正余弦定理的應(yīng)用同步分層能力測試題蘇教版必修

1、正余弦定理的應(yīng)用-同步分層能力測試題A組一填空題(本大題共8小題，每小題5分，共40分)1某人朝正東方向走了 x km后，向左轉(zhuǎn)1500后，再向前走了 3 km，結(jié)果他離出發(fā)點(diǎn)恰好3 km，那么 x=。1 .3或2 3 提示：由余弦定理知 3=x2+32-6xcos30，解得x= 3或2 . 3 .2.在 ABC中，已知2sinAcosB=sinC,那么 ABC的形狀是 三角形。2. 等腰。提示：由 2sinAcosB=sinC,知 2sinAcosB=sin(A+B),2sinAcosB=sinAcosB+cosAsinB.即 cosAsinB-sinAcosB=0. /. sin(B-A)

2、=0 , /. B=A.3一飛機(jī)沿水平方向飛行，在位置A處測得正前下方地面目標(biāo)C的俯角為30 ,向前飛行了 10000米，到達(dá)位置 B時(shí)測得正前下方地面目標(biāo) C的俯角為75,這時(shí)飛機(jī)與地面目 標(biāo)的距離為米.3. 5000 2。 提示：由正弦定理得 丄四畀=-匚，得x= 5000 .2 .sin 450 sin 304. 在平行四邊形 ABCD中，已知AB=1 , AD=2 , AB AD =1，則| AC |= 14. 7。提示： AB AD =| AB I I AD I cos A =1，得 cosA= 1 ,a=60 0.故 B=1200。由余弦定 理知：AC2=12+22-4cos120

3、0=7, | AC |=、7 .5. 在一次抗洪搶險(xiǎn)中，某救生艇發(fā)動機(jī)突然發(fā)生故障停止轉(zhuǎn)動，失去動力的救生艇在洪水 中漂行，此時(shí)，風(fēng)向是北偏東30，風(fēng)速是20 km/h ;水的流向是正東，流速是20km/h，若不考慮其他因素，救生艇在洪水中漂行的速度的方向?yàn)楸逼珫| km/h.5.60 ， 20 ,3。提示：解法一：如圖1，/ AOB=60,由余弦定理知 oC=202+202-800cos120 0=1200,故 OC=20、3。解法二：實(shí)質(zhì)求|OA OB |,平方即可。ABC 的兩邊 AB 和 BC，且/ ABC=1206. 把一 30厘米的木條鋸成兩段，分別做鈍角三角行AB=時(shí)，才能使第三條

4、邊 AC最短。6. 15.提示：在厶 ABD中，設(shè) AB=x (0v xv 30) 由余弦定理，得2 2 2 0 2 2AC =x (30-X) 2x ( 30-x ) cos120 =900-30x+x = ( x 15)+675，所以把AB鋸成15厘米時(shí)第三條邊AC最短2 2 27.在厶 ABC 中，邊a,b,c 的對角分別為A、B、C,且rSArtC-rSA isC=risB。則角B=。14 / 9ji7.3提示：由正弦定理可設(shè)sin A sinc=k.B sin Csin A =a,sin B =b,sin C c kkk代入已知式，可得a2 c2 -b2 = ac ,a2 + c2

5、_b2由余弦定理，cosB二2ac2ac 2如圖2,在四邊形ABCD中,已知 AHCD, AD=10, AB=14,MBDA=60, /BCD=135 ,貝y bc=。8.8. 2。提示：在 ABD中，設(shè) BD=x貝U BA2 二 BD2 AD2 -2BD AD cos. BDA2 2 2即 14 =x 10 -2 10x cos60整理得：x210x96 =0，解之：x1 =16 , x2 二-6 (舍去)。由正弦定理： BCBD BC 16 sin30 =8.2。si nNCDB si nN BCDsin 135解答題（本大題共4小題，共54分）9在奧運(yùn)會壘球比賽前， C國教練布置戰(zhàn)術(shù)時(shí)，

6、要求擊球手以與連結(jié)本壘及游擊手的直線成15方向把球擊出，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，通常情況下，球速為游擊手最大跑速的4倍，問按這樣布置，游擊手能否接著球？解.如圖3:設(shè)接球點(diǎn)為B, O為守壘，A為游擊手出發(fā)點(diǎn)OB _ ABsi n_OABsi n15OB sin15sin OAB 二 ABvt 6 r；.26 - .2 1,vt 44故不能接著球.圖310. 在 A ABC中，b=asinC 且 c=asin(90 -B)，判定 ABC的形狀。解：T c=asin(90 -B)=acosB= aa2 c2 -b2a2 c2 -b22ac2c= a2 c2 - b2 =2c2= a2 = c2 b A是直角;又

7、a csin A sin CA是直角=sin A二ca =sin C由條件b = a sinCc = asin C綜上得 ABC是等腰直角三角形。11.平面內(nèi)三個(gè)力Fl,F2,F3作用于同丄點(diǎn)0且處于平衡狀態(tài)，已知Fl,F2的大小分別為1kg，6 解得cot B = 2,從而tan B . kg，F(xiàn)i、F2的夾角是45 ，求F3的大小及F3與Fi夾角的大小211.解 如圖4，設(shè)Fi與F2的合力為F，則|F|=|F 3|.vZF iOF2=45FF 10=135 .在厶ORF中，由余弦定理|0F |2弓0斤 |2 IF1F |2 -2|0F1 IIF1F | COS135 =4 2 3 .I O

8、F |=1 3，即 |F3 | = . 31.又由正弦定理，得 sin Fl0FF1Fjsin FF10 _1 .1-|0F |2/F10F=3O 從而 F1與F3的夾角為150.圖4答：F3的大小是（.3+1） kg,F1與F3的夾角為150.12.在. ABC中，.A、. B、. C所對的邊長分別為a、b、c,設(shè)a、b、c滿足條件b2 亠 c2 be = a2 和 C =1 .3，求一 A 和 ta n B 的值。b 2解法由余弦定理cos A =b2c22-a2bc因此，/A =60 在厶 ABC 中，/ C=180 -Z A-Z B=120 -Z B.由已知條件，應(yīng)用正弦定理2b si

9、n C sin Bsin(120 -B)sin B解法二：由余弦定理cos A =b2c2 a22bcsin 120 cosB -cos120 sin B .31=cot B +,sin B22因此，一A = 60，由 b2 c2 - be = a2 ,得(汁1 (b)2 十1 4、3 3-3154所以b2/31由正弦定理 sin B sin A = : 一aJ1525由式知a b,故/ b / A，因此/2 2B為銳角，于是cos B = 1 - sin B =v15從而tan B =sin B cosB說明 求.A的關(guān)鍵是利用余弦定理的變式:cosA=2 2 2 b c -a。另外，在三角

10、形中內(nèi)2bc角和為180也是常用的一個(gè)結(jié)論。 備選題：1為了測河寬，在一岸邊選定兩點(diǎn) A和B ,望對岸的標(biāo)識物C,測得/ CAB=45 , / CBA=75 ,AB=120米，則河寬=。1. 60+20 3.提示：把AB看成河岸，要求的河寬就是C到AB的距離，也就是ABC的_ _一120sin 45f邊AB上的高。在 ABC中，有正弦定理，得 BC= 一二=40 b c,所以最大角為 A=1200。 圖7由余弦定理，得b2 +c2 _a21cos1200 =-，結(jié)合 a-b=4 , a+c=2b?？山獾?a=14。22bc5.如圖，測量河對岸的塔高 AB時(shí)，可以選與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測

11、點(diǎn) C與D 測得 BCD =15, BDC = 300, CD = 30米，并在點(diǎn) C測得塔頂A的仰角為600,則塔高AB= 5.15 .6。提示：如圖 8，在 BCD 中,CBD =180 -15 -30 =135。由正弦定理得BCCDsin BDC si n CBD圖8所以BC =30sin 30sin 135在 Rt ABC 中，AB 二 BCtan ACB = 15、2 tan60 =15、6 (m)。6.江岸邊有一炮臺高 30米，江中有兩條船，由炮臺頂部測得俯角分別為45和30，而且兩條船與炮臺底部連線成300角，則兩條船相距米。6. 15 . 10。提示：設(shè)炮臺頂位置為 A,炮底為

12、0,兩船位置分別為 B、G在Rt A OB中，BO=30米，在 Rt A 0B中，A0=30 3米，在 BOA中，由余弦定理，得2 B&nSO230.3 -30 30 3sin3O=2250,所以 BC=15 . 10 米。解答題（本大題共2小題，共36分）7.在厶 ABC 中，角 A, B , C 的對邊為 a,b,c，向量 m =(2cos ，-sin(A - B),2n 二(cos, 2sin( A B) , m 丄 n .2(1) 求角c；2 2 1 2(2) 若 a -b-c，試求 sin(A-B)的值.2解:C(1 )由 m n = 0得 2cos22sin 2(a B) = 02

13、1 cosC - 2(1 - cos2 C) = 02I2 cos C cosC -1 = 0 即 cosC = -1, cosC =- 2因?yàn)?0 :：: C :：二，所以 c = 600 .abc(2)法一：由正弦定理可設(shè)=k ,sin A sin B sin C2 丄 2.2.,2 丄 22a a +c -b b b +c -a sin( A-B)二sin AcosBsin BcosA 二一一一k 2ac k 2bc2(a2 -b2)c22ck 一 2ckc 1=-sin C2k 2個(gè)為a2-b2法二：由 a2 =b2 c2 有 Sin2 A = s in2 B si n2C ,再利用

14、A =120 -B 求解.2 28.如圖所示，在海岸 A處發(fā)現(xiàn)北偏東45方向，距A處（.3-1）海里的B處有一艘走私船，在 A 處北偏西75方向，距A處2海里的C處的我方緝私船， 奉命以10-.3海里/小時(shí)的速度追截走私船，此時(shí)走私船正 以10海里/小時(shí)的速度，從 B處向北偏東30方向逃竄.問：緝私船應(yīng)沿什么方向行駛才能最快截獲走私船？并求出所需時(shí)間A圖 13-2-98解 設(shè)緝私船應(yīng)沿CD方向行 駛t小時(shí)，才能最快截獲（在 D點(diǎn)）走私船,則CD=10 3t海里，BD=10t海里.在 ABC中，由余弦定理，得BC2=AB2+AC2- 2AB AC cosA=(.3 -1)222 -2(.3 -1

15、廠 2 cos120 =6, BC= 6 海里。又BCsin AACsin ABCAC sin A _ 2 sin120 _ .,2BC 一 ,6_ 2/ ABC=45 ,. B點(diǎn)在C點(diǎn)的正東方向上,/ CBD=90 +30 =120。在厶BCD中，由正弦定理得BD _ CDsin BCD - sin C B D sin BCDBD sin CBDCD10t sin1201210、3t/ BCD=30 ,緝私船應(yīng)沿北偏東 60的方向行駛。又在 BCD 中，/ CBD=120。，/ BCD=30 ,/ D=30 BD=BC，即 10t = t=小時(shí) 15 分鐘。10緝私船應(yīng)沿北偏東 60的方向行

16、駛，才能最快截獲走私船，大約需要15分鐘.備選題：1.某人在草地上散步，看到他西南有兩根相距6米的標(biāo)桿，當(dāng)他向正北方向步行 3分鐘后，看到一根標(biāo)桿在其南方向上，另一根標(biāo)桿在其南偏西30方向上，此人步行的速度是.1. 3 +、3。提示：如圖所示，A、B兩點(diǎn)的距離為6米，當(dāng)此人沿正北方向走到 C點(diǎn)時(shí)，測得/ BCO =45 , /ACO =30 ,/ BCA =/ BCO-Z ACO =45 30 =15 .由題意，知/ BAC =120，/ ABC =45 .在厶ABC中，由正弦定理，得:AC = ABsin ABC si n BCA即有AC =AB sin ABCsin BCA6 sin45

17、=6 3 + 6. sin 15在直角三角形 AOC中，有：OC = ACcos30 = ( 6.3 + 6)x -=9 + 3 3 .2一、9 + 3 3j設(shè)步行速度為x米/分，則x = :一 = 3 + , 3 4.7 .3即此人步行的速度為 4.7米/分.tan A 2c2.在 ABC中，角A, B, C所對邊分別為a, b, c,且1二仝.tan B b(I)求角 A; (n)若 m =(0, -1), n= cosB, 2cos2 C，試求 |m n|的最小值.tanA 2c “ sin AcosB 2sinC解：(I)由正弦疋理得，11 -tanB b sin BcosA sinB即 sinBcosA+si