銳角三角函數(shù)值的定義

1、銳角三角函數(shù)值的定義 陳譽(yù)偉     相似三角形的性質(zhì)中，一直角三角形某兩邊的比值，以及另一個(gè)相似直角三角形之對(duì)應(yīng)邊的邊長，即可求得另對(duì)應(yīng)邊的長直角三角形ABC(其中C為直角)，相異兩邊的比值有下列六個(gè)：BA Ca(A的對(duì)邊)c(斜邊)  b(A的鄰邊)           為了便於稱呼及書寫，我們將這六個(gè)比值分別用數(shù)學(xué)符號(hào)表示如下：  當(dāng)A的度數(shù)為時(shí)，我們常用sin、cos、tan、cot、sec與csc分別表示sinA、cosA、t

2、anA、cotA、secA、cscA。        如此一來，給定一個(gè)的值(0°90°)，則sin、cos、tan、cot、sec與csc的值都隨之定，因此，它們都是的函數(shù)，依序稱為正弦函數(shù)、餘弦函數(shù)、正切函數(shù)、餘切函數(shù)、正割函數(shù)與餘割函數(shù)，這六個(gè)函數(shù)統(tǒng)稱為三角函數(shù)。若三角形ABC中，C=90°，A的度數(shù)為，以 =a，=b與 =c就有 ，。，。，。，。，。，。三角函數(shù)的基本關(guān)係     倒數(shù)、商數(shù)、平方關(guān)係  由上一節(jié)的討論，我們不難發(fā)現(xiàn)，這六

3、個(gè)三角函數(shù)並非毫不相干的，他們彼此相互關(guān)聯(lián)    我們稱此為倒數(shù)關(guān)係                  我們稱此為商數(shù)關(guān)係          此外我們還可由畢氏定理得出下述平方關(guān)係：+      平方關(guān)係 proof：   

4、60;                   餘角關(guān)係    sin、cos、tan、cot、sec及csc這六個(gè)三角函數(shù)之間除了有上述倒數(shù)關(guān)係、商數(shù)關(guān)係以及平方關(guān)係之外，尚有下面的餘角關(guān)係：設(shè)ABC中，C=90°，A=。因A+B=90°，所以B=90°-，又因B的對(duì)邊是A的鄰邊，B的鄰邊是A的對(duì)邊，所以有，故有sin(90°-)=cos。同理可推得下述餘角關(guān)

5、係：            若0°45°，則45°90°-90°。  因此我們只要知道介於0°與45°之間之銳角的三角函數(shù)值，即可求出它的餘角90°-的三角函數(shù)值。同界角 同界角有相同的三角函數(shù)值三角函數(shù)在四個(gè)象限之正負(fù)關(guān)係： 第一象限第二象限第三象限第四象限，三角函數(shù)的圖形在這一節(jié)裡，我們將引進(jìn)角的另一種度量單位，以便把三角函數(shù)看作實(shí)數(shù)間的對(duì)應(yīng)關(guān)係，並在座標(biāo)平面上描繪其圖型，

6、研究這些函數(shù)的特性?；《茸屛覀兿葋砘仡櫼幌拢覀兪窃觞N量出ABC是多少度的？                                            

7、60;                                                 

8、60;                                                 

9、60;  由於角的大小完全由其兩邊張開的程度來決定，與其兩邊的長度是無關(guān)的。以任意長為半徑畫一圓O，將其圓周等分為360格，那麼每一格的弧所對(duì)的圓心角就是1°，一個(gè)圓周角就是360°。如果我們將ABC的頂點(diǎn)B放在圓心O上，並設(shè)其兩邊與(或其延長線)分別與圓O交於P與Q點(diǎn)，那麼ABC的度數(shù)及等於POQ的度數(shù)，且，因此ABC=POQ=(1)由於圓O的周長為，故ABC=POQ= 。在上式中，為一常數(shù)，我們規(guī)定此常數(shù)為一弧度。亦即360°= 弧度。因此，1°= 弧度，故有       

10、;    ()°=1弧度，弧度    由(1)式可得         (2)   POQ= 弧度根據(jù)(2)式可得           POQ=1弧度的意思即PQ的弧長=圓O的半徑 扇形的弧長與面積由以上討論，我們知道：若圓O的半徑為r，P與Q為圓周上兩點(diǎn)，則POQ= 弧度。由此可知：若圓心角POQ=弧度，則P

11、Q的弧長=r 設(shè)POQ=弧度，則PQ的弧長為r，因此PQ的弧長為圓O周長之比，故扇形POQ面積= ×圓O的面積= = 因此我們有若POQ=弧度，則扇形POQ面積=  要特別注意：當(dāng)我們用弧度為單位表示依角的大小時(shí)，習(xí)慣上常把弧度兩字省略不寫。                            要

12、注意：sin°不可簡記為sin，因?yàn)楦鶕?jù)習(xí)慣表示法，sin的意思是sin(弧度)，亦即為sin180°，而非sin°。三角函數(shù)的圖形及其特性正弦函數(shù)的圖形及其特性描繪函數(shù)圖形最直接的方法就是描點(diǎn)法：先求出某些特殊的值，並列表如下：-0  -0   在依此標(biāo)出其上的一些點(diǎn)，然後依次用平滑曲線將這些點(diǎn)連起來。                  

13、;    函數(shù)的週期一個(gè)函數(shù)的圖形若每隔一固定單位長都一樣，亦即可找到固定的正數(shù)a， 使得對(duì)於其定義域中每一元素，恆有，我們就稱這個(gè)函數(shù)為一週期函數(shù)。如果又可找到滿足上述性質(zhì)的最小正數(shù)，我們就說這個(gè)週期函數(shù)的週期為。由於對(duì)於任意實(shí)數(shù)，我們恆有，而且又滿足這個(gè)性質(zhì)的最小正數(shù)，所以正弦函數(shù)是一週期函數(shù)，他的週期為。正弦函數(shù)的特性(1)正弦函數(shù)的定義域?yàn)?2)正弦函數(shù)的值域?yàn)?1(3)正弦函數(shù)的週期為餘弦函數(shù)的圖形及其特性我們同樣可以用描點(diǎn)法描繪的圖形，因?yàn)閷?duì)於任意實(shí)數(shù)，恆有，所以將正弦函數(shù)的圖形向右平移單位，即可畫出的圖形。    

14、60;                    餘弦函數(shù)的特性(1)餘弦函數(shù)的定義域?yàn)?2)餘弦函數(shù)的值域?yàn)?1(3)餘弦函數(shù)的週期為正切函數(shù)的圖形與特性使用描點(diǎn)法描繪正切函數(shù)的圖形時(shí)，因?yàn)閷?duì)於任意實(shí)數(shù)x，恆有，所以我們只要描繪區(qū)間x上正切函數(shù)的圖形，然後逐次向右或向左平移單位，即可得出的全部圖形。(注意：時(shí)，是無意義的)       &#

15、160;                 正切函數(shù)的特性(1)只有當(dāng)時(shí)，無意義；對(duì)於其他的實(shí)數(shù)x，的值都可確定，因此正切函數(shù)的定義域?yàn)閤，。(2) 正切函數(shù)的值域?yàn)镽(3)正切函數(shù)的週期為 餘切函數(shù)的圖形與特性因?yàn)閷?duì)於任意實(shí)數(shù)，恆有，所以我們只要將正切函數(shù)的圖形向左平移單位，再將所得的圖形對(duì)軸鏡射，即得餘切函數(shù)的全部圖形：         

16、;                餘切函數(shù)的特性(1)只有當(dāng)，時(shí)，無意義，因此餘切函數(shù)的定義域?yàn)閤，。(2) 餘切函數(shù)的值域?yàn)镽(3)餘切函數(shù)的週期為正割函數(shù)的圖形與特性由倒數(shù)關(guān)係知道：當(dāng)0時(shí)，。因此由餘弦函數(shù)的圖形，約略可得到正割函數(shù)的圖形。                  

17、        正割函數(shù)的特性(1)正割函數(shù)的定義域?yàn)閤，。(2) 正割函數(shù)的週期為(3)正割函數(shù)的值域?yàn)轲N割函數(shù)的圖形與特性因?yàn)閷?duì)於任意實(shí)數(shù)，恆有，所以只要將正割函數(shù)的圖形向右平移單位，即得餘割函數(shù)的全部圖形。           餘割函數(shù)的特性(1)餘割函數(shù)的定義域?yàn)閤，。(2)餘割函數(shù)的週期為(3)餘割函數(shù)的值域?yàn)榛?#160;三角形面積任意畫一三角形，並自其中一頂點(diǎn)作對(duì)邊的垂線，設(shè)垂足為點(diǎn)。（注意：當(dāng)時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，=

18、。）如下圖所示：       為方便起見，我們?nèi)砸?，和分別表示，和的對(duì)邊長，則。因?yàn)榈拿娣e=，所以就有的面積=，同理可得，把這些結(jié)果綜合起來，就有三角形面積公式： 由三角形面積公式，我們可以推得正弦定理：            由正弦定理知=，這個(gè)比值到底是多少呢？             

19、0;          我們先做出的外接圓。由於圓內(nèi)等弧所對(duì)的圓周角恆相等，我們讓三個(gè)頂點(diǎn)之一，例如點(diǎn)，在圓周上移動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)，通過圓心時(shí)，=圓的直徑，弧長恰為半圓，故=，因此就有，但在中，而，因此就有。固正弦定理可進(jìn)一步寫成：   餘弦定理餘弦定理中的可以用下面方法導(dǎo)得：           （1）當(dāng)為銳角時(shí)，自A點(diǎn)作的垂線，設(shè)垂足為點(diǎn)，則，  

20、60; ，              故，在直角三角形中，我們有，         所以=  （2）當(dāng)為鈍角時(shí)，同樣自點(diǎn)作的垂線，設(shè)垂足為點(diǎn)，         則，故，        在直角三角形中，我們有，所=（3）當(dāng)為直角，由畢氏定理知

21、，但因，所以      也成立。         同理可證得：，？ 我們先考慮>>的情形：作，然後在邊上任取一點(diǎn)，再自點(diǎn)作邊的垂線，設(shè)垂足為。     因，所以。另我們自點(diǎn)作的垂線，設(shè)垂足為，再自點(diǎn)作的垂線，設(shè)垂足為，則。因，故我們來看看是否也能像一樣可以用與，的三角函數(shù)值來表示。自點(diǎn)作的垂線，設(shè)垂足為，則因四邊形為一矩形，所以，又（同角的餘角相等），故，因此由之得，  故 ？對(duì)於任意

22、角與，   ？因?qū)度我饨?，恆有，所以我們知道對(duì)於任意角與，      ？又因?qū)度我饨?，所以由可得？由正弦、餘弦函數(shù)的和角公式，可導(dǎo)出正切函數(shù)的和角公式：      和角公式                            

23、60;           由和角公式，我們知道：對(duì)於任意角與，。因此，當(dāng)=時(shí)，我們就有。由於，所以。同樣利用正弦、正切函數(shù)的和角公式，可進(jìn)一步推得：二倍角公式   ，            知道的值，利用二倍角公式可求得，以及的值。知道的值，利用二倍角公式亦可求得，以及的值。由於=，所以，因此。另一方面，所以，因此。由，當(dāng)（為任意奇數(shù)時(shí)），綜合上述討論：半角公式  (取法視)                &#