超導(dǎo)磁懸浮磁滯現(xiàn)象的動(dòng)態(tài)理論研究

1、. . . . 大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）題 目： 超導(dǎo)磁懸浮磁滯現(xiàn)象的動(dòng)態(tài)理論研究 指導(dǎo)教師： 平 林 職稱： 教 授 學(xué)生： 胡 素 磊 學(xué)號(hào)：專 業(yè)： 物 理 學(xué) 院（系）： 物理工程學(xué)院 完成時(shí)間： 2011年5月20日 2011年 6 月 1 日超導(dǎo)磁懸浮磁滯現(xiàn)象的動(dòng)態(tài)理論研究摘要 本文從磁通量子在變化外磁場(chǎng)中成核、穿透、釘扎并排出的角度，研究了二類(lèi)超導(dǎo)體磁懸浮系統(tǒng)的磁滯現(xiàn)象，認(rèn)為超導(dǎo)懸浮力來(lái)源于表面邁斯納抗磁電流，和單個(gè)磁通量子渦旋分別與外場(chǎng)相互作用，并證明了渦旋密度梯度等效電流和外場(chǎng)的相互作用，本質(zhì)上，就是所有磁通量子渦旋和外場(chǎng)相互作用的總和，而磁通渦旋從表面穿透和排出過(guò)程的不對(duì)稱，和

2、由于超導(dǎo)體不同幾何形狀所導(dǎo)致的幾何勢(shì)壘引起的的不可逆性，以與磁通渦旋在超導(dǎo)體部運(yùn)動(dòng)耗散的能量，導(dǎo)致了二類(lèi)超導(dǎo)體在變化外磁場(chǎng)中的磁滯現(xiàn)象，其中后者占據(jù)的比重遠(yuǎn)大于前者，進(jìn)而精確計(jì)算了在永磁體產(chǎn)生的高度不均勻的變化外磁場(chǎng)中的懸浮力，得到了與實(shí)驗(yàn)相符的結(jié)果，為理解二類(lèi)超導(dǎo)磁滯現(xiàn)象，更好地應(yīng)用高溫超導(dǎo)體提供了新的視角和基礎(chǔ)。關(guān)鍵詞：二類(lèi)超導(dǎo)，懸浮，渦旋，磁滯Dynamic Theoretical Modeling on Type-II Superconductor Levitation Hysteresis Phonomenon Abstract From the perspective of flu

3、x quantum nucleation, penetration, pinning, and discharged in a changing external magnetic field, we simulated the dynamic response of Type II superconductors, specifically, type-IISuperconductor magnetic levitation system hysteresisphenomenon, in the process of a permanent magnet close to and away

4、fromSuperconductor. We showed that the origin of superconducting levitation force is that, the surface Meissner current, magnetic flux quantum vortex interaction between external magnetic field, respectively.And we proved that macroscopic current due to the vortex density gradient interacting with t

5、he external magnetic field, essentially, is equivalent to all the flux quantum vortex interacting with the external magnetic field. The asymmetry due to the Bean-Livingston surface barrier, the irreversibility due to the geometric barrier as a results of superconductor different geometric shapes, in

6、 the process of the flux vortex penetration and emission from the surface, and the energy dissipation due to flux vortex movement within the superconductor, results in the Type II superconductors levitation hysteresis in the changing external magnetic field, among which, the significance of the last

7、 one is much greater than the former two. And then we calculated accurately the superconductor levitation hysteresis curve subjected to the highly inhomogeneous external magnetic field due to the cylindrical permanent magnet, which is consistent with the experimental results. Our results provides a

8、new perspective and foundation for understanding the type-II Superconductor levitation hysteresis phonomenon and better application of superconductor.Key words: type-II Superconductor, levitation, vortex, hysteresis目錄摘要2目錄3I.引言4II. 理論推導(dǎo)51. 永磁體產(chǎn)生的磁場(chǎng)52. 邁斯納表面電流63. 理想二類(lèi)超導(dǎo)渦旋的分布74. 非理想二類(lèi)超導(dǎo)渦旋的分布85. 等效電流96

9、. 穿透場(chǎng)的前鋒117. 場(chǎng)冷懸掛與側(cè)向穩(wěn)定性13III. 結(jié)果與討論14IV.參考文獻(xiàn)19V. 致22I.引言 只要存在一個(gè)平衡物體重力的作用力，便可以實(shí)現(xiàn)物體的漂浮或自由懸浮，漂浮可以由不同的方法獲得(通過(guò)空氣束，聲壓，電磁力)1，然而自由懸浮現(xiàn)象卻更加奇特，對(duì)于這些懸浮技術(shù)，穩(wěn)定性都是關(guān)鍵問(wèn)題，而二類(lèi)超導(dǎo)體-永磁體系統(tǒng)卻可同時(shí)實(shí)現(xiàn)這兩個(gè)功能2，尤其是銅氧高溫超導(dǎo)體具有遠(yuǎn)高于常規(guī)超導(dǎo)體的臨界轉(zhuǎn)變溫度，臨界磁場(chǎng)，這些現(xiàn)象不論在學(xué)術(shù)上而且在技術(shù)應(yīng)用上都是十分重要的，從實(shí)用的角度來(lái)看，超導(dǎo)體在磁體上方的漂浮對(duì)于高溫超導(dǎo)材料的商業(yè)化是十分核心的問(wèn)題34，如廣泛用于磁軸承5，能量?jī)?chǔ)存系統(tǒng)67，電力發(fā)

10、動(dòng)機(jī)8，磁懸浮列車(chē)9等等場(chǎng)合，而這些應(yīng)用都有賴于人們對(duì)二類(lèi)超導(dǎo)體在變化外磁場(chǎng)的響應(yīng)有深入準(zhǔn)確的理解和定量具體的描述，因此研究二類(lèi)超導(dǎo)體在變化外磁場(chǎng)中的性質(zhì)已經(jīng)成為世界各國(guó)的超導(dǎo)科技工作者一個(gè)十分重要的研究領(lǐng)域，而超導(dǎo)磁滯現(xiàn)象更是其中的核心關(guān)鍵問(wèn)題。 從1957年二類(lèi)超導(dǎo)體在理論上確定以來(lái)，經(jīng)過(guò)五十年的發(fā)展，無(wú)論上實(shí)驗(yàn)探索，還是理論研究，都取得了豐碩的研究成果，在實(shí)驗(yàn)上, Moon10，Horoki11，Masato12和Boegler13等人詳細(xì)研究了高溫超導(dǎo)磁懸浮力的滯回特征，測(cè)量了懸浮超導(dǎo)體的豎直方向的懸浮力，并且展示出懸浮系統(tǒng)的幾個(gè)主要的特性，這些測(cè)量結(jié)果被幾個(gè)小組進(jìn)一步研究，最后確定了

11、懸浮力和垂直距離關(guān)系，發(fā)現(xiàn)準(zhǔn)靜態(tài)下運(yùn)動(dòng)速度對(duì)懸浮力的影響較小14，懸浮力隨臨界電流密度增大與隨溫度降低而增大15；在變化磁場(chǎng)中呈現(xiàn)磁滯現(xiàn)象16，以與受樣品形狀和大小17,18，材料19,20, 晶粒取向21,22的影響。 從理論的角度來(lái)說(shuō)，在二類(lèi)超導(dǎo)體中，由于外場(chǎng)以磁通量子的形式穿透超導(dǎo)體，有可能超導(dǎo)體部的磁感應(yīng)強(qiáng)度不為零，在真實(shí)的二類(lèi)超導(dǎo)體中，當(dāng)電流密度小于臨界值的時(shí)候，這些穿透到超導(dǎo)體的磁量子會(huì)被材料中的不均勻缺陷釘扎住，在這些條件下，當(dāng)外磁場(chǎng)增大或減小的時(shí)候，這些磁能量向超導(dǎo)體的部或外部移動(dòng)直到磁通分布達(dá)到臨界梯度，此時(shí)，電流密度達(dá)到最大值Jc23。惟象上講，這種行為已經(jīng)被Bean的臨界

12、態(tài)模型24和他的后來(lái)者25很好地描述，如Brandt26定性地證明如何由磁通線的釘扎解釋二類(lèi)超導(dǎo)體的磁懸浮，之后又提出了多個(gè)模型，如類(lèi)比永磁體磁化的磁滯模型27，將二類(lèi)超導(dǎo)簡(jiǎn)化為一類(lèi)超導(dǎo)體的抗磁性模型28，不變場(chǎng)梯度近似模型29，Bean模型30，磁偶極子模型31，磁通線能量模型32，基于求解三維波松方程的電流演化模型33。 但這些研究結(jié)果大多假設(shè)下臨界磁場(chǎng)為零，不考慮邁斯納抗磁電流對(duì)超導(dǎo)懸浮力的貢獻(xiàn)，且假定超導(dǎo)樣品相對(duì)于永磁體足夠小，以至于沿豎直方向的磁場(chǎng)梯度為常數(shù)，同時(shí)，也沒(méi)有考慮超導(dǎo)體的有限尺寸所導(dǎo)致的退磁效應(yīng)，且大多數(shù)理論中可調(diào)參數(shù)眾多，使得理論計(jì)算的可信度大大降低，這便使得發(fā)展新的更

13、加全面精確地模型研究超導(dǎo)懸浮磁滯問(wèn)題成為必要。本文第二部分給出理論模型的主要思想以與詳細(xì)的理論推導(dǎo)，第三部分給出數(shù)值模擬結(jié)果，第五部分對(duì)結(jié)果進(jìn)行討論。II. 理論推導(dǎo)1. 永磁體產(chǎn)生的磁場(chǎng) 高溫超導(dǎo)磁懸浮系統(tǒng)由兩部分構(gòu)成：永磁鐵提供外磁場(chǎng)，置于永磁鐵上方的高溫超導(dǎo)體。當(dāng)超導(dǎo)體由一上而下逐漸靠近永磁體時(shí)，永磁體的磁場(chǎng)逐漸開(kāi)始作用于超體部的電子，一方面由倫敦方程可知，超導(dǎo)體部配對(duì)電子會(huì)在瞬時(shí)靜磁場(chǎng)作用下產(chǎn)生渦旋電流，渦旋電流產(chǎn)生磁場(chǎng)與外磁場(chǎng)方面相反，產(chǎn)生抵抗超導(dǎo)體進(jìn)一步接近永磁體的懸浮力，另一方面隨著超導(dǎo)體逐漸接近永磁體，超導(dǎo)體感受到的外磁場(chǎng)強(qiáng)度逐漸增強(qiáng)，超導(dǎo)體電子又會(huì)由于電磁感應(yīng)而產(chǎn)生感應(yīng)電流，

14、而感應(yīng)電流也阻止超導(dǎo)體進(jìn)一步靠近永磁體，兩者相互迭加，共同決定超導(dǎo)磁懸浮力。為能精確地分析并計(jì)算磁懸浮力，必須首先精確地計(jì)算永磁體的磁場(chǎng)分布，以與超導(dǎo)體由于外磁場(chǎng)作用而產(chǎn)生的渦旋電流的磁場(chǎng)分布，并將兩者在空間矢量迭加。 我們將研究一個(gè)由半徑為RPM厚度為tPM，沿軸向均勻磁化，磁化強(qiáng)度為M的圓柱狀永磁體(PM)，和一個(gè)置于永磁體上方可變距離z，一樣對(duì)稱軸，半徑為a，長(zhǎng)度為2b的圓柱狀二類(lèi)超導(dǎo)體組成的懸浮系統(tǒng)，以永磁體上表面中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立柱坐標(biāo)系(, , z)，矢徑處的磁矢勢(shì)與電流密度同為方向，可通過(guò)積分半徑為RPM 長(zhǎng)度為tPM的通電螺線管產(chǎn)生的矢勢(shì)得到 （1）其中是永磁體的剩余磁感應(yīng)強(qiáng)

15、度，則磁場(chǎng)的徑向分量為 （2）其中和分別為k的第一類(lèi)和第二類(lèi)完全橢圓積分， （3）其中模數(shù) , ，為中與在水平面上的夾角。磁感應(yīng)強(qiáng)度的軸向分量為（4） 圖1 永磁系統(tǒng)位形示意圖 圖2 圓柱形永磁體的磁場(chǎng)分布即可得到永磁體磁場(chǎng)的空間分布。2. 邁斯納表面電流 對(duì)于第一類(lèi)超導(dǎo)體，由于超導(dǎo)態(tài)與正常態(tài)的界面能是正值，所以隨著外磁場(chǎng)由零逐漸增大，只要外磁場(chǎng)強(qiáng)度不大于臨界磁場(chǎng)，超導(dǎo)體表面的邁斯納抗磁電流一直增大，將超導(dǎo)體部的磁場(chǎng)全部排出超導(dǎo)體（除表面穿透層外），使體系的總能量最小，而二類(lèi)超導(dǎo)體的表面能為負(fù)值，從能量上似乎要求界面越長(zhǎng)越好，但當(dāng)外磁場(chǎng)較小時(shí)（小于下臨界磁場(chǎng)，即第一個(gè)渦旋產(chǎn)生所對(duì)應(yīng)的外磁場(chǎng)），

16、只能夠產(chǎn)生邁斯納抗磁表面電流，因?yàn)檫~斯納電流和成核的渦旋由于超導(dǎo)體表面鏡像與渦旋的相互作用，對(duì)渦旋由表面電流進(jìn)入到超導(dǎo)體部會(huì)產(chǎn)生一個(gè)排斥力，形成一個(gè)勢(shì)壘（并且這個(gè)勢(shì)壘對(duì)于渦旋進(jìn)入和排出的過(guò)程是不對(duì)稱的），阻礙渦旋的進(jìn)入，因而此時(shí)，超導(dǎo)體的抗磁性以與與外場(chǎng)的相互作用所造成的懸浮力完全由邁斯納表面抗磁電流承擔(dān)，并且由于邁斯納抗磁電流的可逆性，其與外場(chǎng)相互作產(chǎn)生懸浮力是可逆的，即如果再逆向減小外磁場(chǎng)，其磁化曲線重合，如果磁場(chǎng)的變化是由永磁體的靠近與遠(yuǎn)離產(chǎn)生的，則相互作用力與距離的關(guān)系是可逆的。 對(duì)于第二類(lèi)超導(dǎo)體，當(dāng)外磁場(chǎng)小于下臨界場(chǎng)時(shí)，邁斯納抗磁電流隨著外磁場(chǎng)的增大而磁大，但當(dāng)外磁場(chǎng)等于下臨界場(chǎng)時(shí)，

17、邁斯納電流變得不穩(wěn)定，最終在微小擾動(dòng)的誘導(dǎo)下促使磁通量子渦旋成核并在超導(dǎo)體擴(kuò)散，而邁斯納表面抗磁電流也達(dá)到飽和，不會(huì)再隨著外磁場(chǎng)的變化而變化。3. 理想二類(lèi)超導(dǎo)渦旋的分布 對(duì)于二類(lèi)超導(dǎo)體，當(dāng)外磁場(chǎng)大于下臨界場(chǎng)時(shí)，邁斯納表面電流不再變化，由于界面能為負(fù)，超導(dǎo)正常態(tài)界面長(zhǎng)度的增加在能量上是有利的，并且，由于量子力學(xué)的磁通量子化，此后，超導(dǎo)體不斷增大的磁通量便以單個(gè)磁通量子的形式，由邁斯納表面電流部成核，并克服表面勢(shì)壘，進(jìn)入超導(dǎo)體部，并在瞬間形成六角形的規(guī)則排布，不會(huì)造成平均磁感應(yīng)強(qiáng)度的非均勻分布，此時(shí)，根據(jù)麥克斯韋方程，均勻分布的渦旋磁通量子只有在渦旋分布的邊緣產(chǎn)生順磁電流，從而此時(shí)磁通量子渦旋與

18、外磁場(chǎng)的相互作用是吸引力，這與從單個(gè)磁通渦旋電流與外場(chǎng)相互作用產(chǎn)生的吸引力是一致的，而表面邁斯納抗磁電流與外場(chǎng)的相互作用是排斥力，隨著超導(dǎo)體部磁通渦旋的數(shù)上目逐漸增多，需要表面抗磁電流抵消的外磁場(chǎng)逐漸減小，邁斯納抗磁電流隨之減小，排斥力減小，而吸此力增大，當(dāng)外磁場(chǎng)處于某個(gè)臨界值時(shí)，恰好是兩者的轉(zhuǎn)折點(diǎn)，隨后，整體上，超導(dǎo)體與產(chǎn)生外磁場(chǎng)的永磁體之間便會(huì)相互吸引，直至單個(gè)渦旋的正常態(tài)芯相互接觸，直至外磁場(chǎng)完全穿透整個(gè)超導(dǎo)體，表面抗磁電流隨之消失，吸引力也隨之消失。圖3 單個(gè)磁通量子渦旋的結(jié)構(gòu) 圖4 理想二類(lèi)超導(dǎo)體渦旋均勻分布示意圖 磁通線在二類(lèi)超導(dǎo)體中的穿透在磁通渦旋的部產(chǎn)生正常態(tài)的芯（如圖1所示）

19、，隨著外磁場(chǎng)的增加，渦旋與渦旋之間的排斥力，使得磁通量子渦旋逐漸向超導(dǎo)體部移動(dòng)，而渦旋中心正常態(tài)芯的運(yùn)動(dòng)會(huì)引起能量的耗散，由此看出，渦旋的運(yùn)動(dòng)是造成磁滯能量損失的根本來(lái)源，與二類(lèi)超導(dǎo)體部有沒(méi)有缺陷沒(méi)有關(guān)系，而且即使是對(duì)于沒(méi)有任何缺陷的理想二類(lèi)超導(dǎo)體，在變化的外磁場(chǎng)中也會(huì)產(chǎn)生磁滯能量損失，（接下來(lái)我們將會(huì)看到材料中的缺陷如果對(duì)超導(dǎo)體的磁化曲線和力-距離曲線產(chǎn)生影響），同樣，如果將這個(gè)過(guò)程反過(guò)來(lái)，即外磁場(chǎng)隨后再逆向減小到零，其磁化曲線便由三部分構(gòu)成，其一是表面抗磁電流的可逆部分，其二是渦旋運(yùn)動(dòng)所造成的不可逆部分，第三部分便是由于表面勢(shì)壘對(duì)于渦旋進(jìn)入和排出過(guò)程的不對(duì)稱性造成的不可逆性。 圖5 理想二

20、類(lèi)超導(dǎo)體中渦旋分布隨外磁場(chǎng)逐漸增大的過(guò)程中的變化4. 非理想二類(lèi)超導(dǎo)渦旋的分布 上面我們簡(jiǎn)要敘述了理想二類(lèi)超導(dǎo)體的磁化行為，而實(shí)際的超導(dǎo)體都不會(huì)是完全理想的超導(dǎo)體，其部存在各種各樣的缺陷和雜質(zhì)，如：雜質(zhì)(impurities)，空位(vacancies)，位錯(cuò)(dislocations)，雙晶(twins)，堆垛(stackingfaults)，局部缺陷(localdefects)，超導(dǎo)母體中添加的非超導(dǎo)相(addednonsuperconductingphasesinthesuperconductingmatrix) ，高能離子輻照而產(chǎn)生柱狀缺陷(columnardefectscreated

21、byirradiationwithhigh-energyions) 34,35。在這些缺陷存在的地方，超導(dǎo)電性會(huì)受到抑制，因此，當(dāng)渦旋的正常態(tài)芯處于缺陷的位置時(shí)，就像一個(gè)粒子進(jìn)入到一個(gè)勢(shì)阱中一樣，總能量降低，并且要想使渦旋從這個(gè)缺陷所造成的勢(shì)阱中出來(lái)，便需要更靠近樣品邊緣的渦旋提供更大的推力，使渦旋可以克服勢(shì)壘，才能使得渦旋的數(shù)目進(jìn)一步增多，進(jìn)一步降低系統(tǒng)的總能量，這樣，當(dāng)外磁場(chǎng)逐漸增大的時(shí)候，渦旋間距從到外越來(lái)越小，渦旋密度越來(lái)越大，這樣便形成了宏觀上的渦旋密度梯度，這種分布主要由電磁驅(qū)動(dòng)力，材料釘扎力和磁通跳躍之間的平衡決定，當(dāng)外磁場(chǎng)在上下臨界磁場(chǎng)Hc1和Hc2之間變化時(shí)，渦旋通過(guò)超導(dǎo)體邊

22、界進(jìn)入或離開(kāi)，每當(dāng)驅(qū)動(dòng)渦旋克服釘扎力時(shí)，渦旋系統(tǒng)自身排列另一個(gè)亞穩(wěn)狀態(tài)從而與外磁場(chǎng)達(dá)到平衡。因此，外磁場(chǎng)或溫度的改變驅(qū)動(dòng)未釘扎渦旋訊速移動(dòng)到另一個(gè)平衡態(tài)或離開(kāi)超導(dǎo)體使得系統(tǒng)達(dá)到一個(gè)新的準(zhǔn)靜態(tài)能量平衡態(tài)。 由于單個(gè)磁通量子渦旋本身包含兩個(gè)方面的容，一個(gè)是磁場(chǎng)，一個(gè)渦旋電流，因此在處理的時(shí)候，也可以分別從這兩個(gè)角度出發(fā)，如果從磁場(chǎng)的角度出發(fā)，則可以將每個(gè)磁通渦旋的磁場(chǎng)平均化，即可以得到宏觀的磁場(chǎng)分布，再根據(jù)安培定理(B=0j)便可以得到宏觀的抗磁等效電流，這個(gè)等效抗磁電流與表面邁斯納抗磁電流一樣與外磁場(chǎng)相互排斥；如果按照渦旋電流的角度，則如下圖所示，從直覺(jué)上看，單個(gè)磁通渦旋電流與外磁場(chǎng)的相互作用是

23、吸引力，那為什么會(huì)等效出一個(gè)宏觀的抗磁電流呢？事實(shí)上，當(dāng)超導(dǎo)體的渦旋在沒(méi)有釘扎力作用的情況下會(huì)形成均勻渦旋分布，此時(shí)處在部的渦旋電流從整體上抵消，只有邊緣處等效出一個(gè)順磁表面電流，這便是理想二類(lèi)超導(dǎo)體的情形，而對(duì)于非均勻分布，從中心開(kāi)始，靠一層的渦旋電流在這一層的外邊緣形成一個(gè)等效的宏觀順磁電流，靠外一層渦旋電流在這一層的邊緣形成一個(gè)等效的抗磁宏觀電流，由于靠外一層渦旋電流密度比靠一層的渦旋電流密度大，因此，這兩者的綜合效果是產(chǎn)生一個(gè)抗磁電流，而且如果我們將每個(gè)磁通渦旋分別與外場(chǎng)相互作用后對(duì)所有的磁通渦旋進(jìn)行求和，其結(jié)果與通過(guò)等效電流計(jì)算的結(jié)果一樣。 從上面的分析我們可以看到，對(duì)于實(shí)際的二類(lèi)超

24、導(dǎo)體，由于缺陷的存在，在外磁場(chǎng)中，磁通量子渦旋在超導(dǎo)體部不是均勻分布，從而產(chǎn)生等效的體抗磁電流密度，這個(gè)電流與表面麥克斯納抗磁電流一起決定了超導(dǎo)體部和外部的磁場(chǎng)分布，也使得非理想的二類(lèi)超導(dǎo)體的懸浮力遠(yuǎn)大于理想二類(lèi)超導(dǎo)體，從根本上講，隨著外場(chǎng)的增加，能量上負(fù)界面能要求產(chǎn)生盡可能多的渦旋，從而產(chǎn)生了渦旋成核并向超導(dǎo)體部擴(kuò)散的動(dòng)力，而釘扎力卻阻止渦旋的運(yùn)動(dòng)，正是缺陷對(duì)渦旋產(chǎn)生的釘扎力與外磁場(chǎng)的相互作用產(chǎn)生了懸浮力。 由于缺陷對(duì)渦旋的釘扎作用，只有當(dāng)渦旋密度達(dá)到一定值時(shí)，其渦旋間排斥力才足以使渦旋克服釘扎勢(shì)壘，使渦旋運(yùn)運(yùn)，而這個(gè)臨界值所對(duì)應(yīng)的等效電流密度便是臨界電流密度，這個(gè)值一般可以通過(guò)測(cè)量二類(lèi)超導(dǎo)

25、體的輸運(yùn)性質(zhì)得到。由此也使得當(dāng)減小外磁場(chǎng)時(shí)，只有使外磁場(chǎng)減小的大小足以使得其渦旋密度梯度反向時(shí)，才能改變等效電流密度，所以在這個(gè)外磁場(chǎng)的圍，外磁場(chǎng)與臨界電流密度不變，使得非理想二類(lèi)超導(dǎo)體的穩(wěn)定懸浮位置和空間取向可以在某一個(gè)圍連續(xù)變化。 圖6 非理想二類(lèi)超導(dǎo)體中渦旋分布在外磁場(chǎng)增大然后減小的過(guò)程中的變化5. 等效電流 我們根據(jù)E. H. Brandt41,42,43所采用的方法計(jì)算出柱狀超導(dǎo)體在永磁體產(chǎn)生的磁場(chǎng)中的臨界電流分布，而其中關(guān)鍵的問(wèn)題是得到超導(dǎo)體部電流密度隨外場(chǎng)變化的變化情況，根據(jù)麥克斯韋方程 （5）其中位移電流只在高頻磁場(chǎng)時(shí)才會(huì)有貢獻(xiàn)，所以此處忽略位移電流的貢獻(xiàn)，并由 （6）可以得到

26、 （7） （8）電流密度演化方程 （9）其中是超導(dǎo)體部的等效電流產(chǎn)生的矢勢(shì)，是外磁場(chǎng)的矢勢(shì)，根據(jù)微觀超導(dǎo)渦旋釘扎理論，渦旋由釘扎勢(shì)中被電流激發(fā)所需要的能量(activation energy)與外加電流之間的關(guān)系為 （10）再由阿雷尼厄斯(Arrhenius)定律 （11）可以得到經(jīng)驗(yàn)規(guī)律 （12）其中為磁通跳躍指數(shù)，在外磁場(chǎng)強(qiáng)度大于下臨界磁場(chǎng)時(shí)對(duì)于描寫(xiě)二類(lèi)超導(dǎo)的臨界態(tài)行為是一個(gè)很好的近似，由此我們也可以得到參量，以與渦旋有效運(yùn)動(dòng)速度 （13） 由于超導(dǎo)懸浮系統(tǒng)的軸對(duì)稱性，電流密度，電場(chǎng)強(qiáng)度，矢勢(shì)（由定義）只有沿著方位角的分量，因此 （14） （15） （16）這個(gè)波松方程在柱坐標(biāo)系中的解為

27、（17）其中，積分核 （18）其中 （19）其中，K和E分別是第一和第二類(lèi)完全橢圓積分。由電磁感應(yīng)定律可得，磁懸浮系統(tǒng)的位形可以保證，矢勢(shì)的規(guī)對(duì)稱性（即任對(duì)加上一個(gè)無(wú)旋矢量場(chǎng)，其磁感應(yīng)強(qiáng)度不變），在材料定律確定后，使可以得到，可得到 （20）這個(gè)電流密度的精確方程中包含它的時(shí)間導(dǎo)數(shù)，由于高度非線性的關(guān)系，這個(gè)方程必須數(shù)值求解，而且這個(gè)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)需要從積分中去除才能使用數(shù)值方法，這個(gè)倒置的過(guò)程可以通過(guò)在2D的網(wǎng)格離散化積分核，并且對(duì)矩陣求逆得到其逆矩陣的方法實(shí)現(xiàn)，此時(shí)電流密度方位角分量寫(xiě)表達(dá)為 （21）其中是逆積分核，它由下式給出 （22）上述方程很容易對(duì)時(shí)間求積分，假定t=0時(shí)刻，當(dāng)時(shí)，不斷

28、地迭代下去，即可得到穩(wěn)定平衡時(shí)的等效電流分布，進(jìn)而可以得到等效電流產(chǎn)生的矢勢(shì)和磁場(chǎng)。6. 穿透場(chǎng)的前鋒 在外磁場(chǎng)中，磁通以磁通晶格的形式存在，單個(gè)的磁通量子會(huì)被材料中的微結(jié)構(gòu)不均勻釘扎，以至于只有在由局部高的電流引起的足夠強(qiáng)的洛侖茲力的作用下才會(huì)脫釘扎并在材料中流動(dòng)，引起磁通量子脫釘扎的局部電流密度便是微觀的臨界電流密度，并且它直接正比于釘扎力強(qiáng)度，臨界態(tài)惟象理論描述準(zhǔn)靜態(tài)材料中釘扎的磁線分布，假定釘扎引起的臨界電流密度為jc，即磁感應(yīng)強(qiáng)度對(duì)半徑的導(dǎo)數(shù)對(duì)應(yīng)于臨界電流密度，即，以與對(duì)磁通分布的任何改變都是由樣品表面引入，在一個(gè)比實(shí)驗(yàn)時(shí)間短的時(shí)間尺度，從操作上講，無(wú)論何時(shí)外場(chǎng)增加，磁線都會(huì)從表面進(jìn)

29、入超導(dǎo)體部，并且穿透形成一個(gè)磁通前逢邊界，這個(gè)邊界的位置由樣品表面的外場(chǎng)大小決定，臨界態(tài)中，電流密度要么是正比于局部磁感應(yīng)強(qiáng)度的臨界值，要么是零，因此二類(lèi)超導(dǎo)體的電磁響應(yīng)由臨界態(tài)區(qū)域的圍決定，具有方位角對(duì)稱性(azimuthal symmetry)非均勻外場(chǎng)中的前鋒輪廓(flux front profile)可以由一種積分函數(shù)方法(integral equation technique)得到。根據(jù)Bean臨界態(tài)模型，誘導(dǎo)電流由材料邊界產(chǎn)生緊接著外磁場(chǎng)，并進(jìn)一步延伸到超導(dǎo)體部 （23）是磁感應(yīng)強(qiáng)度矢量，是真空磁導(dǎo)率，這引起總磁通密度從材料表面向部逐漸減小直至達(dá)到磁通鋒邊界時(shí)為零，這個(gè)邊界部的區(qū)域

30、沒(méi)有磁場(chǎng)，被誘導(dǎo)的屏蔽電流完全屏蔽，這個(gè)磁通前鋒邊界可由總磁感應(yīng)強(qiáng)度為零的面來(lái)定義，這對(duì)應(yīng)于一個(gè)定義這個(gè)邊界的矢量方程，由于，則同樣可以由磁矢勢(shì)來(lái)定義邊界，使用矢勢(shì)的概念可以極簡(jiǎn)化計(jì)算，因?yàn)橹挥幸粋€(gè)分量需要確定對(duì)于方位角對(duì)稱問(wèn)題，對(duì)于具有這種對(duì)稱性的問(wèn)題，材料部誘電流可以通過(guò)形成回路來(lái)模擬，每一個(gè)回路者攜帶常數(shù)電流Jc，單個(gè)電流回路的矢勢(shì)已知，并且可以要么使用完全橢圓積分(complete elliptical integrals)，要么通過(guò)正交函數(shù)(orthogonal functions)來(lái)表示，因此，由于所有的誘導(dǎo)電流而產(chǎn)生的矢勢(shì)是這個(gè)單電流回路的已知的矢勢(shì)的體積積分，在這個(gè)積分中的未知

31、量是磁通前鋒邊界，這個(gè)邊界構(gòu)成積分限的一部分，和電流密度Jc，另外，既同時(shí)是空間和外另磁場(chǎng)的函數(shù)，為了簡(jiǎn)化計(jì)算，外加磁場(chǎng)用Jc和一個(gè)特征長(zhǎng)度歸一化，采用這種歸一化方案之后，總的矢勢(shì) Atot就變?yōu)橐粋€(gè)無(wú)量綱隱函數(shù)=(R, )，R為廣義空間變量，是歸一化外加磁場(chǎng)，總的矢勢(shì)由下式給出 Atot =A AJc （24） A和 AJc 分別是外場(chǎng)的矢勢(shì)和誘導(dǎo)電流Jc的矢勢(shì)，方程中的負(fù)號(hào)源自屏蔽效應(yīng)，對(duì)于給定的外場(chǎng)，磁通前鋒的位置可由尋找矢勢(shì)為零的空間點(diǎn)來(lái)確定，通常情況下這是一個(gè)很困難的工作，但是可以將此方程化為一個(gè)簡(jiǎn)單的積分方程來(lái)簡(jiǎn)化，一般情況下，是時(shí)間的函數(shù)，這種方法只能處理臨界態(tài)的準(zhǔn)靜態(tài)，外場(chǎng)變化

32、的時(shí)間尺度遠(yuǎn)大于磁通線運(yùn)動(dòng)所需要的時(shí)間尺度，因此，這個(gè)模型總是假定隨著外場(chǎng)的增大磁通輪廓經(jīng)歷一系列由外場(chǎng)的歷史和當(dāng)前值惟一確定的準(zhǔn)靜態(tài)，外加磁場(chǎng)的變化導(dǎo)致磁通線輪廓位置相應(yīng)的變化，但是在整個(gè)變化過(guò)程中這個(gè)輪廓中總的矢勢(shì)一直為零，因此，確定磁通穿透輪廓的一個(gè)要 Atot (R, +), R)= Atot (R, ), R)=0 （25）這意味著 （26）上面的方程往往是的一階非線性積分方程，然而，如果給定，但是它的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)未知，上述方程可被視為一個(gè)導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的線性一階積分方程，正如臨界態(tài)模型所建議的那樣，當(dāng)外場(chǎng)最初加到超導(dǎo)體上時(shí)，磁通量子從表面進(jìn)入超導(dǎo)體，因此，初始(R, ) =0的輪廓是材料的表面輪

33、廓，將這個(gè)已知函數(shù)代入到上述方程，它就變成一個(gè)未知導(dǎo)數(shù)的一階線性積分方程，有幾種方法可以用來(lái)求解這個(gè)方程，這些算法的大多數(shù)使用迭代法，并且這個(gè)迭代的收斂要么由嚴(yán)格的數(shù)學(xué)參數(shù)，要么在實(shí)際應(yīng)用中被認(rèn)為是如此，因?yàn)閲?yán)格的數(shù)學(xué)證明極其困難，Gold提出一個(gè)簡(jiǎn)單的收斂迭代方案以從上述方程求解的導(dǎo)數(shù)，隨著外磁場(chǎng)由增加到+，新的磁通前鋒輪廓可由下式近似 （27） 圖7 二類(lèi)超導(dǎo)體磁場(chǎng)隨外磁場(chǎng)增加過(guò)程中的分布圖只要增量足夠小，這個(gè)近似便是成立的，用這個(gè)近似，可以確定時(shí)的磁通輪廓，但它的導(dǎo)數(shù)卻還沒(méi)有確定，這與起初當(dāng)=0時(shí)的情況一樣，上面的方案重復(fù)進(jìn)行，從根本上講，這個(gè)方法涉與到外場(chǎng)的漸進(jìn)增量數(shù)值方案(progr

34、essively incremental numerical scheme)，和求解上個(gè)方程的迭代方法，一旦磁輪廓對(duì)外場(chǎng)的依賴關(guān)系在零場(chǎng)冷(ZFC)過(guò)程中被確定，然后，超導(dǎo)樣品對(duì)一個(gè)外場(chǎng)完整周期變化過(guò)程中的響應(yīng)便可很容易計(jì)算出來(lái)。 圖8 二類(lèi)超導(dǎo)體磁場(chǎng)隨外磁場(chǎng)減小過(guò)程中的分布圖7. 場(chǎng)冷懸掛與側(cè)向穩(wěn)定性 以上所描述的都是超導(dǎo)體處于超導(dǎo)態(tài)之后再加外磁場(chǎng)，即所謂的零場(chǎng)冷情形，如果改變兩者的順序，先使正常態(tài)的超導(dǎo)體磁化之后再降溫使超導(dǎo)體處于超導(dǎo)態(tài)（場(chǎng)冷），假如正常態(tài)超導(dǎo)體的磁化率為零，則超導(dǎo)體部的磁場(chǎng)分布與外磁場(chǎng)一樣，此時(shí)，再降溫，超導(dǎo)體磁場(chǎng)以磁通量子的形式存在，并且由于超導(dǎo)體的缺陷對(duì)渦旋的釘扎作用

35、，超導(dǎo)體會(huì)殘留部分磁通線，此時(shí)的磁通密度梯度等效電流與外磁場(chǎng)相互吸引，使得超導(dǎo)體與永磁體之間具有吸引力，這種吸引力甚至可以使超導(dǎo)體懸掛在超導(dǎo)體的下面。 一類(lèi)超導(dǎo)體如鉛，錫，汞像抗磁體一樣，將所有磁通線從其體排出，從而產(chǎn)生最大的排斥力，二類(lèi)超導(dǎo)體，如Nb3Sn或高溫超導(dǎo)體卻允許磁通線以磁通量子的形式進(jìn)入超導(dǎo)體的部，直覺(jué)上，好像此時(shí)排斥力應(yīng)該小于第一類(lèi)超導(dǎo)體，然而，由于材料缺陷對(duì)磁通渦旋的釘扎作用，使得二類(lèi)超導(dǎo)體的排斥力大大強(qiáng)于一類(lèi)超導(dǎo)體，但是這種懸浮力卻在真實(shí)的條件下并不穩(wěn)定，主要是由于熱力學(xué)效應(yīng)造成的漲落效應(yīng)，磁通線熱激發(fā)的概念，以與釘扎的概念本身第一次都是由P. W. Anderson于19

36、62年提出的36，基本的觀點(diǎn)是任何促使非平衡渦旋分布的過(guò)程都會(huì)導(dǎo)致超導(dǎo)體磁矩的改變37，這樣的改變可以被認(rèn)為是渦旋由釘扎中心自發(fā)蠕動(dòng)的結(jié)果，這樣的運(yùn)動(dòng)則通常起源于熱激發(fā)36，但是它也會(huì)起源量子遂穿38(在非常低的溫度下T4K)或者力學(xué)激發(fā)39如振動(dòng)(在外加場(chǎng)中會(huì)誘發(fā)弱交變電流)，這種蠕動(dòng)受到引起驅(qū)動(dòng)電流的磁場(chǎng)梯度的驅(qū)動(dòng)，隨著渦旋位形的衰減，相應(yīng)的電流變得越來(lái)越小，馳豫也減慢，形成一個(gè)近似對(duì)數(shù)的馳豫率，這種對(duì)數(shù)馳豫現(xiàn)象首次被Kim等人實(shí)驗(yàn)觀察到40，這不是本文的重點(diǎn)，本文假定熱漲落效應(yīng)造成的馳豫時(shí)間遠(yuǎn)大于永磁體靠近和遠(yuǎn)離超導(dǎo)體的時(shí)間周期。 當(dāng)永磁體接近超導(dǎo)體上表面時(shí)冷卻超導(dǎo)體使其處于超導(dǎo)態(tài)，此時(shí)

37、，由于磁通釘扎，由于未冷卻時(shí)磁體產(chǎn)生的磁場(chǎng)被捕獲在超導(dǎo)體，電流密度 （28）直到磁體運(yùn)動(dòng)，不會(huì)發(fā)生變化，隨后如果向上移動(dòng)永磁體，則會(huì)產(chǎn)生電場(chǎng) （29）并且根據(jù)E(J)關(guān)系，便會(huì)出現(xiàn)臨界電流的分布，磁體最初從超導(dǎo)體上表面移走，由于法拉第-楞次定律(Faraday-Lenzs law)，出現(xiàn)電流分布，其傾向于保持原來(lái)被凍結(jié)的磁通線不變，而原來(lái)的磁通線與永磁體之間的作用力是吸引力，然而，如果磁體的運(yùn)動(dòng)方向反向，便又會(huì)誘導(dǎo)出與原來(lái)結(jié)構(gòu)相反的電流，現(xiàn)在，樣品努力將磁場(chǎng)排出體外，結(jié)果，相互作用力變成斥力，這樣，就可以看到穩(wěn)定的懸浮，這種懸浮具有非常強(qiáng)的穩(wěn)定性，當(dāng)側(cè)向移動(dòng)磁體時(shí)，電流密度分布會(huì)發(fā)生變化盡可能

38、保持原來(lái)的磁通線結(jié)構(gòu)不變，結(jié)果，一個(gè)靜磁能函數(shù)Um中出現(xiàn)一個(gè)非常深的勢(shì)阱，使得任何偏離平衡位置的小位移都會(huì)受到一個(gè)回復(fù)力。III. 結(jié)果與討論圖6所示為零場(chǎng)條件下制冷實(shí)驗(yàn)超導(dǎo)情況下測(cè)量超導(dǎo)磁懸力隨距離變化的曲線，從圖中可以清楚的看出z方向上超導(dǎo)體與磁鐵之間的磁排斥力隨距離的增大呈指數(shù)形式下降。圖7為場(chǎng)冷條件下分別測(cè)量的超導(dǎo)體與磁鐵在z軸方向磁懸浮力與距離的變化曲線。圖8和圖9為可以做為標(biāo)準(zhǔn)的相對(duì)更好的磁懸力測(cè)量結(jié)果。通過(guò)比較，我們發(fā)現(xiàn)主要存在兩個(gè)問(wèn)題，一個(gè)是為能系統(tǒng)而精細(xì)地測(cè)試超導(dǎo)磁懸力距離的變化關(guān)系，深入了解高溫超導(dǎo)磁滯的根源，除了分別進(jìn)行零場(chǎng)和場(chǎng)冷兩種條件下的磁懸浮力測(cè)試外，還需要分別對(duì)起

39、始測(cè)量是上行還是下行做出區(qū)分，而我們只是做了其中一部分工作，這為我們進(jìn)一步進(jìn)行磁懸浮力的測(cè)試工作提供了很多價(jià)值的參考經(jīng)驗(yàn)。另一個(gè)問(wèn)題是測(cè)試精度的問(wèn)題，很顯然圖7中磁懸浮力的變化曲線雖然大體上反映出磁滯的特征，但是上行數(shù)據(jù)明顯比標(biāo)準(zhǔn)曲線過(guò)小，而這很可能是實(shí)驗(yàn)操作熟練程度不夠造成的。 圖9 零場(chǎng)冷磁懸力隨距離變化曲線 圖10 場(chǎng)冷時(shí)上行和下行磁浮力隨距離變化 從圖中可看出二個(gè)信息，第一個(gè)是場(chǎng)冷條件下下行曲線與零場(chǎng)冷條件下測(cè)得的曲線變化趨勢(shì)極為吻合，從中可以說(shuō)明超導(dǎo)態(tài)與磁化過(guò)程無(wú)關(guān)，這是第一類(lèi)超導(dǎo)體的明顯特征，由于釔鋇銅氧高溫超導(dǎo)體屬于第二類(lèi)超導(dǎo)體，故而并不像第一類(lèi)超導(dǎo)體一樣超導(dǎo)態(tài)與磁化過(guò)程無(wú)關(guān)，因

40、此便可得到第二個(gè)信息，即磁懸浮力隨時(shí)間的變化，這便是所謂的第二類(lèi)超導(dǎo)體磁滯現(xiàn)象。具體表現(xiàn)在上行和下行曲線不吻合而具有一定的差別。按照bean磁滯模型，下行時(shí)由于電磁感應(yīng)，在超導(dǎo)體邊緣位置感應(yīng)出超導(dǎo)電流，超導(dǎo)電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)與磁鐵相互作用使得超導(dǎo)體表現(xiàn)出排斥力，由于超導(dǎo)體部的雜質(zhì)，缺陷，位錯(cuò)等等影響超導(dǎo)體晶格周期性因素的影響，在超導(dǎo)體這些缺陷中心位置將會(huì)形成磁通釘扎中心，使得在超導(dǎo)電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)不會(huì)隨著外磁場(chǎng)的退去立即退去，而是呈現(xiàn)一定的滯后性，當(dāng)下行到最低位置上行時(shí)，這些沒(méi)有來(lái)得與退去的磁場(chǎng)與新感應(yīng)出的電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)相互作用便表現(xiàn)出超導(dǎo)體上行下行磁懸力不吻合的情況。當(dāng)然，由于實(shí)驗(yàn)經(jīng)驗(yàn)不足、測(cè)試樣

41、品的部分失超以與測(cè)試系統(tǒng)靈敏度不高而原因，本次實(shí)驗(yàn)所得結(jié)果并不是十分理想，與標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)結(jié)果(圖8、圖9)相比還是有一定的差距。圖8和圖9兩圖分別展現(xiàn)了起始測(cè)量階段為超導(dǎo)體與永磁體相對(duì)靠近和離開(kāi)兩種情況。 為了驗(yàn)證理論模擬的正確性，我們與兩組實(shí)驗(yàn)結(jié)果做了比較，分別為Raphael B. Kasal等人44-47和萬(wàn)民48等人的實(shí)驗(yàn)為參考，超導(dǎo)體為圓柱形YBCO，直徑分別為2Rsc=28mm和2Rsc=18mm，厚度都是2d=10mm，永磁體為Nd-Fe-B，直徑分別為2Rpm=22mm和2Rpm=19mm，厚度分別為2b=10mm和2b=25mm，通過(guò)實(shí)驗(yàn)可以得到如下圖所示的豎直方向的懸浮力隨懸浮

42、距離的變化。如下圖所示。圖11 懸浮力實(shí)驗(yàn)值41隨懸浮距離的變化圖12 懸浮力實(shí)驗(yàn)值45隨懸浮距離的變化根據(jù)理論模型計(jì)算得到的電流密度分布，我們可以得到Fz的計(jì)算式： （30）式中為超導(dǎo)電子密度，為單位電荷，為電子的質(zhì)量，為單位面積的渦旋數(shù)。首先，為了計(jì)算的簡(jiǎn)便，我們將看作常數(shù)，則上式可寫(xiě)為： （31） 又因?yàn)?，代入上式得到?（32） 則的第一類(lèi)橢圓積分可表示為： （33）同理可得： （34）則等效螺線管的磁矢勢(shì)可表示為： （35）在計(jì)算過(guò)程中，參數(shù)完全按照實(shí)驗(yàn)給出的數(shù)值，Rsc=14mm，d=5mm，Rpm=11mm，b=5mm，e為單位電荷量，m為電子的質(zhì)量。計(jì)算結(jié)果見(jiàn)圖13。圖13 懸

43、浮力理論計(jì)算與實(shí)驗(yàn)44的FzZ曲線我們得到懸浮力隨懸浮距離變化的曲線FzZ，。從圖中FzZ曲線可以看出，理論計(jì)算的懸浮力值與實(shí)驗(yàn)測(cè)量的懸浮力曲線整體變化趨勢(shì)基本一樣，除此之外，我們還研究了磁懸浮力曲線隨渦旋密度梯度等效電流和永磁體剩余磁場(chǎng)強(qiáng)度（圖14）之間的關(guān)系，以與磁懸浮力曲線與超導(dǎo)樣品厚度和縱橫比的關(guān)系（圖15） 圖14 磁懸浮力曲線隨不同等效電流和永磁體不同的剩余磁場(chǎng)的變化 圖15 磁懸浮力曲線與超導(dǎo)樣品厚度和縱橫比的關(guān)系IV.參考文獻(xiàn)1 F. Hellman, E. M. Gyorgy, D. W. Johnson, Jr.,H. M. OBryan, and R. C. Sherwo

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