浙江省歷年高考立體幾何大題總匯(題目及答案)Word版

1、1.（本題滿(mǎn)分 15 分）如圖，平面平面，是以為斜邊的等腰直角PACABCABCAC三角形。分別為的中點(diǎn)，。,E F O,PA PB PC16,10ACPAPC（I） 設(shè)是的中點(diǎn)，證明：平面；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m COC/PCBOE（II）證明：在內(nèi)存在一點(diǎn)，使平面，并求點(diǎn)到,的距ABOMFMBOEMOA OB離。2.如圖，在棱長(zhǎng)為 1 的正方體ABCDA1B1C1D1中，P是側(cè)棱CC1上的一點(diǎn)，CP=m，（）試確定 m，使得直線 AP 與平面 BDB1D1所成角的正切值為；3 2（）在線段 A1C1上是否存在一個(gè)定點(diǎn) Q，使得對(duì)任意的 m，D1Q 在平面 APD1上的射影垂

2、直于 AP，并證明你的結(jié)論。3. 如圖甲，ABC 是邊長(zhǎng)為 6 的等邊三角形，E，D 分別為 AB、AC 靠近 B、C 的三等分點(diǎn)，點(diǎn) G 為 BC 邊的中點(diǎn)線段 AG 交線段 ED 于 F 點(diǎn)，將AED 沿 ED 翻折，使平面 AED平面 BCDE，連接 AB、AC、AG 形成如圖乙所示的幾何體。 （I）求證 BC平面 AFG；（II）求二面角 BAED 的余弦值. x y z 4在如圖所示的幾何體中，平面 ABC，平面 ABC，EA DB ACBC，M 是 AB 的中點(diǎn)2ACBCBDAE（1）求證：；CMEM（2）求 CM 與平面 CDE 所成的角5. 如圖，矩形和梯形所在平面互相垂直，A

3、BCDBEFCBECF， 90BCFCEF 3AD 2EF （）求證：平面；AEDCF（）當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)為何值時(shí)，二面角的大小為？ABAEFC606. 如圖，在矩形 ABCD 中，點(diǎn) E，F(xiàn) 分別在線段 AB，AD 上，AE=EB=AF=沿直線. 432FDEF 將翻折成使平面平面 BEF.AEF,EFAEFA （I）求二面角的余弦值；CFDA （II）點(diǎn) M，N 分別在線段 FD，BC 上，若沿直線 MN 將四邊形 MNCD 向上翻折，使 C與重合，求線段 FM 的長(zhǎng). AEMACBDDABEFC（第 18 題）7. 如圖，在三棱錐 P-ABC 中，ABAC，D 為 BC 的中點(diǎn)，PO平面 ABC，

4、垂足 O 落在線段AD 上，已知 BC8，PO4，AO3，OD2（）證明：APBC；（）在線段 AP 上是否存在點(diǎn) M，使得二面角 A-MC-B 為直二面角？若存在，求出 AM 的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。8. 如圖，在四棱錐 P-ABCD 中，底面是邊長(zhǎng)為的菱形，2 3BAD=120，且 PA平面 ABCD，PA=, M，N 分別為 PB,PD 的中點(diǎn)。2 6（1）證明：MN平面 ABCD；（2）過(guò)點(diǎn) A 作 AQPC，垂足為點(diǎn) Q，求二面角 A-MN-Q 的平面角的余弦值。9. 如圖，在四面體中，平面，ABCDAD BCD，是的中點(diǎn)，是的中BCCD2AD 2 2BD MADPBM點(diǎn)，點(diǎn)在線

5、段上，且 QAC3AQQC（）證明：平面；/ /PQBCD（）若二面角的大小為，求的大小CBMD60BDC 10. 如圖，在五面體中，已知平面，ABCDEFDE ABCD/ /ADBC，o60BAD2AB 1DEEF（1）求證：；/ /BCEF（2）求三棱錐的體積BDEF（第 16 題圖）FACDEB11. 如圖，在直三棱柱中，已知，111ABCABC1CACB12AA o90BCA（1）求異面直線與夾角的余弦值；1BA1CB（2）求二面角平面角的余弦值1BABC12(本小題 14 分)在等腰梯形中，是ABCD/ /ADBC12ADBC60ABCN的中點(diǎn)將梯形繞旋轉(zhuǎn)，得到梯形（如圖） BCAB

6、CDAB90ABC D （1）求證：平面； ACABC（2）求證：平面；/ /C NADD（3）求二面角的余弦值A(chǔ)C NC13. （本題滿(mǎn)分 14 分） 如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AD/BC，ADC=90，平面PAD底面ABCD，Q為AD的中點(diǎn)，M是棱PC上的點(diǎn)，PA=PD=2，BC=AD=1，CD=123（I）求證：平面PQB平面PAD； （II）若二面角M-BQ-C為 30，設(shè)PM=tMC，試確定t的值（第 22 題圖）ABCA1B1C1ACDBNDCPABCDQM14如圖，直角梯形ABCD中，AB/CD， = 90 , BC = CD = ,AD = BCD2

7、BD：EC丄底面ABCD, FD丄底面ABCD 且有EC=FD=2.( I )求證：AD丄 BF :(II )若線段 ECEC 上一點(diǎn) M M 在平面 BDFBDF 上的射影恰好是BF的中點(diǎn)N,試求二面角 B-MF-CB-MF-C的余弦值. 1.證明：（I）如圖，連結(jié) OP，以 O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以 OB、OC、OP 所在直線為軸，x軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系 O，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m yzxyz則，由題意得，0,0,0 , (0, 8,0), (8,0,0),(0,8,0),OABC(0,0,6),(0, 4,3),PE4,0,3F因，因此平面 BOE 的法向0,4,0

8、,G(8,0,0),(0, 4,3)OBOE 量為，得，又直線不在(0,3,4)n ( 4,4, 3FG 0n FG FG平面內(nèi)，因此有平面BOE/ /FGBOE（II）設(shè)點(diǎn) M 的坐標(biāo)為，則，因?yàn)?0,0 xy00(4, 3)FMxy 平面 BOE，所以有，因此有，即點(diǎn)FM /FMn 0094,4xy M 的坐標(biāo)為，在平面直角坐標(biāo)系中，的內(nèi)部區(qū)域滿(mǎn)足不等式組94,04xoyAOB，經(jīng)檢驗(yàn)，點(diǎn) M 的坐標(biāo)滿(mǎn)足上述不等式組，所以在內(nèi)存在一點(diǎn)，使008xyxyABOM平面，由點(diǎn) M 的坐標(biāo)得點(diǎn)到，的距離為w.w.w.k.s.5.u.c.o.m FM BOEMOAOB94,4 x y z 2. 解法

9、：（）,ACACBDO連設(shè)1.APBGOG1與面BD D交于點(diǎn)，連1111/,PCBDD BBDD BAPCOG因?yàn)槊婷婷婀?。所以?OGPC122mOGPC又.111,AODB AOBBAOBDD B所以面故11AGOAPBDD B即為與面所成的角。在，即.Rt22tan3 22AOGAGOm中，13m 故當(dāng)時(shí)，直線。13m AP11與平面BD DB所成的角的正切值為2（）依題意，要在上找一點(diǎn)，使得.11A CQ1D QAP可推測(cè)的中點(diǎn)即為所求的點(diǎn)。11A C1OQ因?yàn)?，所?111.D OA C111D OAA111.D QACC A 面又,故。11.APACC A 面11D OAP從而1

10、11D OAD PAP在平面上的射影與垂直。解法二：（）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(1,0,0),B(1,1,0),P(0,1,)，C(0,1,0),D(0,0,0),B1(1,1,1),D1(0,0,1).所以1( 1, 1,0),(0,0,1),BDBB ( 1,1,),( 1,1,0).APm AC 又由的一個(gè)法向量.110,0AC BDAC BBACD D 1知為平面BB設(shè)與所成的角為，AP11BDD B面則2|2sincos()2| |22AP ACAPACm 依題意有：，解得.2223 2221 (3 2)m13m 故當(dāng)時(shí)，直線。13m AP11與平面BD DB所成的角的正

11、切值為2（）若在上存在這樣的點(diǎn)，設(shè)此點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，11A CQx則。1( ,1,1),( ,1,0)Q xxDQxx 依題意，對(duì)任意的 m 要使 D1Q 在平面 APD1 上的射影垂直于 AP。等價(jià)于11AP10(1)02DQAP D Qxxx 即為的中點(diǎn)時(shí)，滿(mǎn)足題設(shè)的要求.Q11A C3. () 在圖甲中，由ABC是等邊三角形，E，D分別為AB，AC的三等分點(diǎn)，點(diǎn)G為BC邊的中點(diǎn)，易知DEAF，DEGF，DE/BC 2 分在圖乙中，因?yàn)镈EAF，DEGF，AFFG=F，所以DE平面AFG又DE/BC，所以BC平面AFG 4 分() 因?yàn)槠矫鍭ED平面BCDE，平面AED平面BCDE=DE，D

12、EAF，DEGF，所以FA，F(xiàn)D，F(xiàn)G兩兩垂直以點(diǎn) F 為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以FG，F(xiàn)D，F(xiàn)A所在的直線為軸，建立如圖所示的zyx,空間直角坐標(biāo)系則，所以xyzF )32 , 0 , 0(A)0 , 3, 3(B)0 , 2, 0( E，0) 6 分)32, 3, 3(AB, 1 , 3(BE設(shè)平面ABE的一個(gè)法向量為),(zyxn 則，即，00BEnABn0303233yxzyx取，則，則 8 分1x3y1z) 1, 3, 1 (n顯然為平面ADE的一個(gè)法向量，)0 , 0 , 1 (m所以10 分55|,cosnmnmnm二面角為鈍角，所以二面角DAEB的余弦值為12 分DAEB554. 方法

13、一：（1）證明：因?yàn)?AC=BC，M 是 AB 的中點(diǎn)，所以 CMAB又 EA 平面 ABC，所以 CMEM（2）解：過(guò)點(diǎn) M 作 MH平面 CDE，垂足是 H，連結(jié) CH 并延長(zhǎng)交 ED 于點(diǎn) F，連結(jié) MF、MD，F(xiàn)CM 是直線CM 和平面 CDE 所成的角因?yàn)?MH平面 CDE，所以 MHED， 又因?yàn)?CM平面 EDM，所以 CMED， 則 ED平面 CMF，因此 EDMF設(shè) EAa，BDBCAC2a，在直角梯形 ABDE 中，AB2a，M 是 AB 的中點(diǎn)，2所以 DE3a，EM，MD a，3a6得EMD 是直角三角形，其中EMD90所以 MF2EM MDaDE在 RtCMF 中，t

14、anFCM=1，所以FCM=45，M FM C故 CM 與平面 CDE 所成的角是 45方法二：如圖，以點(diǎn) C 為坐標(biāo)原點(diǎn)，以 CA，CB 分別作為 x 軸和 y 軸，過(guò)點(diǎn) C 作與平面 ABC 垂直的直線為 z 軸，建立直角坐標(biāo)系 C-xyz，設(shè) EA=a，則A（2a，0，0） ，B（0，2a，0） ，C（2 a，0，a） ，A（0，2 a，2 a） ，A（a，a，0）.（1）證明：因?yàn)?（-a，a，-a） ，=（a，a，0） ，EM C M所以=0，EM C M故.EMC M（2）解：設(shè)向量 n=（1，）與平面 CDE 垂直，oy0 x則，nC EnC D即 =0，=0.n C En C

15、D因?yàn)?（2a,0,a）, =(0,2a,2a),EC C D所以 y =2，z =-2，00即 n=（1，2，-2） ，2cos,2C M nn C MM nAA直線 CM 與平面 CDE 所稱(chēng)的角是 45.5. 方法一：（）證明：過(guò)點(diǎn)作交于，連結(jié)，EEGCFCFGDGDABEFCHG可得四邊形為矩形，BCGE又為矩形，ABCD所以，從而四邊形為平行四邊形，ADEG ADGE故AEDG因?yàn)槠矫?，平面，AE DCFDG DCF所以平面AEDCF（）解：過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于，連結(jié)BBHEFFEHAH由平面平面，得ABCD BEFCABBC平面，AB BEFC從而AHEF所以為二面角的平面角AHBA

16、EFC在中，因?yàn)?，所以，RtEFG3EGAD2EF 60CFE1FG 又因?yàn)?，所以，CEEF4CF 從而3BECG于是3 3sin2BHBEBEHA因?yàn)?，tanABBHAHBA所以當(dāng)為時(shí)，二面角的大小為AB92AEFC60方法二：如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以和分別作為軸，軸和軸，建立CCBCF，CDxyz空間直角坐標(biāo)系Cxyz設(shè)，ABaBEbCFc，則，(0 0 0)C，( 3 0)Aa，( 3 0 0)B，( 30)Eb，(00)Fc，（）證明：，(0)AEba ，( 3 0 0)CB ，(00)BEb ，所以，從而，0CB CE A0CB BE ACBAECBBE所以平面CB ABE因?yàn)槠矫妫?/p>

17、CB DCF所以平面平面ABEDCF故平面AEDCF（）解：因?yàn)椋?30)EFcb ，( 30)CEb ，所以，從而0EF CE A| 2EF 23()03()2b cbcb ，DABEFCyzx解得34bc，所以，( 33 0)E，(0 4 0)F，設(shè)與平面垂直，(1)nyz ，AEF則，0n AE A0n EF A解得3 3(13)na ，又因?yàn)槠矫?，BA BEFC(0 0)BAa ，所以，2|3 31|cos|2| |427BA nan BABAnaa A A，得到92a 所以當(dāng)為時(shí)，二面角的大小為AB92AEFC606. 方法一： （）解：取線段 EF 的中點(diǎn) H，連結(jié)A H因?yàn)榧?H

18、 是 EF 的中點(diǎn)，A EA F所以A HEF又因?yàn)槠矫嫫矫?BEF，及平面A EFA H.A EF所以平面 BEF。A H如圖建立空間直角坐標(biāo)系.Axyz則(2,2,2 2),(10,8,0),(4,0,0),(10,0,0).ACFD故( 2,2,2 2),(6,0,0)FNFD 設(shè)為平面的一個(gè)法向量( , , )nx y zA FD所以222 2060 xyzx取2,(0, 2,2)zn則又平面 BEF 的一個(gè)法向量(0,0,1)m 故3cos,3| |n mn mnm 所以二面角的余弦值為3.3 （）解：設(shè)(4,0,0)FMxMx則因?yàn)榉酆?，C 與 A 重合，所以 CM=A M故，2

19、22222(6)80( 2)2(2 2)xx 得214x 經(jīng)檢驗(yàn)，此時(shí)點(diǎn) N 在線段 BG 上所以21.4FM 方法二： （）解：取截段 EF 的中點(diǎn) H，AF 的中點(diǎn) G，連結(jié)，NH，GHA G因?yàn)榧?H 是 EF 的中點(diǎn)，A EA F所以H/EF。A又因?yàn)槠矫鍱F平面 BEF，A所以H平面 BEF，A又平面 BEF，AF 故，A HAF又因?yàn)?G，H 是 AF，EF 的中點(diǎn)，易知 GH/AB，所以 GH，AF于是面GHAF A所以為二面角DFC 的平面角，A GHA在中，Rt A GH2 2,2,2 3A HGHA G所以3cos.3A GH故二面角DFC 的余弦值為。A33 （）解：設(shè)，

20、FMx因?yàn)榉酆螅珿 與重合，A所以，CMA M而222228(6)CMDCDMx222222222(2 2)(2)2A MA HMHA HMGGHx得214x 經(jīng)檢驗(yàn)，此時(shí)點(diǎn) N 在線段 BC 上，所以21.4FM 7. 解：（）證： ABAC，D 為 BC 的中點(diǎn)，BCAD PO平面 ABC POBC，而 POAD=OBC平面 ADP APBC（）當(dāng) CMAP 時(shí)，二面角 A-MC-B 為直二面角，2 5OBOC6PBPC41ABAC5AP AM平面 MBC平面 AMC平面 MBCPABPACAMCAMBAMMB 2541 363cos2 54141PAB 3cos41341AMPAB A

21、B方法二：8. （）因?yàn)?，分別是，的中點(diǎn)，所以是的中位線，所MNPBPDMNPBD以 / /MMBD 又因?yàn)槠矫?，所以MN ABCD 平面/ /MMABCD（）方法一： 連結(jié)交于，以為原點(diǎn)，所在直線為，軸，建立空ACBDOOOCODxy間直角坐標(biāo)系，如圖所示Oxyz 在菱形中，得ABCD120BAD ，2 3ACAB36BDAB 又因?yàn)槠矫?，所以PA ABCD PAAC 在直角中，得PAC2 3AC 2 6PA AQPC ，2QC 4PQ 由此知各點(diǎn)坐標(biāo)如下， ，(3 , 0, 0)A (0,3, 0)B ，( 3 , 0, 0)C(0,3, 0)D ，(3 , 0, 2 6)P 33(,6)

22、22M ，33(,6)22N 32 6(, 0,)33Q 設(shè)為平面的法向量( , )x y zmAMN 由，知33(,6)22AM 33(,6)22AN 336022336022xyzxyz 取，得1x (2 2 , 0,1)m 設(shè)為平面的法向量( , )x y znQMN 由，知5 336(,)623QM 5 336(,)623QN 5 33606235 3360623xyzxyz 取，得5z (2 2 , 0,5)n 于是 33cos,| |33m nm nmn| 所以二面角的平面角的余弦值為AMNQ3333 方法二： 在菱形中，得ABCD120BAD ，ACABBCDA3BDAB 有因?yàn)?/p>

23、平面，所以PA ABCD ，PAABPAACPAAD 所以PBPCPD 所以PBCPDC 而，分別是，的中點(diǎn)，所以MNPBPD ，且MQNQ1122AMPBPDAN 取線段的中點(diǎn)，連結(jié)，則MNEAEEQ ，AEMNQEMN 所以為二面角的平面角AEQAMNQ 由，故2 3AB 2 6PA 在中，得AMN3AMAN132MNBD 3 32AE 在直角中，得PACAQPC ，2 2AQ 2QG 4PQ 在中，得PBC2225cos26PBPCBCBPCPB PC 222cos5MQPMPQPM PQBPC 在等腰中，得MQN5MQNQ3MN 22112QEMQME 在中，得AEQ3 32AE 11

24、2QE 2 2AQ 22233cos233AEQEAQAEQAE QE 所以二面角的平面角的余弦值為AMNQ33339. 方法一：（）取中點(diǎn)，在線段上取點(diǎn)，使得，連結(jié)，BDOCDF3DFFCOPOFFQ 因?yàn)椋?，?AQQC/ /QFAD14QFAD 因?yàn)?，分別為，的中點(diǎn)，所以是的中位線，OPBDSMOPBDM所以，且/ /OPDM12OPDM又點(diǎn)是的中點(diǎn)，所以，且MAD/ /OPAD14OPAD從而，且/ /OPFQOPFQ所以四邊形為平行四邊形，故OPQF/ /FQQF又平面，平面，所以平面PQ BCDOF BCD/ /PQBCD（）作于點(diǎn)，作于點(diǎn)，連結(jié)CGBDGGHBMHCH 因?yàn)槠?/p>

25、面，平面，所以，AD BCDCG BCDADCG 又，故平面，CGBDADBDDCG ABD又平面，所以BM ABDCGBM 又，故平面，所以，GHBMCGGHGBM CGHGHBMCHBM 所以為二面角的平面角，即CHGCBMD60CHG 設(shè)BDC 在中，Rt BCDcos2 2cosCDBD ，cos2 2cos sinCGCD 2sin2 2sinBGBC 在中，Rt BDM22 3sin3BG DMHGBM 在中，Rt CHG3costan3sinCGCHGHG 所以tan3 從而，即6060BDC方法二：（）如圖，取中點(diǎn)，以為原點(diǎn)，BDOOODOP所在射線為，軸的正半軸，建立空間直角

26、坐標(biāo)系yzOxyz 由題意知，(02 2)A，(02 0)B，(02 0)D， 設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)?，所C00(0)xy，3AQQC以003231()4442Qxy， 因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，故又是的中點(diǎn)，故MAD(02 1)M，PBM1(0 0)2P， 所以00323(0)444PQxy ， 又平面的一個(gè)法向量為，故BCD(0 0 1)a ，0PQ a 又平面，所以平面PQ BCD/ /PQBCD（）設(shè)為平面的一個(gè)法向量()mx y z，BMC由，知00(21)CMxy ，(0 2 2 1)BM ，00( 2)02 20 x xyyzyz取，得1y 002(1 2 2)ymx，又平面的一個(gè)法向量為，于是

27、BDM(1 0 0)n ， ，002002|1|cos|=2|29yxm nm nm nyx ，即 （1）20023yx又，所以，故BCCD0CB CD ，0000(20) (20)0 xyxy ，即 （2）22002xy聯(lián)立（1） ， （2） ，解得（舍去）或0002xy 006222xy 所以00tan32xBDCy又是銳角，所以BDC60BDC10（1）因?yàn)?，平面，平面?/ /ADBCAD ADEFBC ADEF所以平面， 3 分/ /BCADEF又平面，平面平面，BC BCEFBCEF ADEFEF所以 6 分/ /BCEF（2）在平面內(nèi)作于點(diǎn)，ABCDBHADH 因?yàn)槠矫?，平面，?/p>

28、以，DE ABCDBH ABCDDEBH 又，平面，ADDE ADEFADDED所以平面，BH ADEF所以是三棱錐的高 9 分BHBDEF在直角三角形中，所以，ABHo60BAD2AB 3BH 因?yàn)槠矫?，平面，所以，DE ABCDAD ABCDDEAD又由（1）知，且，所以，所以，12 分/ /BCEF/ /ADBC/ /ADEFDEEF所以三棱錐的體積 14 分BDEF11131 133326DEFVSBH 11. 如圖，以為正交基底，建立空間直角坐標(biāo)系1,CA CB CC Cxyz則，所以，(1,0,0)A(0,1,0)B1(1,0,2)A1(0,1,2)B1(0,1,2)CB ( 1,

29、1,0)AB ，1( 1,1,2)AB 1(1, 1,2)BA （1）因?yàn)椋?11111330cos,1065CBBACB BACB BA 所以異面直線與夾角的余弦值為1BA1CB3010 4 分（2）設(shè)平面的法向量為，1CAB( , , )x y zm則 即110,0,ABCB mm20,20,xyzyz 取平面的一個(gè)法向量為；1CAB(0,2, 1)m 所以二面角平面角的余弦值為 10 分1BABC105H（第 16 題圖）FACDEBxyz（第 22 題圖）ABCA1B1C112. （1）證明：因?yàn)椋堑闹悬c(diǎn)12ADBCNBC所以，又ADNC/ /ADBC所以四邊形是平行四邊形，所以AN

30、CDANDC又因?yàn)榈妊菪危?0ABC所以 ，所以四邊形是菱形，所以ABBNADANCD1302ACBDCB所以，即90BACACAB由已知可知 平面平面，C BAABC因?yàn)?平面平面C BAABCAB所以平面 4 分AC ABC（2）證明：因?yàn)椋?/ /ADBC/ /ADBC ,ADADA BCBCB所以平面平面/ /ADDBCC又因?yàn)槠矫?所以 平面 8 分C NBCC/ /C NADD（3）因?yàn)槠矫?同理平面，建立如圖如示坐標(biāo)系A(chǔ)C ABCAC ABC設(shè)，1AB 則, ，9 分(1,0,0)B(0, 3,0)C(0,0, 3)C13( ,0)22N則，( 1,0, 3)BC (0,3, 3)CC 設(shè)平面的法向量為，有 ，得 C NC( , , )nx y z0BC n 0C C n ( 3,1,1)n 設(shè)平面的法向量為，有ANC),(zyxm 0, 0mACmAN 得 12 分)0 , 1 , 3(m所以 13 分55cosnmmn由圖形可知二面角為鈍角AC NC所以二面角的余弦值為 14 分AC NC55xzyACDBNDC13. （I）AD / BC，BC=AD，Q為AD的中點(diǎn)，12四邊形BCDQ為平行四邊形，CD / BQ ADC=90 AQB=90 即