線面角求法總結(jié)

1、線面角的求法總結(jié)一直接法：平面的斜線與斜線在平面內(nèi)的射影所成的角即為直線與平面所成的角。通常是解由斜線段，垂線段，斜線在平面內(nèi)的射影所組成的直角三角形，垂線段是其中最重要的元素，它可以起到聯(lián)系各線段的作用。例1 （如圖1 ）四面體 ABCS中，SA,SB,SC 兩兩垂直，/ SBA=45 , / SBC=60 , M 為 AB的中點(diǎn)，求（1） BC與平面SAB所成的角。（2） SC與平面ABC所成的角。解：（1）/ SC± SB,SC丄 SA, SC丄平面SAB 故SB是斜線BC在平面SAB上的射影，/ SBC是直線BC與平面SAB所成的角為60°。（2） 連結(jié) SM,CM

2、，貝U SM 丄 AB,又 SC± AB, AB 丄平面 SCM,面ABC丄面SCM過S作SH丄CM于H, 則SH丄平面 ABC CH即為SC在面ABC內(nèi)的射影。/ SCH為SC與平面ABC所成的角。sin / SCH=SH /SC SC與平面ABC所成的角的正弦值為V 7/7（“垂線”是相對的， SC是面SAB的垂線，又是面 ABC的斜線.作面的垂線常根據(jù)面面 垂直的性質(zhì)定理，其思路是：先找出與已知平面垂直的平面， 然后一面內(nèi)找出或作出交線的 垂線，則得面的垂線。）二利用公式sine =h/ I其中e是斜線與平面所成的角， h是 垂線段的長，I是斜線段的長，其中求出垂線段 的長（即

3、斜線上的點(diǎn)到面的距離） 既是關(guān)鍵又是難點(diǎn)， 為此可用三棱錐的體積自等來求垂線 段的長。例 2 （如圖 2） 長方體 ABCD-A 1B1C1D1 , AB=3 ,BC=2, A 1A= 4 ，求 AB 與面 AB1C1D 所成的角。解：設(shè)點(diǎn) B到AB1C1D的距離為h,-VB - AB1C1 =Va -BB1C1 1 /3 SAB 1C1 h= 1/3 SBB1C1 AB，易得 h=12/ 5設(shè)AB與 面A B1C1D所成的角為0 ,則sin 0 =h/AB=4 /51 圖2 AB與面AB QiD所成的角為arcsin 4/ 5禾U用公式 cosB =cos 0 i cos 0 2（如圖3）若

4、OA為平面的一條斜線，0為斜足，0B為OA在面a內(nèi)的射影，0C為面a內(nèi)的一條直線，其中2 （同0 i為0A與0B所成的角，學(xué)們可自己證明），它揭示了斜線和平面所成的角是這條斜線和這個(gè)平面內(nèi)的直線所成的一 切角中最小的角（常稱為最小角定理）例3 （如圖4）已知直線 0A,0B,0C兩兩所成的角為 60° ,求直線0A與面0BC所 成的角的余弦值。解：/ A0B= /A0C 0A在面0BC內(nèi)的射影在/ B0C的平分線0D上，則/ A0D即為0A與面0BC所成的角，可知/ D0C=30 ,cosZ A0C=cos / A0D cos/ D0C cos60°=cos/ A0D co

5、s30°cos/ A0D= V3/3 0A與 面0BC所成的角的余弦值為V 3/3。一課題：直線和平面所成的角與二面角（1）線面角二. 教學(xué)目標(biāo)：1 .掌握直線和平面所成角的概念；2 .理解并且掌握公式：COS - COSi COSl。三. 教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：直線和平面所成角的概念及COS）- COS COSl的應(yīng)用。 四教學(xué)過程：（一）復(fù)習(xí)：1. 直線和平面的位置關(guān)系；（平行、相交和直線在平面內(nèi)）2 思考：當(dāng)直線a與平面的關(guān)系是=A時(shí)，如何反映直線與平面的相對位置關(guān)系呢？ （可以用實(shí)物來演示，顯然不能用直線和平面的距離來衡量）（二）新課講解：1.平面的斜線和平面所成的角：已知，如圖，

6、AO是平面的斜線，A是斜足，OB垂直于平面:-,B為垂足，則直 線AB是斜線在平面:內(nèi)的射影。設(shè) AC是平面內(nèi)的任意一條直線，且 BC _ AC，垂足為C , 又設(shè)AO與AB所成角為哥,AB與AC所成角為* , AO與AC所成角為二，則易知:| AB |=| A0 | cos 可,| AC | =| AB | cosr2 AO | cos哥 cosr 又 |AC |=| AO |cosr ,可以得到： cost - cosy cosv2,、亠 宀Ji- n注意：二2，（0,）（若 屯，則由三垂線定理可知，2 2Ji0A _ AC，即；與“ AC是平面:內(nèi)的任意一條直線，且2不相符）。易得：co

7、sh :： cos弓 又二，R （0, 5）即可得： 弓：:：-則可以得到：（1）平面的斜線和它在平面內(nèi)的射影所成角，是這條斜線和這個(gè)平面內(nèi)的任一條直線所成 角中最小的角；（2）斜線和平面所成角：一個(gè)平面的斜線和它在這個(gè)平面中的射影的夾角，叫做斜線和平 面所成角（或叫斜線和平面的夾角）。說明：1.若a ，則規(guī)定a與所成的角是直角；2若all】或a :，則規(guī)定a與所成的角為0 ;3直線和平面所成角的范圍為：0-90 ；4 .直線和平面所成角是直斜線與該平面內(nèi)直線所成角的最小值 （COS ： - cos 4 COS）2 ）。2. 例題分析：A ABO為AB和所成角,例1.如圖，已知 AB是平面的一

8、條斜線， B為斜足，AO _ : ,0為垂足，BC為內(nèi)的一條直線， ABC =60 , OBC =45，求斜線AB和平面所成角。 解： AO _ ：，由斜線和平面所成角的定義可知，cos60cos45 22仁 2.2 I 2. BAO =45，即斜線AB和平面:所成角為45 '.又 COS ： - COS1 cos ,. cos . ABO= coSCcosCBOBB1D1D所成的角。例2如圖，在正方體 AC1中，求面對角線 AB與對角面 解（法一）連結(jié)A1C1與B1D1交于O，連結(jié) OB,DD1 A|C 1, B1D1 AC 1, . AO 平面 BBD1D ,. A,BO是A,B與

9、對角面BB1D1D所成的角，1在 Rt ABO 中，A1OA,BABO =30 .10 / 8（法二）由法一得 NABO是AB與對角面BBiDiD所成的角,又：cos ABBi = cos45 =cos BiBO 二更BOcosA BO =cos. ABB1 cosB BO22= -.6.3ABO =30 3說明：求直線與平面所成角的一般方法是先找斜線在平面中的射影，后求斜線與其射影的夾角。另外，在條件允許的情況下，用公式COST - C0S3 cosv2求線面角顯得更加方便。例3已知空間四邊形 ABCD的各邊及對角線相等，求 AC與平面BCD所成角的余弦值。解：過A作AO _平面BCD于點(diǎn)O

10、 ,連接CO, BO, DO ,/ AB = AC = AD , O是正三角形 BCD的外心,設(shè)四面體的邊長為 a，貝U CO =a ,3 . AOC =90. ACO即為AC與平面BCD所成角, cos_ACO，所以，AC與平面BCD所成角的余弦值為.33OD五課堂練習(xí)：課本第 45頁練習(xí)第1 , 2, 3題；第47頁習(xí)題9.7的第1題。六.小結(jié)：1 線面角的概念;2 COST - COS弓COSJ2及應(yīng)用步驟： 亠弓門2在圖形中所表示的角。七.作業(yè)：課本第 45頁練習(xí)第4題、第47頁習(xí)題9.7的第2題。補(bǔ)充：1如圖，PA是平面:的斜線，.BAC在平面內(nèi)，且滿足.BAC =90，又已知 .P

11、AB - PAC =60，求PA和平面所成的角。PC =24,PB =PD =6.10，求 PC 和平空間中的角主要包括兩條異面直線所成的角；直線和平面所成的角；二俞角等. 線面角：平面的一條斜線和它在平面上的射影所咸的銳角叫做這條斜線和這個(gè)平 面所履朗角*恃別地，一直裁垂直于平醞，所成刖角是直角，一直線平行于平面或在平面內(nèi)，所、._ ,，.7F成角為0。角.因此，直線和平面所成甬范圍 0,->本文舉例探討線面角的兩種求解策略+線面角的常規(guī)解法是先找到直線在平醞內(nèi)的射影直線與其在這個(gè)平面內(nèi)的射彭 所成的角就是鮭面角此時(shí)，犬多需宴過直繪上一點(diǎn)作平蔚的垂銭.例1.正方體ABCDEFGH的棱長

12、為弘點(diǎn)P在AC上，Q在BG上且AP=BQap 求直線PQ與平面ABCD所成的角的正切值；分析：先作出FQ在面ABCD內(nèi)的射駭 由于面BFGC±面ABCD,作QM± 眈于同 則MP就是QP在面ABCD內(nèi)的射影，ZQPM就是要求的角解：作QM丄BC于M,連MP, JJ'JZQMP就是直線PQ與平面ABCD所成的角 則易得：QM=a, MP= (jtanZQPM= >/2 +1.22"MP解后反思:求線面帝的常規(guī)解法是«作、二證、三求巴“作靜是解題的關(guān)所成的角為？L, HE垂直ED于E, F為尻的中鼠求直線皿與平蔚EDF所成bD二向量法空間中的角

13、大多那能用向墾方法求解凡可建立坐標(biāo)系的利甲向量求解更為簡捷. 直線和平面所成角的向章;公式*直線a的方向向量和平面的法向臺分別為牌和嘰 當(dāng)m與用的夾角不大于時(shí)，直線a與平面u所成的角等于加與用夬角的余:當(dāng)冊 與陣的夾甫大于92時(shí)，直線a與平面口所成的角等于稱2閤夾甫的互補(bǔ)的余角，所QA直線赳的方向向重和平面口所履朗角日衙足：Sin0=-.k 1-11例2.如圖，已知長方體ABCD BlC1I,AB= 2,A = 1,直線BD平面AB的角.解；在長方體>XAB所在的直線為忑軸，UZQ所 在的直線為尹軸，曲所在的直線 為玄軸建立如圖示空間直角坐標(biāo)系, 由已知 AB = 2iAAx = t可得

14、妙ag阿血iqi）y. AD丄平面AAB 從而8D與平面AAB所履的莆為ZDEA二弓0J 又AB=2, 4應(yīng)丄月D,.m（o, 跡i）*二衛(wèi)z）； =（a跡j）,刃Q=eJIii是平面edf的一 33個(gè)法向壘！二泗 玄忑 =以豈 二壬®L二H,ADi為銳角，二直線血與平面 IIxMAI 35BDF所成的註面第為arcsm（或蘭- arccos "W ）.35235解后反思：求線面角的常規(guī)解法般一作、二證、三求耳很多同學(xué)感到棘手，難 在不易找到所求的角，利用向量解袪可以避免"作和證匕只乘q下單純的向量計(jì)算， 而且有了固定的解題模式，復(fù)雜的空間角求解問題就可以非常簡便

15、地得到解決了.直 線與平面所成的角0王要可以通過貢線的方向向壘與平面的法向壘的夾角禺求得即 sin 9 = | cos 3 | 或 cos B 二乞in召.筈年0)4(。窖263,o）M（oq 導(dǎo)）,TE為AD的中點(diǎn)，二因(0,例3在正四面體ABCD中，E為AD的中點(diǎn)，求CE與平面BUD咸的角. 分析:求線面角的關(guān)鍵在于找出斜線在平面內(nèi)的射臺，即找垂面，肓了垂面即可在垂面內(nèi)作交線的垂線，即可作出，沸后轉(zhuǎn)化到三角形中求解.解法一取BC的中點(diǎn)F,連結(jié)AF、DF- 丁正四面體ABCD,二BC丄AF. BC丄DF -BC丄面 AFD,而HU0平面ECD,二面AFD丄面ECD 過E作EH丄DF于H,而DF0平面BCD,則EH丄面BCD 則三ECH為CE與面BCD所感的角.&在 RtACEH 中，sinZECH= .3即CE與平面BCD成的角?iarcsin .3解法二 如圖建立以三甬腿BCD的中心0為原點(diǎn)ODQ直依氏為y軸, 軸平行于BC.設(shè)正四面郎ABCD冊棱長為口 j則込密陽專0"學(xué)還字又因溝平