空間向量與立體幾何空間向量的數(shù)乘運(yùn)算

1、3. 1.2空間向量的數(shù)乘運(yùn)算 對(duì)點(diǎn)講練知識(shí)點(diǎn)一空間向量的運(yùn)算»例1(1)化簡(jiǎn)已知ABCD A B C D'是平行六面體.12"AA' BC AB233M是底面 ABCD 的中心，N是側(cè)面 BCC ' B '對(duì)角線 BC '上的分點(diǎn)，設(shè) MN = ： AB 一 AD 加,試求a , 3 Y的值設(shè)解(1)方法一取AA '的中點(diǎn)為E,則1AA' = EA'2又= A' D ',7B =D'c',取F為D' C'的一個(gè)三等分點(diǎn)(D' F=),2 則 D '

2、; F= AB31-AA' +2BC+2忌EA' + 忌'+ 訐3EF方法二取AB2 的三等分點(diǎn)P使得PB AB ,3212BC + AB = CC ' BC AB 二323CQ =PQ,1 F Q,則 AA' +2CQ BC PB = PB BC取CC '的中點(diǎn)10 / 61 3 (2) MN -MB BN DB BC'2 41 3=(DA AB) (BC CC ')=丄(一忒鼠3(0亦=丄益1忒3航242442 41 32 '41Q13-a= 2，a4，尸4【反思感悟】化簡(jiǎn)向量表達(dá)式主要是利用平行四邊形法則或三角形法則

3、， 到減法時(shí)可轉(zhuǎn)化為加法，也可按減法進(jìn)行運(yùn)算本題第一問(wèn)是開放式的表達(dá)式， 形式不唯一，有多種解法.桶平曹如圖所示,平行六面體A1B1C1D1-ABCD，tM分AC成的比為1 N分心成的比為1，N分心成的比為2,設(shè)AB = a，AD = b，心J2=c，試用a、b、c表示MN，I T I iT T 2T解 MN =MA AAi AiN CA AAi AiD3312= AC AA1(A1A AD)331 2 =-3(a+ b) + c+ 3( c+ b)1 1 1=3a+3 b+ 尹知識(shí)點(diǎn)二共線問(wèn)題_、匚丄設(shè)空間四點(diǎn)O, A , B, P滿足OPmOA，nOB,其中m+n=1，則()A .點(diǎn)P 一

4、定在直線AB上B .點(diǎn)P 一定不在直線AB上C. 點(diǎn)P可能在直線AB上，也可能不在直線 AB上D. AB與aP與AP的方向一定相同答案A解析已知m：n=1 ,貝則二 OP -OA = n(OB -OA)二 AP = nAB共線，即點(diǎn)A , P, B共線，故選A .【反思感悟】(1)考察點(diǎn)P是否在直線 ABI I (2)解決本題的關(guān)鍵是利用條件r rAP與AB是否共線.已知A、B、P三點(diǎn)共線，0為空間任意一點(diǎn)，求a + 3的值.解TA、B、P三點(diǎn)共線T t T T T T- n, OP = (1 - n)OA nOB =0A -nOA nOBT T » TT T丨 因?yàn)锳B 工0.所以

5、 AP和 ABIIr r上，只需考察AP與AB是否共線；m+n=1把證明三點(diǎn)共線問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明OP0A解TA、B、P三點(diǎn)共線二共線向量知， 存在實(shí)數(shù)t，使AP =t AB .r T r r T r由 =OP /A, qB = OB -OAOP 二(1 當(dāng)A tOB ；又由已知 OP OA - OB ,. a= 1 t, 3= t,二 a+ 3= 1. 知識(shí)點(diǎn)三共面問(wèn)題 k ：'已知 E, F,(1)求證：E, F , G , 求證：BD /平面證明 (1)由已知得EF綊HG ,代入得:G , H分別是空間四邊形 ABCD的邊AB, BC, CD , DA的中點(diǎn). H四點(diǎn)共面；EFGH

6、.FG , HG不共線，HG,eg,fg,hg,共面且有公共點(diǎn)G,H四點(diǎn)共面.T T T T T T-HG(2) B BF FG GD = EF - EB 耳 EF HD =EG (AH - AE) - HG 二 EG' EHHGT J T T T-EG E GH .GH 二 2EG 2GH EG與GH不共線， BD, EG, GH共面.由于BD不在平面 EFGH內(nèi)，所以 BD /平面EFGH .【反思感悟】利用向量法證明點(diǎn)共面、線共面問(wèn)題，關(guān)鍵是熟練的進(jìn)行向量 表示，恰當(dāng)應(yīng)用向量共面的充要條件，解題過(guò)程中注意直線與向量的相互轉(zhuǎn)化.用向量法證明：空間四邊形 ABCD的四邊中點(diǎn) M, N

7、 , P,Q共面.蠻式遷移3I I證明 AMQ 中，MQ = MA AQ 11 -=(BA AD) BD22 cnp 中，nP=nc cP = MQ 二 NP,所以 M,N,P,Q所以11(BC CD) BD22四點(diǎn)共面課堂小結(jié)：1向量共線的充要條件及其應(yīng)用(1) 空間共線向量與平面共線向量的定義完全一樣，當(dāng)我們說(shuō)a, b共線時(shí)，表示 a, b的兩條有向線段所在直線既可能是同一直線，也可能是平行直線；當(dāng)我們說(shuō)a / b時(shí)，也具有同樣的意義.(2) “共線”這個(gè)概念具有自反性a / a,也具有對(duì)稱性，即若 a / b,則b/ a.(3) 如果應(yīng)用上述結(jié)論判斷a, b所在的直線平行，還需說(shuō)明a(或

8、b)上有一點(diǎn)不在 b(或a) 上._昱_(tái)斗AB = ?bC或AB = 屁即可.也可用“對(duì)空間任意一點(diǎn)0,有OB = tOA + (1 -t)OC”來(lái)證明三點(diǎn)共線.2向量共面的充要條件的理解MP = xMA + yMB.滿足這個(gè)關(guān)系式的點(diǎn) P都在平面MAB內(nèi)；反之，平面 MAB內(nèi)的任 一點(diǎn)P都滿足這個(gè)關(guān)系式這個(gè)充要條件常用以證明四點(diǎn)共面.(2)共面向量的充要條件給出了空間平面的向量表示式，即任意一個(gè)空間平面可以由空 間一點(diǎn)及兩個(gè)不共線的向量表示出來(lái)，它既是判斷三個(gè)向量是否共面的依據(jù)，又可以把已知共面條件轉(zhuǎn)化為向量式，以便于應(yīng)用向量這一工具.另外，在許多情況下，可以用“若存在有序?qū)崝?shù)組(x, y,

9、 z)使得對(duì)于空間任意一點(diǎn) O,有OB = (1 t)OA = xOA + yOB + zOC,且x + y+ z= 1成立，則P、A、B、C四點(diǎn)共面”作為判定空間中四個(gè)點(diǎn)共面的依據(jù).課時(shí)作業(yè)一、選擇題1 .下列命題中是真命題的是 ()A .分別表示空間向量的有向線段所在的直線是異面直線，則這兩個(gè)向量不是共面向量B .若|a|= |b|,則a, b的長(zhǎng)度相等而方向相同或相反TT T t T t T tC. 若向量 AB,CD滿足|AB|>|CD|，且AB與CD同向，貝U AB > CDT IT ITD. 若兩個(gè)非零向量 AB與CD滿足AB + CD =0，則AB答案D解析A錯(cuò).因?yàn)?/p>

10、空間任兩向量平移之后可共面，所以空間任意兩向量均共面.B錯(cuò).因?yàn)閍 1= |b僅表示a與b的模相等，與方向無(wú)關(guān).C錯(cuò)因?yàn)榭臻g向量不研究大小關(guān)系，只能對(duì)向量的長(zhǎng)度進(jìn)行比較，因此也就沒有/ CDAB>CD這種寫法.AB +CD=O,. AB = -CD， AB與CD 共線，故 AB /CD，正確2.滿足下列條件，能說(shuō)明空間不重合的A、B、C三點(diǎn)共線的是（）AB + BC= AC- -AB BC= ACAB = BCI-| AB |= |BC|C.D.答案C3.在下列等式中，使點(diǎn) M與點(diǎn)A，B，- - -OM = 2OA OB OC1 1 1 OM = 5OA+30B+2OC- -MA + M

11、B + MC = 0- - -D. OM + OA+ OB + OC = 0 答案CMA =xMB + yMC，貝V M解析若有C 一定共面的是（）與點(diǎn)A、B、C共面，或者 OM = xOA + yOB + zOC且x+ y+ z= 1，貝U M 與點(diǎn) A、B、C 共面， xMB + yMC，故選 C.4已知向量a與b不共線，則a， （）A .充分而不必要條件B 必要而不充分條件C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件 答案B 解析驗(yàn)證必要性時(shí)，當(dāng)a，b，c共面且a / c（或 b / c）時(shí)不能成立, 5.在平行六面體ABCD-A iBiCiDi中，向量DiA,DiC,ACiA .有相同起點(diǎn)

12、的向量B .等長(zhǎng)向量C. 共面向量D. 不共面向量 答案C 解析如圖所示，因?yàn)?_DiC - DiA二A。而AC ; AiCi, j DC ：DiA A© ，即 DiC DiA AiCi ,而 以 DiC，DiA，AiCi三向量共面A、B、D三項(xiàng)不滿足 x+ y+ z= 1, C項(xiàng)滿足MA =b, c共面是存在兩個(gè)非零常數(shù)人使c= ?a+ pb的不能使入都非零.()二、填空題6. 已知P和不共線三點(diǎn)A, B, C四點(diǎn)共面且對(duì)于空間任一點(diǎn)0,都有OP = 2OA + OB+ qc，貝y .答案2解析P與不共線三點(diǎn)A, B, C共面，且OP = xOA + yOB + zOC(x, y,

13、 z R)，貝U x+ y + z= 1是四點(diǎn)共面的充要條件.7. 三個(gè)向量xa yb, yb zc, zc xa的關(guān)系是 .(填"共面""不共面”"無(wú) 法確定是否共面”).答案共面解析因 xa yb, yb zc, zc xa也是三個(gè)向量， 且有 zc xa = (yb zc) (xa yb)所以 三向量共面.8在平行四邊形 ABCD中,AC與BD交于點(diǎn)0,E是線段0D的中點(diǎn),AE的延長(zhǎng)線與 CDtt r交于點(diǎn)F若 AC=a, B BD = b,則AF等于.2 1答案3a + §b三、解答題9 如圖所示，E, F, G,H 分別為正方體 ABCD A1B1C1D1 的棱 A1B1 , A1D1 , B1C1 , D1C1的中點(diǎn).求證：(1)E, F, D, B四點(diǎn)共面；平面 AEF /平面 BDHG . 4證明（1 ）ED =EB BD =EB B1D；, ED,EB, EF共面且具有公共點(diǎn) E, E, F, D, B四點(diǎn)共面./ E, F, G , H 分別是 A1B1 , A1D1 , B1C1 , D1C1 的中點(diǎn),EF = 2B1D1 = GH , EF / GH , AF / BG , EF /平面 BDHG , AF /平面 BDHG ,又 AF n EF = F ,