傅里葉變換FFT算法介紹及其在微機(jī)繼電保護(hù)中應(yīng)用 陸志強(qiáng)

1、傅里葉變換FFT算法的介紹及其在微機(jī)繼電保護(hù)中的應(yīng)用陸志強(qiáng)(溫州大學(xué)物理與電子信息工程學(xué)院，11電信)摘要：傳統(tǒng)的微機(jī)繼電保護(hù)算法中 ,一般使用梯形算法來(lái)計(jì)算周期信號(hào)的直流分量和各次諧波的系數(shù) ,此方法計(jì)算比較復(fù)雜 。本文提出了一種基于 FFT 的算法 。該算法利用 FFT 可以由輸入序列直接計(jì)算出輸入信號(hào)的直流分量和各次諧波的幅值和相角的特點(diǎn) ,大大簡(jiǎn)化了諧波分析的計(jì)算 。與梯形算法相比 ,該算法具有精度高 、計(jì)算量小 、更易在數(shù)字信號(hào)處理器上實(shí)現(xiàn)等優(yōu)點(diǎn) 。因而可以取代梯形算法來(lái)計(jì)算諧波系數(shù) 。針對(duì) FFT計(jì)算 ,還介紹了正弦信號(hào)采樣頻率的選擇方法 。關(guān)鍵字： 傅里葉算法 

2、; FFT; 諧波分析；微機(jī)繼電保護(hù)。The Introduction of Fourier algorithm based on FFT in Modif ied model of power metering Lu Zhiqiang(School of Physics and Electronic and Information Engineering, Wenzhou University,)Abstract: In microcomputer relay protection of traditional algorithm, coefficient of DC c

3、omponent generally use the trapezoidal algorithm to calculate the periodic signal and harmonic,and this method is very complex. This paper presents an algorithm based on FFT. The algorithm makes use of the FFT and it can be calculated directly from the input sequence characteristics of amplitude and

4、 phase of the DC component of the input signal and harmonic, greatly simplifies the calculation of harmonic analysis. Compared with the trapezoidal algorithm, this algorithm has high precision, small computation, easily realized in digital signal processor. So that you can replace trapezoidal algori

5、thm to calculate the harmonic coefficient. For the FFT calculation, the selection method of sine signal sampling frequency is also presented.Keywords: Fourier algorithm；FFT；harmonic analysis；Modif ied model of power metering.一、傅立葉變換FFT算法簡(jiǎn)介：計(jì)算離散傅里葉變換的一種快速算法，簡(jiǎn)稱(chēng)FFT。快速傅里葉變換是1965年由J.W.庫(kù)利和T.W.圖基提出的。采用這種算法

6、能使計(jì)算機(jī)計(jì)算離散傅里葉變換所需要的乘法次數(shù)大為減少，特別是被變換的抽樣點(diǎn)數(shù)N越多，F(xiàn)FT算法計(jì)算量的節(jié)省就越顯著。有限長(zhǎng)序列可以通過(guò)離散傅里葉變換(DFT）將其頻域也離散化快速傅里葉變換成有限長(zhǎng)序列。但其計(jì)算量太大，很難實(shí)時(shí)地處理問(wèn)題，因此引出了快速傅里葉變換(FFT). 1965年，Cooley和Tukey提出了計(jì)算離散傅里葉變換（DFT）的快速算法，將DFT的運(yùn)算量減少了幾個(gè)數(shù)量級(jí)。從此，對(duì)快速傅里葉變換（FFT）算法的研究便不斷深入，數(shù)字信號(hào)處理這門(mén)新興學(xué)科也隨FFT的出現(xiàn)和發(fā)展而迅速發(fā)展。根據(jù)對(duì)序列分解與選取方法的不同而產(chǎn)生了FFT的多種算法，基本算法是基2DIT和基2DI

7、F。FFT在離散傅里葉反變換、線性卷積和線性相關(guān)等方面也有重要應(yīng)用。 快速傅氏變換（FFT），是離散傅氏變換的快速算法，它是根據(jù)離散傅氏變換的奇、偶、虛、實(shí)等特性，對(duì)離散傅立葉變換的算法進(jìn)行改進(jìn)獲得的。它對(duì)傅氏變換的理論并沒(méi)有新的發(fā)現(xiàn)，但是對(duì)于在計(jì)算機(jī)系統(tǒng)或者說(shuō)數(shù)字系統(tǒng)中應(yīng)用離散傅立葉變換，可以說(shuō)是進(jìn)了一大步。 設(shè)快速傅里葉變換x(n）為N項(xiàng)的復(fù)數(shù)序列，由DFT變換，任一X（m）的計(jì)算都需要N次復(fù)數(shù)乘法和N-1次復(fù)數(shù)加法，而一次復(fù)數(shù)乘法等于四次實(shí)數(shù)乘法和兩次實(shí)數(shù)加法，一次復(fù)數(shù)加法等于兩次實(shí)  快速傅里葉變換數(shù)加法，即使把一次復(fù)數(shù)乘法和一次復(fù)數(shù)加法定義成一次“運(yùn)算”（四次實(shí)數(shù)

8、乘法和四次實(shí)數(shù)加法），那么求出N項(xiàng)復(fù)數(shù)序列的X（m），即N點(diǎn)DFT變換大約就需要N2次運(yùn)算。當(dāng)N=1024點(diǎn)甚至更多的時(shí)候，需要N2=1048576次運(yùn)算，在FFT中，利用WN的周期性和對(duì)稱(chēng)性，把一個(gè)N項(xiàng)序列（設(shè)N=2k,k為正整數(shù)），分為兩個(gè)N/2項(xiàng)的子序列，每個(gè)N/2點(diǎn)DFT變換需要（N/2）2次運(yùn)算，再用N次運(yùn)算把兩個(gè)N/2點(diǎn)的DFT變換組合成一個(gè)N點(diǎn)的DFT變換。這樣變換以后，總的運(yùn)算次數(shù)就變成N+2*(N/2）2=N+N2/2。繼續(xù)上面的例子，N=1024時(shí)，總的運(yùn)算次數(shù)就變成了525312次，節(jié)省了大約50%的運(yùn)算量。而如果我們將這種“一分為二”的思想不斷進(jìn)行下去，直到分成兩兩一組

9、的DFT運(yùn)算單元，那么N點(diǎn)的DFT變換就只需要Nlog2N次的運(yùn)算，N在1024點(diǎn)時(shí)，運(yùn)算量?jī)H有10240次，是先前的直接算法的1%，點(diǎn)數(shù)越多，運(yùn)算量的節(jié)約就越大，這就是FFT的優(yōu)越性。 二、微機(jī)繼電保護(hù)簡(jiǎn)介：微機(jī)繼電保護(hù)的輸入信號(hào)是電力系統(tǒng)的模擬量，而計(jì)算機(jī)只能對(duì)數(shù)字量進(jìn)行計(jì)算和判斷，因此由電力系統(tǒng)經(jīng)電壓互感器和/或電流互感器輸入的模擬量必先經(jīng)過(guò)預(yù)處理繼電保護(hù)在大部分情況下取用輸入信號(hào)中的基波模擬量。根據(jù)采樣定理，如被測(cè)信號(hào)頻率（或要求保留的最高次諧波頻率）為,則采樣頻率必須大于2,kg1否則由采樣值不可能擬合還原成原來(lái)的曲線。對(duì)于那些大于0.5頻率的諧波分量,必須在進(jìn)入采樣器之前，利用模擬

10、式低通濾波器（前置模擬濾波）將其濾掉。 由于輸入信號(hào)常常有多個(gè)，故設(shè)置多路轉(zhuǎn)換器將輸入模擬信號(hào)逐個(gè)交與A/D變換器轉(zhuǎn)化成數(shù)字量這些數(shù)字量應(yīng)在存儲(chǔ)器中按先后順序排列，以便后續(xù)功能處理程序取用。2.1 濾波：為了保證計(jì)算機(jī)計(jì)算和判斷的正確，實(shí)現(xiàn)以某種頻率的正弦電量為基礎(chǔ)的繼電保護(hù)原理,必須將經(jīng)A/D變換后的數(shù)字量再經(jīng)一次濾波。由于數(shù)字濾波器精度高、可靠而且調(diào)整靈活，通過(guò)時(shí)分復(fù)用可使裝置簡(jiǎn)化，因此微機(jī)保護(hù)中普遍采用數(shù)字濾波器。數(shù)字濾波器本身可理解為一個(gè)計(jì)算程序或算法，它將代表輸入信號(hào)的數(shù)字時(shí)間序列轉(zhuǎn)換為代表輸出信號(hào)的數(shù)字時(shí)間序列，使信號(hào)按照預(yù)定的形式變化。微機(jī)繼電保護(hù)中應(yīng)根據(jù)電力系統(tǒng)信號(hào)的特點(diǎn)和保護(hù)

11、原理的要求設(shè)計(jì)、選擇相應(yīng)的數(shù)字濾波器。數(shù)學(xué)濾波器的主要性能指標(biāo)是頻域特性、時(shí)延和計(jì)算量。2.2 算法問(wèn)題：對(duì)離散和量化的數(shù)字式采樣序列，用數(shù)學(xué)運(yùn)算方法實(shí)現(xiàn)故障量的測(cè)量，這就是微機(jī)保護(hù)的算法問(wèn)題。要求運(yùn)算精度滿足保護(hù)的實(shí)際需要，同時(shí)計(jì)算時(shí)間又盡可能短。微機(jī)繼電保護(hù)的研究初期，一些算法是基于被采樣的電壓、電流均系純正弦波的，為此應(yīng)將輸入信號(hào)進(jìn)行預(yù)處理。稍后，相繼提出傅里葉算法和沃爾什函數(shù)算法。它們假定輸入信號(hào)中含有非周期分量、基波和高次諧波。這些算法本身具有很強(qiáng)的濾去高次諧波的功能，因此無(wú)需另設(shè)數(shù)字濾波器，但對(duì)非周期分量必須采取其他措施。由于電力系統(tǒng)中大量應(yīng)用鐵磁非線性元件，輸電線路分布電容和串聯(lián)

12、、并聯(lián)電容，以及電壓互感器、電流互感器的暫態(tài)特性等因素的影響，使微機(jī)繼電保護(hù)輸入信號(hào)中還含有許多隨機(jī)高頻分量，它們起著干擾或噪聲的作用。對(duì)此，可采用最小二乘曲線擬合算法或?qū)τ?jì)算結(jié)果采取平滑措施。上述種種算法都是先算出電壓、電流的大小和相位，然后根據(jù)保護(hù)的動(dòng)作判據(jù)作進(jìn)一步的運(yùn)算，最終實(shí)現(xiàn)其保護(hù)功能。也有一些算法將電量運(yùn)算與保護(hù)動(dòng)作判據(jù)運(yùn)算直接結(jié)合在一起，例如用離散值直接實(shí)現(xiàn)的方向阻抗繼電器的算法。2.3 優(yōu)點(diǎn)與應(yīng)用前景：由于計(jì)算機(jī)的優(yōu)越存儲(chǔ)能力，可以方便地得到保護(hù)需要的故障分量并準(zhǔn)確地予以保持，這是模擬式保護(hù)裝置難以達(dá)到的。由于計(jì)算機(jī)的強(qiáng)大運(yùn)算能力，可以實(shí)現(xiàn)一些以往模擬式保護(hù)裝置無(wú)法實(shí)現(xiàn)的復(fù)雜保

13、護(hù)動(dòng)作特性、自適應(yīng)性的定值或特性改變以及良好的自檢功能。同常規(guī)繼電保護(hù)相比，微機(jī)繼電保護(hù)的抗電磁干擾能力較弱，因此，它的廣泛應(yīng)用受到一定的限制。應(yīng)用微機(jī)繼電保護(hù)時(shí)，應(yīng)特別注意解決好電磁兼容性問(wèn)題。2.4 系統(tǒng)采集電量變換：微機(jī)保護(hù)中通常要求輸入信號(hào)為±5V或±10V的電壓信號(hào)， 這是由所采用的模數(shù)轉(zhuǎn)換器所決定的。而從被保護(hù)的電力線路或電氣設(shè)備的電流互感器、電壓互感器或其它變換器上取得的二次數(shù)值對(duì)微機(jī)電路是不適用的，所以需要進(jìn)行電量變換。電量變換一般采用中間變換器來(lái)實(shí)現(xiàn)。2.5 采樣定理和模擬低通濾波：由于輸入信號(hào)是模擬量，因此信號(hào)在進(jìn)入微型計(jì)算機(jī)之前首先進(jìn)行采樣并

14、保持。采樣就是把一個(gè)是時(shí)間連續(xù)函數(shù)信號(hào)變換為對(duì)時(shí)間。2.6 微機(jī)繼電保護(hù)的特點(diǎn)：1）、 微機(jī)繼電保護(hù)集測(cè)量、控制、監(jiān)視、保護(hù)、通信等多種功能于一體的電力自動(dòng)化高新技術(shù)產(chǎn)品,是構(gòu)成智能化開(kāi)關(guān)柜的理想電器單元。 2）、多種功能的高度集成，靈活的配置，友好的人機(jī)界面，使得該通用型微機(jī)綜合保護(hù)裝置可作為35KV及以下電壓等級(jí)的不接地系統(tǒng)、小電阻接地系統(tǒng)、消弧線圈接地系統(tǒng)、直接接地系統(tǒng)的各類(lèi)各類(lèi)電器設(shè)備和線路的保護(hù)及測(cè)控，也可作為部分66KV、110KV電壓等級(jí)中系統(tǒng)的電壓電流的保護(hù)及測(cè)控。 3）、采用32位數(shù)字處理器（DPS）具有先進(jìn)的內(nèi)核結(jié)構(gòu)，高速運(yùn)算能力和實(shí)時(shí)信號(hào)處理

15、等優(yōu)點(diǎn)。 4）、支持常規(guī)的RS485總線和及CAN（DEVICENET）現(xiàn)場(chǎng)總線通訊，CAN總線具有也錯(cuò)帖自動(dòng)重發(fā)和故障節(jié)點(diǎn)自動(dòng)脫離等糾錯(cuò)機(jī)制，保護(hù)信息的實(shí)施性和可靠性。 5）、完善的自檢能力，發(fā)現(xiàn)裝置異常自動(dòng)報(bào)警；具有自保護(hù)能力，有效防止接線錯(cuò)誤和非正常運(yùn)行引起的裝置永久性損壞；免維護(hù)設(shè)計(jì)，無(wú)需在現(xiàn)場(chǎng)調(diào)整采樣精度，測(cè)量精度不會(huì)因?yàn)榄h(huán)境改變和長(zhǎng)期運(yùn)行引起誤差增大。三、FFT算法的基本應(yīng)用：3.1 利用FFT計(jì)算連續(xù)時(shí)間信號(hào)的傅里葉變換：設(shè)是連續(xù)時(shí)間信號(hào)，并假設(shè)時(shí)，則其傅里葉變換由下式給出令是一個(gè)固定的正實(shí)數(shù)，是一個(gè)固定的正整數(shù)。當(dāng)時(shí)，利用FFT算法可計(jì)算。已知一個(gè)固定的時(shí)間

16、間隔，選擇足夠小，使得每一個(gè)秒的間隔內(nèi)，的變化很小，則式中積分可近似為 （1）假設(shè)足夠大，對(duì)于所有的整數(shù)，幅值很小，則式（1）變?yōu)?（2）當(dāng)時(shí)，式（28）兩邊的值為 （3）其中代表抽樣信號(hào)的點(diǎn)。最后令，則上式變?yōu)?（4）首先用FFT算法求出，然后可用上式求出時(shí)的。應(yīng)該強(qiáng)調(diào)的是，式（2）只是一個(gè)近似表示，計(jì)算得到的只是一個(gè)近似值。通過(guò)取更小的抽樣間隔，或者增加點(diǎn)數(shù)，可以得到更精確的值。如果時(shí)，幅度譜很小，對(duì)應(yīng)于奈奎斯特抽樣頻率，抽樣間隔選擇比較合適。如果已知信號(hào)只在時(shí)間區(qū)間內(nèi)存在，可以通過(guò)對(duì)時(shí)的抽樣信號(hào)補(bǔ)零，使足夠大。例1 利用FFT計(jì)算傅里葉變換如圖1所示的信號(hào)其傅里葉變換為：利用下面的命令，

17、可得到的近似值和準(zhǔn)確值。 圖1 連續(xù)時(shí)間信號(hào)x(t) N=input('Input N:');T=input('Input T:');%計(jì)算X(w)近似值t=0:T:2;x=t-1 zeros(1,N-length(t);X=fft(x);gamma=2*pi/(N*T);k=0:10/gamma;Xapp=(1-exp(-i*k*gamma*T)/(i*k*gamma)*X;%計(jì)算真實(shí)值X(w)w=0.05:0.05:10;Xact=exp(-i*w)*2*i.*(w.*cos(w)-sin(w)./(w.*w);plot(k*gamma,abs(Xapp(1

18、:length(k),'o',w,abs(Xact);legend('近似值','真實(shí)值');xlabel('頻率(rad/s)');ylabel('|X|')運(yùn)行程序后輸入N=128，T=0.1，此時(shí)，得到實(shí)際的和近似的傅里葉變換的幅度譜如圖2所示，此時(shí)近似值已經(jīng)相當(dāng)準(zhǔn)確。通過(guò)增加NT可以增加更多的細(xì)節(jié)，減少T使得到的值更精確。再次運(yùn)行程序后輸入N=512，T=0.05，此時(shí)，得到實(shí)際的和近似的傅里葉變換的幅度譜如圖3所示。圖2 N=128，T=0.1時(shí)的幅度譜圖3 N=512，T=0.05時(shí)的幅度譜3.2 利用

19、FFT計(jì)算離散信號(hào)的線性卷積：已知兩個(gè)離散時(shí)間信號(hào)與，取，對(duì)和右端補(bǔ)零，使得 （5）利用FFT算法可以求得和的L點(diǎn)DFT，分別是和，利用DTFT卷積性質(zhì)，卷積等于乘積的L點(diǎn)DFT反變換，這也可以通過(guò)FFT 算法得到。例2 利用FFT計(jì)算線性卷積：已知，其中為單位階躍序列，信號(hào)如圖4所示。由于當(dāng)時(shí)，很小，故可以取為17；N取10，。利用下面的Matlab命令，可得到、的卷積圖形如圖4所示。subplot(3,1,1);n=0:16;x=0.8.n;stem(n,x);xlabel('n');ylabel('xn');subplot(3,1,2);n=0:

20、15;y=ones(1,10) zeros(1,6);stem(n,y);xlabel('n');ylabel('yn')subplot(3,1,3);L=26;n=0:L-1;X=fft(x,L);Y=fft(y,L);Z=X.*Y;z=ifft(Z,L);stem(n,z);xlabel('n');ylabel('zn')圖4 信號(hào)xn、yn及其卷積zn=xn*yn利用下面的Matlab命令，可得到信號(hào)xn、yn的幅度譜與相位譜如圖5所示。subplot(2,2,1);L=26;k=0:L-1;n=0:16;x=0.8.n;X

21、=fft(x,L);stem(k,abs(X);axis(0 25 0 5);xlabel('k');ylabel('|Xk|')subplot(2,2,2);stem(k,angle(X);axis(0 25 -1 1);xlabel('k');ylabel('Angle(Xk)(弧度)')subplot(2,2,3);y=ones(1,10);Y=fft(y,L);stem(k,abs(Y);axis(0 25 0 10);xlabel('k');ylabel('|Yk|')subplot(2,

22、2,4);stem(k,angle(Y);axis(0 25 -3 3);xlabel('k');ylabel('Angle(Yk)(弧度)')圖5 信號(hào)xn、yn的幅度譜與相位譜3.3 利用FFT進(jìn)行離散信號(hào)壓縮：利用FFT算法對(duì)離散信號(hào)進(jìn)行壓縮的步驟如下：1）通過(guò)采樣將信號(hào)離散化；2）對(duì)離散化信號(hào)進(jìn)行傅里葉變換；3）對(duì)變換后的系數(shù)進(jìn)行處理，將絕對(duì)值小于某一閾值的系數(shù)置為0，保留剩余的系數(shù)；4）利用IFFT算法對(duì)處理后的信號(hào)進(jìn)行逆傅里葉變換。例3 對(duì)單位區(qū)間上的下列連續(xù)信號(hào)以采樣頻率進(jìn)行采樣，將其離散化為個(gè)采樣值.用FFT分解信號(hào)，對(duì)信號(hào)進(jìn)行小波壓縮，然后重構(gòu)

23、信號(hào)。令絕對(duì)值最小的80%系數(shù)為0，得到重構(gòu)信號(hào)圖形如圖6 a)所示，均方差為0.0429，相對(duì)誤差為0.0449；令絕對(duì)值最小的90%系數(shù)為0，得到重構(gòu)信號(hào)圖形如圖6 b)所示，均方差為0.0610，相對(duì)誤差為0.0638。 a) 絕對(duì)值最小的80%系數(shù)為0的重構(gòu)信號(hào)（FFT） b) 絕對(duì)值最小的90%系數(shù)為0的重構(gòu)信號(hào)（FFT）圖6 用FFT壓縮后的重構(gòu)信號(hào)相關(guān)Matlab程序如下：function wc=compress(w,r)%壓縮函數(shù)compress.m%輸入信號(hào)數(shù)據(jù)w,壓縮率r%輸出壓縮后的信號(hào)數(shù)據(jù)if(r<0)|(r>1) error('r 應(yīng)該介于0和1之

24、間!');end;N=length(w);Nr=floor(N*r);ww=sort(abs(w);tol=abs(ww(Nr+1);wc=(abs(w)>=tol).*w;function unbiased_variance,error=fftcomp(t,y,r)%利用FFT做離散信號(hào)壓縮%輸入時(shí)間t,原信號(hào)y,以及壓縮率r%輸出原信號(hào)和壓縮后重構(gòu)信號(hào)的圖像,以及重構(gòu)均方差和相對(duì)l2誤差if(r<0)|(r>1) error('r 應(yīng)該介于0和1之間!');end;fy=fft(y);fyc=compress(fy,r); %調(diào)用壓縮函數(shù)compr

25、ess.myc=ifft(fyc);plot(t,y,'r',t,yc,'b');legend('原信號(hào)','重構(gòu)信號(hào)');unbiased_variance=norm(y-yc)/sqrt(length(t);error=norm(y-yc)/norm(y);輸入以下Matlab命令：t=(0:255)/256;f=t+cos(4*pi*t)+1/2*sin(8*pi*t);unbiased_variance,error=fftcomp(t,f,0.8)unbiased_variance = 0.0429error =0.044

26、9如果用Harr尺度函數(shù)和Harr小波分解信號(hào)，對(duì)信號(hào)進(jìn)行小波壓縮，然后重構(gòu)信號(hào)。令絕對(duì)值最小的80%系數(shù)為0，得到重構(gòu)信號(hào)圖形如圖7 a)所示，均方差為0.0584，相對(duì)誤差為0.0611；令絕對(duì)值最小的90%系數(shù)為0，得到重構(gòu)信號(hào)圖形如圖7 b)所示，均方差為0.1136，相對(duì)誤差為0.1190。 a) 絕對(duì)值最小的80%系數(shù)為0的重構(gòu)信號(hào)（Harr） b) 絕對(duì)值最小的90%系數(shù)為0的重構(gòu)信號(hào)（Harr）圖7 用Harr小波壓縮后的重構(gòu)信號(hào)相關(guān)Matlab程序如下：function unbiased_variance,error=daubcomp(t,y,n,r)%利用Daubechie

27、s系列小波做離散信號(hào)壓縮%輸入時(shí)間t,原信號(hào)y,分解層數(shù)n,以及壓縮率r%輸出原信號(hào)和壓縮后重構(gòu)信號(hào)的圖像,以及重構(gòu)均方差和相對(duì)l2誤差if(r<0)|(r>1) error('r應(yīng)該介于0和1之間!');end;c,l=wavedec(y,n,'db1');cc=compress(c,r); %調(diào)用壓縮函數(shù)compress.myc=waverec(cc,l,'db1');plot(t,y,'r',t,yc,'b');legend('原信號(hào)','重構(gòu)信號(hào)');unbias

28、ed_variance=norm(y-yc)/sqrt(length(t);error=norm(y-yc)/norm(y);輸入以下Matlab命令：t=(0:255)/256;f=t+cos(4*pi*t)+1/2*sin(8*pi*t);unbiased_variance,error=daubcomp(t,f,8,0.8)unbiased_variance = 0.0584error = 0.0611結(jié)論：在信號(hào)沒(méi)有突變、快變化或者大致上具有周期性的信號(hào)，用FFT可以處理得很好（甚至比小波還要好）。四、FFT算法在微機(jī)繼電保護(hù)中的應(yīng)用：在微機(jī)繼電保護(hù)中 ,有兩種形式的濾波器可供選擇：一種

29、是模擬濾波器 ,另一種是數(shù)字濾波器 。同模擬濾波器相比 ,由于數(shù)字濾波器具有高精確性、高靈活性和高穩(wěn)定性以及便于時(shí)分復(fù)用等優(yōu)點(diǎn) ,因此目前所研制的電力監(jiān)控產(chǎn)品中 ,絕大多數(shù)都用到數(shù)字濾波算法 。其中傅里葉算法因能夠有效地去除直流分量和諧波干擾 ,并且可以有選擇地單獨(dú)計(jì)算諧波分量 ,所以被廣泛地應(yīng)用于諧波分析中 。FFT 由于具有原位性 ,計(jì)算量較小并且易于流水線操作等特點(diǎn) ,所以非常適合用數(shù)字信號(hào)處理器(DSPs) 進(jìn)行處理 。我們可以通過(guò)一定的轉(zhuǎn)換和計(jì)算 ,用 FFT 來(lái)實(shí)現(xiàn)傅里葉算法 ,可以大大減小運(yùn)算量 ,而且使其更易于通過(guò) DSPs 實(shí)現(xiàn) 。傅里葉算法的基本思想源于傅里葉級(jí)數(shù) 。該算法

30、假設(shè)輸入信號(hào)為一周期性信號(hào) ,即輸入信號(hào)中除基頻分量外 ,只包含恒定的直流分量和各種整次諧波分量 。此時(shí)電壓 ( 電流) 輸入信號(hào)可表示為：也可以合并為：其中：式中：T1 為周期信號(hào)的周期, c0為直流分量, ck 為 k次諧波的幅值, ck2為k次諧波的有效值。對(duì)于周期連續(xù)信號(hào)x ( t ) , 式 ( 2)和式 ( 3)的積分可用梯形法則 1 求得 :其中： N 為一周期內(nèi)采樣的點(diǎn)數(shù) ; x ( n ) 為第 n 次采樣值 , n = 0 ,1 ,2 , , N - 1 。(當(dāng)輸入為電壓 ( 電流 ) 信號(hào)時(shí) , 由式 （4）、（5）、（6）、（7） 得出的 ck 和 分別對(duì)應(yīng)著電壓 (

31、電流) 的 k(k次諧波的幅值 Uk ( Ik ) ,和 k 次諧波的相位uk (ik ) ,由此可計(jì)算出電壓 ( 電流) 的 k 次諧波的有效值 。在此基礎(chǔ)上還可以計(jì)算出 k 次諧波的有功功率 Pk ,無(wú)功功率 Qk ,視在功率 S k 2 。同時(shí)也可以計(jì)算出 k 次諧波的電壓 ( 電流 ) 含有率 HRUk ( HRIk )同理 也 可 以 算 出 電 壓 ( 電 流 ) 諧 波 總 畸 變 率THD u ( THD i )：4.1 基于 FFT 的傅里葉算法的實(shí)現(xiàn)： 在傅里葉算法中 ,每計(jì)算 1 次 ak 或 bk 就要計(jì)算 1 次式 ( 6) 或 ( 7) ,很不方便 ;而且當(dāng)需要計(jì)算

32、的諧波次數(shù)很高時(shí) , 就會(huì)造成很大的計(jì)算量 。為了克服這些缺點(diǎn) ,可以利用傅里葉級(jí)數(shù)和離散傅里葉變換(的關(guān)系 ,通過(guò) FFT 代替梯形法則 ( 式 ( 6) 、7) ) 來(lái)計(jì)算a k 和 bk 。離散傅里葉變換 (DFT)和快速傅里葉變換(FFT) 實(shí)質(zhì)上是同種變換,FFT只不過(guò)是利用 DFT 系數(shù)e N 的對(duì)稱(chēng)性 、周期性和可約性等性質(zhì)將長(zhǎng)序列的 DFT 分解若干個(gè)短序列的 DFT 計(jì)算 ,然后再按一定規(guī)則將其合并 ,從而得到整個(gè)的 DFT。因此對(duì) FFT 的研究 ,實(shí)際上就是對(duì)DFT的研究 。根據(jù)離散傅里葉變換有：其中 : N 表示時(shí)域中一周期的采樣點(diǎn)數(shù) , n = 0 , 1 , 2 ,

33、 N - 1 ; k = 0 ,1 ,2 , , N - 1 。將 x ( t ) 表示成傅里葉級(jí)數(shù)的指數(shù)形式：其中：根據(jù)傅里葉指數(shù)形式和三角形式的關(guān)系有：根據(jù)傅里葉級(jí)數(shù)性質(zhì)不難得到：要將連續(xù)的周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)和 DFT 聯(lián)系起來(lái) ,就需要在時(shí)域內(nèi)對(duì) x ( t ) 進(jìn)行抽樣 , 抽樣間隔為 T 。一周期內(nèi)的抽樣點(diǎn)數(shù)為 N , 則：。根據(jù)信號(hào)的時(shí)域和頻域的對(duì)稱(chēng)關(guān)系 , 當(dāng)信號(hào)在時(shí)域被抽樣后 ,其頻域內(nèi)的頻譜以抽樣頻率 f s =1/T做周期性延拓 。一周期內(nèi)的角頻率間隔為 1 =2/T1.頻率f 1 表示為 f 1 =1/T1. 則頻域內(nèi)一周期的抽樣點(diǎn)數(shù)為 N 。帶入式 ( 15) 得：其

34、中 : n = 0 ,1 ,2 , N - 1 ; k = 0 ,1 ,2 , N - 1 。比較式 ( 8) 不難看出 :式 ( 17) 表明了連續(xù)的周期信號(hào)被抽樣后其離散傅里葉變換序列和傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)序列的關(guān)系 。比較式 ( 12) 和 ( 17) ,可得 :可以看出 ak 和 bk 分別與 X ( k ) 的實(shí)部和虛部相對(duì)應(yīng) ( 不是相等) 。(將式 ( 17) 帶入式 ( 13) 、14) 得 :得到了 ck 和k ,就可以按照 1 中所介紹的公式進(jìn)行功率計(jì)算和諧波分析了。在現(xiàn)場(chǎng)測(cè)量中 ,要得到精確的計(jì)算結(jié)果,采樣頻率的選擇很重要。如果采樣頻率過(guò)高,雖提高了計(jì)算精度,但增加了計(jì)算量,會(huì)

35、影響到實(shí)時(shí)性;如果采樣頻率過(guò)低,會(huì)造成其頻域的混疊,而無(wú)法如實(shí)地反映出原來(lái)的信號(hào)。 對(duì)于一般的連續(xù)信號(hào),根據(jù)時(shí)域抽樣定理,應(yīng)有:fs m2f，其中: f s為采樣頻率, f m為奈奎斯特頻率,但是對(duì)于正弦信號(hào),由于其頻譜是譜線(在±f 0處的函數(shù)) ,既不能簡(jiǎn)單地視為帶限信號(hào),也不能簡(jiǎn)單地視為窄帶信號(hào)。當(dāng)其初相 不確定時(shí), 若選取f s =2f m ,有可能導(dǎo)致波形的嚴(yán)重失真。對(duì)于正弦信號(hào)若選擇抽樣頻率 f s = 2f 1 則會(huì)出現(xiàn)以下三種情況 3 :當(dāng) < =/ 2 時(shí) ,可以由 x ( n) 重建 x ( t ) ;當(dāng) = 0 時(shí) ,無(wú)法由 x ( n) 重建 x ( t

36、 ) ; 0 < < / 2 時(shí) , 由 x ( n ) 重 建 出 的 不 是當(dāng)x ( t ) ,而是幅值為 x ( t ) = A sin () 、初相為零的同頻余弦信號(hào) 。若 確定 , 可以得到原信號(hào) x ( t ) ; 若 不確定 ,則無(wú)法得到原信號(hào) x ( t ) 。只有當(dāng) f s m 時(shí) , 才可以保證任何初相位3f情況下 ,由 x ( n) 重建 x ( t ) 。結(jié)論 顯而易見(jiàn) : 若 = 0 , 則一個(gè)周期內(nèi)抽得的兩點(diǎn)全是零 ,自然無(wú)法重建 x ( t ) ; 結(jié)論 可以通過(guò)圖 1 說(shuō)明 。注 : a 是 x ( t ) = sin ( 2 f 1 + ,其中 不確定 ; b 是 f s = 2f m 時(shí)的采樣結(jié)果 ; c 是由 b 重建的信號(hào) 。圖不同初相的正弦信號(hào)的重建Fig. Rebuilt of sine signal with different phases由圖可以看到 , 由抽樣的信號(hào) b 重建的信號(hào)c 即 x ( t ) = sin ( 2 f 1 ) 不是原信號(hào) a ,而是幅值變cos 為