一類動態(tài)宏觀經(jīng)濟非均衡模型的最優(yōu)控制

1、2003年3月系統(tǒng)工程理論與實踐第3期文章編號:100026788(20030320060205一類動態(tài)宏觀經(jīng)濟非均衡模型的最優(yōu)控制陳國華,盛昭瀚(南京大學(xué)管理科學(xué)與工程研究院,江蘇南京210093摘要:為了將系統(tǒng)穩(wěn)定在理想的目標(biāo)狀態(tài),實現(xiàn)政策調(diào)控目標(biāo),利用符合最優(yōu)性能的政策調(diào)控參數(shù),給出了一種多維O GY最優(yōu)控制法,并成功地在一類動態(tài)宏觀非均衡經(jīng)濟模型中應(yīng)用最小的政策參數(shù)擾動來穩(wěn)定系統(tǒng)的瓦爾拉斯均衡狀態(tài),實現(xiàn)了最優(yōu)控制關(guān)鍵詞:最優(yōu)混沌控制;穩(wěn)定化;非均衡;動態(tài)宏觀經(jīng)濟模型中圖分類號:T P27文獻標(biāo)識碼:AOp ti m al Con tro l of D ynam ical M acroe

2、conom ic D isequ ilib rium M odelCH EN Guo2hua;SH EN G Zhao2han(Graduate Schoo l of M anagem en t Science and Engineering,N an jing U n iversity,N an jing210093,Ch inaAbstract:In o rder to stab ilize an ideal target of system and realize po licy con tro l target,In th ispaper,po licy param eters su

3、itab le fo r som e op ti m al perfo rm ance are u sed.and an op ti m al m u lti2di m en si onal O GY con tro l m ethod is m ain ly discu ssed,w h ich is also successfu lly app lied to op ti m allycon tro lling a dynam ic m acroeconom ic model stab ilizing W alrasian equ ilib rium state by u sing m i

4、n i m umpo licy param eters pertu rbati on s.Key words:op ti m al con tro l of chao s;stab ilizati on;disequ ilib rium;dynam ical m acroeconom ic model1引言經(jīng)濟系統(tǒng)會出現(xiàn)混沌已經(jīng)是一個不爭的事實,它已為許多經(jīng)濟學(xué)家所認識1,2適當(dāng)設(shè)置參數(shù),混沌可能出現(xiàn)在許多經(jīng)典的經(jīng)濟模型中,包括連續(xù)的市場出清、理性預(yù)期、迭代生成模型、完全競爭、經(jīng)濟增長、無外部性的市場失靈等這些混沌有的是有害的,有的是有益的混沌控制的目的就是要對有害的混沌加以抑制,對有益的混沌

5、進行利用、誘導(dǎo)3混沌控制和誘導(dǎo)的一種自然的方法是對引起系統(tǒng)出現(xiàn)混沌的參數(shù)進行控制和調(diào)節(jié),使系統(tǒng)能夠穩(wěn)定到理想的目標(biāo)軌道表現(xiàn)在經(jīng)濟系統(tǒng)中,這些參數(shù)通常與政府的適當(dāng)?shù)目烧{(diào)的經(jīng)濟政策相關(guān)聯(lián),如稅收政策、利率政策、產(chǎn)業(yè)政策、決策策略等2關(guān)于如何控制這些參數(shù),使經(jīng)濟系統(tǒng)進入理想軌道,學(xué)者們做過許多研究文獻4中利用參數(shù)反饋控制方法研究了財產(chǎn)管理模型中的混沌控制問題文獻5利用最優(yōu)控制理論研究了宏微觀市場的最優(yōu)調(diào)控規(guī)律文獻6,7中研究了稅收政策和政府公共消費政策與瓦爾拉斯均衡間的關(guān)系,通過混沌控制的方法研究了政策對系統(tǒng)動力學(xué)行為的影響然而經(jīng)濟系統(tǒng)往往需要考慮政策參數(shù)控制的平穩(wěn)性、漸近性和時效性,這些混沌控制的

6、方法缺乏與具體的經(jīng)濟性能指標(biāo)的結(jié)合,使得在具體應(yīng)用時受到很大限制例如在經(jīng)濟系統(tǒng)中不可能等待50年或更長的時間使得某個政策產(chǎn)生效果文獻7雖然成功地利用混沌的混合政策穩(wěn)定了瓦爾拉斯均衡,但是所用的方法沒有結(jié)合具體的性能指標(biāo)來進行,而且受到通常參數(shù)反饋控制法的性能限制,它要求不動點的鄰域內(nèi)存在穩(wěn)定流形當(dāng)利用目標(biāo)定向法時,穩(wěn)定狀態(tài)收稿日期:2002211212資助項目:國家自然科學(xué)基金(70171028作者簡介:陳國華(1969-,男,江蘇泰州,講師,博士,研究方向:經(jīng)濟管理系統(tǒng)的演化及其復(fù)雜性;盛照瀚(1944-,男,江蘇鎮(zhèn)江,博士生導(dǎo)師,經(jīng)濟管理系統(tǒng)的演化及其復(fù)雜性雖然可以在短時間內(nèi)穩(wěn)定,但是它又

7、需要關(guān)于整個全局動力系統(tǒng)的完全信息本文我們基于文獻7中提出的動態(tài)經(jīng)濟非均衡模型,研究了這一模型的最優(yōu)控制問題,得到了只要采用很小的參數(shù)擾動,就能夠穩(wěn)定系統(tǒng)的瓦爾拉斯均衡狀態(tài)的結(jié)論我們采用了一種O GY 控制方法的推廣形式,通常稱為多維O GY 控制法8,它克服了上述限制,使用最小的控制參數(shù)來穩(wěn)定鞍點或完全不穩(wěn)定的不動點數(shù)值仿真實驗表明了本文的方法具有較好的性能這種最小化參數(shù)的最優(yōu)控制方法在實際中具有十分重要的意義,它可以保證政府的政策調(diào)整力度和調(diào)幅范圍盡可能小,從而保證了系統(tǒng)狀態(tài)的平穩(wěn)過渡2模型的提出這里討論的是由一個年輕和年老的家庭,一個企業(yè),政府及一個消耗品和勞動力市場組成宏觀經(jīng)濟的非均衡

8、模型7假定1市場容許非均衡的分配,2不同時期的價格和工資按照市場供求關(guān)系進行調(diào)整時期t 的商品價格為p t ,名義工資為w t ,年老家庭所擁有的名義貨幣存量為M t 所研究的模型是由實際工資及實際貨幣余額兩個狀態(tài)變量構(gòu)成的一個動力系統(tǒng)代理行為假設(shè)描述如下.2.1家庭家庭的生命周期假定為兩個時期年輕家庭提供固定數(shù)量的勞動力L m ax t 時期開始年老家庭擁有名義貨幣存量M t ,對消耗品概念需求m t :=M t p t ,年輕家庭的消費傾向占凈收入的比由一個常數(shù)c (0,1給定t 時期兩個家庭理想的消費為x 3t =m t +c y net t ,其中y net t為年輕家庭的實際凈收入2

9、.2企業(yè)企業(yè)以勞動為唯一可變要素生產(chǎn)消耗品生產(chǎn)技術(shù)描述為一個新古典生產(chǎn)函數(shù)y =F (L =a bL b ,a >0,b (0,1在給定的實際工資t :=w t p t 時的利潤最大化導(dǎo)致對勞動力和商品的概念需求分別為L 3(t 和y 3(t =F (L 3(t 2.3政府政府對年輕家庭的收入征收一定比例的收入稅率0,1,需求一定量g 0的消耗品最終的預(yù)算赤字 剩余通過貨幣建立 銷毀來平衡因此貨幣存量的變化即家庭事后凈儲蓄M t =Mt +1-M t ,等于政府的預(yù)算赤字 剩余2.4動態(tài)方程t 時期,給定實際工資t ,實際余額m t 和政策參數(shù)(g ,后,最小化有效供給和需求時,發(fā)生商品

10、和勞動力市場的交換設(shè)y D (m t ;g ,定義為與收入相一致的總有效消費需求,它為方程(1的解y D =m t +g +c (1- yD (1即y D (m t ;g ,=m t +g 1-c (1-有效商品供給由y S (t :=m in (y 3(t ,F (L m ax 決定,因此唯一可行的分配定義為y t =Y (t ,m t ;g ,:=m in (y D (m ;g ,y S (t (2和L t =L (t ,m ;g ,:=F -1(Y (t ,m t ;g ,(3可行分配因配給情況的不同而不同,它被劃分成如下的三個主要的非均衡區(qū)域:1供給配給在兩個市場的凱恩斯失業(yè)區(qū)域K ;

11、2需求配給在商品市場,供給配給在勞動力市場的經(jīng)典的失業(yè)區(qū)域C ;3需求配給在兩個市場的壓縮膨脹區(qū)域I 至于供給配給在商品市場,需求配給在勞動力市場的情形U 則退化為邊界K I 此外還有三個其它的邊界情形:兩個具有市場出清(K C 和C I ,瓦爾拉斯均衡W =K I C ,后者是實現(xiàn)所有概念需求和供給的唯一的狀態(tài)當(dāng)商品市場存在需求配額時,假定年輕家庭優(yōu)先配額,年老家庭其次,政府只有當(dāng)兩個家庭的配額為零時才有配額此外還假定由于需求配額,年老家庭沒有消費掉的儲蓄將被支付給政府因此t +1時期的貨幣存量等于年輕家庭在t 時期的儲蓄,即M t +1=(1-p t y t -p t x t =p t (

12、1-y t -x t =p t (y t -x t -y t =p t (m in (y t ,g +m t -y t 由于價格和工資按照供需法則變化,其不同時期變化關(guān)系為16第3期一類動態(tài)宏觀經(jīng)濟非均衡模型的最優(yōu)控制p t +1=p t (1+P (t ,m t ;g ,和w t +1=w t (1+w (t ,m t ;g ,(4其中增長率的函數(shù)P 和W 為P ( :=P m axy D (m t ;g ,-Y ( y D (m t ;g ,如果y D (m t ;g ,>Y ( P m inY ( -y 3(t y 3(t ,其它(5W ( :=Wm ax L 3(t -L ( L

13、 3(t ,如果L 3(t >L (W m in L ( -L m ax L m ax ,其它(6其中(代表元組(t ,m t ;g ,P m in ,P m ax ,W m in ,W m ax 0,1定義了價格和工資的靈活性完全的動力系統(tǒng)F (:g ,:R 2+R 2+,(t ,m t (t +1,m t +i 為t +1=t1+W (t ,m t ;g ,1+P (t ,m t ;g ,(7m t +1=11+P (t ,m t ;g ,(m in (Y (t ,m t ;g ,m t +g -Y (t ,m t ;g ,(8通過改變參數(shù),這個動力系統(tǒng)可以表現(xiàn)出各種形式的動力學(xué)行為

14、,如穩(wěn)定性、周期性、共存周期、復(fù)雜吸引盆和混沌極限行為這個動態(tài)系統(tǒng)具有如下命題描述的行為特性命題11如果g <F (L m ax ,且P m ax 不太小,則在K 中存在一個穩(wěn)定狀態(tài)2如果g >F (L m ax ,且W m ax 不太小,則在I 中存在一個穩(wěn)定狀態(tài)3如果g =F (L m ax ,則W 為一個穩(wěn)定狀態(tài)4對每個(g ,F (;g ,至多存在一個穩(wěn)定狀態(tài)由于生產(chǎn)函數(shù)F 在瓦爾拉斯穩(wěn)定狀態(tài)下不可微,因此僅對非均衡的狀態(tài)才能實現(xiàn)局部穩(wěn)定分析,通過對特征向量進行計算,可得命題2命題2任何穩(wěn)定狀態(tài)(,m ;g ,K I 可能會通過一個周期倍化分岔而失去其局部穩(wěn)定性且系統(tǒng)此時可

15、能存在模小于1的特征值此外,如果所有的其它參數(shù)均為常數(shù),則(,m ;g ,I 可以通過降低g 或增而而失去局部穩(wěn)定性,或者通過增加或降低來使(,m ;g ,K 失去局部穩(wěn)定性這一結(jié)果暗示了一個良性的財政政策也可能使穩(wěn)定狀態(tài)失去穩(wěn)定,因此長期行為無效在凱恩斯失業(yè)的情況下,即使一個易擴張的財政政策在穩(wěn)定狀態(tài)時降低了超額供給,其長期的結(jié)果也不明確對于通貨膨脹穩(wěn)定狀態(tài),也有同樣的結(jié)果,即使一個緊縮的財政政策降低了短期膨脹率和超額需求,它長期也可使穩(wěn)態(tài)失穩(wěn)3最優(yōu)控制方法考慮系統(tǒng)x =h (x ,t ,p (t ,其中x 是維數(shù)為n 的狀態(tài)向量,h 為刻畫系統(tǒng)動力學(xué)行為的非線性函數(shù),t 為時間,p 為控制

16、參數(shù)考慮滿足方程(9的控制參數(shù)p (t =b (t p c(9其中b (t 為已知函數(shù),稱為基函數(shù);p c 為控制參數(shù)在待穩(wěn)定的極限環(huán)的一個周期T 內(nèi)積分系統(tǒng)方程(1,得非線性Po incare 映射,再在不動點x F 處線性化Po incare 映射x k +1-x F 5h 5x x =x F ,p c =0(x k -x F +5h 5p c x =x F ,p c =0p c (10方程(10的Jacob i 矩陣J =5h 5x 獨立于基函數(shù)b (t ,敏感向量w =5h 5p c依賴于基函數(shù)的選擇在標(biāo)準(zhǔn)的O GY 控制方法中,只計算了一個敏感向量,且要求敏感向量與穩(wěn)定流形相交這一條

17、件很強,可導(dǎo)致各種各樣的問題,特別是當(dāng)高維的時候為了克服這個限制,我們利用下面的控制規(guī)律(11來穩(wěn)定不穩(wěn)定的不26系統(tǒng)工程理論與實踐2003年3月動點p c =-W -1J (x k -x F (11其中p c 為一個n 維的包含p ci 的向量,W 為一個n ×n 矩陣,其列為敏感向量w i 這里要求w i 是線性獨立的,以保證矩陣W 的可逆性一旦決定了n 個線性獨立的敏感向量,由x k +1=x F ,可得0=x k +1-x F =J (x k -x F +6ni =1w i p ci (12式中p ci 是決定穩(wěn)定極限環(huán)的控制參數(shù)值的未知量利用控制參數(shù)p (t =6ni =1

18、b i (t p ci 可將x k 映射到不動點這一控制不僅可以穩(wěn)定不穩(wěn)定的不動點,而且可以穩(wěn)定鞍點當(dāng)然還可以選擇適當(dāng)?shù)幕瘮?shù)和敏感向量,使之穩(wěn)定m 個不穩(wěn)定方向u i 下面我們在極限環(huán)的一個周期內(nèi)線性化整個動力系統(tǒng),而不僅僅對Po incare 映射線性化在極限環(huán)軌線x L C 和參數(shù)的零點值周圍線性化系統(tǒng)方程有x L C =A (t x +c (t p (t (13其中x 為在極限環(huán)周圍的擾動,p (t 為隨時間變化的控制參數(shù),x =x -x L C ,A (t =5h 5x x =x L C ,p c =0,c (t =5h 5x x =x L C ,p c =0(14形式化積分方程(1

19、2得到x (t =M (t x 0+M (t t 0M -1(c (p (d (15其中x 0=x (0-x F 為初始擾動,且M (t =exp t 0A (d (16對流上的Po incare 截面進行分析,有x 0=x k -x F ,x (T =x k +1-x F ,t =T ,方程(15被轉(zhuǎn)換為x k +1-x F =M (T (x k -x F +M (T T 0M -1(c (p (d (17為了穩(wěn)定極限環(huán),需要x k +1=x F ,于是有下面的控制規(guī)律-(x k -x F =T 0d (t p (t d t (18其中d (t =M -1(t c (t 為n 維的向量函數(shù),

20、稱為設(shè)計函數(shù)下面定義最優(yōu)化的標(biāo)準(zhǔn)8為m in T 0p 2(t d t (19為了求解方程(18,使(19成立,對p (t 離散化并積分由方程(18可得-(x k -x F =D p(20其中p 為N 維的包含p (t 的向量,這里分成了N 個時間間隔,t =(i -1t ,t =T(N -1,i =1,2,N 矩陣D 為n ×N 維的常值矩陣,依賴于設(shè)計函數(shù)d (t 和離散化方法方程(19于是變?yōu)閙 in p 2(21其中 p 2代表了向量p 的模2范數(shù)矩陣D 可以分成n ×n 可逆矩陣D 1和n ×(N -n 矩陣D 2向量p 可以對應(yīng)分成大小為n 的分量p

21、1和大小為N -n 的分量p 2方程(20變成-(x k -x F =D 1p 1+D 2p 2(22依次求解p 1,p 2得p 1=-D -11(x k -x F -D -11D 2p 2(23p 2=-H (x k -x F (24其中H =(QD 2+I N -n -1Q 為常數(shù)矩陣,Q =D T 2D -T 1D -11,I N -n 為(N -n ×(N -n 單位矩陣,H 只依賴于設(shè)計函數(shù)d (t ,且對于整個控制應(yīng)用只需要計算一次綜上所述,最優(yōu)控制過程如下:36第3期一類動態(tài)宏觀經(jīng)濟非均衡模型的最優(yōu)控制1計算設(shè)計函數(shù)d (t ;2只需要計算一次矩陣D -11,D -11

22、D 2和H ;3對于每一個k ,通過簡單地替換方程(24和方程(23中的x k -x F ,計算p 在實際情形下,不能生成一般的控制函數(shù)p (t ,只能給出一個函數(shù)集合例如,可以使用由常數(shù)和正余弦函數(shù)組成的函數(shù)生成器g i (t ,i =1,2,N G 在這種情況下,設(shè)計一個擬最優(yōu)的控制器,要求p (t 為g i (t 的線性組合遵循最優(yōu)控制方法,可以得到類似于方程(20的控制規(guī)律其中D 為n ×N G 一個的矩陣,僅依賴于函數(shù)g i (t 控制向量p 具有分量p i ,維數(shù)N G 最終的控制參數(shù)為p (t =6N Gi =1p i g i (t 4數(shù)值實驗固定名義政策參數(shù)g 和,假

23、設(shè)它滿足在充分就業(yè)時政府的平衡預(yù)算的條件瓦爾拉斯穩(wěn)定狀態(tài)給定為:=F (L m ax 且m =(1-c (1-f (L m ax -g選擇參數(shù)等于a =1,b =0.9,L m ax =1,c =0.5,P m in =P m ax =W m in =W m ax =0.6當(dāng)稅收參數(shù)=0.27時,圖1顯示了模型的實際貨幣余額隨政府消費支出變化的分岔圖圖1是對不同的政府支出參數(shù),對系統(tǒng)(8作了2000次迭代計算,并刪除起初的200個點,忽略混沌暫態(tài)后得到的分岔圖,由此可見,必須適當(dāng)?shù)夭扇≌С稣?以響應(yīng)實際的貨幣余額對穩(wěn)定狀態(tài)背離圖2顯示了當(dāng)g =3.16時,系統(tǒng)(8出現(xiàn)混沌后的實際貨幣余額

24、的相圖 圖1固定=0.27時貨幣余額對政策參數(shù)g 的分岔圖圖2實際貨幣余額吸引子的相圖下面我們將上面的多維O GY 最優(yōu)控制方法應(yīng)用于這一動態(tài)宏觀經(jīng)濟非均衡模型,以實現(xiàn)系統(tǒng)(7,(8的最優(yōu)控制,從而通過最小的參數(shù)擾動,達到政策杠桿的宏觀調(diào)控目的經(jīng)計算系統(tǒng)的瓦爾拉斯均衡點為1,59(1+-g ,固定=0.27,選擇基函數(shù)b 1(t =b 2(t =1的特殊情形,在每個周期T 上取N =100,圖3繪出了兩個設(shè)計函數(shù)的圖,對于每一個當(dāng)前位置(k ,m k ,計算最小的政府支出參數(shù)p (t =g (t ,參數(shù)隨時間的變化示于圖4積分圖4中的p (t ,我們得到本文研究了多維最優(yōu)O GY 控制方法,并

25、以此來尋找最優(yōu)調(diào)控參數(shù),成功地實現(xiàn)了混沌經(jīng)濟系統(tǒng)到理想的穩(wěn)定目標(biāo)控制這里的最優(yōu)其實是從控制力度最小的角度而言的隨后我們在一類宏觀經(jīng)濟非均衡模型中成功地實現(xiàn)了這種控制,取得了合適的政府支出參數(shù),并在此調(diào)控參數(shù)下,穩(wěn)定了系統(tǒng)的瓦爾拉斯均衡狀態(tài)多維最優(yōu)O GY 控制方法不需要系統(tǒng)在平衡點附近具有穩(wěn)定流形,且特別適合于經(jīng)濟中這樣的自變量多、維數(shù)高的動態(tài)系統(tǒng)本文在經(jīng)濟混沌的最優(yōu)控制方面進行了有益的探討,事實上,這種研究具有(下轉(zhuǎn)第139頁46系統(tǒng)工程理論與實踐2003年3月第3期 城市環(huán)境質(zhì)量綜合評價物元模型及其應(yīng)用 139 4結(jié)語 1 在運用物元分析方法進行城市環(huán)境質(zhì)量評價過程中, 物元理論通俗易懂,

26、 計算方法簡便, 并且容易 進行計算機編程 2 由于評價參數(shù)的量綱不同、 數(shù)量級不同, 在確定經(jīng)典域和節(jié)域時, 對原始數(shù)據(jù)進行了歸一化處理, 效果較好 3 評價結(jié)果與模糊評判法取得了較好的一致性, 并且符合客觀實際, 表明物元理論用于綜合評價城 市環(huán)境質(zhì)量的問題是可行的, 為該領(lǐng)域的評價方法提供了新的思路 參考文獻: 1 徐福留, 周家貴, 李本綱, 等. 城市環(huán)境質(zhì)量多級模糊綜合評價 J . 城市環(huán)境與城市生態(tài), 2001, 14 ( 2 : 13- 15. 2 蔡文 物元模型及其應(yīng)用 M . 北京: 科學(xué)技術(shù)文獻出版社, 1994. 22- 23. . 3 蔡文 物元分析 M . 廣州: 廣東高等教育出版社, 1987. . 4 武吉華. 自然資源評價基礎(chǔ) M . 北京: 北京師范大學(xué)出版社, 1999. 110- 111. ( 上接第 64 頁 一定性能指標(biāo)的混沌經(jīng)濟系統(tǒng)的控制, 并以此輔助政府進行宏觀經(jīng)濟政策決策, 在實踐中具有十分重要的 價值 圖 3設(shè)計函數(shù)圖 參考文獻: 1 理查德 H 戴. 混沌經(jīng)