高考數(shù)學(xué)解題技巧

1、.2021高考數(shù)學(xué)解題方法第1計(jì) 芝麻開門 點(diǎn)到成功計(jì)名釋義七品芝麻官，說(shuō)的是這個(gè)官很小，就是芝麻那么小的一點(diǎn). 阿里巴巴用“芝麻開門，講的是“以小見大. 就是那點(diǎn)芝麻，竟把那個(gè)龐然大門給“點(diǎn)開了. 數(shù)學(xué)中，以點(diǎn)成線、以點(diǎn)帶面、兩線交點(diǎn)、三線共點(diǎn)、還有頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、極限點(diǎn)等等，這些足以說(shuō)明“點(diǎn)的重要性. 因此，以點(diǎn)破題，點(diǎn)到成功就成了自然之中、情理之中的事了. 典例示X例題將楊輝三角中的每一個(gè)數(shù)都換成分?jǐn)?shù)，就得到一個(gè)如以下圖所示的分?jǐn)?shù)三角形，稱來(lái)萊布尼茨三角形. 從萊布尼茨三角形可以看出，其中 . 令，那么 . 分析 一看此題，圖文并舉，篇幅很大，還有省略號(hào)省去的有無(wú)窮之多，真乃是個(gè)龐然大物.

2、從何處破門呢.我們?nèi)匀辉凇包c(diǎn)上打主意. 萊布三角形，它雖然沒有底邊，但有個(gè)頂點(diǎn)，我們就打這個(gè)頂點(diǎn)的主意. 解 將等式與右邊的頂點(diǎn)三角形對(duì)應(yīng)圖右，自然有對(duì)此，心算可以得到：n =1，r =0，x=1對(duì)一般情況講，就是x = r+1 這就是此題第1空的答案. 插語(yǔ) 此題是填空題，只要結(jié)果，不講道理. 因此沒有必要就一般情況進(jìn)展解析，而是以點(diǎn)帶面，點(diǎn)到成功. 要點(diǎn)明的是，這個(gè)頂點(diǎn)也可以不選大三角形的頂點(diǎn). 因?yàn)槿切沃腥我粋€(gè)數(shù)，都等于對(duì)應(yīng)的“腳下兩數(shù)之和，所以選擇任何一個(gè)“一頭兩腳式的小三角形，都能解出x=r+1. 第2道填空，仍考慮以點(diǎn)帶面，先抓無(wú)窮數(shù)列的首項(xiàng). 解 在三角形中先找到了數(shù)列首項(xiàng)，并

3、將和數(shù)列 中的各項(xiàng)依次“以點(diǎn)連線圖右實(shí)線，實(shí)線所串各數(shù)之和就是an . 這個(gè)an，就等于首項(xiàng)左上角的那個(gè). 因?yàn)樵谙蛳乱环譃槎M(jìn)展依次列項(xiàng)時(shí)，我們總是“取右舍左，而舍去的各項(xiàng)虛線所串所成數(shù)列的極限是0. 因此得到 這就是此題第2空的答案. 點(diǎn)評(píng) 解題的關(guān)鍵是“以點(diǎn)破門，這里的點(diǎn)是一個(gè)具體的數(shù)，采用的方法是以點(diǎn)串線三角形中的實(shí)線，實(shí)線上端折線所對(duì)的那個(gè)數(shù)就是問(wèn)題的答案. 事實(shí)上，三角形中的任何一個(gè)數(shù)點(diǎn)都有這個(gè)性質(zhì). 例如從這個(gè)數(shù)開場(chǎng)，向左下連線無(wú)窮射線，所連各數(shù)之和的極限就是這個(gè)數(shù)的左上角的那個(gè)數(shù). 用等式表示就是 此題型為填空題，假設(shè)改編成解答題，那就不是只有4分的小題，而是一個(gè)10分以上的大

4、題. 有關(guān)解答附錄如下. 法1 由知，可用合項(xiàng)的方法，將的和式逐步合項(xiàng). 法2 第二問(wèn)實(shí)質(zhì)上是求萊布尼茨三角形中從第三行起每一行的倒數(shù)的和，即根據(jù)第一問(wèn)所推出的結(jié)論只需在原式根底上增加一項(xiàng)，那么由每一行中的任一數(shù)都等于其“腳下兩數(shù)的和，結(jié)合給出的數(shù)表可逐次向上求和為，故，從而法3 2將代入條件式，并變形得取令得，以上諸式兩邊分別相加，得 說(shuō)明 以上三法，都是對(duì)解答題而言. 如果用在以上填空題中，那么是殺雞動(dòng)用了牛刀. 為此我們認(rèn)識(shí)到“芝麻開門，點(diǎn)到成功在使用對(duì)象上的真正意義. 對(duì)應(yīng)訓(xùn)練1如圖把橢圓的長(zhǎng)軸AB分成8份，過(guò)每個(gè)分點(diǎn)作x軸的垂線交橢圓的上半局部于P1，P2，P7七個(gè)點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓的一個(gè)

5、焦點(diǎn)，那么|P1F|+|P2F|+|P7F|=_.2如下圖，直三棱柱ABCA1B1C1中，P，Q分別是側(cè)棱AA1，CC1上的點(diǎn)，且A1P=CQ，那么四棱錐B1A1PQC1的體積與多面體ABCPB1Q的體積比值為 . 參考解答1找“點(diǎn)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)F2. 連接P1F2 、P2F2 、P7F2，由橢圓的定義FP5+P5 F2 = 2a =10如此類推FP1+P1F2 = FP2 + P2F2 = =FP7 + P7F2 = 710 = 70由橢圓的對(duì)稱性可知，此題的答案是70的一半即35.2找“點(diǎn)動(dòng)點(diǎn)P、Q的極限點(diǎn). 如下圖，令A(yù)1P= CQ = 0. 即動(dòng)點(diǎn)P與A1重合，動(dòng)點(diǎn)Q與C重合.那么多

6、面體蛻變?yōu)樗睦忮FCAA1B1B，四棱錐蛻化為三棱錐CA1B1C1 .顯然V棱柱.=于是奇兵天降答案為.點(diǎn)評(píng) “點(diǎn)到成功的點(diǎn)，都是非一般的特殊點(diǎn)，它能以點(diǎn)帶面，提醒整體，制約全局. 這些特殊點(diǎn)，在沒被認(rèn)識(shí)之前，往往是人們的盲點(diǎn)，只是在經(jīng)過(guò)點(diǎn)示之后成為亮點(diǎn)的. 這個(gè)“點(diǎn)字，既是名詞，又是動(dòng)詞，是“點(diǎn)亮和“亮點(diǎn)的合一.第2計(jì) 西瓜開門 滾到成功計(jì)名釋義比起“芝麻來(lái)，“西瓜那么不是一個(gè)“點(diǎn)，而一個(gè)球. 因?yàn)樗軌颉皾L，所以靠“滾到成功. 球能不斷地變換碰撞面，在滾動(dòng)中能選出有效的“觸面.數(shù)學(xué)命題是二維的. 一是知識(shí)內(nèi)容，二是思想方法. 根本的數(shù)學(xué)思想并不多，只有五種：函數(shù)方程思想，數(shù)形結(jié)合思想，劃分討

7、論思想，等價(jià)交換思想，特殊一般思想. 數(shù)學(xué)破題，不妨將這五種思想“滾動(dòng)一遍，總有一種思想方法能與題目對(duì)上號(hào).典例示X題1 對(duì)于R上可導(dǎo)的任意函數(shù)fx，假設(shè)滿足x1f x0，那么必有A. f0f22f1分析用五種數(shù)學(xué)思想進(jìn)展“滾動(dòng)，最容易找到感覺應(yīng)是：分類討論思想.這點(diǎn)在已條件x-1f(x)0中暗示得極為顯目.其一，對(duì)f(x)有大于、等于和小于0三種情況；其二，對(duì)x-1，也有大于、等于、小于0三種情況.因此，此題破門，首先想到的是劃分討論.解一 i假設(shè)f(x) 0時(shí)，那么f(x)為常數(shù)：此時(shí)選項(xiàng)B、C符合條件.ii假設(shè)f(x)不恒為0時(shí). 那么f(x)0時(shí)有x1，fx在上為增函數(shù)；f(x)0時(shí)x

8、1. 即fx在上為減函數(shù). 此時(shí)，選項(xiàng)C、D符合條件.綜合i，ii，此題的正確答案為C.插語(yǔ) 考場(chǎng)上多見的錯(cuò)誤是選D. 忽略了f(x)0的可能. 以為x-1f(x) 0中等號(hào)成立的條件只是x-1=0，其實(shí)x-1=0與f(x)=0的意義是不同的：前者只涉x的一個(gè)值，即x=1，而后是對(duì)x的所有可取值，有f(x)0.再析 此題fx是種抽象函數(shù)，或者說(shuō)是滿足此題條件的一類函數(shù)的集合. 而選擇支中，又是一些具體的函數(shù)值f0，f1，f2.因此容易使人聯(lián)想到數(shù)學(xué)：一般特殊思想.解二 i假設(shè)f(x)=0，可設(shè)fx=.選項(xiàng)、符合條件.iif(x)0. 可設(shè)f(x) =x-12又f(x)=2x-1.滿足(x-1)

9、 f(x) =2 (x-1)20，而對(duì) f (x)= (x-1)2. 有f0= f2=1，f1=0選項(xiàng)C，D符合條件. 綜合i，ii答案為C.插語(yǔ) 在這類f (x)的函數(shù)中，我們找到了簡(jiǎn)單的特殊函數(shù)(x-1)2. 如果在同類中找到了(x-1)4 ，(x-1) ，自然要麻煩些. 由此看到，特殊化就是簡(jiǎn)單化.再析 此題以函數(shù)及導(dǎo)數(shù)為載體. 數(shù)學(xué)思想“函數(shù)方程不等式思想. 貫穿始終，如由f x= 0找最值點(diǎn)x =0，由f x00找單調(diào)區(qū)間，最后的問(wèn)題是函數(shù)比大小的問(wèn)題.由于函數(shù)與圖象相聯(lián)，因此數(shù)形結(jié)合思想也容易想到.解三 i假設(shè)f (0)= f (1)= f (2)，即選B，C，那么常數(shù)f (x)

10、= 1符合條件. 右圖水平直線ii假設(shè)f (0)= f (2) f (1)對(duì)應(yīng)選項(xiàng)C，D右圖下拱曲線. 那么滿足條件(x-1) f x0.探索 此題涉及的抽象函數(shù)f (x)，沒有給出解析式，只給出了它的一個(gè)性質(zhì)：(x-1) f x0，并由此可以判定f (0)+ f (2) f (1). 自然，有這種性質(zhì)的具體函數(shù)是很多的，我們希望再找到一些這樣的函數(shù).變題 以下函數(shù)f (x)，具有性質(zhì)(x-1) f x0從而有f (0)+ f (2) 2 f (1)的函數(shù)是A. fx= (x-1)3 B. fx= (x-1) C. fx= (x-1)D. fx= (x-1)解析 對(duì)A，f (0)= -1， f

11、 (2) =1，f (1)=0，不符合要求；對(duì)B，f (0)無(wú)意義； 對(duì)C，f (0)= -1， f (2) =1，f (1)=0，不符合要求；答案只能是D.對(duì)D， f (0)= 1， f (1) =0，f (2)=1.且f x=(x-1)使得 (x-1) f(x) =(x-1)(x-1) 0.說(shuō)明 以x=1為對(duì)稱軸、開口向上的函數(shù)都屬這類抽象函數(shù). 如fx=(x-1) ，其中m，n都是正整數(shù)，且nm.點(diǎn)評(píng) 解決抽象函數(shù)的方法，切忌“一般解決，只須按給定的具體性質(zhì)“就事論事，抽象函數(shù)具體化，這是“一般特殊思想在解題中具體應(yīng)用.題2 實(shí)數(shù)x，y滿足等式 ，試求分式的最值。分析“最值涉及函數(shù)，“等

12、式連接方程，函數(shù)方程思想最易想到.解一 函數(shù)方程思想運(yùn)用令 y = k (x-5) 與方程聯(lián)立消y，得：根據(jù)x的X圍應(yīng)用根的分布得不等式組：解得 即 即所求的最小值為，最大值為.插語(yǔ) 解出，談何易！十人九錯(cuò)，早就應(yīng)該“滾開，用別的思想方法試試.解二 數(shù)形結(jié)合思想運(yùn)用由得橢圓方程 ，0看成是過(guò)橢圓上的點(diǎn)x，y，(5，0)的直線斜率圖右.聯(lián)立得令得，故的最小值為，最大值為.插語(yǔ) 這就是“滾動(dòng)的好處，解二比解一容易多了. 因此，滾動(dòng)開門，不僅要善于“滾到，還要善于“滾開.點(diǎn)評(píng) “西瓜開門把運(yùn)動(dòng)學(xué)帶進(jìn)了考場(chǎng)解題. 滾動(dòng)能克制解題的思維定勢(shì).解題時(shí)，要打破思維固化，在思想方法上要“滾動(dòng)，在知識(shí)上要“滾動(dòng)

13、，在根本技能技巧上也要“滾動(dòng). 總之，面對(duì)考題，在看法、想法和方法上要注意“滾動(dòng).對(duì)應(yīng)訓(xùn)練1.假設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y)，且lgy，lg|x|，lg成等差數(shù)列，那么動(dòng)點(diǎn)P的軌跡應(yīng)為圖中的 ( )2.函數(shù)y=1- (-1x0)的反函數(shù)是 ( )A.y=-(0x1) B.y= (0x1)C. y=- (-1x0) D. y= (-1x0,a+2b+cac C.b2ac且a0 D.b2ac且a0且yx.選項(xiàng)B中無(wú)x0的圖像，均應(yīng)否認(rèn)；當(dāng)x=yR+時(shí)，lg無(wú)意義，否認(rèn)A,選C【點(diǎn)評(píng)】 上面的解法中條件與選項(xiàng)一并使用，滾滾碰碰中終于找到了正確的選項(xiàng).此題的常規(guī)解法是：當(dāng)x0且yx時(shí)，由lgy+lg=2

14、lg|x|，化簡(jiǎn)可得(x+y)(2x-y)=0.y=-x或y=2x(x0,y0).2.【思考】 分析各選項(xiàng)，僅解析式符號(hào)有區(qū)別.定義域中等號(hào)的位置有區(qū)別，所以擬從這兩方面滾動(dòng)著手排除錯(cuò)誤的選項(xiàng).原函數(shù)定義域?yàn)?1x0，其反函數(shù)值域?yàn)?1y0,a+2b+c0,f(1)=a+2b+c0,即b2ac,應(yīng)選B.【點(diǎn)評(píng)】 在解題時(shí)易受題設(shè)條件的干擾,企圖從不等式出發(fā):4b4a+c, 2b0)與連結(jié)A(1,2),B(3,4)兩點(diǎn)的線段沒有公共點(diǎn),求a的取值X圍.參考答案1. 命sin2=sin2=sin2=,那么cos2=cos2=cos2=.、為銳角時(shí)，cos=cos=cos=.coscoscos=.(

15、注：根據(jù)解題常識(shí)，最大值應(yīng)在cos=cos=cos時(shí)取得).2.解析 按常規(guī),設(shè)橢圓中心為(x0,y0),并列出過(guò)點(diǎn)P的切線方程,聯(lián)立消參可求得橢圓方程.假設(shè)借極限思想,將點(diǎn)橢圓視為橢圓的極限情況,那么可簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程.e=,那么a2=5b2.設(shè)長(zhǎng)軸平行于y軸且離心率e=的橢圓系為(x+，把點(diǎn)P(-看做當(dāng)k0時(shí)的極限情形(點(diǎn)橢圓),那么與直線l:2x-y+3=0相切于該點(diǎn)的橢圓系即為過(guò)直線l與“點(diǎn)橢圓的公共點(diǎn)的橢圓系方程:(x+又所求的橢圓過(guò)1，0點(diǎn),代入求得=-.因此所求橢圓方程為x2+=1.點(diǎn)評(píng) 將點(diǎn)橢圓視為橢圓的極限情況處理問(wèn)題,減少了運(yùn)算量,簡(jiǎn)化了運(yùn)算過(guò)程.3.解析 假設(shè)按常規(guī),需分兩種

16、情況考慮:A,B兩點(diǎn)都在橢圓外;A,B兩點(diǎn)都在橢圓內(nèi).假設(shè)借用補(bǔ)集思想那么防止了分情況討論,使計(jì)算簡(jiǎn)潔.設(shè)a的允許值的集合為全集I=a|aR,a0,先求橢圓和線段AB有公共點(diǎn)時(shí)的取值X圍.易得線段AB的方程為y=x+1,x1,3,由方程組,x1,3,a2的值在1,3內(nèi)遞增,且x=1和x=3時(shí)分別得a2=或a2=,故a2.a0,a.故當(dāng)橢圓與線段AB無(wú)公共點(diǎn)時(shí),a的取值X圍為0a.第4計(jì) 關(guān)羽開門 刀舉成功計(jì)名釋義關(guān)羽不同于諸葛. 諸葛是智星，靠著扇子；關(guān)羽是武士，用的大刀. “過(guò)關(guān)斬將用這大刀，“水淹七軍用這大刀. 數(shù)學(xué)上的“分析、“分解、“分割等，講的都是刀工. 關(guān)羽的“切瓜分片是什么意思.

17、切者，七刀也，分者，八刀也！再難的數(shù)學(xué)題，經(jīng)過(guò)這七刀、八刀，最后不就粉碎了嗎！典例示X例1 如圖，在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，E、P分別是BC、A1D1的中點(diǎn)，M、N分別是AE、CD1的中點(diǎn)，AD=AA1=a，AB=2a.求證：MN面ADD1A1；求二面角PAED的大?。磺笕忮FPDEN的體積.分析 這是個(gè)長(zhǎng)方體，而“長(zhǎng)正好是“寬和“高的2倍，這正是“關(guān)羽開門的對(duì)象：用刀從中一劈，那么分成2個(gè)相等的正方體. 對(duì)于正方體，我們?cè)摱嗝词煜ぐ?！有關(guān)線段的長(zhǎng)度，各線段間的位置關(guān)系，我們都了如指掌.解 取D1C1的中點(diǎn)Q ，過(guò)Q和MN作平面QRST. 顯然，M、N都在這平面里.易知QN和SM都平

18、行于平面BCC1B1MNBCC1B1MN面ADD1A1證畢.插語(yǔ) 其所以這么簡(jiǎn)單，是因?yàn)槲覀儗?duì)正方體熟悉. 正方體從何而來(lái)，感謝關(guān)羽的大刀之功. 以后的和，都可轉(zhuǎn)化到正方體里進(jìn)展從略.【例2】設(shè)p0是一常數(shù)，過(guò)點(diǎn)Q2p，0的直線與拋物線y2=2px交于相異兩點(diǎn)A、B，以線段AB為直徑作圓HH為圓心.試證：拋物線頂點(diǎn)在圓H的圓周上；并求圓H的面積最小時(shí)直線AB的方程.【分析】AB是圓H的直徑，欲證拋物線的頂點(diǎn)在圓上，有如下各種對(duì)策：1證|OH|=|AB|.(2)證|OA|2+|OB|2=|AB|23證AOB=90,即OAOB，等.顯然，利用向量知識(shí)證=0,當(dāng)為明智之舉.【解答】當(dāng)ABx軸時(shí)，直線

19、AB的方程為x=2p,代入y2=2px;y2=4p2,y=2p,|AB|=|y1-y2|=4p.顯然，滿足|OQ|=|AB|,此時(shí)Q、H重合,點(diǎn)Q在H上.如直線AB與x軸不垂直，設(shè)直線AB：y=tan(x-2p),x=,代入：y=tan-2ptan.即tany2-2py-4p2tan=0.此方程有不同二實(shí)根y1y2,y1+y2=,y1y2=-4p2. =x1x2+y1y2=+y1y2=-4p2=0.,故點(diǎn)O仍在以AB為直徑的圓上.【分析】()為使圓面積最小只須圓半徑取到最小值，為此不可防止的要給出直徑AB之長(zhǎng)的函數(shù)表達(dá)式，直觀上我們已可推測(cè)到當(dāng)ABx軸時(shí)，弦AB之長(zhǎng)最短(這就是論證方向)，為此

20、又有多種途徑:(1)用直線的點(diǎn)斜式與拋物線方程聯(lián)立，得關(guān)于x或y的一元二次方程，利用韋達(dá)定理寫出|AB|2的函數(shù)式，再用二次函數(shù)或均值不等式的知識(shí)求其最值.(2)用直線的參數(shù)方程與拋物線方程聯(lián)立，得關(guān)于參數(shù)t的一元二次方程，利用韋達(dá)定理寫出|AB|2=t1-t22的函數(shù)表達(dá)式，再依正、余弦函數(shù)的有界性求其最值.這兩種方法各有優(yōu)長(zhǎng)，但都須牽涉到兩個(gè)變量x,y,以下我們推薦，利用投影公式得出的|AB|函數(shù)式，只牽涉一個(gè)變量.【解答】直線AB的傾角為,當(dāng)=90時(shí)，H的半徑為2p,SH=4p2.當(dāng)90時(shí)，不妨設(shè)0,)，那么綜上，|AB|min=4p,當(dāng)且僅當(dāng)=90時(shí)，SHmin=4p2,相應(yīng)的直線AB

21、的方程為：x=2p.別解：由1知恒有AOB=90.|2=|=2x1x2+2p(x1+x2)2x1x2+4p.y1y2=-4p2,x1x2=于是|216p2,| |min=4p.當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2=2p時(shí)，SH=4p2.【點(diǎn)評(píng)】斧子開門，只要你說(shuō)要進(jìn)去，直接在墻上打洞最直接了.對(duì)應(yīng)訓(xùn)練1.函數(shù)f(x)=a1x+a2x2+a3x3+anxn,nN+,且a1,a2,，an構(gòu)成一個(gè)數(shù)列an,滿足f(1)=n2.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式，并求之值.(2)證明0f旁白 才子一看，發(fā)現(xiàn)是個(gè)錯(cuò)解，于是有以下的評(píng)語(yǔ). 評(píng)語(yǔ) 學(xué)了導(dǎo)數(shù)可糟糕，殺雞到處用牛刀，單調(diào)區(qū)間不清楚，亂用函數(shù)比大小.解二作差比擬法-=0旁

22、白 才子一看，答案雖是對(duì)的，但解題人有點(diǎn)過(guò)于得意，因此得到以下評(píng)語(yǔ).評(píng)語(yǔ)解題本錢你不管，別人求近你走遠(yuǎn)，作差通分太費(fèi)力，面對(duì)結(jié)果向回轉(zhuǎn).旁白 大家聽才子這么說(shuō)，紛紛要求才子本人拿出自己的解法來(lái)，于是有了以下的奇解.奇解 =1旁白 大家一看，十分驚喜，但對(duì)解法的來(lái)歷有點(diǎn)奇怪. 于是才子有了如下的自評(píng).自評(píng) 標(biāo)新本來(lái)在立意，別人作商我作積，結(jié)果可由心算出，不用花費(fèi)紙和筆.旁白 這時(shí)，上面那位提供解法一的人有點(diǎn)不服氣：難道“求導(dǎo)法就不能解出此題嗎.才子答復(fù)：當(dāng)然能！不過(guò)需要“統(tǒng)一單調(diào)區(qū)間，請(qǐng)看下解正解 f (x) = f(x)=ln旁白 大家一看，齊聲說(shuō)妙，要求才子再評(píng)說(shuō)一下. 于是又有了下面的奇文

23、.評(píng)語(yǔ) 因?yàn)閿?shù)3比e大，單調(diào)區(qū)間從3劃，數(shù)4也在本區(qū)間，故把數(shù)2搬個(gè)家.【例1】 向量a=(，1)，b是不平行于x軸的單位向量，且ab=，那么b= ( )A(，) B(,) C.() D1，0【特解】 由|b|=1，排除C；又b與x軸不平行，排除D；易知b與a不平行，排除A.答案只能為B.【評(píng)說(shuō)】 本解看似簡(jiǎn)單，但想時(shí)不易，要看出向量b與A()是平行向量，一般考生不能做到.【別解】 因?yàn)閎是不平行于x軸的單位向量，可排除C、D兩項(xiàng). 又ab=,將A代入不滿足題意,所以答案只能為B.【評(píng)說(shuō)】 此題通過(guò)三次篩選才得出正確答案,思維量很大,到A、B選項(xiàng)時(shí)還需動(dòng)手計(jì)算，真是淘盡黃沙始是金??！【另解】

24、設(shè)b=(cos,sin),那么ab=(,1)(cos,sin)=cos+sin= sin(60+)=在區(qū)間0，上解得：=60.故b=().【評(píng)說(shuō)】 此題涉及解三角方程，并確定解答區(qū)間，這不是一個(gè)小題的份量.【錯(cuò)解】 選A者,誤在(a，選C者,誤在|a|=1.選D者，沒有考慮到1，0與x軸平行.【評(píng)說(shuō)】 此題三個(gè)假支的設(shè)計(jì)，其質(zhì)量很高，各有各的錯(cuò)因，相信各有各的“選擇人.對(duì)應(yīng)訓(xùn)練1.假設(shè)奇函數(shù)f(x)在(0,+)上是增函數(shù),又f(-3)=0,那么x|xf(x)3或-3x0 B.x|0x3或x3或x-3 D.x|0x3或-3x02.某工程隊(duì)有6項(xiàng)工程需要先后單獨(dú)完成，其中工程乙必須在工程甲完成后才

25、能進(jìn)展，工程丙必須在工程乙完成后才能進(jìn)展，又工程丁必須在工程丙完成后立即進(jìn)展，那么安排這6項(xiàng)工程的不同排法種數(shù)是 .(用數(shù)字作答)參考答案1.分析 由函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性概念入手，結(jié)合其草圖即可寫出所求答案.解析一 由f(x)為奇函數(shù)且f(-3)=0,得f(3)=0.又f(x)在(0,+)上是增函數(shù),據(jù)上述條件作出滿足題意的y=f(x)草圖(如圖1),在圖中找出f(x)與x異號(hào)的局部,可以看出xf(x)0的解集為x|0x3或-3x0)的草圖(如圖2),x、f(x)均為R上的奇函數(shù),xf(x)為偶函數(shù),不等式xf(x)0的解集關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,故先解借助圖象得0x3,由對(duì)稱性得xf(x)0的解集為x

26、|0x3或-3x0,應(yīng)選D.解析三 借助圖1或圖2,取特殊值x=2,知適合不等式xf(x)0,排除A、C;又奇奇=偶,xf(x)為偶函數(shù),解集關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,又可排除B,應(yīng)選D.【點(diǎn)評(píng)】 此題主要考察了函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的有關(guān)內(nèi)容.正確理解,掌握相關(guān)性質(zhì),是解題的根底與關(guān)鍵.在選擇題中,如果出現(xiàn)抽象函數(shù),一般用特殊值法會(huì)比擬快捷,如解析三,判斷抽象函數(shù)單調(diào)性的根本方法是定義法,如果掌握了一些根本規(guī)律,可簡(jiǎn)化解題過(guò)程,如解析二.奇(偶)奇(偶)=奇(偶),奇(偶)奇(偶)=偶.數(shù)形結(jié)合是解題的常用技巧,對(duì)于某些題目,做題時(shí)無(wú)需準(zhǔn)確作圖,只要勾畫出圖象的大體構(gòu)造,作出草圖即可.2.【分析】 排列組

27、合解應(yīng)用題.6個(gè)元素作有限制的排列,其中4個(gè)元素有先后順序.并且C，D捆綁之后成為一個(gè)元素.問(wèn)題有一定的難度.加法原理和乘法原理都能考慮.【通解】 考察有條件限制的排列問(wèn)題，其中要求局部元素間的相對(duì)順序確定：據(jù)題意由于丁必須在丙完成后立即進(jìn)展，故可把兩個(gè)視為一個(gè)大元素，先不管其它的限制條件，使其與其他四人進(jìn)展排列共有A種排法，在所有的這些排法中，甲、乙、丙相對(duì)順序共有A種，故滿足條件的排法種數(shù)共有=20.【正解】 5個(gè)元素設(shè)作A,B,C,D,x,y.將排列種數(shù)分兩類:第一類,x,y相連,在A,B,C,D之間或兩頭插位,有2C=8種方法.第二類,x,y不連,在A,B,C,D之間或兩頭插位,有2C

28、=12種方法.【評(píng)說(shuō)】 先分類:“相連與“不連為完全劃分；后分步：第1步組合，第2步排列，也是完全劃分.【另解】 5個(gè)元素設(shè)作A，B，C，D，x,y.五個(gè)時(shí)位設(shè)作a,b,(c,d),e,f.第1步考慮元素x到位，有5種可能；第2步考慮元素y到位，有4種可能；第3步，A，B，C，D按順序到位，只1種可能.由乘法原理，方法總數(shù)為54=20種.【評(píng)說(shuō)】 “另解比“正解簡(jiǎn)便，但思維要求高.在元素x和y已到位之后，在留下的3個(gè)位置上，A，B，C，D按序到位情況只1種.這點(diǎn)，一般學(xué)生不易想通.【別解】 設(shè)所求的排法總數(shù)為x種，在每1個(gè)排好的隊(duì)列中，取消A，B，C，D3元素的限序，那么有xP3=P5x=54

29、=20.【評(píng)說(shuō)】 別解也是“想得好，算得省，用的是乘法原理P5=5P4=20P3.第6計(jì) 勇士開門 手腳咚咚計(jì)名釋義一個(gè)婦女立在衙門前的大鼓旁邊，在哭. 一勇士過(guò)來(lái)問(wèn)其故.婦女說(shuō)：“我敲鼓半天了，衙門還不開.勇士說(shuō)：“你太斯文，這么秀氣的鼓捶，能敲出多大聲音.你看我的！說(shuō)完，勇士撲向大鼓，拳打腳踢. 一會(huì)兒，果然衙門大開，衙役們高呼：“有人擊鼓，請(qǐng)老爺升堂！考場(chǎng)解題，何嘗不是如此：面對(duì)考題，特別是難題，斯文不得，秀氣不得，三教九流，不拘一格. 唯分是圖，雅的，俗的，一并上陣.典例示X【例1】 x,y, aR，且,那么cos (x+2y)的值為 ( )A.0 B.1 C.2 D.3【思考】 代數(shù)

30、方程中滲入了三角函數(shù)，不可能用初等方法“正規(guī)地求出它的解.但兩個(gè)方程有較多的形似之處，能否通過(guò)適當(dāng)?shù)淖冃问怪伞靶嗡频健吧袼颇?解：由條件得：x,-2y是方程t3+sint-2a=0之二根.【插語(yǔ)】 這是勇士之舉，采用手腳并用，誰(shuí)會(huì)想到用方程根來(lái)解決它呢設(shè)f (t)=t3+sint-2a. 當(dāng)t時(shí)，均為增函數(shù)，而-2a為常數(shù).上的單調(diào)增函數(shù).f (x)= f (-2y)=0.只能x=-2y,即x+2y=0.于是cos (x+2y)=1. 選B.【點(diǎn)評(píng)】 想到方程根使所給2個(gè)式子合二為一，是此題一個(gè)難點(diǎn)之一；判斷函數(shù)是單調(diào)函數(shù)又是一個(gè)難點(diǎn).【例2】 向量a= (cos,sin),向量b=(,-1

31、) ， 那么 |2a - b| 的最大值、最小值分別是( )A.4,0 B.4,2 C.16,0 D.4,0【解答】 如圖，點(diǎn)A(cos,sin)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，延OA到C，使=2a, 求的最值，顯然.當(dāng)與反向時(shí)有最大值4,與同向時(shí)有最小值0. 選D.【點(diǎn)評(píng)】 本例 解題思想很簡(jiǎn)單，誰(shuí)不知道“三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊呢， 例2題解圖為求極值，我們的勇士勇敢地到極地當(dāng)BOC不復(fù)存在時(shí)，才有可能取得.【例3】 設(shè)f (x), g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當(dāng)x0，且g(-3)=0, 那么不等式f (x)g(x)0的解集是 ( )A.(-3,0)(3,+) B.(-3,

32、0)(0,3)C.(-,-3)(3,+) D.(-,-3)(0,3)【解答】 設(shè)F(x)= f (x)g(x), 當(dāng)x0.F(x)在R上為增函數(shù).F(-x)= f (-x)g (-x)=-f (x)g (x).=-F(x).故F(x)為(-,0)(0,+)上的奇函數(shù).F(x)在R上亦為增函數(shù).g(-3)=0,必有F(-3)=F(3)=0.構(gòu)造如圖的Fx的圖象，可知 例3題解圖F(x)0的解集為x(-,-3)(0,3).【點(diǎn)評(píng)】 本例選自04XX卷12題,是小題中的壓軸題，顯然，不懂得導(dǎo)數(shù)根本知識(shí)對(duì)待本例是無(wú)能為力的，高中 代數(shù)在導(dǎo)數(shù)中得到升華，導(dǎo)數(shù)也是初數(shù)的“極地.此題還構(gòu)造了圖形，使問(wèn)題更有

33、說(shuō)服力.對(duì)應(yīng)訓(xùn)練1.以下命題正確的選項(xiàng)是 ( )A.假設(shè)an和bn的極限都不存在，那么an+bn的極值一定不存在B.假設(shè)an和bn的極限都存在，那么an+bn的極限一定存在C.假設(shè)an+bn的極限不存在，那么an和bn的極限都一定不存在D.假設(shè)an+bn的極限存在，那么an和bn的極限要么都存在，要么都不存在2.過(guò)定點(diǎn)M (-1,0)且斜率為k的直線與圓x2+4x+y2-5=0在第一象限內(nèi)的局部有交點(diǎn)，那么k的取值X圍是 A.0k B.-k0 C.0k D.0kkMA=0;kMNkMB=.故知, k(0,), 選A. 第2題解圖3.A T3=C(-2x)2=36 (2x)2=288， 2 2x

34、=8， x=, =(0,1).數(shù)列是首項(xiàng)與公比均為的無(wú)窮遞縮等比數(shù)列.原式=2. 選A.第7計(jì) 模特開門 見一知眾計(jì)名釋義一時(shí)裝模特，在表演時(shí)，自己笑了，臺(tái)下一片喝彩聲. 她自感成功，下去向老板索獎(jiǎng). 誰(shuí)知老板不僅沒獎(jiǎng)，反而把她炒了. 冤枉不.不冤枉！模特二字，特是幌子，模是目的.模特表演是不能笑的. 試想，模特一笑，只能顯示模特本人的特色，誰(shuí)還去看她身上的服裝呢.所以，模特一笑，特在模掉！數(shù)學(xué)的特殊性特值解題，既要注意模特的特殊性，更要注意模特的模式性代表性，這樣，才能做到“一點(diǎn)動(dòng)眾. 特值一旦確定，要研究的是特值的共性.選擇題中的“特值否認(rèn)，填空題中的“特值肯定，解答題中的“特值檢驗(yàn)，都是

35、“一點(diǎn)動(dòng)眾的例子.典例示X【例1】 如果0a(1-a) B.log(1-a)(1+a)0C.(1-a)3(1+a)2 D.(1-a)1+a1【思考】 此題關(guān)鍵點(diǎn)在a,我們一個(gè)特殊數(shù)值，作為此題的模特.令a=,各選項(xiàng)依次化為： A B. C D. 顯然，有且僅有A是正確的，選A.【點(diǎn)評(píng)】 此題是一個(gè)選擇題，因此可以選一個(gè)模特?cái)?shù)代表一類數(shù)，一點(diǎn)動(dòng)眾.你還需要講“道理嗎.為減函數(shù)，log0,B不對(duì)；也是減函數(shù)，,D不對(duì)；直接計(jì)算，C也不對(duì)；只有A是對(duì)的.【例2】 定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)y=f (x)恒不為零，同時(shí)滿足:f (x+y)=f (x)f (y),且當(dāng)x0時(shí)，f (x)1,那么當(dāng)x0時(shí)，一定

36、有 Af (x)-1 B.-1f (x)1 D.0f (x)0時(shí)，f (x)1,根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)x0時(shí)，02x1.即0 f (x)1. 選D.【點(diǎn)評(píng)】 題干中的函數(shù)抽象，先選定特殊的指數(shù)函數(shù)使之具體，而指數(shù)函數(shù)無(wú)窮無(wú)盡地多，索性再特殊到底，選定最簡(jiǎn)單且又符合題意的函數(shù)y=2x, 這就是我們這題的模特,結(jié)果是輕而易舉地找出了正確答案.在考場(chǎng)上分分秒秒值千金，你還愿意糾纏在“為什么上無(wú)謂地犧牲自己珍貴的時(shí)間嗎.【思考2】 取特值. 令x=0, y=0, 有f (0) = f (0)2 ( f (x)0), 那么f (0)=1, f (0)= f (x-x)= f (x) f (-x), 即,

37、 當(dāng)x0.由條件：f (-x)1, 故x0時(shí), 0 f (x)1.【例3】 假設(shè)A, B, C是ABC的三個(gè)內(nèi)角，且ABC C), 那么以下結(jié)論中正確的選項(xiàng)是 A.sinAsinC B.cosAcosC C.tanAtanC D.cotAcotC【思考】 此題的模特是取特殊角. 令A(yù)=30, B= 45,C=105, 那么cosC0,tanC0,cotC0,由圖2知g(x)0,故當(dāng)x(-2, -1)時(shí)，應(yīng)有y= f (x)g(x)0. 選B.點(diǎn)評(píng) 無(wú)須弄清圖1、圖2到底表示什么函數(shù)，不必要也不可能僅憑已有的圖像信息去“準(zhǔn)確描繪y=f (x)g(x)的圖像.只須鑒別四類圖像哪一個(gè)符合題意，選定特

38、殊區(qū)間-2，-1一次檢驗(yàn)即解決問(wèn)題.第8計(jì) 小姐開門 何等輕松計(jì)名釋義有一大漢，想進(jìn)某屋. 門上并未加鎖，但他久推不開，弄得滿頭大汗.后面?zhèn)鱽?lái)一位小姐輕輕的聲音：“先生別推，請(qǐng)向后拉！大漢真的向后一拉，果然門就輕輕地開了. 大漢奇怪地問(wèn)：“這門上并沒有寫拉字，你怎么知道是拉門的呢.小姐答：“因?yàn)槲铱吹侥阃屏税胩?，門還不動(dòng)，那就只有拉了！數(shù)學(xué)上的“正難那么反就是這位小姐說(shuō)的意思. 既然正面遇上困難，那就回頭是岸，向反方向走去.典例示X【例1】 求證：拋物線沒有漸近線.【分析】 二次曲線中僅有雙曲線有漸近線，什么是漸近線.人們的解釋是與曲線可以無(wú)限接近卻又沒有公共點(diǎn)的直線.拋物線是否有這樣的直線.我們無(wú)法直接給予證明.怎么辦.“正難反收，假定拋物線有漸近線，是否會(huì)導(dǎo)出不合理的結(jié)果.【證明】 不妨設(shè)拋物線方程為y2=2px. 假定此拋物線有漸近線y=kx+b, x=, 代入直線方程，化簡(jiǎn)得：ky2-2py+2pb=0. 可以認(rèn)為：曲線與其漸近線相切于無(wú)窮遠(yuǎn)處，即如方程有實(shí)根y0, 那么，y0,或,