復(fù)數(shù)問題的處理策略

1、復(fù)數(shù)問題的處理策略南京市溧水縣第二高級中學(xué)（211200） 王俊勝數(shù)的擴充，帶來了復(fù)數(shù)的引入，從而解決了我們所遇到的一些新問題下面舉例來談?wù)剰?fù)數(shù)問題的處理策略一、數(shù)形結(jié)合例1、若且，求分析：由已知條件不難聯(lián)想到本題所隱含的“形”是和是以和為兩鄰邊的平行四邊形的兩條對角線的長解：如圖1所示，由，知四邊形為正方形故另一條對角線長yxOABCyxOZ1Z1+ Z2Z2圖2圖1點撥：這樣巧妙地以形譯數(shù)，數(shù)形結(jié)合不需要計算就解決了問題，充分顯示了數(shù)形結(jié)合的思想方法在解題中的作用例2、若復(fù)數(shù)，求的最大值和最小值分析：利用復(fù)數(shù)的幾何意義求最值解：如圖2，滿足的復(fù)數(shù)所對應(yīng)的點是以為圓心，為半徑的圓表示復(fù)數(shù)所對

2、應(yīng)的點和點的距離，由題設(shè)所對應(yīng)的點在圓周上，而此圓周上的點到點距離的最大值與最小值是過的圓的直徑被點所分成的兩部分，點撥：利用復(fù)數(shù)的幾何意義解題，形象直觀，提高數(shù)形結(jié)合的解題能力二、待定系數(shù)法例3、已知為共軛復(fù)數(shù)，且，求.分析：解決此類問題的基本方法是設(shè)復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，化虛為實.解：設(shè)、，則，代入原式，得，根據(jù)復(fù)數(shù)相等得解得 或 或或所求復(fù)數(shù)為或或 或點撥：利用復(fù)數(shù)相等實現(xiàn)了復(fù)數(shù)問題向?qū)崝?shù)問題的轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想.例4、已知，且，求.解：設(shè)、，則.依題意，得.,.由、，得 或解得（舍）；或或.三、取模法例5、已知，求.解：由題設(shè)知,兩邊同時取模，得,平方，得.,.點撥：顯然，上述兩邊取模的方

3、法從整體的角度來處理，比利用復(fù)數(shù)相等的充要條件來處理要簡捷得多.例6、已知、為復(fù)數(shù)，為純虛數(shù)，且，求.分析：設(shè)、，利用復(fù)數(shù)為純虛數(shù)的充要條件求得，再代入求.解法1：設(shè)、，則.由題意，得. ,.將代入，解得,.故.解法2：由題意，設(shè)，且，則.,.故.四、方程思想例7、在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解方程（為虛數(shù)單位）.解：原方程化簡為.設(shè)、，代入上述方程得 ,解得原方程的解是.點撥：本題主要考查復(fù)數(shù)方程等知識，一般是設(shè)出代數(shù)形式，利用復(fù)數(shù)相等的充要條件轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程.例8、已知，集合同時滿足，求整數(shù).解：依題意得：，或，由得，經(jīng)檢驗，不合題意，舍去. .由得，又. .綜合、得或.點撥：此題中復(fù)數(shù)之間的等量關(guān)系并未

4、直接給出，而是通過集合之間的關(guān)系間接給出，因此復(fù)習(xí)時應(yīng)注意知識之間的相互聯(lián)系，解題時應(yīng)注意思維的廣闊性和嚴謹性的訓(xùn)練.五、轉(zhuǎn)化思想例9、當實數(shù)為何值時，.（1）為實數(shù)；（2）為虛數(shù)；（3）為純虛數(shù)；（4）復(fù)數(shù)對應(yīng)的點在復(fù)平面的第二象限內(nèi).分析：根據(jù)復(fù)數(shù)的有關(guān)概念的定義，把此復(fù)數(shù)的實部與虛部分離開，轉(zhuǎn)化為實部與虛部分別滿足定義的條件這一實數(shù)問題去求解.解：（1）若為實數(shù)，則 得. （2）若為虛數(shù)，則，且，得，且且. （3）若為純虛數(shù)，則 得. （4）若復(fù)數(shù)對應(yīng)的點在第二象限，則 .點撥：本題考查復(fù)數(shù)集中各數(shù)集的分類及復(fù)數(shù)的幾何意義，本題中給出的復(fù)數(shù)采用的是標準的代數(shù)形式，若不然，則應(yīng)先化為代數(shù)形

5、式再依據(jù)概念求解.例10、計算：（1）；（2）.分析：（1）將化為，使分子、分母可以約分，簡化了運算.（2）找到括號內(nèi)兩個復(fù)數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系：是簡化運算的關(guān)鍵.解：（1）原式=；（2）設(shè)，則，.原式=.點撥：（1）復(fù)數(shù)與及有如下關(guān)系：=，=本例的兩個小題都運用了上述關(guān)系，達到了簡化運算的目的.（2）分子分母同乘以，使分母實數(shù)化，也是常用的化簡技巧.六、分類討論例11、已知，求.分析：如果由題設(shè)求的平方根，再代入計算，則會很復(fù)雜，所以可以先對所求式子進行變換，需要什么，再由已知條件求什么.解：原式=，又由，得，或當時，原式=.當時，原式=.綜上，原式=或.點撥：（1）求一個數(shù)的平方根有兩個基本方法：設(shè)出代數(shù)形式，然后根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件求解；配方，如上例中的解法.（2）對于條件求值問題，何時使用條件，應(yīng)根據(jù)問題而定，一般情況下，應(yīng)先化簡再求值.例12、已知復(fù)數(shù)滿足且，求的值.分析：確定一個復(fù)數(shù)需且僅需兩個實數(shù)、，而題目恰給出了兩個獨立條件，采用待定系數(shù)法可求出、確定.判斷一個復(fù)數(shù)是否為實數(shù)除用定義外，還可用，可使運算簡化.解：設(shè)、），即，解得或?qū)⒋?，可得，當時，即，則有；當時，即有，則有或.綜上所述，或或.點撥：注意熟練運用