正余弦定理的變式解題

1、淺談?wù)⒂嘞叶ɡ淼淖兪浇虒W(xué)山東省壽光市現(xiàn)代中學(xué)孫建平（262700）在新課程標準的指引下，教學(xué)方法也在不斷改進、提升。數(shù)學(xué)的教學(xué)不應(yīng)局限于一個狹窄的課本知識領(lǐng)域里，應(yīng)該讓學(xué)生思維能力的培養(yǎng)及個性品質(zhì)的形成能力。這就需要調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性，發(fā)揮學(xué)生的主體作用，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)一個的寬松環(huán)境， 使不同的學(xué)生都有所收獲，滿足不同學(xué)生的不同需要。使學(xué)生在學(xué)習(xí)中學(xué)會利用課本 知識的舉一反三，應(yīng)用數(shù)學(xué)的“變式教學(xué)”，所謂“變式”即教師可不斷更換命題的 非本質(zhì)特征，變換問題的條件或結(jié)論，轉(zhuǎn)換問題的內(nèi)容與形式，配置實際應(yīng)用的各種 環(huán)境，這也是很多教育工作者一直在做的一項工作。在教學(xué)中如對課本上的例題或課后習(xí)題進行

2、變式，對教師解決以上問題會有所幫助。下面我針對正、余弦定理在解題 時的變式應(yīng)用，舉例說明怎樣運用“正、余弦定理變式”靈活解題：一、正弦定理的常見幾種變形：在新知識教學(xué)中，精心設(shè)計鋪墊性變式題組，既體現(xiàn)在知識、思維上的鋪墊，又展示知識的發(fā)生過程，找準新知識的生長點，讓學(xué)生利用已有的知識結(jié)構(gòu)來同化新知 識，實現(xiàn)知識的遷移。變形1、a : b : c = sin A:sin B : sin C ；asin Acsin Cbsin B亠,或bsin Basin Acsin C例1、在 ABC中,cos AcosB-=4，且 c =10，則 a 二a 32 / 4cos A sin B cosB sin

3、 A解析：由正弦定理的變形 1,得b二卻口a sin A sin AcosA 二sin BcosB，即 sin 2A = sin 2B ,jiA B ,2.在 Rt ABC 中，由 a b 二10、b: a = 4:3解得，a = 6,b = 8.點評：本例應(yīng)用正弦定理的變形1，將問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題，進而求解.變形2、a =2Rs in A,b=2Rs in B,c=2Rs inC （其中R為三角形外接圓的半徑）QQQ例 2、在 ABC 中，sin A=2sin BcosC,sin A = sin B sin C，試判斷 LABC 的 形狀.解析：由sin2 A =sin2 B sin2C

4、，利用正弦定理，得 a2 = b2 c2 ABC是直角三角形，且 A = 90°,B C =90°,B =90° -C , sin B = cosC .2由 si nA =2s in BcosC，可得 1 = 2s in B ,sinB 二遼2(sin B 二2亍舍去）皿則", ABC是等腰直角三角形.點評：本題中先根據(jù)正弦定理的變形a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC，得到ABC為直角三角形，從而再判定三角形的形狀這組變式題組是圍繞解分式不等式教學(xué)目標，由易到難、由舊知到新知逐步過渡，還有為"學(xué)有余力”的學(xué)生專門設(shè)置的綜合提升

5、題，以解決他們”吃不飽”的問題。讓學(xué)生從課堂中去體會數(shù)學(xué)的魅力和活力，只有在這樣的學(xué)習(xí)氛圍中，學(xué)生的學(xué)習(xí)體驗才是快樂的，是幸福的，而且在這種寬松氛圍下大家的參與是積極的，思維是活躍 的，不同的人會獲得不同的發(fā)展。二、余弦定理的常見幾種變形：傳統(tǒng)講課法中，教師把公式、定理的結(jié)論、推導(dǎo)過程、適用條件、適用題型原原 本本地講給學(xué)生聽，激不起學(xué)生的興趣。再加上聽不懂，上課睡覺就成了經(jīng)常發(fā)生的 現(xiàn)象。變式教學(xué)主要是由教師提出問題后，其結(jié)果怎樣、或如何解決都要學(xué)生做出回 答，對學(xué)生具有挑戰(zhàn)性，所以學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣大，再加上題目具有一定的梯度，人人 都能動手，所以學(xué)習(xí)的積極性非常高。變形1:.2 2b c -

6、a cos A =2bc2a2 c2b2a2 b2 _c2,cos B,cos C =2ac2ab例3、在- ABC中，如果 a b c b，c-a =3bc,則A等于（）A、 150° B、 120°C、 60°D、 30°解析：由題意，得 b2 c2 - a2 =bcb2 +c2 -a2i° cos A, A =60，故答案選 C.2bc 2在 ABC中，求b cosC c cosB的值.解析：由余弦定理，得2 2 2a b - cb cosC c cos B = bc2aba2c2 b2ac整理得：b cosC - c cosB 二 a

7、.點評：本例中根據(jù)余弦定理的變形1，將問題化為代數(shù)式的運算，從而求解之4 / 4、. 2 2 2變形 2、sin A=sin B sin C2sin BsinCcosA例 4、求 sin2200 cos280°、3cos2O0cos8O° 的值.解析：對照余弦定理的變式2,可將原式化為：2020. 300sin 20 sin 10 -2 ( )sin 20 sin102二sin2 200 sin 2100 -2sin 200 sin 10°cos1500 =sin2150° =丄4點評：對于余弦定理的變形2,不但在三角形中是成立的而且只要是三個角滿足形式

8、A B C 二二，貝y si n2 A 二 si n2 B si n2 C -2si n Bsin C cos A 是恒成立的通過這一組變式題型的訓(xùn)練，有利于強化學(xué)生的化歸轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，變式教學(xué)中更明確、具體地體現(xiàn)了教師的主導(dǎo)地位和學(xué)生的主體作用，教師要命題，要指導(dǎo)學(xué)生 解題，要組織學(xué)生展示解題的結(jié)果和進行討論辨析，還要對數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)思想方法進行總結(jié)。這樣，課堂的進程完全掌控在教師的手中，真正地體現(xiàn)了教師是學(xué)習(xí)的組 織者、引導(dǎo)者和合作者；在這樣的課堂上，學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性都很高，從而極大地提 高了課堂教學(xué)效益。三、正、余弦定理變形肢的綜合應(yīng)用：例5、在 MBC中，角A,B,C所對的邊分別是a

9、,b,c , A = 60°, b =12，心ABC的面積為S =18.3，則a +b +csin A sin B sin C解析：由 A=60°,b=12 , Sbcsi nA =18、3 ,2asin A c =12，由余弦定理可得：a2 =b2 c2 -2bccos A，得 a = 6、3a +b +csin A sin B sin C已知二ABC 中，sin A: sin B : sin C = 4 :3: 2，求 cos B 的值.解析：由題意 si nA: si nB:si nC=4:3:2 ,根據(jù)正弦定理的變形，得 a:b:c=4:3:2不妨令 a =4t,b =3t, c =2t t 02 2 2 2 2 2由余弦定理的變形，得c a+cb 16t +4t -9t 11 cos B =-ac16t216點評：這組變式題目的設(shè)置 ，除了解決單個的數(shù)學(xué)問