6-3-1_工程問題(教師版)

1、工程問題教學目標1. 熟練掌握工程問題的基本數(shù)量關系與一般解法；2. 工程問題中常出現(xiàn)單獨做，幾人合作或輪流做，分析時一定要學會分段處理；3. 根據題目中的實際情況能夠正確進行單位“1”的統(tǒng)一和轉換；4. 工程問題中的常見解題方法以及工程問題算術方法在其他類型題目中的應用知識精講工程問題是小學數(shù)學應用題教學中的重點，是分數(shù)應用題的引申與補充，是培養(yǎng)學生抽象邏輯思維能力的重要工具。工程問題是把工作總量看成單位“1”的應用題，它具有抽象性，學生認知起來比較困難。在教學中，讓學生建立正確概念是解決工程應用題的關鍵。一 工程問題的基本概念定義 ： 工程問題是指用分數(shù)來解答有關工作總量、工作時間和工作效

2、率之間相互關系的問題。工作總量：一般抽象成單位“1”工作效率：單位時間內完成的工作量三個基本公式：工作總量=工作效率×工作時間，工作效率=工作總量÷工作時間，工作時間=工作總量÷工作效率；二、為了學好分數(shù)、百分數(shù)應用題，必須做到以下幾方面： 具備整數(shù)應用題的解題能力，解決整數(shù)應用題的基本知識，如概念、性質、法則、公式等廣泛應用于分數(shù)、百分數(shù)應用題； 在理解、掌握分數(shù)的意義和性質的前提下靈活運用； 學會畫線段示意圖線段示意圖能直觀地揭示“量”與“百分率”之間的對應關系，發(fā)現(xiàn)量與百分率之間的隱蔽條件，可以幫助我們在復雜的條件與問題中理清思路，正確地進行分析、綜合、判斷

3、和推理； 學會多角度、多側面思考問題的方法分數(shù)、百分數(shù)應用題的條件與問題之間的關系變化多端，單靠統(tǒng)一的思路模式有時很難找到正確解題方法因此，在解題過程中，要善于掌握對應、假設、轉化等多種解題方法，不斷地開拓解題思路三、利用常見的數(shù)學思想方法：如代換法、比例法、列表法、方程法等拋開“工作總量”和“時間”，抓住題目給出的工作效率之間的數(shù)量關系，轉化出與所求相關的工作效率，最后再利用先前的假設“把整個工程看成一個單位”，求得問題答案一般情況下，工程問題求的是時間例題精講模塊一、工程問題基本題型【例 1】 （難度等級 ）一項工程，甲單獨做需要天時間，乙單獨做需要天時間，如果甲、乙合作需要多少時間？【解

4、析】 將整個工程的工作量看作“1”個單位，那么甲每天完成總量的，乙每天完成總量的，兩人合作每天能完成總量的，所以兩人合作的話，需要天能夠完成【例 2】 （難度等級 ）一項工程，甲單獨做需要天時間，甲、乙合作需要天時間，如果乙單獨做需要多少時間？【解析】 將整個工程的工作量看作“1”個單位，那么甲每天完成總量的，甲、乙合作每天完成總量的，乙單獨做每天能完成總量的，所以乙單獨做天能完成【鞏固】 （難度等級 ）一項工程，甲單獨做需要天時間，甲、乙合作需要天時間，如果乙單獨做需要多少時間？【解析】 將整個工程的工作量看作“1”個單位，那么甲每天完成總量的，甲、乙合作每天完成總量的，乙單獨做每天能完成總

5、量的，所以乙單獨做28天能完成【例 3】 （難度等級 ）甲、乙兩人共同加工一批零件，8小時可以完成任務如果甲單獨加工，便需要12小時完成現(xiàn)在甲、乙兩人共同生產了小時后，甲被調出做其他工作，由乙繼續(xù)生產了420個零件才完成任務問乙一共加工零件多少個? 【解析】 乙單獨加工，每小時加工 甲調出后，剩下工作乙需做時所以乙每小時加工零件(個)，則小時加工(個)，所以乙一共加工零件420+60480(個)【鞏固】 （難度等級 ）一件工作，甲、乙兩人合作30天可以完成，共同做了6天后，甲離開了，由乙繼續(xù)做了40天才完成.如果這件工作由甲或乙單獨完成各需要多少天？【解析】 共做了6天后，原來，甲做 24天，

6、乙做 24天，現(xiàn)在，甲做0天，乙做40=（24+16）天.這說明原來甲24天做的工作，可由乙做16天來代替.因此甲的工作效率是乙的工作效率的16/24=2/3。如果甲獨做，所需時間是天如果乙獨做，所需時間是天；甲或乙獨做所需時間分別是75天和50天.【鞏固】 （難度等級 ）某工程先由甲獨做63天，再由乙單獨做28天即可完成；如果由甲、乙兩人合作，需48天完成.現(xiàn)在甲先單獨做42天，然后再由乙來單獨完成，那么乙還需要做多少天？【解析】 先對比如下：甲做63天，乙做28天；甲做48天，乙做48天.就知道甲少做63-48=15（天），乙要多做48-28=20（天），由此得出乙的工作效率是甲的，甲先單

7、獨做42天，比63天少做了63-42=21（天），相當于乙要做天因此，乙還要做28+28= 56 （天），乙還需要做 56天.【例 4】 （難度等級 ）一項工程，甲、乙合作需要天完成，乙、丙合作需要天完成，由乙單獨做需要天完成，那么如果甲、乙、丙合作，完成這項工程需要多少天？【解析】 如果將整個工程的工作量看做單位“1”，從條件中我們很容易看出： 甲乙， 乙丙， 乙因此不難得到丙的工作效率為，因此三個人的工作效率之和為，也就是說，三個人合作需要12天可以完成。本題也可以分別求出甲和丙的工作效率，再將三人的工作效率相加，得到三人合作的總工效但是這樣做比較麻煩，事實上只要將甲乙工效和加上丙的工效就

8、可以了【鞏固】 （難度等級 ）一項工程，甲、乙合作需要9天完成，乙、丙合作需要天，由丙單獨做需要天完成，那么如果甲、丙合作，完成這項工程需要多少天？【解析】 法一：和上題類似，我們可以有：甲乙， 乙丙， 丙不難求得，乙的工作效率為，因此甲的工作效率為，從而甲丙合作的工作效率為，即甲丙合作12天能完成。法二：仍然觀察上面那三個等式，我們能否不求出每個人的工作效率，而同過整體的運算直接得到“甲 +丙”的值呢？不難發(fā)現(xiàn)，我們只要把乙消掉就可以了；因此我們有：，也就是說：，所以甲丙合作天能完成?！眷柟獭?（難度等級 ）一件工作，甲、乙兩人合作36天完成，乙、丙兩人合作45天完成，甲、丙兩人合作要60天

9、完成.問甲一人獨做需要多少天完成？【解析】 設這件工作的工作量是1。甲乙兩人合作每天完成，甲丙兩人合作每天完成，乙丙兩人合作每天完成，甲、乙、丙三人合作每天完成減去乙、丙兩人每天完成的工作量，甲每天完成，甲獨做需要天答：甲一人獨做需要90天完成.【鞏固】 （難度等級 ）一件工程，甲、乙兩人合作8天可以完成，乙、丙兩人合作6天可以完成，丙、丁兩人合作12天可以完成那么甲、丁兩人合作多少天可以完成?【解析】 甲、乙，乙、丙，丙、丁合作的工作效率依次是、.對于工作效率有(甲，乙)+(丙，丁)(乙，丙)=(甲，丁)即+=，甲、丁合作的工作效率為所以，甲、丁兩人合作24天可以完成這件工程【鞏固】 （難度

10、等級 ）一項工作，甲、乙兩人合做8天完成，乙、丙兩人合做9天完成，丙、甲兩人合做18天完成那么丙一個人來做，完成這項工作需要多少天? 【解析】 方法一：對于工作效率有：(甲，乙)+(乙，丙)(丙，甲)=2乙，即+=為兩倍乙的工作效率，所以乙的工作效率為而對于工作效率有，(乙，丙)乙=丙，那么丙的工作效率為那么丙一個人來做，完成這項工作需1÷=48天。方法二：2(甲，乙，丙)=(甲+乙)+(乙、丙)+(甲、丙)，所以(甲，乙，丙)=÷2，即甲、乙、丙3人合作的工作效率為那么丙單獨工作的工作效率為，那么丙一個人來做，完成這項工作需48天【例 5】 （難度等級 ）一池水，甲、乙兩

11、管同時開，5小時灌滿；乙、丙兩管同時開，4小時灌滿現(xiàn)在先開乙管6小時，還需甲、丙兩管同時開2小時才能灌滿乙單獨開幾小時可以灌滿？【解析】 由于甲、乙和乙、丙的工作效率之和都知道了，根據“現(xiàn)在先開乙管6小時，還需甲、丙兩管同時開2小時灌滿”，我們可以把乙管的6小時分成3個2小時，第一個2小時和甲同時開，第二個2小時和丙同時開，第三個2小時乙管單獨開這樣就變成了甲、乙同時開2小時，乙、丙同時開2小時，乙單獨開2小時，正好灌滿一池水可以計算出乙單獨灌水的工作量為，所以乙的工作效率為：，所以整池水由乙管單獨灌水，需要（小時）【例 6】 （難度等級 ）(2007年四中考題)某水池可以用甲、乙兩個水管注水

12、，單開甲管需12小時注滿，單開乙管需24小時注滿，若要求10小時注滿水池，且甲、乙兩管同時打開的時間盡量少，那么甲、乙最少要同時開放 小時【解析】 要想同時開的時間最小，則根據工效，讓甲“滿負荷”地做，才可能使得同時開放的時間最小所以，乙開放的時間為(小時)，即甲、乙最少要同時開放4小時【例 7】 （難度等級 ）一個蓄水池，每分鐘流入4立方米水.如果打開5個水龍頭，2小時半就把水池水放空，如果打開8個水龍頭，1小時半就把水池水放空.現(xiàn)在打開13個水龍頭，問要多少時間才能把水放空？【解析】 先計算1個水龍頭每分鐘放出水量.2小時半比1小時半多60分鐘，多流入水4 × 60= 240（立

13、方米）.時間都用分鐘作單位，1個水龍頭每分鐘放水量是240 ÷ （ 5× 150- 8 × 90）= 8（立方米），8個水龍頭1個半小時放出的水量是8 × 8 × 90，其中 90分鐘內流入水量是 4 × 90，因此原來水池中存有水 8 × 8 × 90-4 × 90= 5400（立方米）.打開13個水龍頭每分鐘可以放出水8×13，除去每分鐘流入4，其余將放出原存的水，放空原存的5400，需要5400 ÷（8 × 13- 4）=54（分鐘）.所以打開13個龍頭，放空水池要54

14、分鐘.水池中的水，有兩部分，原存有水與新流入的水，就需要分開考慮，解本題的關鍵是先求出池中原存有的水.這在題目中卻是隱含著的.【例 8】 （難度等級 ）有10根大小相同的進水管給、兩個水池注水，原計劃用4根進水管給水池注水，其余6根給水池注水，那么5小時可同時注滿因為發(fā)現(xiàn)水池以一定的速度漏水，所以改為各用5根進水管給水池注水，結果也是同時注滿(1)如果用10根進水管給漏水的水池注水，需要多少分鐘注滿?(2)如果增加4根同樣的進水管，水池仍然漏水，并且要求在注水過程中每個水池的進水管的數(shù)量保持不變，那么要把兩個水池注滿最少需要多少分鐘?(結果四舍五入到個位)【解析】 設每只進水管的工效為“1”，

15、那么A池容量為4×5=20，B池容量為6×5=30當用5根進水管給B池灌水時需30÷5=6小時，而在6小時內5只其水管給A池也是灌有30的水，所以漏了3020=10，因此漏水的工效為(1)用10根進水管給漏水的A池灌水，那么需 (2)設A池需根，那么B池需14根，有所以有化簡解得所以A池用7根或6根進水管，此時對應所需時間，分別為：當A池用7根進水管時：A：7根水管，需時間小時=225分鐘；B：7根水管，需時間小時257分鐘此時要把兩個水池注滿最少需要257分鐘；當A池用6根進水管時：A：6根水管，需時間小時277分鐘；B：8根水管，需時間30÷8=小時

16、=225分鐘此時要把兩個水池注滿最少需要277分鐘所以，要把兩個水管都注滿，最少需257分鐘，7根水管注A池，7根水管注B池【例 9】 （難度等級 ）甲、乙兩輛清潔車執(zhí)行東、西城間的公路清掃任務甲車單獨清掃需10小時，乙車單獨清掃需15小時，兩車同時從東、西城相向開出，相遇時甲車比乙車多清掃12千米問：東、西兩城相距多少千米？【解析】 法一：先求出甲、乙相遇的時間：小時；甲清掃全長的，乙清掃了全部的；所以東、西兩城相距千米 法二：因為時間相等，路程比等于速度比，這樣相遇時甲、乙清掃的路程比是，甲行了全程的，乙行了全程的，全程就是千米【例 10】 （難度等級 ）一項工程，甲單獨完成需要天，乙單獨

17、完成需要天若甲先做若干天后乙接著做，共用天完成，問甲做了幾天？【解析】 根據題意可知，甲的工作效率為，乙的工作效率為，采用雞兔同籠問題的假設法，可知甲做了天【鞏固】 （難度等級 ）一項工程，甲隊單獨做天可以完成，甲隊做了天后，由于另有任務，剩下的工作由乙隊單獨做天完成問：乙隊單獨完成這項工作需多少天？【解析】 方法一：甲的工作效率為，甲隊8天的工作量為，所以乙隊15天的工作量為，乙的工作效率為，所以乙隊單獨完成這項工作需要天方法二：此題可以用代換法解，甲12天工作量等于乙15天工作量，乙的工作效率為甲的，乙獨做的時間為（天）?！纠?11】 （難度等級 ）（2009年十三分小升初入學測試題）一項

18、工程，甲單獨做40天完成，乙單獨做60天完成現(xiàn)在兩人合作，中間甲因病休息了若干天，所以經過了27天才完成問甲休息了幾天？【解析】 法一：在整個過程中，乙沒有休息，所以乙一共干了60天，完成了全部工程的，還有是甲做的，所以甲干了（天），休息了（天）法二：假設中間甲沒有休息，則兩人合作27天，應完成全部工程的，超過了單位“1”的，則甲休息了（天）【鞏固】 （難度等級 ）一項工程，甲單獨做天完成，乙單獨做天完成甲、乙合作了幾天后，乙因事請假，甲繼續(xù)做，從開工到完成任務共用了天乙請假多少天？ 【解析】 法一：甲一共干了天，完成了全部工程的，還有是乙做的，所以乙干了(天)，休息了(天)，請假天數(shù)為：(天

19、) 法二：假設乙沒有請假，則兩人合作天，應完成全部工程的，超過了單位“1”的，則乙請假(天)【鞏固】 （難度等級 ）有一條公路，甲隊獨修需10天，乙隊獨修需12天，丙隊獨修需15天現(xiàn)在讓3個隊合修，但中途甲隊撤出去到另外工地，結果用了6天才把這條公路修完當甲隊撤出后，乙、丙兩隊又共同合修了多少天才完成?【解析】 甲、乙、丙三個隊合修的工作效率為 6天完成的工程量為 ，而實際6天完成了的工程量為1，即甲隊少做了，甲隊完成超過單位“1”，甲沒有干的天數(shù)：，(天)，即當甲隊撤出后，乙、丙兩隊又合修了6-1=5天【例 12】 （難度等級 ）(2007年十一學?？碱})有一項工程，甲單獨做需要36天完成，

20、乙單獨做需要30天完成，丙單獨做需要48天完成現(xiàn)在由甲、乙、丙三人同時做，在工作期間，丙休息了整數(shù)天，而甲和乙一直工作至完成，最后完成這項工程也用了整數(shù)天那么丙休息了 天【解析】 設甲、乙工作了天，丙工作了天，則有：，化簡得由于和720都是15的倍數(shù)，所以也是15的倍數(shù)，而，所以，所以丙休息了天【例 13】 （難度等級 ）一件工作，甲獨做要12天，乙獨做要18天，丙獨做要24天.這件工作由甲先做了若干天，然后由乙接著做，乙做的天數(shù)是甲做的天數(shù)的3倍，再由丙接著做，丙做的天數(shù)是乙做的天數(shù)的2倍，終于做完了這件工作.問總共用了多少天？【解析】 解法一：甲做1天，乙就做3天，丙就做3×2=

21、6（天），甲做1天，完成工作量的，乙就完成工作量的，丙就完成工作量的。共完成。天說明甲做了2天，乙做了6天，丙做了12天，三人共做了20天，完成這項工作用了20天.解法二：本題整數(shù)化會帶來計算上的方便.12，18，24這三數(shù)有一個易求出的最小公倍數(shù)72.可設全部工作量為72.甲每天完成6，乙每天完成4，丙每天完成3.總共用了天?！纠?14】 (2007年人大附中考題)一些工人做一項工程，如果能調來16人，那么10天可以完成；如果只調來4人，就要20天才能完成，那么調走2人后，完成這項工程需要 天【解析】 設1個人做1天的量為1，設原來有人在做這項工程，得：，解得：如果調走2人，需要(天)模塊二

22、、工程問題變速問題【例 15】 （難度等級 ）甲、乙兩個工程隊修路，最終按工作量分配8400元工資按兩隊原計劃的工作效率，乙隊應獲5040元實際上從第5天開始，甲隊的工作效率提高了1倍，這樣甲隊最終可比原計劃多獲得960元那么兩隊原計劃完成修路任務要多少天？【解析】 開始時甲隊拿到元，甲、乙的工資比等于甲、乙的工效比，即為；甲提高工效后，甲、乙總的工資及工效比為設甲開始時的工效為“2”，那么乙的工效為“3”，設甲在提高工效后還需天才能完成任務有，化簡為，解得工程總量為，所以原計劃天完成【例 16】 （難度等級 ）(人大附中考題)甲、乙合作一件工程，由于配合得好，甲的工作效率比單獨做時提高，乙的

23、工作效率比單獨做時提高甲、乙兩人合作小時，完成全部工作的，第二天乙又單獨做了小時，還留下這件工作的尚未完成，如果這件工作始終由甲一人單獨來做，需要多少小時？【解析】 乙的工作效率是：，甲的工作效率是：，所以，單獨由甲做需要：(小時)【例 17】 （難度等級 ）（2009年四中小升初入學測試題、2009年第七屆“希望杯”六年級第2試）甲、乙兩人合作清理400米環(huán)形跑道上的積雪，兩人同時從同一地點背向而行各自進行工作，最初，甲清理的速度比乙快，中途乙曾用10分鐘去換工具，而后工作效率比原來提高了一倍，結果從開始算起，經過1小時，就完成了清理積雪的工作，并且兩人清理的跑道一樣長，問乙換了工具后又工作

24、了多少分鐘？【解析】 法一：直接求首先求出甲的工作效率，甲個小時完成了米的工作量，因此每分鐘完成（米），開始的時候甲的速度比乙快，也就是說乙開始每分鐘完成為（米），換工具之后，工作效率提高一倍，因此每分鐘完成（米），問題就變成了，乙分鐘掃完了米的雪，前若干分鐘每分鐘完成米，換工具之后的時間每分鐘完成了米，求換工具之后的時間。這是一個雞兔同籠類型的問題，我們假設乙一直都是每分鐘掃米，那么分鐘應該能掃（米），比實際少了（米），這是因為換工具后每分鐘多掃了（米），因此換工具后的工作時間為（分鐘）.法二：其實這個問題當中的米是一個多余條件，我們只需要根據甲乙兩人工作量相同和他們之間的工作效率之比就可以

25、求出這個問題的答案。我們不妨設乙開始每分鐘清理的量為，甲比他快，甲每分鐘可以清理，分鐘之后，甲一共清理了份的工作量，乙和他的工作總量相同，也是份，但是乙之前的工作效率為，換工具后的工作效率為，和（法一）相同的，利用雞兔同籠的思想，可以得到乙換工具后工作了分鐘。【例 18】 （難度等級 ）（2009年十三分小升初入學測試題）甲、乙兩人同時加工同樣多的零件，甲每小時加工40個，當甲完成任務的時，乙完成了任務的還差40個這時乙開始提高工作效率，又用了小時完成了全部加工任務這時甲還剩下20個零件沒完成求乙提高工效后每小時加工零件多少個？【解析】 當甲完成任務的時，乙完成了任務的還差40個，這時乙比甲少

26、完成40個；當乙完成全部任務時，甲還剩下20個零件沒完成，這時乙比甲多完成20個；所以在后來的小時內，乙比甲多完成了個，那么乙比甲每小時多完成個所以提高工效后乙每小時完成個【例 19】 （難度等級 ）甲、乙兩項工程分別由一、二隊來完成在晴天，一隊完成甲工作要12天，二隊完成乙工程要15天；在雨天，一隊的工作效率要下降，二隊的工作效率要下降結果兩隊同時完成工作，問工作時間內下了多少天雨？【解析】 在晴天，一隊、二隊的工作效率分別為和，一隊比二隊的工作效率高；在雨天，一隊、二隊的工作效率分別為和，二隊的工作效率比一隊高由知，3個晴天5個雨天，兩個隊的工作進程相同，此時完成了工程的，所以在施工期間，

27、共有6個晴天10個雨天方法二：本題可以用方程的方法，在方程解應用題中會繼續(xù)出現(xiàn)?！纠?20】 （難度等級 ）一項工程，甲獨做需10天，乙獨做需15天如果兩人合做，甲的工作效率就要降低，只能完成原來的，乙只能完成原來的現(xiàn)在要8天完成這項工程，兩人合做天數(shù)盡可能少，那么兩人要合做多少天?【解析】 因為甲比乙的工作效率高，又要求合做的天數(shù)盡可能的少，所以除了兩人合作之外，其余工程應由甲單獨完成現(xiàn)設兩人合作天，則甲單獨做8-天，于是得到方程(×80+×90) ×+×(8-)=l，解出=5.所以，在滿足條件下，兩人至少要合作5天【例 21】 （難度等級 ）一項挖土

28、萬工程，如果甲隊單獨做，16天可以完成，乙隊單獨做要20天能完成現(xiàn)在兩隊同時施工，工作效率提高20當工程完成時，突然遇到了地下水，影響了施工進度，使得每天少挖了47.25方土，結果共用了10天完成工程問整工程要挖多少方土?【解析】 甲、乙合作時工作效率為(+)×(1+20%)=則的工程量需÷= (天)，則遇到地下水后，甲、乙兩隊又工作了10-=(天)則此時甲、乙合作的工作效率為÷=遇到地下水前后工作效率的差為: -=，則總工作量為47.25÷=1100方土.【例 22】 （難度等級 ）（2009年第七屆“希望杯”六年級第1試）甲、乙兩個工程隊分別負責兩項

29、工程晴天，甲完成工程需要10天，乙完成工程需要16天；雨天，甲和乙的工作效率分別是晴天時的和實際情況是兩隊同時開工、同時完工那么在施工期間，下雨的天數(shù)是 天【解析】 在晴天，甲、乙兩隊的工作效率分別為和，甲隊比乙隊的工作效率高； 在雨天，甲隊、乙隊的工作效率分別為和，乙隊的工作效率比甲隊高由于兩隊同時開工、同時完工，完成工程所用的時間相同，所以整個施工期間，晴天與雨天的天數(shù)比為如果有8個晴天，則甲共完成工程的，而實際的工程量為1，所以在施工期間，共有個晴天，個雨天模塊三、工程問題方法與技巧（一）整體分析法【例 23】 （難度等級 ）甲、乙兩隊合作挖一條水渠要天完成，若甲隊先挖天后，再由乙隊單獨

30、挖天，共挖了這條水渠的如果這條水渠由甲、乙兩隊單獨挖，各需要多少天？【解析】 法一：甲、乙合作完成工程的需要：(天)甲隊先做天，比合作少了(天)；乙隊后做天，比合作多了(天)，所以甲隊做天相當于乙隊做天，甲、乙兩隊工作效率的比是甲隊單獨工作需要：(天)；乙隊單獨工作需要：(天)。法二：我們知道，甲乙合作，每天可以完成工程的，而題目中給定的“甲隊先挖天，再由乙隊單獨挖天”，相當于甲乙兩隊先合作天，然后再由乙隊單獨挖天，于是兩隊合作天，可以完成工程的，也就是說乙隊天挖了，于是乙隊的工作效率為，那么甲隊的工作效率就是，即甲隊單獨做需要天，乙隊單獨做需要天。工程問題里面也經常用到比例，是因為工程問題的

31、基本數(shù)量關系是乘法關系其實這一點是與工程習慣無關的【例 24】 （難度等級 ）（2008年第六屆小學“希望杯”全國數(shù)學邀請賽六年級第二試，第8題）甲、乙、丙三人生產一批玩具，甲生產的個數(shù)是乙、丙二人生產個數(shù)之和的，乙生產的個數(shù)是甲、丙兩人生產個數(shù)之和的，丙生產了50個。這批玩具共有_個.【解析】 如果直接研究甲、乙、丙三者之間的關系，可能會略顯復雜，我們需要引入一個中間量：甲乙丙三人生產玩具數(shù)量的總和。甲是乙丙和的，則總和為，甲占了份，甲占了總數(shù)的；乙是甲丙和的，同理可知乙占了總數(shù)的，那么可知丙生產的玩具占總數(shù)的，所以總數(shù)是（個）.【例 25】 （難度等級 ）(2008年實驗中學考題)幾個同學

32、去割兩塊草地的草，甲地面積是乙地面積的4倍，開始他們一起在甲地割了半天，后來留下12人割甲地的草，其余人去割乙地的草，這樣又割了半天，甲、乙兩地的草同時割完了，問：共有多少名學生？【解析】 有12人全天都在甲地割草，設有人上午在甲地，下午在乙地割草由于這人在下午能割完乙地的草(甲地草的)，所以這些人在上午也能割甲地的草，所以12人一天割了甲地的草，每人每天割草為，全部的草為甲地草的，所以共有20名學生【鞏固】 （難度等級 ）一批工人到甲、乙兩個工地進行清理工作，甲工地的工作量是乙工地的工作量的倍上午去甲工地的人數(shù)是去乙工地人數(shù)的倍，下午這批工人中有的人去甲工地其他工人到乙工地到傍晚時，甲工地的

33、工作已做完，乙工地的工作還需名工人再做天，那么這批工人有多少人？【解析】 根據題意，這批工人的人數(shù)是12的倍數(shù)，設這批工人有人那么上午有人在甲工地，有人在乙工地；下午有人在甲工地，有人在乙工地所以甲工地相當于人做了一整天；乙工地相當于人做了一整天由于甲工地的工作量是乙工地的工作量的倍，假設甲工地的工作量是3份，那么乙工地的工作量是2份人做一整天完成3份，那么人做一整天完成份，所以乙工地還剩下份這份需要4名工人做一整天，所以甲工地的3份需要人做一整天，即，可得，那么這批工人有(人)【例 26】 （難度等級 ）（2009年第七屆“希望杯”六年級第2試）有兩個同樣的倉庫，搬運完其中一個倉庫的貨物，甲

34、需要6小時，乙需要7小時，丙需要14小時甲、乙同時開始各搬運一個倉庫的貨物，開始時，丙先幫甲搬運，后來又去幫乙搬運，最后兩個倉庫的貨物同時搬完則丙幫甲 小時，幫乙 小時【解析】 整個搬運的過程，就是甲、乙、丙三人同時開始同時結束，共搬運了兩個倉庫的貨物，所以它們完成工作的總時間為小時在這段時間內，甲、乙各自在某一個倉庫內搬運，丙則在兩個倉庫都搬運過甲完成的工作量是，所以丙幫甲搬了的貨物，丙幫甲做的時間為小時，那么丙幫乙做的時間為小時【鞏固】 （難度等級 ）搬運一個倉庫的貨物，甲需小時，乙需小時，丙需小時有同樣的倉庫和，甲在倉庫，乙在倉庫同時開始搬運貨物，丙開始幫甲搬運，中途又轉向幫乙搬運，最后

35、同時搬完兩個倉庫的貨物丙幫助甲、乙各搬運了幾小時？【解析】 甲、乙、丙搬完兩個倉庫共用了：小時，丙幫助甲搬運了小時，丙幫助乙搬運了小時【例 27】 （難度等級 ）甲、乙、丙三隊要完成，兩項工程，工程的工作量是工程工作量再增加，如果讓甲、乙、丙三隊單獨做，完成工程所需要的時間分別是天，天，天現(xiàn)在讓甲隊做工程，乙隊做工程，為了同時完成這兩項工程，丙隊先與乙隊合做工程若干天，然后再與甲隊合做工程若干天問丙隊與乙隊合做了多少天？【解析】 這個問題當中有兩個不同的工程，三個不同的人，因此顯得很難解決，數(shù)學中化歸的思想很重要，即以一個為基準，把其他的量轉化為這個量，然后進行計算，我們不妨設工程的工作總量為

36、單位“1”，那么工程的工作量就是“”，那么這個問題就和例聯(lián)系到了一起了。三隊合作完成兩項工程所用的天數(shù)為：天。天里，乙隊一直在完成工作，因此乙的工作量為，剩下的工作量應該是由丙完成，因此丙在工程上用了天也就是說兩隊合作了天。解題關鍵是把“一項工程”看成一個單位，運用公式：工作效率工作時間工作總量，表示出各個工程隊(人員)或其組合在統(tǒng)一標準和單位下的工作效率【例 28】 （難度等級 ）甲、乙、丙三人同時分別在3個條件和工作量相同的倉庫工作，搬完貨物甲用10小時，乙用12小時，丙用15小時第二天三人又到兩個大倉庫工作，這兩個倉庫的工作量相同甲在倉庫，乙在倉庫，丙先幫甲后幫乙，用了16個小時將兩個倉

37、庫同時搬完丙在倉庫搬了多長時間？【解析】 因為、兩個倉庫的工作量相同，所以甲、乙、丙如果都在其中一個大倉庫工作，那么8小時可以搬完因為甲、乙、丙三人每小時的工作量的比是，所以甲每小時可以完成大倉庫工作量的，丙每小時可以完成大倉庫工作量的那么甲16小時完成了倉庫的，丙在倉庫搬了小時【例 29】 （難度等級 ）一項工程，乙單獨做要天完成如果第一天甲做，第二天乙做，這樣交替輪流做，那么恰好用整天數(shù)完成；如果第一天乙做，第二天甲做，這樣交替輪流做，那么比上次輪流的做法多用半天完工問：甲單獨做需要幾天？【解析】 甲、乙輪流做，如果是偶數(shù)天完成，那么乙、甲輪流做必然也是偶數(shù)天完成，且等于甲、乙輪流做的天數(shù)

38、，與題意不符；所以甲、乙輪流做是奇數(shù)天完成，最后一天是甲做的那么乙、甲輪流做比甲、乙輪流做多用半天，這半天是甲做的如果設甲、乙工作效率分別為和，那么，所以，乙單獨做要用天，甲的工作效率是乙的倍，所以甲單獨做需要天【例 30】 （難度等級 ）一項工程，甲單獨做要12小時完成，乙單獨做要18小時完成若甲先做1小時，然后乙接替甲做1小時，再由甲接替乙做1小時，兩人如此交替工作，請問：完成任務時，共用了多少小時？【解析】 若甲、乙兩人合作共需多少小時？ （小時） 甲、乙兩人各單獨做7小時后，還剩多少？ 余下的由甲獨做需要多少小時？ （小時） 共用了多少小時？ （小時）在工程問題中，轉換條件是常用手法本

39、題中，甲做1小時，乙做1小時，相當于他們合作1小時，也就是每2小時，相當于兩人合做1小時這樣先算一下一共進行了多少個這樣的2小時，余下部分問題就好解決了【鞏固】 （難度等級 ）一件工程，甲單獨做要小時，乙單獨做要小時，如果接甲、乙、甲、乙順序交替工作，每次小時，那么需要多長時間完成？【解析】 甲小時完成整個工程的，乙小時完成整個工程的，交替干活時兩個小時完成整個工程的，甲、乙各干小時后完成整個工程的，還剩下，甲再干小時完成整個工程的，還剩下，乙花小時即分鐘即可完成所以需要小時分鐘來完成整個工程【鞏固】 （難度等級 ）規(guī)定兩人輪流做一個工程，要求第一個人先做1個小時，第二個人接著做一個小時，然后

40、再由第一個人做1個小時，然后又由第二個人做1個小時，如此反復，做完為止如果甲、乙輪流做一個工程需要小時，而乙、甲輪流做同樣的工程只需要小時，那乙單獨做這個工程需要多少小時？【解析】 根據題意，有：，可知，甲做小時與乙做小時的工作量相等，故甲工作2小時，相當于乙1小時的工作量所以，乙單獨工作需要小時【鞏固】 （難度等級 ）蓄水池有一條進水管和一條排水管要灌滿一池水，單開進水管需小時；排光一池水，單開排水管需小時現(xiàn)在池內有半池水，如果按進水，排水，進水，排水的順序輪流各開小時問：多長時間后水池的水剛好排完？(精確到分鐘)【解析】 法一：小時排水比小時進水多，說明排水開了小時后（實際加上進水3小時，

41、已經過去小時了），水池還剩一池子水的，再過小時，水池里的水為一池子水的，把這些水排完需要小時，不到1小時，所以共需要 小時小時分法二：小時排水比小時進水多，說明小時以后，水池的水全部排完，并且多排了一池子水的，排一池子需要小時，排一池子水的需要小時，所以實際需要小時小時分【鞏固】 （難度等級 ）一項工程，甲、乙合作小時可以完成，若第小時甲做，第小時乙做，這樣交替輪流做，恰好整數(shù)小時做完；若第小時乙做，第小時甲做，這樣交替輪流做，比上次輪流做要多小時，那么這項工作由甲單獨做，要用多少小時才能完成？【解析】 若第一種做法的最后一小時是乙做的，那么甲、乙共做了偶數(shù)個小時，那么第二種做法中甲、乙用的時

42、間應與第一種做法相同，不會多小時，與題意不符所以第一種做法的最后一小時是甲做的，第二種做法中最后小時是甲做的，而這小時之前的一小時是乙做的，所以乙甲甲，得乙甲甲、乙工作效率之和為：，甲的工作效率為：， 所以甲單獨做的時間為(小時)【例 31】 （難度等級 ）甲、乙、丙3隊要完成A，B兩項工程B工程的工作量比A工程的工作量多甲、乙、丙3隊單獨完成A工程所需時間分別是20天、24天、30天.為了同時完成這兩項工程，先派甲隊做A工程，乙、丙兩隊共同做B工程；經過幾天后，又調丙隊與甲隊共同完成A工程那么，丙隊與乙隊合作了多少天?【解析】 設A項工程的工程總量為“1”，那么B工程的工程總量為，A、B兩項

43、工程的工程總量為1+=而甲、乙、丙合作時的工作效率為+=，甲、乙、丙始終在同時工作，所以兩項工程同時完成時所需的時間為÷=18(天)在這18天，乙完成18×=的工程量，則B工程中剩下的-=的工程量是由丙幫助完成，即÷=15(天)即丙隊與乙隊合作了15天【例 32】 （難度等級 ）蓄水池有甲、丙兩條進水管和乙、丁兩條排水管，要灌滿一池水，單開甲管需小時，單開丙管需要小時，要排光一池水，單開乙管需要小時，單開丁管需要小時，現(xiàn)在池內有的水，若按甲、乙、丙、丁、甲、乙、丙、丁的順序輪流打開小時，問多少時間后水開始溢出水池？【解析】 甲乙丙丁順序循環(huán)各開小時可進水：，循環(huán)次

44、后水池還空：，的工作量由甲管注水需要：(小時)，所以經過小時后水開始溢出水池【例 33】 （難度等級 ）一件工程甲單獨做小時完成，乙單獨做小時完成現(xiàn)在甲先做小時，然后乙做小時，再由甲做小時，接著乙做小時兩人如此交替工作，完成任務共需多少小時？【解析】 甲、乙交替各做四次，完成的工作量分別為：，此時剩下的工作量為還需甲做(小時)，所以共需(小時)【例 34】 （難度等級 ）甲、乙、丙三人做一件工作，原計劃按甲、乙、丙的順序每人一天輪流去做，恰好整數(shù)天做完，若按乙、丙、甲的順序輪流去做，則比計劃多用半天；若按丙、甲、乙的順序輪流去做，則也比原計劃多用半天已知甲單獨做完這件工作要天，且三個人的工作效

45、率各不相同，那么這項工作由甲、乙、丙三人一起做，要用多少天才能完成？【解析】 首先應確定按每一種順序去做的時候最后一天由誰來完成如果按甲、乙、丙的順序去做，最后一天由丙完成，那么按乙、丙、甲的順序和丙、甲、乙的順序去做時用的天數(shù)將都與按甲、乙、丙的順序做用的天數(shù)相同，這與題意不符；如果按甲、乙、丙的順序去做，最后一天由乙完成，那么按乙、丙、甲的順序去做，最后由甲做了半天來完成，這樣有，可得；而按丙、甲、乙的順序去做，最后由乙做了半天來完成，這樣有，可得那么，即甲、乙的工作效率相同，也與題意不合所以按甲、乙、丙的順序去做，最后一天是由甲完成的那么有，可得，這項工作由甲、乙、丙三人一起做，要用天【

46、例 35】 （難度等級 ）甲、乙、丙三人完成一件工作，原計劃按甲、乙、丙順序每人輪流工作一天，正好整數(shù)天完成，若按乙、丙、甲的順序每人輪流工作一天，則比原計劃多用天；若按丙、甲、乙的順序每人輪流工作一天，則比原計劃多用天已知甲單獨完成這件工作需天問：甲、乙、丙一起做這件工作，完成工作要用多少天？【解析】 以甲、乙、丙各工作一天為一個周期，即3天一個周期容易知道，第一種情況下一定不是完整周期內完成，但是在本題中，有兩種可能，第一種可能是完整周期天，第二種可能是完整周期天如果是第一種可能，有，得然而此時甲、乙、丙的效率和為，經過4個周期后完成，還剩下，而甲每天完成，所以剩下的不可能由甲1天完成，即

47、所得到的結果與假設不符，所以假設不成立再看第二種可能：完整周期不完整周期完成總工程量第一種情況個周期甲1天，乙1天“1”第二種情況個周期乙1天，丙1天，甲天“1”第三種情況個周期丙1天，甲1天，乙天“1”可得，所以，因為甲單獨做需天，所以工作效率為，于是乙的工作效率為，丙的工作效率為于是，一個周期內他們完成的工程量為則需個完整周期，剩下的工程量；正好甲、乙各一天完成所以第二種可能是符合題意的于是，根據第二種可能得出的工作效率，甲、乙、丙合作一天完成的工程量是，所以三人合作完成工作需要天（二）等量代換法【例 36】 （難度等級 ）一項工程，甲、乙、丙三人合作需要13天完成.如果丙休息2天，乙就要

48、多做4天，或者由甲、乙兩人合作1天.問這項工程由甲獨做需要多少天？【解析】 丙2天的工作量，相當乙4天的工作量.丙的工作效率是乙的工作效率的4÷2=2（倍），甲、乙合作1天，與乙做4天一樣.也就是甲做1天，相當于乙做3天，甲的工作效率是乙的工作效率的3倍.乙做13天，甲只要天，丙做13天，乙要26天，而甲只要天他們共同做13天的工作量，由甲單獨完成，甲需要天【例 37】 （難度等級 ）抄一份書稿，甲每天的工作效率等于乙、丙二人每天的工作效率的和；丙的工作效率相當甲、乙每天工作效率和的如果3人合抄只需8天就完成了，那么乙一人單獨抄需要多少天才能完成？【解析】 已知甲、乙、丙合抄一天完成

49、書稿的，又已知甲每天抄寫量等于乙、丙兩人每天抄寫量之和，因此甲兩天抄寫書稿的，即甲每天抄寫書稿的；由于丙抄寫5天相當于甲乙合抄一天，從而丙6天抄寫書稿的，即丙每天抄寫書稿的；于是可知乙每天抄寫書稿的-.所以乙一人單獨抄寫需要1÷=24天才能完成【例 38】 （難度等級 ）一項工程，甲獨做天完成，甲天的工作量，乙要天完成兩隊合做天后由乙隊獨做，還要幾天才能完成？【解析】 法一：我們把工程看作兩個人分別完成的，那么顯然，甲在其中只工作了2天，剩下的都是乙完成的。甲完成整個工作需要6天，除去自己完成的2天以外，剩下工作量甲需要4天完成，乙的工作效率是甲的，因此甲4天完成的量，乙需要天完成，

50、除去與甲合作的2天以外，乙還要做天。法二：甲的工作效率為，所以乙的工作效率為兩隊合作2天后乙隊獨做還要天才能完成【例 39】 （難度等級 ）打印一份書稿，甲按規(guī)定時間可提前2天完成，乙則要超過規(guī)定時間3天才能完成如果甲、乙合做2天，剩下的由乙獨做，那么剛好在規(guī)定時間內完成甲、乙兩人合做需要幾天完成？【解析】 根據“甲按規(guī)定時間可提前2天完成，乙則要超過規(guī)定時間3天才能完成如果甲、乙合做2天，剩下的由乙獨做，那么剛好在規(guī)定時間內完成”，可知甲做2天的工作量等于乙做3天的工作量，所以完成這項工作甲、乙所用的時間比是另外，由于甲、乙單獨做，乙用的時間比甲多天，所以乙獨做需要的天數(shù)是：(天)，甲獨做需

51、要(天)，甲、乙合做需要(天)【例 40】 （難度等級 ）一項工程，如果甲先做5天，那么乙接著做20天可以完成；如果甲先做20天，那么乙接著做8天可以完成如果甲、乙合作，那么多少天可以完成？【解析】 本題沒有直接給出工作效率，為了求出甲、乙的工作效率，我們先畫出示意圖：從圖中可以直觀地看出：甲15天的工作量和乙12天的工作量相等，即甲5天的工作量等于乙4天的工作量于是可用“乙工作4天”等量替換題中“甲工作5天”這一條件，通過此替換可知乙單獨做這一工程需要(天)完成，即乙的工作效率是又因為乙工作4天的工作量和甲工作5天的工作量相等，所以甲的工作效率是乙的，為，那么甲、乙合作完成這一工程需要的時間

52、為(天)【鞏固】 （難度等級 ）一件工作甲先做小時，乙接著做小時可以完成；甲先做小時，乙接著做小時也可以完成如果甲做小時后由乙接著做，還需要多少小時完成？【解析】 根據題意可知，甲做小時的工作量等于乙做小時的工作量， 可見甲做1小時的工作量等于乙做3小時的工作量那么可以用乙做3小時來代換甲做1小時，可知乙完成全部工作需要小時，甲先做的3小時相當于乙做了9小時，所以乙還需要小時【鞏固】 （難度等級 ）一份文件，如果甲抄10小時，乙抄10小時可以抄完；如果甲抄8小時，乙抄13小時也可以抄完現(xiàn)在甲先抄2小時，剩下的甲、乙合作，還需要幾小時才能完成？【解析】 由題意可知，甲、乙合作的效率為；將甲抄8小

53、時，乙抄13小時，轉化為甲乙和抄8小時，乙單獨抄5小時，則乙單獨工作的效率為， 所以甲單獨工作的效率甲、乙兩人的工作效率之比為甲先抄2小時，這2小時的工作量如果兩人合作，需要小時，所以剩下的工作量由甲、乙合作，還需要小時【例 41】 （難度等級 ）(2008年北大附中“資優(yōu)博雅杯”數(shù)學競賽)一項工程，甲先做若干天后由乙繼續(xù)做，丙在工程完成時前來幫忙，待工程完成時離去，結果恰按計劃完成任務，其中乙做了工程總量的一半如果沒有丙的參與，僅由乙接替甲后一直做下去，將比計劃推遲天完成；如果全由甲單獨做，則可比計劃提前天完成還知道乙的工作效率是丙的倍，問：計劃規(guī)定的工期是多少天？【解析】 丙在工程完成一半

54、時前來幫忙，待工程完成時離去，所以乙、丙合做了全部工程的；如果丙不來幫忙，這的工程由乙獨做，那么乙完成這的工程時間將比乙、丙合做多用天由于乙的工效是丙的工效的3倍，乙、丙合做的工效之和為乙獨做的倍，那么乙獨做所用的時間為乙、丙合做所用時間的倍，所以乙、丙合做這的工程所用的時間為天那么乙的工效為由于在丙來幫忙的情況下乙共做了工程總量的一半，所以乙工作的天數(shù)為天，其中有10天是乙、丙在合做，另外10天(被分成了前后兩段)乙一個人獨做那么乙、丙共完成了全部工程的，根據題意，這的工程如果由甲獨做，只需要天，那么甲的工效為甲完成全部工程需要24天由于全部由甲獨做可比計劃提前6天完成，所以原計劃工期是天（

55、三）比例法【例 42】 （難度等級 ）一批零件平均分給甲、乙兩人同時加工，兩人工作小時，共完成這批零件的。已知甲與乙的工作效率之比是，那么乙還要幾小時才能完成分配的任務？【解析】 乙小時完成總工作量的；乙每小時完成總工作量的；乙需要完成的總工作量為；乙要完成這個任務還需要的時間：（小時）【例 43】 （難度等級 ）一項工程，甲15天做了后，乙加入進來，甲、乙一起又做了，這時丙也加入進甲、乙、丙一起做完已知乙、丙的工作效率的比為3：5，整個過程中，乙、丙工作的天數(shù)之比為2：1，問題中情形下做完整個工程需多少天? 【解析】 方法一：先把整個工程分為三個階段：；且易知甲的工作效率為又乙、丙工作的天數(shù)

56、之比為(+)：=2：1，所以有階段和階段所需的時間相等即甲、乙合作完成的的工程與甲、乙、丙合作完成的工程所需的時間相等所以對于工作效率有：(甲+乙)×2=(甲+乙+丙)，甲+乙=丙，那么有丙-乙=又有乙、丙的工作效率的比為3：5易知乙的工作效率為丙的工作效率為：那么這種情形下完成整個工程所需的時間為：天.方法二：顯然甲的工作效率為設乙的工作效率為，那么丙的工作效率為所以有乙工作的天數(shù)為丙工作的天數(shù)為且有即解得所以乙的工作效率為丙的工作效率為高那么這種情形下完成整個工程所需的時間為：天.【例 44】 （難度等級 ）甲、乙、丙三村準備合作修筑一條公路，他們原計劃按派工，后因丙村不出工，將他承擔的任務由甲、乙兩村分擔，由丙村出工資360元，結果甲村共派出45人，乙村共派出35人，完成了修路