多元函數(shù)極限ppt課件

1、第一節(jié)第一節(jié) 多元函數(shù)多元函數(shù)預(yù)備知識(shí)預(yù)備知識(shí)多元函數(shù)的概念多元函數(shù)的概念多元函數(shù)的極限多元函數(shù)的極限多元函數(shù)的連續(xù)性多元函數(shù)的連續(xù)性function of many variables預(yù)備知識(shí)預(yù)備知識(shí)平面點(diǎn)集平面點(diǎn)集,),( 2RyxyxRRR 坐標(biāo)面坐標(biāo)面坐標(biāo)平面上具有某種性質(zhì)坐標(biāo)平面上具有某種性質(zhì)P的點(diǎn)的集合的點(diǎn)的集合,稱為稱為平面點(diǎn)集平面點(diǎn)集, 記作記作.),(),( PyxyxE具具有有性性質(zhì)質(zhì) 鄰域鄰域 設(shè)P0(x0, y0)是 xOy 平面上的一個(gè)點(diǎn),幾何表示：幾何表示：Oxy. P0)()(),( ),(20200 yyxxyxPU,0鄰域鄰域的的點(diǎn)點(diǎn) P令令, 0 ).(0P

2、U有時(shí)簡(jiǎn)記為有時(shí)簡(jiǎn)記為2R稱之為稱之為 將鄰域去掉中心將鄰域去掉中心, 也可將以也可將以P0為中心的某個(gè)矩形內(nèi)為中心的某個(gè)矩形內(nèi)(不算周界不算周界)注注稱之為稱之為的全體點(diǎn)稱之為點(diǎn)的全體點(diǎn)稱之為點(diǎn)P0鄰域鄰域.去心鄰域去心鄰域.),(0 PU (1) 內(nèi)點(diǎn)內(nèi)點(diǎn),EP 點(diǎn)點(diǎn),)(EPU 使使E (2) 外點(diǎn)外點(diǎn) 如果存在點(diǎn)如果存在點(diǎn)P的某個(gè)鄰域的某個(gè)鄰域),(PU則稱則稱P為為E的的外點(diǎn)外點(diǎn).(3) 邊界點(diǎn)邊界點(diǎn) 如點(diǎn)P的任一鄰域內(nèi)既有屬于E的點(diǎn),也有不屬于也有不屬于E的點(diǎn)的點(diǎn),稱稱P為為E的邊界點(diǎn)的邊界點(diǎn).任意一點(diǎn)任意一點(diǎn)2RP 2RE 與任意一點(diǎn)集與任意一點(diǎn)集之間之間必有以下三種關(guān)系中的一種

3、必有以下三種關(guān)系中的一種:設(shè)設(shè)E為一平面點(diǎn)集為一平面點(diǎn)集, 0 若存在若存在稱稱P為為E的的內(nèi)點(diǎn)內(nèi)點(diǎn).1P )(1P)(2P2P 3P )(3PE的邊界點(diǎn)的全體稱為的邊界點(diǎn)的全體稱為E的的邊境邊境.使使U(P) E = ,聚點(diǎn)聚點(diǎn) 若點(diǎn)若點(diǎn)P的任一去心鄰域內(nèi)總有的任一去心鄰域內(nèi)總有E中的點(diǎn)中的點(diǎn)則稱則稱P是是E的的 聚點(diǎn)聚點(diǎn).(P本身可屬于本身可屬于E,也可不屬于也可不屬于E ),平面區(qū)域平面區(qū)域(重要重要)設(shè)設(shè)D是點(diǎn)集是點(diǎn)集. 連通的開集稱區(qū)域連通集連通集.如對(duì)如對(duì)D內(nèi)任何兩點(diǎn)內(nèi)任何兩點(diǎn),都可用折線連都可用折線連且該折線上的點(diǎn)都屬于且該折線上的點(diǎn)都屬于D,稱稱D是是 或開區(qū)域或開區(qū)域. 開集

4、開集若若E的任意一點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn)的任意一點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn),例例41),( 221 yxyxE稱稱E為開集為開集.E1為開集為開集.結(jié)起來結(jié)起來, 開區(qū)域連同其邊界開區(qū)域連同其邊界,稱為稱為有界區(qū)域有界區(qū)域否則稱為否則稱為總可以被包圍在一個(gè)以原點(diǎn)為中心、總可以被包圍在一個(gè)以原點(diǎn)為中心、適當(dāng)大的圓內(nèi)的區(qū)域適當(dāng)大的圓內(nèi)的區(qū)域, 稱此區(qū)域?yàn)榉Q此區(qū)域?yàn)榘霃桨霃?(可伸展到無限遠(yuǎn)處的區(qū)域可伸展到無限遠(yuǎn)處的區(qū)域 ).閉區(qū)域閉區(qū)域.有界區(qū)域有界區(qū)域.無界區(qū)域無界區(qū)域OxyOxyOxy Oxy有界開區(qū)域有界開區(qū)域有界半開半閉區(qū)域有界半開半閉區(qū)域有界閉區(qū)域有界閉區(qū)域無界閉區(qū)域無界閉區(qū)域按著這個(gè)關(guān)系有確定的按著這個(gè)關(guān)系有確定

5、的點(diǎn)集點(diǎn)集D稱為該函數(shù)稱為該函數(shù)),(yxfz ) )(Pfz 或或稱為該函數(shù)的稱為該函數(shù)的 Dyxyxfzz ),(),(則稱則稱z是是x, y的的定義定義若變量若變量z與與D中的變量中的變量x, y之間有一個(gè)依賴關(guān)系之間有一個(gè)依賴關(guān)系,設(shè)設(shè)D是是xOy平面上的點(diǎn)集平面上的點(diǎn)集,使得在使得在D內(nèi)內(nèi)每取定一個(gè)點(diǎn)每取定一個(gè)點(diǎn)P(x, y)時(shí)時(shí),z值與之對(duì)應(yīng)值與之對(duì)應(yīng),記為記為稱稱x, y為為的的數(shù)集數(shù)集二元二元( (點(diǎn)點(diǎn)) )函數(shù)函數(shù). .稱稱z為為自變量自變量, ,因變量因變量, ,定義域定義域, ,值域值域. .多元函數(shù)的概念多元函數(shù)的概念二元及二元以上的函數(shù)統(tǒng)稱為二元及二元以上的函數(shù)統(tǒng)稱為

6、記為記為 函數(shù) 在點(diǎn) 處的函數(shù)值),(yxfz ),(00yxP),(00yxf).(0Pf或或類似類似, 可定義可定義n元函數(shù)元函數(shù).多元函數(shù)多元函數(shù). .最后指出最后指出,從一元函數(shù)到二元函數(shù)從一元函數(shù)到二元函數(shù),在內(nèi)容在內(nèi)容和方法上都會(huì)出現(xiàn)一些實(shí)質(zhì)性的差別和方法上都會(huì)出現(xiàn)一些實(shí)質(zhì)性的差別, 而多元而多元函數(shù)之間差異不大函數(shù)之間差異不大.因此研究多元函數(shù)時(shí)因此研究多元函數(shù)時(shí), 將以將以二元函數(shù)為主二元函數(shù)為主. 1解解Oxy222221xxyzxy1)1(22 yx定義域是定義域是122 yx且且例例 求下面函數(shù)的定義域求下面函數(shù)的定義域二元函數(shù)的幾何意義二元函數(shù)的幾何意義 研究單值函數(shù)研

7、究單值函數(shù)二元函數(shù)的圖形通常是一張二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面曲面.),(yxfz DxyzOM xyP多元函數(shù)的極限多元函數(shù)的極限 討論二元函數(shù)討論二元函數(shù) 怎樣描述呢怎樣描述呢? Oxy (1) P(x, y)趨向于趨向于P0(x0, y0)的的),(yxfz .),(),(000時(shí)時(shí)的的極極限限即即yxPyxP路徑又是多種多樣的路徑又是多種多樣的.注注,00yyxx當(dāng)當(dāng)方向有任意多個(gè)方向有任意多個(gè), ),(00yx),(yx),(yx),(yx),(yx),(yx),(yx ),(00yx),(yx),(yx),(yxOxy(2) 變點(diǎn)變點(diǎn)P(x,y) 2020)()(yyxx ),()

8、,(000yxPyxP 0 0PP總可以用總可以用來表示極限過程來表示極限過程:與定點(diǎn)與定點(diǎn)P0(x0,y0)之間的距離記為之間的距離記為不論不論的過程多復(fù)雜的過程多復(fù)雜,),(),(00yxPyxP趨趨向向于于, 0 ,)()(02020 yyxx當(dāng)當(dāng), 0 ),(yxfzA 為為則則稱稱Ayxfyyxx ),(lim00記作記作)0(),( Ayxf或或)( 定義定義1 1有有成立成立.的極限的極限.時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)),(),(00yxyx 設(shè)二元函數(shù)設(shè)二元函數(shù) P0(x0, y0)是是D的聚點(diǎn)的聚點(diǎn). 的定義的定義 ),()(yxfPf 義域?yàn)榱x域?yàn)镈, 如果存在常數(shù)如果存在常數(shù) A, Ayxf

9、APf),()(APfPP )(lim0也記作也記作).()(0PPAPf或或則當(dāng)則當(dāng) 22)0()0(0yx, 0 01sin)(lim),(lim22220000 yxyxyxfyxyx試證試證例例證證 01sin)(2222yxyx22yx 22)0()0( yx2 取取 01sin)(2222yxyx有有證畢證畢.)0(22 yx22221sinyxyx 相同點(diǎn)相同點(diǎn) 多元函數(shù)的極限與一元函數(shù)的極限的多元函數(shù)的極限與一元函數(shù)的極限的一元函數(shù)在某點(diǎn)的極限存在的充要一元函數(shù)在某點(diǎn)的極限存在的充要定義相同定義相同.差異為差異為必需是點(diǎn)必需是點(diǎn)P在定義域內(nèi)以任何方式和途徑趨在定義域內(nèi)以任何方式

10、和途徑趨而多元函數(shù)而多元函數(shù)于于P0時(shí)時(shí),相同點(diǎn)和差異是什么相同點(diǎn)和差異是什么條件是左右極限都存在且相等條件是左右極限都存在且相等;都有極限都有極限,且相等且相等.)(Pf當(dāng)當(dāng)P(x, y) 沿直線沿直線 y = kx 的方向的方向2200limyxxyyx 22220limxkxkxkxyx 21kk 其值隨其值隨k的不同而變化的不同而變化.所以所以,極限不存在極限不存在無限接近點(diǎn)無限接近點(diǎn)(0,0)時(shí)時(shí),設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)證明證明: : 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf例例:( , )(0,0)x y 求證 當(dāng)時(shí)，函數(shù)f(x,y)極限不存在.極限極限 是否存在？是否存在？24

11、200limyxyxyx 取取,kxy 解解242yxyx ),(lim0yxfkxyx222243kxkxxkxkx 0lim220 kxkxkxyx242yxyx 444xxx 所以，極限不存在所以，極限不存在.取取,2xy 21例例 求極求極限限 .)sin(lim22200yxyxyx 解解 22200)sin(limyxyxyx其中其中yxyxyx2200)sin(limuuusinlim0, 1 222yxyx , 00 x. 0)sin(lim22200 yxyxyxyxu2 2|22xxyyx yxyxyx2200)sin(lim,222yxyx 例例 求極求極限限 .42li

12、m00 xyxyyx解解 將分母有理化將分母有理化, ,得得 42lim00 xyxyyxxyxyxyyx )42(lim00)42(lim00 xyyx4 多元函數(shù)的連續(xù)性多元函數(shù)的連續(xù)性 設(shè)二元函數(shù)設(shè)二元函數(shù) 則稱函數(shù)則稱函數(shù)定義定義2 2),(),(lim0000yxfyxfyyxx P0(x0, y0)為為D的聚點(diǎn)的聚點(diǎn), 且且 P0D.假如假如連續(xù)連續(xù).),(),(000yxPyxf在點(diǎn)在點(diǎn)如果函數(shù)如果函數(shù) f (x, y) 在在D內(nèi)的每一點(diǎn)連續(xù)內(nèi)的每一點(diǎn)連續(xù),則稱函數(shù)則稱函數(shù)在在D內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù),),(yxf或稱函數(shù)或稱函數(shù)),(yxf是是 D內(nèi)的連續(xù)函數(shù)內(nèi)的連續(xù)函數(shù). 的定義域?yàn)榈?/p>

13、定義域?yàn)镈, ),()(yxfPf 稱為多元初等函數(shù)稱為多元初等函數(shù),積、商分母不為零及復(fù)合仍是連續(xù)的積、商分母不為零及復(fù)合仍是連續(xù)的.同一元函數(shù)一樣同一元函數(shù)一樣, 多元函數(shù)的和、差、多元函數(shù)的和、差、每個(gè)自變量的基本初等函數(shù)經(jīng)有限次四則每個(gè)自變量的基本初等函數(shù)經(jīng)有限次四則運(yùn)算和有限次復(fù)合運(yùn)算和有限次復(fù)合,由一個(gè)式子表達(dá)的函數(shù)由一個(gè)式子表達(dá)的函數(shù)處均連續(xù)處均連續(xù).在它們的定義域的內(nèi)點(diǎn)在它們的定義域的內(nèi)點(diǎn)有界閉區(qū)域上連續(xù)的多元函數(shù)的性質(zhì)有界閉區(qū)域上連續(xù)的多元函數(shù)的性質(zhì)至少取得它的最大值和最小值各一次至少取得它的最大值和最小值各一次介于這兩值之間的任何值至少一次介于這兩值之間的任何值至少一次(1

14、) 最大值和最小值定理最大值和最小值定理(2) 介值定理介值定理在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域D D上的多元連續(xù)函數(shù)上的多元連續(xù)函數(shù), ,在在D D上上在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域D D上的多元連續(xù)函數(shù)上的多元連續(xù)函數(shù), , 假如假如在在D D上取得兩個(gè)不同的函數(shù)值上取得兩個(gè)不同的函數(shù)值, ,則它在則它在D D上取得上取得想一想想一想 如何證明如何證明 f( x, y)在在 000)(sin),(222222yxyxyxyxxyyxf設(shè)設(shè) 證證,022時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) yx,)0 , 0(),(時(shí)時(shí)故當(dāng)故當(dāng) yx.)0 , 0(),(也也連連續(xù)續(xù)在在下下面面證證明明yxfxOy面上處處連續(xù)面上處處連續(xù)?22)(sin),(yxyxxyyxf 是初等函數(shù)，是初等函數(shù)，)