比比皆是，而他 們也在某種程度上對(duì)一批批高中學(xué)子關(guān)上了大學(xué)之門(mén)，筆者亦然。為此筆者做了此篇 總結(jié)。單圓環(huán)小球模型（如右圖） 1、小球的最高點(diǎn)問(wèn)題 當(dāng)小球恰好達(dá)到最高點(diǎn)處時(shí):值得同學(xué)注意的是要學(xué)會(huì)“審題”發(fā)覺(jué)題目中的隱藏含義，物理題目中總喜歡玩“恰好”“剛好”等類(lèi)文字游戲。當(dāng)小球恰好達(dá)到最高點(diǎn)時(shí)即為此時(shí)只有重力充當(dāng)向心力，也就是說(shuō)圓環(huán)此時(shí)對(duì)小球無(wú)壓力，利用動(dòng)能定理和向心運(yùn)動(dòng)可解的：設(shè)小球在最高點(diǎn)初速度為 Vt，在最高點(diǎn)時(shí)速度為Vo1 2 1 2動(dòng)能定理：一mvt - mv0 = -2mgR2 22、一mvt向心運(yùn)動(dòng)：=mgRVo = JgR 當(dāng)小

3、球達(dá)到最高點(diǎn)時(shí)仍受到圓環(huán)對(duì)其的壓力，貝U可解11動(dòng)能定理：丄mv；-丄mv； = -2mgR222向心運(yùn)動(dòng)：=mg + FRmvt1 2 1 2一 mvt -mvo =2mgR2 2=(mg+F R 即m= J4gR +(mg+F R >m綜上述情況總結(jié)得小球能通過(guò)最高點(diǎn)時(shí)的初速度Voj5gR當(dāng)小球不能通過(guò)最咼點(diǎn)時(shí) Vo v J5gR，此時(shí)小球運(yùn)動(dòng)還沒(méi)到最咼點(diǎn)時(shí)就脫離了圓環(huán)軌道而做斜拋運(yùn)動(dòng)。2以上模型與“輕繩類(lèi)”模型完全相同（如右圖），值得注意的是，繩對(duì)小球 只能產(chǎn)生沿繩收縮方向的拉力，即只能沿某一個(gè)方向給物體力的作用，同圓環(huán) 軌道一樣可分為以上三種情況且結(jié)論相同即：小球恰好達(dá)到最高點(diǎn)時(shí)

4、vo=J5gR當(dāng)小球通過(guò)最高點(diǎn)且繩存在拉力時(shí) Vo > J5gR小球不能通過(guò)最高點(diǎn)時(shí)v。vJ5gR2、小球的最高高度（h）【例如】如圖所示，半徑為 R的豎直光滑圓環(huán)軌道內(nèi)側(cè)底部靜止著一個(gè)光滑小球，現(xiàn) 給小球一個(gè)沖擊使其在瞬間得到一個(gè)水平初速度Vo，若Vo大小不同，則小球能夠上升到的最大高度（距離底部）也不同，下列說(shuō)法正確的是（）A.如果Vo= JgR，則小球能夠上升的最大高度等于B.如果 V0二 J3gR，則小球能夠上升的最大高度小于C.如果 V0= p4gR，則小球能夠上升的最大高度等于D.如果 V0= j5gR，則小球能夠上升的最大高度等于2R對(duì)以上題目進(jìn)行分析若小球能上升至最高點(diǎn)由

5、以上對(duì)“小球的最高點(diǎn)問(wèn)題”分析可 得知Vo（亦Vo時(shí)當(dāng)Vov J5gR 時(shí)，小球無(wú)法上升至圓環(huán)最高點(diǎn)，此時(shí)設(shè)小球在最低點(diǎn)速度為 能夠上升的最大高度h，根據(jù)機(jī)械能守恒定理可得1 2 _2mvo "mgh2Amvo2g當(dāng) V0= JgRRh=-;當(dāng) V0= j3gR 時(shí) h=3R/2由以上結(jié)論貌似題目中的 A項(xiàng)正確B項(xiàng)是錯(cuò)誤的；但是必須注意的因小球沿圓環(huán)軌道 上升高度大于R時(shí)，由于軌道對(duì)小球產(chǎn)生壓力，是小球具有了水平分速度即此時(shí)為1mv2-1mv2=gh2 22 2 2-釁二當(dāng)麗時(shí)，-升卷V 3R綜述B項(xiàng)正確該題目選擇ABD總結(jié)可得小球沿圓環(huán)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)小球上升高度小于一 1據(jù)動(dòng)能定理2R時(shí)

6、，此時(shí)小球末速度為 0，可根mvo = -mgh 計(jì)算。小球沿圓環(huán)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)小球上升高度大于1 2 1 2根據(jù)動(dòng)能定理 -mvt - mv0 = -mgh 計(jì)算。2 2R時(shí)，此時(shí)小球末速度不為 0,可小球能上升至圓環(huán)最高處時(shí)，其初速度一定大于或等于j5gR事實(shí)上，不論小球在圓環(huán)上的何種運(yùn)動(dòng)，求解何值都是圍繞動(dòng)能定理、機(jī)械能守 恒、牛頓第二定律和圓周運(yùn)動(dòng)的理論知識(shí)進(jìn)行展開(kāi)。二雙圓環(huán)小球1.小球在最高點(diǎn)處問(wèn)題（此類(lèi)問(wèn)題大多以小球初速度為0為主）當(dāng)內(nèi)側(cè)圓環(huán)對(duì)小球提供支持力N且N=0時(shí)，此時(shí)由向心運(yùn)動(dòng)可知2mvthmgVt = JgR當(dāng)內(nèi)側(cè)圓環(huán)對(duì)小球提供支持力N且0 V NV mg時(shí)，此時(shí)由向心運(yùn)動(dòng)可知

7、2mv N =mg-NRvr（mgN）R當(dāng)內(nèi)側(cè)圓環(huán)對(duì)小球提供支持力N且N=mg時(shí)，此時(shí)由向心運(yùn)動(dòng)可知2mv=mg-N R該狀態(tài)意味著小球恰好到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)停止當(dāng)外側(cè)圓環(huán)提供壓力時(shí)即由向心運(yùn)動(dòng)可知2mv “ =mg+NR2、上述模型可類(lèi)比于“輕桿類(lèi)”模型(如右圖) 小球過(guò)最高點(diǎn)時(shí)，輕桿對(duì)小球的彈力情況： 當(dāng)v =0時(shí)，輕桿對(duì)小球有豎直向上的支持力IN =mg ；N，其大小等于小球的重力，即2當(dāng) 0< vv JgR 時(shí)，因 mg-N=m R ,則輕桿對(duì)小球支持力N豎直向上其大小隨速度的增大而減小，其取值范圍是mg >N>0.當(dāng) V = JgR時(shí)，N =0 ；2N=m 詈一 mg2屆

8、mg +N =當(dāng)v>勺gR時(shí)，則R ,即桿對(duì)小球有指向圓心的拉力，其大小隨速度的增大而增大，注意桿與繩不同，在最高點(diǎn)，桿對(duì)球既能產(chǎn)生拉力，也能對(duì)球產(chǎn)生支持力，還可對(duì)球的作用力為零.如圖所示，桿長(zhǎng)為L(zhǎng), 一端固定一質(zhì)量為 m的小球，桿的質(zhì)量忽略不計(jì)，整個(gè)系統(tǒng)gg求：繞桿的另一端在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng).(1)小球在最高點(diǎn)A的速度VA為多少時(shí)，才能使桿和小球m的作用力為零(2)小球在最高點(diǎn)A時(shí)，桿對(duì)小球的作用力 F為拉力和推力時(shí)的臨界速度分別是 多少？ 若m=0.5kg，L=0.5m，Va =°.4m/s，則在最高點(diǎn)A和最低點(diǎn)B,桿對(duì)小球m的作用力多大？【解析】此題屬于 輕桿類(lèi)”若桿

9、和小球m之間無(wú)相互作用力，那么小球做圓周運(yùn)2mg = mVA動(dòng)的向心力僅由重力 mg提供，根據(jù)牛頓第二定律，有：L解得va=JgL(2)若小球m在最高點(diǎn)A時(shí)，受拉力F ,受力如圖11所示，由牛頓第二定律，有：2匚V1F - mg = m 十v廣JgL +巳A應(yīng)解得 * m若小球m在最高點(diǎn)A時(shí)，受推力F，受力如圖12所示，由牛頓第二定律，有：2mg - F = m* v2 = JgL-皂 w7gL解得：V V m由此可見(jiàn)VA JgL是桿對(duì)小球m的作用力F在推力和拉力之間突變的臨界速度.桿長(zhǎng)L=0.5m時(shí)，臨界速度v廠(chǎng)皿=2.2嘆,2VA=0.嘆，桿對(duì)小球有推力FA，有ma-FA = m+，則FA=4.84N .由A至B只有重力做功，機(jī)械能守恒設(shè) B點(diǎn)所處水平面為參考平面，則12+I122mvA 2mgL =2mvB解得.VB=JvA+4gL=4.5嘆在最低點(diǎn)B,小球m受拉力Fb，由Fb - mg = mVB2解得 Fb =mg+mVB=25.3N .總結(jié)：小球與圓環(huán)類(lèi)題目在平時(shí)的聯(lián)系中我們將會(huì)常見(jiàn)，同時(shí)此類(lèi)題目的難度并不 小，甚至?xí)霈F(xiàn)過(guò)難現(xiàn)象，但筆者再次提醒各位同學(xué)，千萬(wàn)不要見(jiàn)到此類(lèi)題目就退避 三舍，要試著盡力學(xué)會(huì)分析。值得注意的是解決此類(lèi)題目的關(guān)鍵仍是能夠靈活運(yùn)用機(jī) 械能守恒、動(dòng)能定理和向心運(yùn)動(dòng)的知