課時(shí)提升作業(yè)(十一)2.1.2.2.

1、圓學(xué)子夢(mèng)想 鑄金字品牌溫馨提示： 此套題為Word版，請(qǐng)按住Ctrl,滑動(dòng)鼠標(biāo)滾軸，調(diào)節(jié)合適的觀看比例，答案解析附后。關(guān)閉Word文檔返回原板塊。課時(shí)提升作業(yè)(十一)橢圓方程及性質(zhì)的應(yīng)用(25分鐘60分)一、選擇題(每小題5分，共25分)1.已知直線l過(guò)點(diǎn)(3，-1)，且橢圓C：x225+y236=1，則直線l與橢圓C的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()A.1B.1或2C.2D.0【解析】選C.因?yàn)橹本€過(guò)定點(diǎn)(3，-1)且3225+(-1)236<1，所以點(diǎn)(3，-1)在橢圓的內(nèi)部，故直線l與橢圓有2個(gè)公共點(diǎn).2.點(diǎn)A(a，1)在橢圓x24+y22=1的內(nèi)部，則a的取值范圍是()A.-2<a<

2、;2B.a<-2或a>2C.-2<a<2D.-1<a<1【解析】選A.由題意知a24+12<1，解得-2<a<2.【拓展延伸】點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系已知平面內(nèi)點(diǎn)P(x0，y0)與橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)，則點(diǎn)P在橢圓外x02a2+y02b2>1；點(diǎn)P在橢圓上x(chóng)02a2+y02b2=1；點(diǎn)P在橢圓內(nèi)x02a2+y02b2<1.3.(2015·馬鞍山高二檢測(cè))已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，右頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B，若橢圓C的中心到直線AB的距

3、離為66|F1F2|，則橢圓C的離心率e=()A.22B.32C.23D.33【解析】選A.設(shè)橢圓C的焦距為2c(c<a)，由于直線AB的方程為ay+bx-ab=0，所以aba2+b2=63c，因?yàn)閎2=a2-c2，所以3a4-7a2c2+2c4=0，解得a2=2c2或3a2=c2(舍)，所以e=22.【補(bǔ)償訓(xùn)練】橢圓的焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，過(guò)F1的最短弦PQ的長(zhǎng)為10，PF2Q的周長(zhǎng)為36，則此橢圓的離心率為()A.33B.13C.23D.63【解析】選C.PQ為過(guò)F1且垂直于x軸的弦，則Q(-c，b2a)，PF2Q的周長(zhǎng)為36.所以4a=36，a=9.由已知b2a=5，即a2-c2a=5

4、.又a=9，解得c=6，解得ca=23，即e=23.4.(2015·石家莊高二檢測(cè))若AB是過(guò)橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)中心的一條弦，M是橢圓上任意一點(diǎn)，且AM，BM與兩坐標(biāo)軸均不平行，kAM，kBM分別表示直線AM，BM的斜率，則kAM·kBM=()A.-c2a2B.-b2a2C.-c2b2D.-a2b2【解析】選B.設(shè)A(x1，y1)，M(x0，y0)，則B(-x1，-y1)，kAM·kBM=y0-y1x0-x1·y0+y1x0+x1=y02-y12x02-x12=-b2a2x02+b2+b2a2x12-b2x02-x12=

5、-b2a2.【一題多解】(特殊值法)：因?yàn)樗膫€(gè)選項(xiàng)為定值，取A(a，0)，B(-a，0)，M(0，b)，可得kAM·kBM=-b2a2.【補(bǔ)償訓(xùn)練】(2015·衡水高二檢測(cè))如果AB是橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的任意一條與x軸不垂直的弦，O為橢圓的中心，e為橢圓的離心率，M為AB的中點(diǎn)，則kAB·kOM的值為()A.e-1B.1-eC.e2-1D.1-e2【解析】選C.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，中點(diǎn)M(x0，y0)，則x12a2+y12b2=1，x22a2+y22b2=1，兩式作差得(x1-x2)(x1+x2)a2=(y2-y

6、1)(y2+y1)b2所以kAB·kOM=y2-y1x2-x1·y1+y2x1+x2=-b2a2=c2-a2a2=e2-1.5.AB為過(guò)橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)中心的弦，F(xiàn)1(c，0)為橢圓的右焦點(diǎn)，則AF1B面積的最大值是()A.b2B.abC.acD.bc【解析】選D.如圖，SABF1=SAOF1+SBOF1=2SAOF1.又因?yàn)閨OF1|=c為定值，所以點(diǎn)A與(0，b)重合時(shí)，OF1邊上的高最大，此時(shí)SAOF1的面積最大為12bc.所以SABF1的最大值為bc.二、填空題(每小題5分，共15分)6.過(guò)橢圓x25+y24=1的右焦點(diǎn)作一條斜率

7、為2的直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則OAB的面積為_(kāi).【解析】將橢圓與直線方程聯(lián)立：4x2+5y2-20=0,y=2(x-1),解得交點(diǎn)A(0，-2)，B53,43.設(shè)右焦點(diǎn)為F，則SOAB=12·|OF|·|y1-y2|=12×1×|43+2|=53.答案：537.橢圓mx2+ny2=1與直線y=1-x交于M，N兩點(diǎn)，原點(diǎn)O與線段MN的中點(diǎn)P連線的斜率為22，則mn的值是_.【解析】由y=1-x,mx2+ny2=1消去y，得(m+n)x2-2nx+n-1=0.則MN的中點(diǎn)P的坐標(biāo)為nm+n,mm+n.所以kOP=mn=22.答案：228.(

8、2015·寧波高二檢測(cè))已知F1，F(xiàn)2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，滿足MF1·MF2=0的點(diǎn)M總在橢圓內(nèi)部，則橢圓離心率的取值范圍是_.【解析】由MF1·MF2=0，得以F1F2為直徑的圓在橢圓內(nèi)，于是b>c，于是a2-c2>c2，所以0<e<22，故離心率的范圍為0,22.答案：0,22三、解答題(每小題10分，共20分)9.已知?jiǎng)狱c(diǎn)M(x，y)到直線l：x=4的距離是它到點(diǎn)N(1，0)的距離的2倍.(1)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程.(2)過(guò)點(diǎn)P(0，3)的直線m與軌跡C交于A，B兩點(diǎn).若A是PB的中點(diǎn)，求直線m的斜率.【解題指南】由動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)，根據(jù)

9、已知條件列方程即可；設(shè)出直線方程與橢圓方程聯(lián)立，得出k與x1，x2的關(guān)系式，利用中點(diǎn)坐標(biāo)即可得斜率.【解析】(1)點(diǎn)M(x，y)到直線x=4的距離是它到點(diǎn)N(1，0)的距離的2倍，則|x-4|=2(x-1)2+y2x24+y23=1.所以，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為橢圓，方程為x24+y23=1.(2)P(0，3)，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由題意知：2x1=0+x2，2y1=3+y2，橢圓的上下頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是(0，3)和(0，-3)，經(jīng)檢驗(yàn)直線m不經(jīng)過(guò)這兩點(diǎn)，即直線m斜率k存在.設(shè)直線m的方程為：y=kx+3.聯(lián)立橢圓和直線方程，整理得：(3+4k2)x2+24kx+24=0x1+x2=-2

10、4k3+4k2，x1·x2=243+4k2，x1x2+x2x1=12+2(x1+x2)2-2x1·x2x1·x2=52(-24k)2(3+4k2)·24=92k=±32，所以直線m的斜率k=±32.10.已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一個(gè)頂點(diǎn)為A(2，0)，離心率為22.直線y=k(x-1)與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M，N.(1)求橢圓C的方程.(2)當(dāng)AMN的面積為103時(shí)，求k的值.【解析】(1)由題意得a=2,ca=22,a2=b2+c2,解得b=2.所以橢圓C的方程為x24+y22=1.(2)由y=

11、k(x-1),x24+y22=1得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-4=0.=24k2+16>0.設(shè)點(diǎn)M，N的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則y1=k(x1-1)，y2=k(x2-1)，x1+x2=4k21+2k2，x1x2=2k2-41+2k2，所以|MN|=(x2-x1)2+(y2-y1)2=(1+k2)(x1+x2)2-4x1x2=2(1+k2)(4+6k2)1+2k2.又因?yàn)辄c(diǎn)A(2，0)到直線y=k(x-1)的距離d=|k|1+k2，所以AMN的面積為12|MN|·d=|k|4+6k21+2k2.由|k|4+6k21+2k2=103，解得k=±

12、;1.(20分鐘40分)一、選擇題(每小題5分，共10分)1.已知橢圓C的方程為x216+y2m2=1(m>0)，如果直線y=22x與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)M在x軸上的射影恰好是橢圓的右焦點(diǎn)F，則m的值為()A.2B.2C.8D.23【解析】選B.根據(jù)已知條件c=16-m2，則點(diǎn)16-m2,2216-m2在橢圓x216+y2m2=1(m>0)上，所以16-m216+16-m22m2=1，可得m=22.2.(2015·福建高考)已知橢圓E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F，短軸的一個(gè)端點(diǎn)為M，直線l：3x-4y=0交橢圓E于A，B兩點(diǎn).若|AF|+|BF

13、|=4，點(diǎn)M到直線l的距離不小于45，則橢圓E的離心率的取值范圍是()A.0,32B.0,34C.32,1D.34,1【解析】選A.不妨設(shè)左焦點(diǎn)為F2，連接AF2，BF2，由橢圓的對(duì)稱性可知四邊形AFBF2的對(duì)角線互相平分，所以四邊形AFBF2為平行四邊形，所以AF+BF=BF2+BF=2a=4，所以a=2，設(shè)M(0，b)，所以d=45b45b1，所以e=1-b2a2=1-b241-14=32，又e(0，1)，所以e0,32.【補(bǔ)償訓(xùn)練】過(guò)橢圓x24+y2=1右焦點(diǎn)且斜率為1的直線被橢圓截得的弦MN的長(zhǎng)為()A.85B.825C.835D.165【解題指南】求出過(guò)橢圓x24+y2=1右焦點(diǎn)且斜

14、率為1的直線方程，代入橢圓x24+y2=1，可得一元二次方程，利用弦長(zhǎng)公式，即可求弦MN的長(zhǎng).【解析】選A.設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，因?yàn)闄E圓x24+y2=1右焦點(diǎn)坐標(biāo)為(3，0)，所以過(guò)橢圓x24+y2=1右焦點(diǎn)且斜率為1的直線方程為y=x-3，代入橢圓x24+y2=1，可得x24+(x-3)2=1，即5x2-83x+8=0，所以x1+x2=835，x1x2=85，所以|MN|=1+1·(x1+x2)2-4x1x2=2·19225-16025=85.二、填空題(每小題5分，共10分)3.(2015·濟(jì)南高二檢測(cè))已知對(duì)kR，直線y-kx-1=0與橢圓

15、x25+y2m=1恒有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_.【解析】因?yàn)橹本€y-kx-1=0過(guò)定點(diǎn)(0，1)，要使直線和橢圓恒有公共點(diǎn)，則點(diǎn)(0，1)在橢圓上或橢圓內(nèi)，即025+12m1，整理，得1m1，解得m1.又方程x25+y2m=1表示橢圓，所以m>0且m5，綜上m的取值范圍為m1且m5.答案：m1且m54.(2015·無(wú)錫高二檢測(cè))若傾斜角為4的直線交橢圓x24+y2=1于A，B兩點(diǎn)，則線段AB的中點(diǎn)的軌跡方程是_.【解析】設(shè)中點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)，直線方程為y=x+b，代入橢圓方程得5x2+8bx+4(b2-1)=0，由根與系數(shù)的關(guān)系及中點(diǎn)的定義，可得x+4y=0，由>

16、0，得-5<b<5，故-455<x<455.答案：x+4y=0(-455<x<455)【補(bǔ)償訓(xùn)練】(2015·沈陽(yáng)高二檢測(cè))已知橢圓：y29+x2=1，過(guò)點(diǎn)P12,12的直線與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，且弦AB被點(diǎn)P平分，則直線AB的方程為()A.9x-y-4=0B.9x+y-5=0C.2x+y-2=0D.2x-y+2=0【解析】選B.橢圓：y29+x2=1，過(guò)點(diǎn)P12,12的直線與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y129+x12=1(1)y229+x22=1(2)由(1)(2)相減得：(y1+y2)(y1-y2)9+(x

17、1+x2)(x1-x2)=0，點(diǎn)P是AB的中點(diǎn)，所以x1+x2=1，y1+y2=1，由題知x1x2，所以y1-y2x1-x2=-9，則直線AB的方程y-12=-9x-12，整理得9x+y-5=0.三、解答題(每小題10分，共20分)5.設(shè)P是圓x2+y2=25上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D是P在x軸上的投影，M為PD上一點(diǎn)，且|MD|=45|PD|.(1)當(dāng)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡C的方程.(2)求過(guò)點(diǎn)(3，0)且斜率為45的直線被C所截線段的長(zhǎng)度.【解析】(1)設(shè)M的坐標(biāo)為(x，y)，P的坐標(biāo)為(xP，yP)，由已知得xP=x,yP=54y.因?yàn)镻在圓上，所以x2+54y2=25，即C的方程為x225+

18、y216=1.(2)過(guò)點(diǎn)(3，0)且斜率為45的直線方程為y=45(x-3)，設(shè)直線與C的交點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，將直線方程y=45(x-3)代入C的方程，得x225+(x-3)225=1，即x2-3x-8=0.=(-3)2+32=41>0所以x1+x2=3，x1x2=-8.所以線段AB的長(zhǎng)度為|AB|=(x1-x2)2+(y1-y2)2=1+1625(x1-x2)2=4125(x1+x2)2-4x1x2=4125×41=415.6.(2014·陜西高考)已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0，3)，離心率為12，左、右焦點(diǎn)分別為F1(-c，0)，F(xiàn)2(c，0).(1)求橢圓的方程.(2)若直線l：y=-12x+m與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，與以F1F2為直徑的圓交于C，D兩點(diǎn)，且滿足|AB|CD|=534，求直線l的方程.【解題指南】(1)先由已知得橢圓短半軸長(zhǎng)，再由離心率及a，b，c間的關(guān)系，列方程組得解.(2)先利用直線與圓相交求得弦CD的長(zhǎng)，再利用橢圓與直線相交得AB的長(zhǎng)，通過(guò)解方程得m值從而得解.【解析】(1)由題設(shè)知b=3,ca=12,b2=a2-c2,解得a=2，b=3，c=1，所以橢圓的方程為x24+y23=1.(2)由題