微分差分方程習題

1、微分方程和差分方程作業(yè)題參考答案 一、微分方程初值問題( 步長 h 取 0.1) ，求然后利用畫圖來比擬( 1)用四階 Runge-Kutta 法求解微分方程初值問題的數值解 解范圍為區(qū)間 0,3 (2)用 ode45 方法常微分方程初值問題的數值解 (近似解 )， 兩者間的差異解(1)代碼clearf=sym( y-exp(x)*cos(x) );a=0; b=3; h=0.1;n=(b-a)/h+1; % n=(b-a)/h;x=0; y=1;szj=x,y;for i=1:n-1 % i=1:nl1=subs(f, x ,y ,x,y);l2=subs(f, x ,y ,x+h/2,y+

2、l1*h/2);l3=subs(f, x ,y ,x+h/2,y+l2*h/2);l4=subs(f, x ,y ,x+h,y+l3*h);y=y+h*(l1+2*l2+2*l3+l4)/6;x=x+h; szj=szj;x,y;endplot(szj(:,1),szj(:,2),dg- );(2)代碼fun=inline( y-exp(x)*cos(x) , x , y );x,y=ode45(fun,0,3,1)兩個圖放在一起比擬如下：結論：通過對這個微分方程的兩種不同方法的求解，從圖形中可以看出，兩種方法 所得到的數值解大致重合，因此可以得出對于這個微分方程，用這兩種方法的效果 大致一樣

3、。二、設初始時容器里盛放著含凈鹽 10 千克的鹽水 100 升， 現對其以每分鐘 3 升的速率注入清水，容器內裝有攪拌器能將溶液迅時攪拌均勻，并同時以每分鐘 2 升的速 率放出鹽水，求1小時后容器里的鹽水中還含有多少凈鹽?解：分析和建模設t時刻(單位為分鐘)容器中每升鹽水中所含凈鹽的百分比為x(t),考慮時間區(qū)間t,tt，并利用質量守恒定律；t,t t內容器中凈鹽量的變化等于注入清水所含的凈鹽量減去放出鹽水中的凈鹽量。用數學公式表示出來就是：于是，令t 0，得:得到解為：(K 1)x(t) c(V t)這就是t時刻容器中凈鹽的百分比。因為V=100 升, K=2升/分鐘，當t=0時,x(0)

4、x0 =0.1，因此 c=1000003得到：x(t) 10A5*一小時(t=60)后容器中的鹽水中含有的凈鹽為：(100+60)*x(60)=10A5*(100+60)A(-2)= 3.90625 千克所以1小時后容器里的鹽水中還含有3.90625千克凈鹽。三. 早期腫瘤的體積增長滿足 Malthus模型(dV V,其中入為常數)，(1)求腫 dt瘤的增倍時間c。根據統計資料，一般有(7,465)(單位為天)，肺部惡性腫瘤的增倍時間大多大于 70天而小于465天開展太快與太慢一般都不是惡性腫瘤， 故c是確定腫瘤性質的重要參數之一2為方便起見，醫(yī)生通常用腫瘤直徑來表示t腫瘤的大小，試推出醫(yī)生用

5、來預測病人腫瘤直徑增大速度的公式D D02丁. 3正常人身上也有癌細胞，一個癌細胞直徑約為10卩m,重約0.001卩g.,當患者被查出患有癌癥時，通常直徑已有1cm以上即已增大1000倍，由此容易算出癌細胞轉入活動期已有30 c天，故如何在早期發(fā)現癌癥是攻克癌癥的關鍵之一。手術治療常 不能割去所有癌細胞，故有時需進行放射療法。射線強度太小無法殺死癌細胞，太 強病人身體又吃不消且會使病人免疫功能下降。一次照射不可能殺死全部癌細胞， 請設計一個可行的治療方案醫(yī)生認為當體內癌細胞數小于105個時即可憑借體內免疫系統殺滅。解: 1 dV VdtV= e t *c其中c為常數當t=0時V=VV= e t

6、 *V0當V=2 V。時c =ln2/ 入cr =ln2/ 入因為當t=0時D=D(3)假設，不考慮每次放射性射線殺死的免疫細胞從而影響人體免疫系統功能的前 提下，有一位癌癥病人的癌細胞的直徑為1cm,此癌癥病人的體內含有的癌細胞的含量為106個，現在醫(yī)院要對病人進行治療，打算用 17/2 a天使癌癥病人的體內的 癌細胞數目從原來的106個減少到體內免疫細胞可殺死的水平，每兩次放射性治療的時間間隔為1/2 a。決定用9次級放射性治療來使病人的癌細胞得到控制，為到達 此目的每次治療要用射線治療的射線強度為殺死癌細胞的x所需的射線量。根據假設條件，編寫 matlab程序 clear;clc;for

7、 x=1:900000 k=1000000-x;for i=1:9k=sqrt(2)*k-x;endif k=100000breakend end x= 301006得出結論，病人每隔1/2 a天進行一次放射性治療，每一次進行放射性治療所用的 射線量時殺死301006個癌細胞的射線量四. 一種昆蟲每兩周產卵一次，六周以后死亡給除了變化過程的根本規(guī)律。孵化后的幼蟲2周后成熟，平均產卵100個，四周齡的成蟲平均產卵 150個。假設 每個卵發(fā)育成2周齡成蟲的概率為0.09，稱為成活率，2周齡成蟲發(fā)育成4周齡 成蟲的概率為0.2 o1假設幵始時，02，24, 46周齡的昆蟲數目相同，計算 2周、4周、

8、6周后各種周齡的昆蟲數目;(2) 討論這種昆蟲各種周齡的昆蟲數目的演變趨勢：各周齡的昆蟲比例是否有一個 穩(wěn)定值？昆蟲是無限地增長還是趨于滅亡？(3) 假設使用了除蟲劑，使用了除蟲劑后各周齡的成活率減半，問這種除蟲劑是否有效？由題目的意思，分別設 2周齡蟲，4周齡蟲，6周齡蟲的數目為一個單位所以2周齡蟲，4周齡蟲，6周齡蟲的初值分別為1，1，1設兩周為一個觀察單位，設 x：(n1,2,3)表示第k個時間單位2n齡幼蟲的數目建立函數模型：(1) 計算計算2周、4周、6周后各種周齡的昆蟲數目的matlab程序clear;clc;x0=1;1;1;L=0 100 150；0.09 0 0；0 0.2

9、0;x1=L*x0;x2=L*x1;x3=L*x2;x1;x2;x3得出一個單位下個蟲分布蟲周齡2周齡蟲4周齡蟲6周齡蟲兩周后2500.090.2四周后3922.50.02六周后2252.73.514.5(2) 各周齡的昆蟲比例是否有一個穩(wěn)定值為簡化計算，令z在比例中的值為1用matlab編程求出個周齡在90100這個時間段的值以z的值為一個單位，求x, y的和z的比、用matlab編程擬合此蟲的數目比clear;clc;x0=1;1;1;L=0 100 150;0.09 0 0;0 0.2 0;X=x0;x(1)=X(1);y(1)=X (2);z=X(3);for k=2:1001X=L*

10、X;x(k)=X(1);y(k)=X (2);z(k)=X(3);endfor i=100:200x(i)/z(i),y(i)/z(i) end得出的結果大都分布在m =547.7538 15.6954所以三種蟲的比值為 547.75 : 15.7 : 1為恒定的值用matlab編程擬合此蟲的數目演變趨勢clear;clc;x0=1;1;1;L=0 100 150;0.09 0 0;0 0.2 0;X=xO;x(1)=X(1);y(1)=X (2);z=X(3);for k=2:11X=L*X;x(k)=X(1);y(k)=X (2);z(k)=X(3);endt=0:10;figureplo

11、t(t,x,r-)figureplot(t,y,b-)figureplot(t ,z, g:)由此程序的到蟲演變開展趨勢的折線圖產生的結果如以下三幅圖二周齡蟲的演變開展趨勢見下列圖四周齡蟲的演變開展趨勢見下列圖六周齡蟲的演變開展趨勢見下列圖由以上三幅圖，可以觀察得出昆蟲無限增長。(3) 如果使用了殺蟲劑，那么各周齡的昆蟲成活率減為原來的一半設兩周為一個觀察單位，設 X：(n 1,2,3)表示第k個時間單位2n齡幼蟲的數目建立函數模型變?yōu)椋焊鶕}意編寫matlab程序得出三幅昆蟲演變趨勢圖clear;clc;x0=1;1;1;L=0 100 150；0.0045 0 0；0 0.1 0；X=xO

12、;x(1)=X(1);y(1)=X (2);z=X(3);for k=2:11X=L*X;x(k)=X(1);y(k)=X (2);z(k)=X(3);endt=0:10;figure plot(t,x,r-)figureplot(t,y,b-)figureplot(t ,z, g：)得到下面三幅圖片二周齡蟲的演變開展趨勢見下列圖四周齡蟲的演變開展趨勢見下列圖六周齡蟲的演變開展趨勢見下列圖 五購房貸款問題李四夫婦方案貸款 30 萬元購置一套房子， 他們打算用 20 年的時間還清貸款。 目 前，銀行的貸款利率是 0.6%月。他們采用等額本息還款的方式即每月的還款額 相同歸還貸款。1. 在上述條件

13、下，小王夫婦每月的還款額是多少？共計需要付多少利息？2. 在貸款 10年零 7 個月后，他們認為他們有經濟能力還完余下的款額， 打算提 前還貸， 那么他們在已支付 10 年零 7 個月的還款額后的某天， 應一次付給銀行多少 錢，才能將余下全部的貸款還清？3. 如果在第 4 年初，銀行的貸款利率由 0.6%月調到 0.5%月，他們仍然采用 等額還款的方式，在余下的 17年內將貸款還清，那么在第 3 年后，每月的還款額應 是多少？4. 又如果在第 8 年初，銀行的貸款利率由 0.5%月調到 0.8%月， 他們仍然采 用等額還款的方式，在余下的 13 年內將貸款還清，那么在第 7 年后，每月的還款額

14、 應是多少？5. 銀行調整利率以后， 在貸款 10年零 7 個月時，他們認為他們有經濟能力還完 余下的款額，打算提前還貸，那么他們在已支付 10 年零 7 個月的還款額后的某天， 應一次付給銀行多少錢，才能將余下全部的貸款還清？6. 李四夫婦發(fā)現銀行提供了 6 種不同的還款方式 等額本息還款法 : 是指在貸款期內每月以相等的金額平均歸還貸款本息的還款 方法； 等額本金遞減法 : 是指在貸款期內每月等額歸還本金，貸款利息隨本金逐月遞 減的還款方法； 等額遞增還款法 : 是指在貸款期的后一時間段內每期還款額相對前一時間段內 每期還款額有一個固定增加額，同一時間段內，每期還款額相等的還款方法； 等額

15、遞減還款法 : 是指在貸款期的后一時間段內每期還款額相對前一時間段內每期還款額有一個固定減少額，同一時間段內，每期還款額相等的還款方法； 等比遞增還款法 : 是指在貸款期的后一時間段內每期還款額相對前一時間段內 每期還款額呈一固定比例遞增，同一時間段內，每期還款額相等的還款方法； 等比遞減還款法 : 是指在貸款期的后一時間段內每期還款額相對前一時間段內 每期還款額呈一固定比例遞減，同一時間段內，每期還款額相等的還款方法。李四夫婦認為，隨著他們工作經歷的增長，家庭收入也會隨著增長，因此，打算采用等額遞增還款法的還款方式來歸還貸款，具體的方法是：每5年為一個時間段，后一個時間段比前一個時間段每月多

16、還 400 元。在此情況下，如果貸款利率還 是 0.6%月，那么，第 1 個時間段的每月還款額是多少？以后各時間段的每月還款 額又是多少？共計付了多少利息？在貸款 10年零 7 個月后，他們認為他們有經濟能力還完余下的款額，打算提前還貸，那么他們在已支付10年零7個月的還款額后的 某天，應一次付給銀行多少錢，才能將余下全部的貸款還清？7. 在6提出的等額遞增還款法方式下，在第 4年初，銀行的貸款利率由0.6%/月調到0.5%/月，又如果在第8年初，銀行的貸款利率由 0.5%/月調到0.8% /月，那么以后各時間段的每月還款額分別是多少？在貸款 10年零7個月后，他們 認為他們有經濟能力還完余下

17、的款額，打算提前還貸，那么他們在已支付10年零7個月的還款額后的某天，應一次付給銀行多少錢，才能將余下全部的貸款還清？8. 綜合上述問題，請你們?yōu)槔钏姆驄D實際上是打算貸款購房的人寫一 份短文，幫助他們分析各種方法的利弊1建立模型，每月還款的數額為 x,設在t t=1到240月欠銀行的錢為kt， 那么在t+1月，欠銀行的錢為kt+1 =kt x 1.006-x，依照題目的意思，x應該是在1000 30000中的一個數值，依照題意，當 t=240時kt的值為0,根據分析，編出Matlab 程序：clear;clc;for x=1000:30000k=300000-x;for i=1:239k=1.

18、006*k-x;endif k=0breakendend得出x = 2348(2)根據上一問得出的結果x=2348，計算當每月還2348元時,10年7個月后，還欠銀行的錢數即可clear;clc;x=2348;k=300000-x;for i=1:126k=1.006*k-x; kend得出結果：k =192266.63過了 10年7個月后，還欠銀行的錢數為192266.63元，所以在這時，他要還銀行的錢數為192266.633在4月初銀行的利率做出了調整，只需把還款的20年分成兩個時間段，第一個時間段為最初的三年，后一個時間段為后面的 204個月，在求出每月需要還的錢數x即可根據前面的描述，

19、以 matlab程序來求x的值clear;clc;for x=1000:30000k=300000-x;for i=1:35k=1.006*k-x;endfor i=1:204k=1.005*k-x;endif k=0breakend endx = 2205所以當利率在第四年初出作出調整時，每月應還的錢數是2205(4) 在4年初和底8年初銀行的利率做出了調整，只需把還款的 20年分成三個時 間段，第一個時間段為最初的三年，第二個時間段為后面的47年，其余為第三部分，在求出每月需要還的錢數 x即可根據前面的描述，以 matlab程序來求x的值clear;clc;for x=1000:30000

20、k=300000-x;for i=1:35k=1.006*k-x;endfor i=1:48k=1.005*k-x;endfor i=1:156k=1.008*k-x;endend求出x的值為:x = 2424(5) 在4年初和底8年初銀行的利率做出了調整，只需把還款的 20年分成三個時 間段，第一個時間段為最初的三年，第二個時間段為后面的47年，其余為第三部分,根據上一問得出的結果 x=2424，計算當每月還2348元時，過了 10年7個月后, 還欠銀行的錢數k即可clear;clc;x=2424;k=300000-x;for i=1:35k=1.006*k-x;endfor i=1:48k

21、=1.005*k-x;endfor i=1:43k=1.008*k-x;endk得出結果:k = 179662.665s為所需支付的(6) 1 .根據提議用每月遞增的方法還錢，以五年為一個周期，設利息，s=總還錢數-30萬，m是以400為公差的項數為4的等差數列根據題目編寫程序clear;clc;for m=0:30000x=m;s=0;k=300000/1.006;for n=1:4x=x+400;for i=1:60k=1.006*k-x;s=s+x;endendif k=0breakendends=s-300000for i=0:3m=x-i*400ends =305280x =3122 2722 2322 19222.假設在10年7個月還欠款kclear;clc;k=300000/1.006;x=1922,2322,2722,3122;for n=1:4for i=1:6