一個求回歸直線方程的簡單方法

1、一個求回歸直線方程的簡單方法科技信息高校理科研究一個求回歸直線方程明簡單方法華北電力大學(xué)柳燕摘要求回歸直線方程是統(tǒng)計學(xué)中經(jīng)常用到的一個統(tǒng)計方法,大量的數(shù)據(jù)處理也可以有一些簡單的方法,例如利用常用的數(shù)學(xué)記號,經(jīng)過推導(dǎo)與整理,便得到了簡潔易用的公式.關(guān)鍵詞統(tǒng)計分析回歸直線方程相關(guān)性由于自然界中的許多事物間都包含著某種相互依存的內(nèi)部規(guī)律,這種聯(lián)系反映到數(shù)學(xué)上,就是變量間的關(guān)系.變量的關(guān)系分為兩大類:有確定性關(guān)系和非確定性關(guān)系.數(shù)學(xué)的任務(wù)之一就是從數(shù)量上來解釋和分析這些關(guān)系.回歸分析就是一種處理變量與變量間相互關(guān)系的數(shù)學(xué)方法,也是數(shù)據(jù)處理中最為常用的一種統(tǒng)計方法.它是用數(shù)學(xué)方法從大量觀測數(shù)據(jù)中找出變量

2、間近似關(guān)系的定量表達式,并由此利用這個定量表達式去研究我們所未知的東西.研究兩個變量間的相互關(guān)系的,稱為一元回歸分析,在回歸分析中,最簡單也是最基本的情形是線性回歸,而一元線性回歸所要找尋的是與變量相匹配的線性回歸直線.這里,我們用計算器上的統(tǒng)計鍵就可以輕而易舉地得到這條直線方程.回歸的發(fā)現(xiàn)源自于19世紀(jì)末期對社會統(tǒng)計學(xué)的研究.那時,統(tǒng)計學(xué)家發(fā)現(xiàn),有許多數(shù)據(jù)都與正態(tài)曲線擬合的很好.但是這無所不在的正態(tài)性卻給高爾登帶來了一個困惑,他發(fā)現(xiàn)親子兩代各自的身高數(shù)據(jù),都遵從同一的正態(tài)分布,但理論上,遺傳把一種性態(tài)(例如身高)的優(yōu)勢傳遞給下一代,則應(yīng)該在后代中出現(xiàn)兩極分化,即高個子的后代個子更高,矮個子的

3、后代個子更矮,或者說,高個子與矮個子的比例應(yīng)該日漸增加,而中等身材的比例應(yīng)該日漸下降,但事實卻是一代代的身高始終呈現(xiàn)出穩(wěn)定的正態(tài)分布.怎么解釋這一現(xiàn)象呢?為此,高爾登想出了一個正態(tài)漏斗試驗,現(xiàn)在又稱為:高爾登釘板試驗.這個實驗使高爾登發(fā)現(xiàn)了在親子代間性狀的遺傳中,性狀有向中心回歸的現(xiàn)象,也就是說,雖然高個子的后代平均來說要高些,但卻不如其親代那么高,總會向平均身高的方向回歸一些.這既是回歸的含義,也是回歸這個概念的出處.接下來的工作是他在分析一些統(tǒng)計學(xué)的數(shù)據(jù)時注意到,若數(shù)據(jù)都取統(tǒng)計尺度,則可存在著兩條斜率相同的回歸直線.而其斜率可以作為兩組變量的相關(guān)緊度,就是我們現(xiàn)在所說的相關(guān)系數(shù).高爾登利用

4、散點圖去估計相關(guān)系數(shù),并在圖中指示了這些點理論上落在直線上.這條直線就是我們要求的線性回歸直線.現(xiàn)在求線性回歸直線是一件簡單的事,有那么多的統(tǒng)計軟件,數(shù)據(jù)輸入計算機,所求的直線也就得到了.這里介紹的是僅憑一個小小的計算器上的統(tǒng)計健,求出回歸直線方程的簡單方法.設(shè)兩個隨機變量x與Y之間存在著某種相關(guān)關(guān)系.對于x取定的一組值x,作獨立試驗,得到Y(jié)所對應(yīng)的一組值Y,即得到n對觀測值x.,Y.),(i=l2-.,n1,又稱為一組樣本值.利用散點圖,可以看出這些點之間大致的位置關(guān)系,若近似地呈直線狀,那么它們之間可成一線性關(guān)系,因為可以想象,這些點散布在一條直線附近.在這些點附近的直線很多,究竟選取哪一

5、條是最佳的呢?這可用最小二乘法解決,即取與觀測數(shù)據(jù)離差的平方和最小的那條直線,這條直線就稱為Y與x的回歸直線.不妨設(shè)Y=a+bX,對應(yīng)于每個記Y,=a+bx,則離差的平方和:Q(a,b1=(y.一0:(y,一bx),l=Iixl于是將求回歸直線問題轉(zhuǎn)化為求Q(a,b)的最小值問題.即求使一aQ(a,b):2一a-b【i)(一1):0曲:時的與baQ(.a,b)一:22(yi-a-bxi)(一xJ=0OD_=】引入記號:_-I1i=l,_=ni=y.,r=12,s2=12(x.一x-)fa+b則上式可整理并變形為_a窆2ibI從而解得:b:,a=7-bS1這個經(jīng)過變形整理后的公式,僅含有樣本均值

6、和樣本方差的形式:i,取s,用計算器上的統(tǒng)計鍵完全可以輕易地算出.確定了a,b之后,所求的回歸直線方程也就有了:Y=a+bX.例如某種水生植物生長的時間與身長間的關(guān)系如下生長時間x(天)510203040506090120身長Y(厘米)48l31617l9252946試求它們之間的回歸直線.先作散點圖,從圖中大致可以判斷這些點之間的關(guān)系呈線性關(guān)系.令回歸直線方程為:y=a+bx用計算器中的統(tǒng)計鍵可得出樣本均值,y-,及樣本方差S,這里,2247.2,7=19.67,_-1344.4,Sl=35.8故一b=Sl1344.4-47.22x19.67:0.324635.8a=y-b_19.670.3

7、246x47.2=4.35故所求的回歸直線方程為:y=4.35+0.3246x.這個過程比一般教科書上給的方法要簡便易用,而且也不繁瑣,單純從求回歸直線方程而言,應(yīng)該已經(jīng)化到了最簡.其實數(shù)學(xué)就是這樣,當(dāng)你很好地利用它的記號時,它有時會給你帶來意想不到的簡潔與規(guī)律.(上接第86頁)芯片成本,數(shù)據(jù)傳輸?shù)目炻?3,鍵盤模塊無線式評分器需要由一個界面來進行信息的錄入,我們選擇了鍵盤電路來達到這一要求.鍵盤電路有很多種,有的很復(fù)雜,需要的技術(shù)含量很高.而無線通信評審系統(tǒng)的鍵盤不需要太復(fù)雜.具體要求如下:(1)具有0至9,上翻,下翻,完畢,確定,刪除,棄權(quán)等鍵.(2)若輸入數(shù)字錯誤,可按刪除鍵修改,按確

8、定鍵數(shù)據(jù)傳送到無線數(shù)據(jù)采集器.(3)采用4位大液晶顯示.(4)電池供電,具有3級電池電量顯示.(5)具有數(shù)據(jù)發(fā)送成功指示.(6)室內(nèi)接收距離:200米,室外接收距離:300米.4,顯示模塊在儀器儀表電路設(shè)計中,人機交互界面是必不可少的環(huán)節(jié),現(xiàn)階段儀器儀表中通常使用的是LCD技術(shù),LCD顯示技術(shù)獲得廣泛應(yīng)用的原因是:(1)價格低廉;(2)顯示信息清晰醒目;(3)對儀器儀表系統(tǒng)資源占用相對較少;(4)能量消耗相對較小,電源電路簡單.利用智能型LCD顯示控制器,可以構(gòu)成較復(fù)雜的儀器儀表人機顯示界面,相對提高人機界面的友好程度,減少對儀器儀表系統(tǒng)軟硬件資源的占用,提高儀器工作的可靠性,因而是儀器儀表系統(tǒng)人機界面的一種良好的構(gòu)成方案.5,看門狗在控制系統(tǒng)中,由于微機電路本身的特點,它一旦因干擾或電源電壓不正常使程序失控,即使干擾消除,電壓恢復(fù)正常,微機也不會自動恢復(fù)正常,必須要人工干涉.而在許多場合系統(tǒng)控制的工作是處于無人職守的狀態(tài),這時就需要看門狗電路,它能在異常狀態(tài)下實現(xiàn)對系統(tǒng)的自動復(fù)位.此評分器通過無線通信芯片來接收和發(fā)送數(shù)據(jù),由LCD液晶電路來顯示數(shù)據(jù),由鍵盤電路來錄入信息,并通過一個看門狗電路來對此進行監(jiān)測