高二數(shù)學(xué)理科復(fù)習(xí)筆記-排列組合

1、排列組合題型總結(jié) 排列組合問(wèn)題千變?nèi)f化，解法靈活，條件隱晦，思維抽象，難以找到解題的突破口。因而在求解排列組合應(yīng)用題時(shí)，除做到：排列組合分清，加乘原理辯明，避免重復(fù)遺漏外，還應(yīng)注意積累排列組合問(wèn)題得以快速準(zhǔn)確求解。一 直接法1 特殊元素法例1用1，2，3，4，5，6這6個(gè)數(shù)字組成無(wú)重復(fù)的四位數(shù)，試求滿(mǎn)足下列條件的四位數(shù)各有多少個(gè)（1）數(shù)字1不排在個(gè)位和千位 （2）數(shù)字1不在個(gè)位，數(shù)字6不在千位。分析：（1）個(gè)位和千位有5個(gè)數(shù)字可供選擇，其余2位有四個(gè)可供選擇，由乘法原理：=2402特殊位置法（2）當(dāng)1在千位時(shí)余下三位有=60，1不在千位時(shí)，千位有種選法，個(gè)位有種，余下的有，共有=192所以總共

2、有192+60=252二 間接法當(dāng)直接法求解類(lèi)別比較大時(shí)，應(yīng)采用間接法。如上例中（2）可用間接法=252例2 有五張卡片，它的正反面分別寫(xiě)0與1，2與3，4與5，6與7，8與9，將它們?nèi)我馊龔埐⑴欧旁谝黄鸾M成三位數(shù)，共可組成多少個(gè)不同的三維書(shū)？ 分析：此例正面求解需考慮0與1卡片用與不用，且用此卡片又分使用0與使用1，類(lèi)別較復(fù)雜，因而可使用間接計(jì)算：任取三張卡片可以組成不同的三位數(shù)個(gè)，其中0在百位的有個(gè)，這是不合題意的。故共可組成不同的三位數(shù)-=432（個(gè)）三 插空法 當(dāng)需排元素中有不能相鄰的元素時(shí)，宜用插空法。 例3 在一個(gè)含有8個(gè)節(jié)目的節(jié)目單中，臨時(shí)插入兩個(gè)歌唱節(jié)目，且保持原節(jié)目順序，有多

3、少中插入方法？ 分析：原有的8個(gè)節(jié)目中含有9個(gè)空檔，插入一個(gè)節(jié)目后，空檔變?yōu)?0個(gè)，故有=100中插入方法。四 捆綁法 當(dāng)需排元素中有必須相鄰的元素時(shí)，宜用捆綁法。例4 4名男生和3名女生共坐一排，男生必須排在一起的坐法有多少種？分析：先將男生捆綁在一起看成一個(gè)大元素與女生全排列有種排法，而男生之間又有種排法，又乘法原理滿(mǎn)足條件的排法有：×=576練習(xí)1四個(gè)不同的小球全部放入三個(gè)不同的盒子中，若使每個(gè)盒子不空，則不同的放法有 種（）2 某市植物園要在30天內(nèi)接待20所學(xué)校的學(xué)生參觀，但每天只能安排一所學(xué)校，其中有一所學(xué)校人數(shù)較多，要安排連續(xù)參觀2天，其余只參觀一天，則植物園30天內(nèi)不

4、同的安排方法有（）（注意連續(xù)參觀2天，即需把30天種的連續(xù)兩天捆綁看成一天作為一個(gè)整體來(lái)選有其余的就是19所學(xué)校選28天進(jìn)行排列）五 閣板法 名額分配或相同物品的分配問(wèn)題，適宜采閣板用法例5 某校準(zhǔn)備組建一個(gè)由12人組成籃球隊(duì)，這12個(gè)人由8個(gè)班的學(xué)生組成，每班至少一人，名額分配方案共 種 。分析：此例的實(shí)質(zhì)是12個(gè)名額分配給8個(gè)班，每班至少一個(gè)名額，可在12個(gè)名額種的11個(gè)空當(dāng)中插入7塊閘板，一種插法對(duì)應(yīng)一種名額的分配方式，故有種練習(xí)1.(a+b+c+d)15有多少項(xiàng)？ 當(dāng)項(xiàng)中只有一個(gè)字母時(shí)，有種（即a.b.c.d而指數(shù)只有15故。當(dāng)項(xiàng)中有2個(gè)字母時(shí)，有而指數(shù)和為15，即將15分配給2個(gè)字母

5、時(shí)，如何分，閘板法一分為2，即當(dāng)項(xiàng)中有3個(gè)字母時(shí)指數(shù)15分給3個(gè)字母分三組即可當(dāng)項(xiàng)種4個(gè)字母都在時(shí) 四者都相加即可練習(xí)2有20個(gè)不加區(qū)別的小球放入編號(hào)為1，2，3的三個(gè)盒子里，要求每個(gè)盒子內(nèi)的球數(shù)不少編號(hào)數(shù)，問(wèn)有多少種不同的方法？（）3不定方程X1+X2+X3+X50=100中不同的整數(shù)解有（）六 平均分堆問(wèn)題 例6 6本不同的書(shū)平均分成三堆，有多少種不同的方法？ 分析：分出三堆書(shū)（a1,a2）,(a3,a4)，（a5,a6）由順序不同可以有=6種，而這6種分法只算一種分堆方式，故6本不同的書(shū)平均分成三堆方式有=15種練習(xí)：16本書(shū)分三份，2份1本，1份4本，則有不同分法？2某年級(jí)6個(gè)班的數(shù)學(xué)

6、課，分配給甲乙丙三名數(shù)學(xué)教師任教，每人教兩個(gè)班，則分派方法的種數(shù)。七 合并單元格解決染色問(wèn)題例7 （全國(guó)卷（文、理）如圖1，一個(gè)地區(qū)分為5個(gè)行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖著色，要求相鄰區(qū)域不 得使用同一顏色，現(xiàn)有四種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有 種（以數(shù)字作答）。 分析：顏色相同的區(qū)域可能是2、3、4、5 下面分情況討論: ()當(dāng)2、4顏色相同且3、5顏色不同時(shí)，將2、4合并成一個(gè)單元格，此時(shí)不同的著色方法相當(dāng)于4個(gè)元素 的全排列數(shù) （）當(dāng)2、4顏色不同且3、5顏色相同時(shí)，與情形()類(lèi)似同理可得 種著色法（）當(dāng)2、4與3、5分別同色時(shí)，將2、4；3、5分別合并，這樣僅有三個(gè)單元格 從4種顏色中選3種

7、來(lái)著色這三個(gè)單元格，計(jì)有種方法 由加法原理知：不同著色方法共有2=48+24=72（種）練習(xí)1（天津卷（文）將3種作物種植 12345 在如圖的5塊試驗(yàn)田里，每快種植一種作物且相鄰的試驗(yàn)田不能種植同一作物 ， 不同的種植方法共 種（以數(shù)字作答） （72）2（江蘇、遼寧、天津卷（理）某城市中心廣場(chǎng)建造一個(gè)花圃，花圃6分為個(gè)部分（如圖3），現(xiàn)要栽種4種顏色的花，每部分栽種一種且相鄰部分不能栽種 同一樣顏色的話(huà)，不同的栽種方法有 種（以數(shù)字作答）（120）圖3 圖43如圖4，用不同的5種顏色分別為ABCDE五部分著色，相鄰部分不能用同一顏色，但同一種顏色可以反復(fù)使用也可以不用，則符合這種要求的不同著

8、色種數(shù)（540）4如圖5：四個(gè)區(qū)域坐定4個(gè)單位的人，有四種不同顏色的服裝，每個(gè)單位的觀眾必須穿同種顏色的服裝，且相鄰兩區(qū)域的顏色不同，不相鄰區(qū)域顏色相同，不相鄰區(qū)域顏色相同與否不受限制，那么不同的著色方法是 種（84）圖5 圖65將一四棱錐(圖6)的每個(gè)頂點(diǎn)染一種顏色，并使同一條棱的兩端點(diǎn)異色，若只有五種顏色可供使用，則不同的染色方法共 種（420） 八 遞推法例八 一樓梯共10級(jí)，如果規(guī)定每次只能跨上一級(jí)或兩級(jí)，要走上這10級(jí)樓梯，共有多少種不同的走法？分析：設(shè)上n級(jí)樓梯的走法為an種，易知a1=1,a2=2,當(dāng)n2時(shí)，上n級(jí)樓梯的走法可分兩類(lèi)：第一類(lèi)：是最后一步跨一級(jí)，有an-1種走法，第

9、二類(lèi)是最后一步跨兩級(jí)，有an-2種走法，由加法原理知：an=an-1+ an-2,據(jù)此，a3=a1+a2=3,a4=a#+a2=5,a5=a4+a3=8,a6=13,a7=21,a8=34,a9=55,a10=89.故走上10級(jí)樓梯共有89種不同的方法。九.幾何問(wèn)題 1四面體的一個(gè)頂點(diǎn)位A,從其它頂點(diǎn)與各棱中點(diǎn)取3個(gè)點(diǎn)，使它們和點(diǎn)A在同一平面上，不同的取法有 種（3+3=33）2.四面體的棱中點(diǎn)和頂點(diǎn)共10個(gè)點(diǎn)（1）從中任取3個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面，共能確定多少個(gè)平面？(-4+4-3+3-6C+6+2×6=29) (2)以這10個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)，共能確定多少格凸棱錐？ 三棱錐 C104-4C64

10、-6C44-3C44=141 四棱錐 6×4×4=96 3×6=18 共有114十 先選后排法例9 有甲乙丙三項(xiàng)任務(wù)，甲需2人承擔(dān)，乙丙各需1人承擔(dān)，從10人中選派4人承擔(dān)這三項(xiàng)任務(wù)，不同的選派方法有（ ）A.1260種B.2025種C.2520種D.5054種分析：先從10人中選出2人十一用轉(zhuǎn)換法解排列組合問(wèn)題例10某人連續(xù)射擊8次有四次命中，其中有三次連續(xù)命中，按“中”與“不中”報(bào)告結(jié)果，不同的結(jié)果有多少種解 把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為四個(gè)相同的黑球與四個(gè)相同白球，其中只有三個(gè)黑球相鄰的排列問(wèn)題=20種例11 個(gè)人參加秋游帶10瓶飲料，每人至少帶1瓶，一共有多少鐘不同的帶法

11、解 把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為5個(gè)相同的白球不相鄰地插入已經(jīng)排好的10個(gè)相同的黑球之間的9個(gè)空隙種的排列問(wèn)題=126種例12 從1，2，3，1000個(gè)自然數(shù)中任取10個(gè)不連續(xù)的自然數(shù)，有多少種不同的去法解 把穩(wěn)體轉(zhuǎn)化為10個(gè)相同的黑球與990個(gè)相同白球，其其中黑球不相鄰的排列問(wèn)題。例13 某城市街道呈棋盤(pán)形，南北向大街5條，東西向大街4條，一人欲從西南角走到東北角，路程最短的走法有多少種解 無(wú)論怎樣走必須經(jīng)過(guò)三橫四縱，因此，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為3個(gè)相同的白球與四個(gè)相同的黑球的排列問(wèn)題=35（種）例14 一個(gè)樓梯共18個(gè)臺(tái)階12步登完，可一步登一個(gè)臺(tái)階也可一步登兩個(gè)臺(tái)階，一共有多少種不同的走法解 根據(jù)題意要想12步登

12、完只能6個(gè)一步登一個(gè)臺(tái)階，6個(gè)一步登兩個(gè)臺(tái)階，因此，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為6個(gè)相同的黑球與6個(gè)相同的白球的排列問(wèn)題=924（種）例15 求（a+b+c）10的展開(kāi)式的項(xiàng)數(shù)解 展開(kāi)使的項(xiàng)為abc,且+=10，因此，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為2個(gè)相同的黑球與10個(gè)相同的白球的排列問(wèn)題=66（種）例16 亞、歐乒乓球?qū)官?，各?duì)均有5名隊(duì)員，按事先排好的順序參加擂臺(tái)賽，雙方先由1號(hào)隊(duì)員比賽，負(fù)者淘汰，勝者再與負(fù)方2號(hào)隊(duì)員比賽，直到一方全被淘汰為止，另一方獲勝，形成一種比賽過(guò)程那么所有可能出現(xiàn)的比賽過(guò)程有多少種？解 設(shè)亞洲隊(duì)隊(duì)員為a1,a2，,a5,歐洲隊(duì)隊(duì)員為b1，b2，b5，下標(biāo)表示事先排列的出場(chǎng)順序，若以依次被淘汰的隊(duì)

13、員為順序比賽過(guò)程轉(zhuǎn)化為這10個(gè)字母互相穿插的一個(gè)排列，最后師勝隊(duì)種步被淘汰的隊(duì)員和可能未參加參賽的隊(duì)員，所以比賽過(guò)程可表示為5個(gè)相同的白球和5個(gè)相同黑球排列問(wèn)題，比賽過(guò)程的總數(shù)為=252（種）十二轉(zhuǎn)化命題法例17 圓周上共有15個(gè)不同的點(diǎn)，過(guò)其中任意兩點(diǎn)連一弦，這些弦在圓內(nèi)的交點(diǎn)最多有多少各？分析：因兩弦在圓內(nèi)若有一交點(diǎn)，則該交點(diǎn)對(duì)應(yīng)于一個(gè)以?xún)上业乃亩它c(diǎn)為頂點(diǎn)的圓內(nèi)接四邊形，則問(wèn)題化為圓周上的15個(gè)不同的點(diǎn)能構(gòu)成多少個(gè)圓內(nèi)接四邊形，因此這些現(xiàn)在圓內(nèi)的交點(diǎn)最多有=1365（個(gè)）十三概率法例18 一天的課程表要排入語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、英語(yǔ)、體育六節(jié)課，如果數(shù)學(xué)必須排在體育之前，那么該天的課程表有多少種排法？分析：在六節(jié)課的排列總數(shù)中，體育課排在數(shù)學(xué)之前與數(shù)學(xué)課排在體育之前的概率相等，均為，故本例所求的排法種數(shù)就是所有排法的，即A=360種十四除序法 例19 用1，2，3，4，5，6，7這七個(gè)數(shù)字組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的七位數(shù)中，（1）若偶數(shù)2，4，6次序一定，有多少個(gè)？（2）若偶數(shù)2，4，6次序一定，奇數(shù)1，3，5，7的次序也一定的有多少個(gè)？ 解（1）（2）十五錯(cuò)位排列例20 同