概率論解析答案習(xí)題解答

1、第二章隨機(jī)變量及其分布I教學(xué)基本要求1、了解隨機(jī)變量的概念以及它與事件的聯(lián)系；2、理解隨機(jī)變量的分布函數(shù)的概念與性質(zhì)；理解離散型隨機(jī)變量的分布列、連續(xù)型隨 機(jī)變量的密度函數(shù)及它們的性質(zhì)；3、掌握幾種常用的重要分布：兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布、泊松分布、均勻分布、指數(shù)分布、 正態(tài)分布，且能熟練運(yùn)用；4、會求簡單隨機(jī)變量函數(shù)的分布 .II習(xí)題解答A組1、 檢查兩個產(chǎn)品，用T表示合格品，F(xiàn)表示不合格品，則樣本空間中的四個樣本點(diǎn)為(FF)、，2=(T,F)、3 =(F,T)、4 =(T，T)以X表示兩個產(chǎn)品中的合格品數(shù).(1) 寫出X與樣本點(diǎn)之間的對應(yīng)關(guān)系；(2) 若此產(chǎn)品的合格品率為p，求p(X =d) ？

2、解: (1) - 0、2 1、 3 1、 '4 2 ； p(X =1)=c2p(1-p)=2p(1-p).2、下列函數(shù)是否是某個隨機(jī)變量的分布函數(shù)？0x c -21(1) F (x)2 乞 x ： 0 ；1x_01 F(x) 2(一二：x ：:).1 +x解：(1)顯然F(x)是單調(diào)不減函數(shù)；0_F(x)_1，且F(：)=0、F( = )=1 ；F(x 0)二F(x)，故F(x)是某個隨機(jī)變量的分布函數(shù) 由于F( = ) =0=1，故F(x)不是某個隨機(jī)變量的分布函數(shù)3、設(shè)X的分布函數(shù)為F(x) +x 一0x : 0求常數(shù)A及p(： X <3) ?解：由 F(：)=1 和 lim

3、 A(1 _e) =A得 x_jbcA =1 ；p(1：X 乞3) =p(X 乞 3) p(X 叮)=F(3) - F(1)=(仁e3) _(1 _e)=e_e.4、設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為0x乞0F(x)二 Ax20 ： x 乞11x 1求常數(shù)A及p(0.5 ： X乞0.8) ?解:由 F(1 0) =F(1)得A=1 ;p(0.5 ：X E0.8) =p(X 乞0.8) p(X 乞 0.5) =F(0.8) F(0.5)= 0.80.50.39.5、設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為p(X =k) a (k= 1, 2, N,)N求常數(shù)a ？-be解：由v Pj -1得i 1k =1 N= a =1.

4、6、一批產(chǎn)品共有100個，其中有10個次品，求任意取出的5個產(chǎn)品中次品數(shù)的分布列？ 解：設(shè)X表示5個產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X是離散型隨機(jī)變量，其所有可能取值為0、1、5,且0 5 1 4 2 3 3 2C10 C90C10 C90C10C90C10 C90p(X =0)-、p(X =1)、p(X=2)、p(X=3)C100C100C100C1004150C10C90C10C90C100p(X =4)、p(x =5)尹-C100于是X的分布列為k 5 _kC10C90p(X 二 k)-CC100(k =0,1川 1,5).7、設(shè)10件產(chǎn)品中有2件次品，進(jìn)行連續(xù)無放回抽樣，直至取到正品為止，以 抽樣次

5、數(shù)，求(1) X的分布列；(2) X的分布函數(shù)？解：(1)由題意知X是離散型隨機(jī)變量，其所有可能取值為1、2、3，且84288218p(X =1)、 p(X =2)、 p(X =3)=105109451098于是X的分布列為X表示(2)由(1)可知F(x)才45444518、設(shè)隨機(jī)變量00.2 IF(x)=二0.30.5145X123p48154545的分布函數(shù)為x _3的分布函數(shù)為x ： -1一1 _ x ： 111求X的分布列？解：X的分布列為Xpx -3-10.210.120.230.5恰有2個設(shè)備被使用的概率； 至少有3個設(shè)備被使用的概率; 至多有3個設(shè)備被使用的概率?9、某大樓裝有5

6、個同類型的供水設(shè)備，調(diào)查表明在任一時刻每一設(shè)備被使用的概率為 0.1，求在同一時刻(1)(2)(3)解:(1)恰有2個設(shè)備被使用的概率為設(shè)X表示被同時使用的供水設(shè)備數(shù)，則X b(5,0.1)p(X =2) =C；(0.1)2(0.9)3 =0.0729 ；(2)至少有3個設(shè)備被使用的概率為p(X _ 3) = p(X = 3) p(X = 4) p(X = 5)= C；(0.1)3(0.9)2 C4(O.1)4(O.9) C?(O.1)5(O.9)0 =0.00856;(3) 至多有3個設(shè)備被使用的概率為p(X 乞3)=1 p(X =4) p(X =5)=1 -C；(0.1)4 (0.9) -

7、C5(0.1)5(0.9)0 =0.99954.10、經(jīng)驗(yàn)表明：預(yù)定餐廳座位而不來就餐的顧客比例為20%，如今餐廳有50個座位，但預(yù)定給了 52位顧客，求到時顧客來到餐廳而沒有座位的概率是多少？解：設(shè)X表示預(yù)定的52位顧客中不來就餐的顧客數(shù)，則X b(52,0.2)，由于“顧客來到餐廳沒有座位”等價于“52位顧客中至多有1位不來就餐”，于是所求概率為p(X <1) = p(X =0) p(X “)二 C52(0.2)0(0.8)52 C；2(0.2)1(0.8)51-0.0001279 .11、設(shè)某城市在一周內(nèi)發(fā)生交通事故的次數(shù)服從參數(shù)為(1) 在一周內(nèi)恰好發(fā)生 2次交通事故的概率；(2

8、) 在一周內(nèi)至少發(fā)生 1次交通事故的概率？(1)在一周內(nèi)恰好發(fā)生2次交通事故的概率p(X =2)蟲e"2!二 0.0333 ；(2)在一周內(nèi)至少發(fā)生1次交通事故的概率p(X _1) h _P(X =0) h竺 e.3 = 0.259.0!0.3的泊松分布，求X P(0.3)解：設(shè)X表示該城市一周內(nèi)發(fā)生交通事故的次數(shù)，則22 / 1612、設(shè)X服從泊松分布，已知 p(Xp(X =2)，求p(X =4) ？解：由 p(X =1 p(X =2)得-0.0902.13、一批產(chǎn)品的不合格品率為0.02，現(xiàn)從中任取40件進(jìn)行檢查，若發(fā)現(xiàn)兩件或兩件以上不合格品就拒收這批產(chǎn)品，分別用以下方法求拒收的

9、概率：(1)用二項(xiàng)分布作精確計算；(2)用泊松分布作的似計算？解：設(shè)X表示抽取的40件產(chǎn)品中的不合格品數(shù)，則Xb(40,0.02)(1)拒收的概率為p(X _2) =1 - p(X =0) - p(X -1)=1-C4o(O.O2)o(O.98)40 -C4o(O.O2)1(O.98)39 =0.1905 ； 由于=40 0.02 =0.8，于是拒收的概率為p(X _2) =1 - p(X =0) - p(X =1)：1 e118 0.8ed8 二 0.1912.14、設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為2x fa：。0 _x _1其它求X的分布函數(shù)?解：由F(x)x一 f (t)dt 得當(dāng)x ： 0時x

10、_.0dt =0xF(x)二.；：f(t)dt0_.0dtx2tdt.2 .x 2=t |o=X0Odt-O01Jo2tdtx0dt=t2|0 = 11于是所求分布函數(shù)為F(x)t1x ： 015、設(shè)隨機(jī)變量的密度函數(shù)為f(x)二 2(1)0其它求X的分布函數(shù)？x解：由 F(x)二 f(t)dt 得-oO當(dāng)x ：1時xxF(x) f(t)dt 0dt =0J_oo當(dāng)1zx乞2時X1x11 x1F(x) f (t)dt 0dt 2(1$dt=2(t)|：=2(x2)a71 ttx當(dāng)x 2時x121x12F(x) = J f(t)dt = J 0dt+ 1 2(1)dt +J 0dt=2(t+)h

11、 = 1 円、廠2、 t于是所求分布函數(shù)為0x<11F(x)二 2(x -2)1 ex乞2.I x1x>216、設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為f(x)Acosx031JIx -22其它求（1）常數(shù)A ；的分布函數(shù)；（3） p（0 ： X ） ？4解：（1）：f (x)dx =1 得L0dt2'：.jAcosxdx ,0dt 二 As in x|=2A =1JI時2F(x)x_.0dt-0r 兀當(dāng)2ji一 X _ 時.：0dtx 1111costdt sin 11 sin x - =2 2It當(dāng)X 時2xF(x)二._.f(t)dt-CO.:0dt2 , 1 .costdt _.0

12、dt sin 11 -22&2JI寸1于是所求分布函數(shù)為兀x :2TtKX乞22TtX 2011F (x)sin x -221n p（O：X 遼）JI兀sin二丄丄nO 一亠匹24222417、設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為x : 11 _x _ex e0IF (x) = In x1求 p(0 : X <3) >p（X ：2）、 p（2 ： X :：: 2.5） ; （2） X 的密度函數(shù)？解：(1) p(0 ：X 乞3) = p(X E3) p(X 乞0) =F(3)F(0) =10 = 1p(X : 2) = p(X < 2) - p(X = 2) = F (2) =

13、In 25p(2 : X : 2.5) = p(2 ： X 乞 2.5) = F (2.5) 一 F (2) = In 2.5 一 In 2 = In ； 4 由于在F(x)的可導(dǎo)點(diǎn)處，有f (x)二F (x)，于是X的密度函數(shù)為1 乞xe其它218、設(shè)K U （1,6），求方程x Kx 0有實(shí)根的概率?解：由K U （1,6）得K的密度函數(shù)為1f (k)亡501 < k ： 6其它又由于方程x2 Kx 1=0有實(shí)根等價于K2 -4 - 0 ,即| K |一 2，于是方程有實(shí)根的概率為p(|K|2) = p(K 2) p(K2)= .：f(k)dk Jf(k)dk614dk2 5519、

14、 調(diào)查表明某商店從早晨開始營業(yè)起直至第一個顧客到達(dá)的等待時間X (單位：分鐘) 服從參數(shù)為0.4的指數(shù)分布，求下述事件的概率(1) X至多3分鐘；(2) X至少4分鐘；(3) X在3分鐘至4分鐘之間；(4) X恰為3分鐘？解：(1) X至多3分鐘的概率為p(X 乞3) = F(3) ul-e" 3 =1 e2 ；(2) X至少4分鐘的概率為p(X _4)=1-p(X : 4) =1 F(4) =1 _(1_eq4 4) =e6 ；(3) X在3分鐘至4分鐘之間的概率為p(3 乞 X 豈4) =p(X 乞4) 一 p(X ：3) = F 一 F(3)P-e.44)-(“恥 3)丸.2

15、e6；(4) X恰為3分鐘的概率為p(X =3) =0.20、設(shè)X N(0,1)，求下列事件的概率p(X乞2 . 3 5 ) P(X乞-1.24)；p(|X 匸 1.54) ？解：p(X 乞 2.35) =(2.35) =0.9906 ；p(X 乞 一1.24)=門(一 1.24) =1-門(1.24) =1 0.8925 =0.1075 ;p(| X |_1.54) =p(-1.54 _ X _1.54) =(1.54)-門(-1.54)=(1.54) 1 一：(1.54) =2：(1.54) -1 =2 0.9382 -1 = 0.8764 .21、設(shè) X N(3,4)，(1)求 p(2

16、： X 乞5)、p(| X | 2)、p(X 3) ； (2)確定 c,使得 p(X c)二 p(X < c) ； (3)若 d 滿足 p(X d) 一 0.9，則 d 至多為多少？2 3 X -35 3解：p(2 ：X 豈5) = p(23 乞)2 2 2=門(1)一 ：(一0.5)=：(1)亠尬(0.5) 1 =0.8413 0.6915 1 = 0.53282-3X 3 23p(|X| 2) -p(|X2)-p-< 十乞寸)2 2 2J - G(-0.5) f(-2.5) =1 G(0.5)-：(2.5)=1 0.6915 -0.9938 =0.6977X _ 33 _ 3p

17、(X 3) =1 p(X <3) =1 p( 3 乞與) 2 2=1 一：.：(0) =1 一0.5 "5 ；由 p(X c)二 p(X <c)得1 p(X EC)二 p(X EC)X -3 c-3c-3-0.5 二 p(X <cH p()-：()2 2 2=c 3=0=. c = 3 ；2由p(X d) 一0.9得X 3 d 3 不 d 30.9 乞 p(X d) =1 p(X Ed) =1p()=1 一譏 )2 2 2二 G(d 3)乞 0.1二 1 -:>(3 d)乞 0.12 2= :>(3 d) _0.9二 匕勺 _1.282二 d - 0.4

18、36 .2 222、從甲地飛住乙地的航班，每天上午10: 10起飛，飛行時間 X服從均值為4h，標(biāo)準(zhǔn)差為20min的正態(tài)分布.(1)該航班在下午2: 30以后到達(dá)乙地的概率;(2)該航班在下午2: 20以前到達(dá)乙地的概率; 該航班在下午1: 50至2: 30之間到達(dá)乙地的概率? 解：(1)該航班在下午2:30以后到達(dá)乙地的概率為X 240p(X_260"p(w260 - 24020)=1 p(X -24020<1)=1 -：(1) =1 -0.8413 =0.1587 ；(2)該航班在下午2: 20以前到達(dá)乙地的概率為X 240250 240不p(X 空250) = p()=(

19、0.5) =0.6915 ；20 20 該航班在下午1: 50至2: 30之間到達(dá)乙地的概率為220 - 240 . X - 240 . 260 - 240、 p(220 上 X ±260) = p()20 20 20=(1)一：.：(一1)=2門(1)一1 =2 0.8413 一1 =0.6826.23、某地抽樣調(diào)查結(jié)果表明，考生的外語成績(百分制)近似地服從N(72»2)，已知96分以上的人數(shù)占總數(shù)的2.3 %，試求考生的成績在 60分至84分之間的概率？解：設(shè)考生的外語成績?yōu)?X，則XN(72q2)由96分以上的人數(shù)占總數(shù)的2.3 %得0.023 二 p(X . 96

20、)=0.977 二 p(X <96)P(X 7296 -72< )a24)=紇2=一12于是，考生的成績在 60分至84分之間的概率為p(60 乞 X 乞84) = p(60 -7212X - 7284 - 72 12 二 12 )=門(1)一門(一1) =2門(1)一1 =2 0.8413 一1 =0.6826.24、設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為X0312p0.250.50.25求Y =COSX的分布列？解：由X的分布列可得Y兀cos0cos(-)COS(X)2p0.250.50.25于是Y的分布列為Y1 0 -1p0.250.50.2525、設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為X-2 -1 0 1

21、 2p0.10.20.30.20.22求Y =X的分布列？解：由X的分布列可得Y(-2)2(-1)2021222p0.10.20.30.20.2將相同值合并得 Y的分布列為Y410p0.30.40.326、設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為1 ： X : 1其它!3 2(X" 2x丨0求隨機(jī)變量Y = X 3的密度函數(shù)?解：由題意知，當(dāng)y空2時，有FY（y） =p（丫乞 y） =0當(dāng) 2 ： y ：4 時，有F,y）二 p（丫乞 y） = p（X 3 乞 y） = p（X y 3） = Fx（y3）當(dāng)y _4時，有FY（y） = p（Y 曲）"即丫的分布函數(shù)八22 . y : 4y

22、_4I 0耳二 Fx(y-3)I.1于是，Y的密度函數(shù)fY（y）二 F,y）Fx（y-3）02 y . 4其它匚32尹-3）02 y : 4其它27、設(shè)隨機(jī)變量 X U (0,1)，求隨機(jī)變量Y =ex的密度函數(shù)?解：由題意知，當(dāng)y乞1時，有FyW）二 p（Y y） =0當(dāng)1 < y : e時，有XFY（y）二 P（Y y）二 p（e 乞 y）二 p（X Gny）二 Fx（ln y）當(dāng)y _e時，有FY（y）二 p（Y b） =1即Y的分布函數(shù)0y乞1FY（y）二 Fx（ln y） 1 < y :：eI 1y He是，丫的密度函數(shù)fY(y)=FY(y)=(0ny)1 ： y ： e

23、其它1 ： y ： e二 y.0其它28、隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為fx (x) = «求隨機(jī)變量Y =X2的密度函數(shù)?2解：由于 丫二 X - 0，故當(dāng) y ： 0 時，有 FY(y)二 p(Y 乞 y) = 0 ；當(dāng)y _0時，有FY(y)二 P(Y my)二 P(X2 乞 y)二 p( y y)二 y fx(x)dx= 0 edx=1 _e_y即Y的分布函數(shù)是，Y的密度函數(shù)y _0y : 01 -0y空0=廠 fY(y)二Fy(-)二 2、.-【029、設(shè)隨機(jī)變量 X N(0,1)，試求隨機(jī)變量 丫鬥X |的密度函數(shù)?解：由于 Y =| X - 0，故當(dāng) y . 0 時，有 Fy

24、(y) = p(Y - y) = 0 ；當(dāng)y _0時，有Fy(-)二 p(j y)二 P(| X A y)二 p(-八 X 空 y) = 2(y) -1即Y的分布函數(shù)Fy(-)二y -0y 0是，丫的密度函數(shù)fY(y)=FY(y)=2(y)” FTy2=<_2y >00-y蘭01、A2、B6、B7、C11、設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為'0x < -1a一1 蘭X c1F(x)21 Ex c2a3、a +bx啟2p(X=2)1N，求常數(shù)a、b ?解:由F(畑)=1 及 p(X = a)fF(址)=a +b =10F(a) _F(a _0)得且3、8、4、B9、C5、B10、

25、C2 1p(X =2F(2)-F(2-0) =(a b)-(?-a)匕a“ 5 b612、設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為X123p0.51-2a2 a求常數(shù)a ？-bo解：由Pj =1得i =10.5 +1 2a +a2 =1二a二仁三21再由1 2a _0= a ，可得22212a13、口袋中有5個球，編號為1、2、3、4、5,從中任取3個，以X表示取出的3個 球中的最大號碼求X的分布列；求X的分布函數(shù)？解：（1）由題意知X是離散型隨機(jī)變量，其所有可能取值為3、4、5，且P(X3)C2C；丄10p(X =4)3、P(X =5)c；10C5310于是X的分布列為X345p0.10.30.6由(1)可知

26、X的分布函數(shù)為'0XV30.13Exv4F (x)-0.44 蘭 xw51x _514、設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為_|x|f (x)二 Ce (a 0)求 常數(shù)C ； （2） X的分布函數(shù)；（3） p（| X |： 2） ？解： 由.'.'f (x)dx =1得_：f(X)dx=2C0-bee_x.i""adx = 2Cn xedx 二 2aC =12ax |t|L訂dt-oOxF(x) = . ;：f(t)dt10|t_1 X上e adt2?0eadt0 edt 皿 2a2aX丿1e adt =1 e 0 214 / 16于是F(x)二X : 0x _01 2p(|X2&q