兩個基本計(jì)數(shù)原理(一)

1、11 兩個基本計(jì)數(shù)原理（一）一、教學(xué)目標(biāo) 1通過實(shí)例，總結(jié)出分類計(jì)數(shù)原理、分步計(jì)數(shù)原理； 2了解分類、分步的特征，合理分類、分布； 3體會計(jì)數(shù)原理的基本原則：不重復(fù)，不遺漏二、教學(xué)重點(diǎn)： 1分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理的區(qū)別與聯(lián)系； 2如何選用分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理三、教學(xué)難點(diǎn) 1準(zhǔn)確理解分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理； 2初步運(yùn)用分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理解決簡單的實(shí)際問題四、教學(xué)過程姜堰千島湖火車1火車2火車3汽車1汽車2 1問題情境一：五一期間，某家庭自助旅游，欲從姜堰去千島湖（浙江淳安縣），一天中有火車3班，有汽車2班，那么一天中乘坐這些交通工具從姜堰到千島湖有多少種不同的走法？ 思考：

2、假使一天中還有航班1次，輪船2次，那么從姜堰到千島湖有多少種不同的方法？ 2由情境一，你能歸納猜想出一般結(jié)論嗎？ 分類計(jì)數(shù)原理（加法原理）：完成一件事，有n類方式，在第1類方式中有m1種不同的方法，在第2類方式中有m2中不同的方法，在第n類方式中有mn中不同的方法，那么完成這件事共有 N = m1 + m2 + + mn種不同的方法要點(diǎn)分析：（1）分類；（2）相互獨(dú)立；（3）N = m1 + m2 + + mn（各類方法之和）3問題情境二：后來聽說衢州（浙江省西部）是中國著名影視明星周迅的故鄉(xiāng)，有被譽(yù)為“世界第九大奇跡”的龍游石窟，于是改變行程，先乘火車從姜堰到衢州，再乘汽車從衢州到千島湖，一

3、天中火車有3班，汽車有2班，那么從姜堰到千島湖有多少種不同的走法？（不考慮時間因素） 4由情境二，你能歸納猜想出一般結(jié)論嗎？ 分步計(jì)數(shù)原理（乘法原理）：完成一件事，需要分成n個步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法，做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N = m1 × m2 × × mn種不同的方法要點(diǎn)分析：（1）分步；（2）每步缺一不可，依次完成；（3）N = m1 × m2 × × mn（各步方法之積） 5數(shù)學(xué)運(yùn)用 例1 （課本P6頁例2）（1）在圖的電路中，只合上一只開關(guān)以接通電路，有多少種不同的

4、方法？（2）在圖的電路中，合上兩只開關(guān)以接通電路，有多少種不同的方法？ 總結(jié)，提升：變式訓(xùn)練：如下圖，從A到B共有多少條不同的線路可通電？（每條線路僅含一條通道）例2 （補(bǔ)充）現(xiàn)有高一年級的學(xué)生4名，高二年級的學(xué)生5名，高三年級的學(xué)生3名 （1）從中任選一人參加夏令營，有 種不同的選法？ （2）從每個年級的學(xué)生中各選一人參加夏令營，有 種不同的選法？變式訓(xùn)練：從不同年級中選兩名學(xué)生參加夏令營，一共有多少種不同的選法？例3 （課本P7頁例3）為了確保電子信箱的安全，在注冊時，通常要設(shè)置電子信箱密碼在某網(wǎng)站設(shè)置的信箱中， （1）密碼為4位，每位均為0到9這10個數(shù)字中的一個數(shù)字，這樣的密碼共有多少

5、個？ （2）密碼為4位，每位是0到9這10個數(shù)字中的一個，或是從A到Z這26個英文字母中的一個這樣的密碼共有多少個？ （3）密碼為46位，每位均為0到9這10個數(shù)字中的一個這樣的密碼共有多少個？變式訓(xùn)練：若在登陸某網(wǎng)站時彈出一個4位的驗(yàn)證碼：XXXX（如2a8t），第一位和第三位為0到9中的數(shù)字，第二位和第四位為a到z這26個英文字母中的一個，則這樣的驗(yàn)證碼最多有 個？6隨堂練習(xí) （1）書架的上層放有4本不同的英語書，中層放有5本不同的語文書，下層放有6本不同的數(shù)學(xué)書，從中任取1本書的不同取法的種數(shù)是 （2）在上題中，如果從中任取3本，英語、語文、數(shù)學(xué)各1本，則不同的取法的種數(shù)是 （3）（課本

6、P8頁例4）用4種不同顏色給下圖所示的地圖上色，要求相鄰兩塊涂不同的顏色，共有多少種不同的涂法？ 7課堂小結(jié) 弄清兩個原理的區(qū)別與聯(lián)系，是正確使用這兩個原理的前提與條件 這兩個原理都是指完成一件事，區(qū)別在于： （1）分類計(jì)數(shù)原理（加法原理）是“分類”，每類辦法中的每一種方法都能獨(dú)立完成一件事； （2）分步計(jì)數(shù)原理（乘法原理）是“分步”，每種方法都只能做這件事的一步，不能獨(dú)立完成這件事，只有各個步驟都完成才算完成這件事！ 8布置作業(yè)11 兩個基本計(jì)數(shù)原理（二）一、教學(xué)目標(biāo) 1能根據(jù)具體問題的特征，選擇運(yùn)用分類計(jì)數(shù)原理、分步計(jì)數(shù)原理； 2能綜合運(yùn)用兩個原理解決一些簡單的實(shí)際問題； 3會用列舉法解一

7、些簡單問題，并體會兩個原理的作用二、教學(xué)重點(diǎn)綜合運(yùn)用兩個基本原理解決一些簡單的實(shí)際問題三、教學(xué)難點(diǎn)準(zhǔn)確選用兩種基本原理四、教學(xué)過程 1復(fù)習(xí)回顧 分類計(jì)數(shù)原理（加法原理）：完成一件事，有n類方式，在第1類方式中有m1種不同的方法，在第2類方式中有m2中不同的方法，在第n類方式中有mn中不同的方法，那么完成這件事共有N = m1 + m2 + + mn種不同的方法要點(diǎn)分析：（1）分類；（2）相互獨(dú)立；（3）N = m1 + m2 + + mn（各類方法之和） 分步技術(shù)原理（乘法原理）：完成一件事，需要分成n個步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法，做第n步有mn種不同的方法，

8、那么完成這件事共有N = m1 × m2 × × mn種不同的方法要點(diǎn)分析：（1）分步；（2）每步缺一不可，依次完成；（3）N = m1 × m2 × × mn（各步方法之積）兩種基本計(jì)數(shù)原理的區(qū)別與聯(lián)系：（見下表） 2數(shù)學(xué)運(yùn)用（1）列舉法計(jì)數(shù)例1 某電腦用戶計(jì)劃使用不超過500元的資金購買單價分別為60元、70元的單片軟件和盒裝磁盤，根據(jù)需要，軟件至少買3盒，磁盤至少買2盒，則不同的選購方式有 7 種注明：本題可以列樹狀圖（2）合理分類，運(yùn)用分類加法計(jì)數(shù)原理計(jì)數(shù) 例2 等腰三角形的三邊均為正整數(shù)，且其周長不大于10，這樣的不同形狀的

9、三角形的種數(shù)為 10 種 注明：注意到邊長為正整數(shù)，周長不大于10，且任意兩邊之和大于第三邊按腰長分類，再分類計(jì)數(shù)，防止重復(fù)或遺漏（3）巧妙分步，運(yùn)用分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)數(shù) 例3 將3種作物種植在如圖所示的5塊試驗(yàn)田里，每塊種植一種作物且相鄰的試驗(yàn)田不能種植同一種作物，不同的種植方法共有多少種？（三種作物必須都種植） 注明：因有3種作物種植，需去掉只種兩種作物的情況，這種情況易被忽略 答案：42種（4）綜合運(yùn)用兩個計(jì)數(shù)原理 例4 現(xiàn)有高一年級某班三個組學(xué)生24人，其中第一、二、三組各7人、8人、9人，他們自愿組成數(shù)學(xué)興趣小組 （1）選其中1人為負(fù)責(zé)人，有多少種不同的選法？ （2）每組選1名組長，

10、有多少種不同的選法？ （3）推選2人作代表發(fā)言，這2人需來自不同的組，有多少中不同的選法？ 注明：計(jì)數(shù)關(guān)鍵在于不重復(fù)不遺漏，我們常用分類或分步的方法將較復(fù)雜的問題分解成若干較簡單的問題 答案：（1）24種；（2）504種；（3）191種 例5 在3000至8000之間有多少個無重復(fù)數(shù)字的奇數(shù)？ 注明：解決本題，容易得到以下錯解：“分三步完成，先排首位有5種方法，再排個位有5種方法，最后排中間兩位有8×7種方法，所以共有5×5×8×7 = 1400（個）”產(chǎn)生以上錯解的原因是：由題意，3、5、7這三個數(shù)既可以排在首位，也可以排在個位，因而首位與個位有可能重

11、復(fù)實(shí)際上，當(dāng)首位為3、5、7時，末位只有4種方法因此，首位是用3、5、7，還是用4、6，影響到第二步，即填個位的方法數(shù)，遇到此類情形，則要分類處理 答案：1232（個） 3隨堂訓(xùn)練 （1）課本P9頁練習(xí)15；（2）課本P9頁習(xí)題1.1 4課堂總結(jié) 解決計(jì)數(shù)問題必須審清：做什么“事”？怎樣才算“完成”？采用何種“方式”完成？若采用“分類”的方式完成，則需遵循同一個分類標(biāo)準(zhǔn)，以防重漏現(xiàn)象的發(fā)生；若采用“分步”的方式，則需按這件事發(fā)展的連續(xù)過程分層次進(jìn)行，若某一步中的每一種方法對其下一步中的方法數(shù)產(chǎn)生了不同的影響，則需采取先分類后分步的方式來協(xié)調(diào) 5布置作業(yè) 12 排列（一）一、教學(xué)目標(biāo) 1正確理解

12、排列的概念，了解樹形圖及字典排序法； 2理解排列數(shù)及簡單的排列數(shù)的計(jì)算；二、教學(xué)重點(diǎn)排列的概念及寫排列問題三、教學(xué)難點(diǎn) 1利用樹形圖或字典排序法寫一些簡單排列問題的所有排列； 2排列與排列數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系四、教學(xué)過程 1問題情境前面我們認(rèn)識了計(jì)數(shù)的兩個基本原理，下面來研究關(guān)于計(jì)數(shù)的一類常見問題：問題一：從5人的數(shù)學(xué)興趣小組中選2人分別擔(dān)任正、副組長，有多少種不同的選法？（20）問題二：用1，2，3，4，5這5個數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的兩位數(shù)，共有多少個？（20）問題三：從a，b，c，d，e這5個字母中，任取兩個按順序排成一列，共有多少種不同的排法？（20）這三個問題有什么共同特點(diǎn)？能否對上面的計(jì)數(shù)

13、問題給出一種簡便的計(jì)數(shù)方法呢？共同特點(diǎn)：問題三中把字母a，b，c，d，e分別代表人，就是問題一；分別代表數(shù)，就是問題二把上面問題中所取的對象叫做元素，于是問題一、二、三都變成問題：從五個不同的元素中任取兩個，然后按順序排成一列，共有多少種不同的排列方法？ 2問題探究（學(xué)生活動） 排列問題：從5個不同的元素a，b，c，d，e中任取2個，然后按順序排成一列，共有多少種不同的排列方法？ 方法一：運(yùn)用分步計(jì)數(shù)原理：可知共有5×4 = 20種不同排列方法二：因?yàn)樗胁煌呐帕校梢砸灰涣信e出來）是ab，ac，ad，ae，ba，bc，bd，be，ca，cb，cd，ce，da，db，dc，de，e

14、a，eb，ec，ed所以共有20種說明：如果排列問題搞清楚了，那么以后這類問題的解決就可以直接說出結(jié)果，這無疑是今后計(jì)數(shù)問題的一種非常簡便的方法（一勞永逸的方法哦?。┰俦热缯n本的兩個問題，閱讀課本第11頁到第12頁學(xué)生自我分析問題：從1，2，3，4這4個數(shù)字中，每次取出3個排成一個三位數(shù)，共可得到多少個不同的三位數(shù)？（介紹字典排序法與樹形圖）字典排序法 樹形圖 3數(shù)學(xué)理論（排列概念及排列數(shù)概念） 一般地，從n個不同的元素中取出m（mn）個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列（arrangement） 概念說明：（1）元素不能重復(fù)；（2）“按一定順序”就是與位

15、置有關(guān)，這是判斷一個問題是否是排列問題的關(guān)鍵；（3）兩個排列相同，當(dāng)且僅當(dāng)這兩個排列中的元素完全相同，而且元素的排列順序也完全相同；（4）mn時的排列叫做選排列，mn時的排列叫做全排列；（5）為了使寫出的所有排列情況既不重復(fù)也不遺漏，最好采用“數(shù)形圖”或“字典排序法” 為了研究問題的方便，我們給出下面概念及符號： 一般地，我們把從n個不同元素中取出m（mn）個元素的所有排列的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)，用符號表示 思考：（1）“排列”與“排列數(shù)”有何區(qū)別與聯(lián)系？（2）運(yùn)用分步乘法計(jì)數(shù)原理或枚舉法（字典排序或數(shù)形圖），我們可以求出排列數(shù)試求及 4數(shù)學(xué)運(yùn)用 例 分析下列問題，那

16、些是求排列數(shù)問題？ （1）有5本不同的書，從中選3本送給3名同學(xué)，每人各一本，共有多少種不同的送法？ （2）有5種不同的書，要買3本送給3名同學(xué)，每人各一本，共有多少種不同的送法？ （3）用0，1，2，3，4這5個數(shù)字，可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？ （4）用1，2，3，4，5這5個數(shù)字，可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？ （5）從1，2，3，4四個數(shù)字中，任選兩個做加法，其不同結(jié)果有多少種？ （6）從1，2，3，4四個數(shù)字中，任選兩個做除法，其不同結(jié)果有多少種？ 答案：（1）是；（2）不是；（3）不是；（4）是；（5）不是；（6）不是 拓展：求出上面問題的答案 答案：（1）60；（2

17、）125；（3）48；（4）60；（5）5；（6）10 5課堂總結(jié) （1）排列的定義中包含兩個基本內(nèi)容：一是“取出元素”，二是“按照一定順序排列”，這里的“一定順序”就是指與位置有關(guān)，這也是判斷一個問題是不是排列問題的重要標(biāo)志 （2）當(dāng)元素較少時，可以根據(jù)排列的意義列出所有的排列（枚舉法中的字典排序法與樹形圖） （3）思考：那么怎樣更快的寫出排列數(shù)呢？ 6布置作業(yè)12 排列（二）一、教學(xué)目標(biāo) 1掌握排列數(shù)公式及推導(dǎo)方法，從中體會“化歸”的數(shù)學(xué)思想； 2初步掌握應(yīng)用排列數(shù)公式進(jìn)行一些簡單的排列數(shù)的計(jì)算、證明與化簡二、教學(xué)重點(diǎn) 排列數(shù)公式的推導(dǎo)與應(yīng)用三、教學(xué)難點(diǎn) 排列數(shù)公式的推導(dǎo)與應(yīng)用四、教學(xué)過程

18、 1復(fù)習(xí)回顧與問題引入 在上一節(jié)課，我們認(rèn)識了排列、排列數(shù)的概念，下面，請同學(xué)們計(jì)算如下排列數(shù)：，并由此歸納猜想：一般地=？ 2學(xué)生活動= 2，= 6，= 12，= 20，= 30另外，排列可以看作是分步完成的，以為例 故= 6×5 = 30一般地，有故更一般地，有故 3數(shù)學(xué)理論（1）根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，我們得到排列數(shù)公式其中n，mN*，且mn （2）n個不同元素全部取出的一個排列，叫做n個不同元素的一個全排列在排列數(shù)公式中，當(dāng)m = n時，即有稱為n的階乘（factorial），通常用n!表示，即 （3）概念剖析 排列數(shù)公式的特點(diǎn)：第一個因數(shù)是n，后面每一個因數(shù)比它前面一個因數(shù)少1，

19、最后一個因數(shù)是n m + 1，共有m個因數(shù)； 當(dāng)m = n時，即n個不同元素全部取出的一個排列全排列數(shù)為：（叫做n的階乘）； 公式的變形： 規(guī)定：0！= 1，其中mn 4數(shù)學(xué)運(yùn)用例1 計(jì)算：（1）；（2） 答案：（1）720；（2）5例2 若，則n = ，m = 答案：17，14例3 若nN*，且55n69，則用排列數(shù)符號表示為 ？ 答案：例4 7人站在一排照相，共有多少種不同的站法？ 答案：例5 某年全國足球甲級聯(lián)賽共有14隊(duì)參加，每隊(duì)都要與其余各隊(duì)在主客場分別比賽一次，共進(jìn)行多少場比賽？ 答案：182例6 四支足球隊(duì)爭奪冠、亞軍，不同的結(jié)果有多少種？ 答案：12種例7 從參加乒乓球團(tuán)體比賽

20、的5名運(yùn)動員中選出3名進(jìn)行某場比賽，并排定他們的出場順序，有多少種不同的方法？ 答案：60種例8 從4種蔬菜品種中選出3種，分別種植在不同土質(zhì)的3塊土地上進(jìn)行試驗(yàn)，有多少種不同的種植方法？ 答案：24種例9 解方程： 答案：例10 解不等式： 答案：3，4，5，6，7例11 求證：（1）；（2）例12 化簡：（1）；（2） 答案：（1）；（2） 5課堂小結(jié)（1）解含排列數(shù)的方程或不等式時要注意排列數(shù)中，n，mN*，且mn這些限制條件，要注意含排列數(shù)的方程和不等式中未知數(shù)的取值范圍；（2）公式常用來求值，特別是m，n均為已知時，公式，常用來證明和化簡 6布置作業(yè)12 排列（三）一、教學(xué)目標(biāo) 1熟

21、練掌握排列數(shù)公式； 2能運(yùn)用排列數(shù)公式解決一些簡單的應(yīng)用問題，使學(xué)生逐步學(xué)會分析問題的方法，提高解決問題的能力二、教學(xué)重點(diǎn) 常見的排列數(shù)公式應(yīng)用問題的解題策略三、教學(xué)難點(diǎn) 排列數(shù)公式應(yīng)用的切入點(diǎn)分析四、教學(xué)過程 1復(fù)習(xí)回顧與問題引入前面我們認(rèn)識了分類加法原理與分步乘法原理以及從n個不同元素取出m（mn）個不同元素的排列數(shù)，運(yùn)用這些知識方法可以較好的解決一些計(jì)數(shù)問題 這節(jié)課，主要通過一些計(jì)數(shù)問題的思考來體會其中的方法及訓(xùn)練思維2數(shù)學(xué)運(yùn)用 思考一：（課本P16頁例7）用0到9這10個數(shù)字能組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？ 解法1：直接法（優(yōu)先考慮特殊位置） 由于百位上的數(shù)字不能是0，因此，為了得到

22、這個三位數(shù)， 第一步：先排百位上的數(shù)字，它可從1到9這9個數(shù)字中任選1個，有種選法 第二步：再排十位和個位上的數(shù)字，是從余下的9個數(shù)字中任選2個的一個排列，有種選法 根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，所求的三位數(shù)的個數(shù)是· = 9×9×8 = 648解法2：直接法（優(yōu)先考慮特殊元素） 由于0是一個特殊元素，因此可先排這個特殊元素符合條件的三位數(shù)可以分為3類： 第一類：每一位數(shù)字都不是0的三位數(shù)有個； 第二類：十位數(shù)字是0的三位數(shù)有個； 第三類：個位數(shù)字是0的三位數(shù)有個 根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理，符合條件的三位數(shù)的個數(shù)是+= 648解法3：間接法（先求排列總數(shù)，然后去掉不符合條件的，間接求

23、得答案）從0到9這10個數(shù)字中任取3個數(shù)字的排列數(shù)為，其中0在首位的排列數(shù)為，這些排列不能構(gòu)成三位數(shù)，因此，所求的三位數(shù)的個數(shù)是：= 648答 可以組成648個沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)同步練習(xí)一：（1）7位同學(xué)站成一排，甲、乙只能站在兩端的排法共有多少種？ 答案：240種（2）7位同學(xué)站成一排，甲、乙不能站在排頭和排尾的排法共有多少種？ 答案：2400種說明：對于“在”與“不在”的問題，常常使用“直接法”或“排除法”，“直接法”中對某些特殊元素可以優(yōu)先考慮思考二：7位同學(xué)站成一排（1）甲、乙兩同學(xué)必須相鄰的排法共有多少種？（2）甲、乙不能相鄰的排法共有多少種？（3）甲、乙兩同學(xué)必須相鄰，而且丙不能

24、站在排頭和排尾的排法有多少種？解：（1）相鄰問題可以采用“捆綁法”，但要注意捆綁在一起的元素也要排序！ 答案：1440種； （2）不相鄰問題可以采用“排除法”或“插空隙法”，前者是一種間接法，后者是一種直接法； 答案：3600種； （3）可以按“位置的特殊性”或“元素的特殊性”進(jìn)行特殊考慮 答案：960種同步練習(xí)二：（3）6張同排連號的電影票，分給3名教師與3名學(xué)生，若要求師生相間而坐，則不同的分法有多少種？（答案：）（4）某商場中有10個展架排成一排，展示10臺不同的電視機(jī)，其中甲廠5臺，乙廠3臺，丙廠2臺，若要求同廠的產(chǎn)品分別集中，且甲廠產(chǎn)品不放兩端，則不同的陳列方式有多少種？（答案：28

25、80） 思考三：（1）七個人站成一排，其中甲在乙前（不一定相鄰），乙在丙前，則共有多少種不同的站法？（2）8個人坐在圓桌上吃飯，共有多少種不同的坐法？（圓排列問題） 解：（1）這類部分元素有先后順序的問題可以用如下的兩種方法處理： 整體除法原理答案÷= 840種；逐步插空法答案= 840種（2）這是圓排列問題，我們可以以某個元素為參照物把它轉(zhuǎn)化為排列問題，即規(guī)定在這個元素左邊相鄰的一個元素為排頭，在該元素右邊相鄰的一個元素為排尾，也就是讓該元素定下位置（無論在哪個位置都一樣），再讓其余7個元素站成排成一排，排頭的在該元素左邊，其余元素依次確定這樣，把n個元素放在圓周上無編號的n個位置

26、上的問題，我們稱之為n個元素的圓排列問題，其圓排列種數(shù)為3課堂小結(jié) 基本的解題方法：（1）有特殊元素或特殊位置的排列問題，通常通常是先排特殊元素或特殊位置，稱為優(yōu)先法；（2）某些元素要求必須相鄰時，可以先將這些元素看作一個元素，與其他元素排列后，再考慮相鄰元素的內(nèi)部排列，這種方法稱為“捆綁法”；（3）某些元素不相鄰排列時，可以先排其他元素，再將這些不相鄰元素插入空擋，這種方法稱為“插空隙”法 排列問題解法相當(dāng)靈活，一般可采用直接和間接兩種思維形式，用多種方法思考不僅可以提升思維能力，還可以檢驗(yàn)答案4布置作業(yè)13 組合（一）一、教學(xué)目標(biāo) 1正確理解組合與組合數(shù)的概念； 2弄清組合與排列之間的關(guān)系

27、； 3會做組合數(shù)的簡單運(yùn)算二、教學(xué)重點(diǎn) 1組合與排列的區(qū)別與聯(lián)系； 2組合數(shù)公式的推導(dǎo)三、教學(xué)難點(diǎn) 組合數(shù)公式的推導(dǎo)四、教學(xué)過程 1設(shè)置情境前面我們研究的排列問題，許多計(jì)數(shù)問題可歸結(jié)為排列問題來處理思考下面兩個問題：問題一：有5本不同的書， （1）取出3本，分給甲、乙、丙三人，每人一本，有幾種不同的分法？（60）（2）取出3本給甲，有幾種不同的取法？（10） 問題二：從甲、乙、丙3名同學(xué)中選出2名，（1）分別去參加某天的上、下午活動，有多少種不同的選法？（2）去參加一項(xiàng)活動，有多少種不同的選法？ 分析：兩個問題的第（1）問都涉及順序，而第（2）問都沒有順序前者是排列問題，后者就是今天要研究的組

28、合問題2數(shù)學(xué)理論1 組合：一般地，從n個不同元素中取出m(mn)個元素并成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合 思考：排列和組合有什么區(qū)別與聯(lián)系？ 區(qū)別：對于從n個不同元素中所取出m個元素，排列還要“把所取元素按照一定的順序排成一列”，而組合卻是“把所取元素并成一組無順序要求” 聯(lián)系：排列可以看成由兩步來完成的事情：第一步：從n個不同元素中取出m個元素的一個組合；第二步：把所取的m個元素排成一列（m個元素的全排列）3學(xué)生活動概念對比研究，加深印象 排列：一般地，從n個不同的元素中取出m（mn）個元素（注意：所取元素必須不相同），按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元

29、素的一個排列（arrangement） 組合：一般地，從n個不同元素中取出m(mn)個元素并成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合 共同點(diǎn)：都是與“從n個不同元素中任取m個元素”有關(guān)的 不同點(diǎn)：對于從n個不同元素中所取出m個元素，排列還要“把所取元素按照一定的順序排成一列”，而組合卻是“把所取元素并成一組無順序要求” 聯(lián)系：排列可以看成由兩步來完成的事情：第一步：從n個不同元素中取出m個元素的一個組合；第二步：把所取的m個元素排成一列（m個元素的全排列）4數(shù)學(xué)理論2 組合數(shù)：從n個不同元素中取出m(mn)個元素的所有組合的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)記作： 注意：

30、是一個數(shù)，應(yīng)該與組合區(qū)分清楚5數(shù)學(xué)理論3：如何求組合數(shù)？ 簡單的，可以用列舉法，如： 范例：（1）寫出從a，b，c三個元素中取出兩個元素的所有組合（）（2）寫出從a，b，c，d四個元素中取出兩個元素的所有組合（）（3）寫出從a，b，c，d四個元素中取出三個元素的所有組合（）一般地，如何求呢？（嘗試用組合與排列的聯(lián)系來思考）一般地，求從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)，可以分為以下2步：第1步，先求出從這n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù) 第2步，求每一個組合中m個元素的全排列數(shù)根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理得到：這里m，nN*，mn，這個公式就叫做組合數(shù)公式又因?yàn)?，所以，上面的組合數(shù)公式還可以寫成，特別地

31、，當(dāng)m = 0時，即，同理：6數(shù)學(xué)運(yùn)用 例1 求（1）；（2）（答案：（1）35；（2）120） 例2 已知，求（答案：28） 例3 求證（答案：略） 例4 解不等式（答案：7或8） 例5 下列問題是排列問題還是組合問題，請用排列數(shù)或組合數(shù)表示其結(jié)果 （1）某鐵路線上有5個車站，則這條鐵路線上共需多少種不同的車票？ 排列問題，； （2）某鐵路線上有5個車站，則這條鐵路線上共有多少種不同的票價（相連兩站來去票價一樣）？ 組合問題， （3）集合A = a，b，c，d，e，f，則集合A含有4個元素的子集有多少個？ 組合問題，（4）從1，3，5，9中任取兩個數(shù)相加，可得多少個不同的和？ 組合問題：（5

32、）從1，3，5，9中任取兩個數(shù)相除，可得多少個不同的商？ 既不是排列數(shù)問題也不是組合數(shù)問題，可用分步計(jì)數(shù)原理解決（需刪除部分相同的商值）7課堂小結(jié) 組合只取元素，排列既取元素又排順序；排列問題可看成先取元素，后排順序 組合數(shù)公式的推導(dǎo)過程 8布置作業(yè)13 組合（二）一、教學(xué)目標(biāo) 1理解排列數(shù)與組合數(shù)的異同； 2熟練進(jìn)行組合數(shù)的運(yùn)算、化簡； 3能利用組合數(shù)的兩個性質(zhì)簡化計(jì)算二、教學(xué)重點(diǎn) 1組合數(shù)公式與排列數(shù)公式的區(qū)別與聯(lián)系； 2組合數(shù)公式的兩個性質(zhì)三、教學(xué)難點(diǎn) 組合數(shù)公式的兩個性質(zhì)的應(yīng)用四、教學(xué)過程 1復(fù)習(xí)與引入上節(jié)課，我們認(rèn)識了組合的意義，并注意到排列與組合的聯(lián)系：對于從n個不同元素中取出m個

33、不同元素的排列可分兩步來做：第一步：從n個不同元素中取出m個元素的一個組合；第二步：把所取的m個元素按一定順序排成一列（m個元素的全排列）正是運(yùn)用該聯(lián)系，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理我們得到組合數(shù)的計(jì)算公式：2學(xué)生活動1 練習(xí)：（1）計(jì)算，；（2）比較與的大小 答案：（1）= 120，= 120；（2）大小相等 思考一：為何上面兩個不同的組合數(shù)其結(jié)果相同？這一結(jié)果的組合的意義是什么？3數(shù)學(xué)理論1 一般地，從n個不同元素中取出m個不同元素后，剩下n m個元素，因?yàn)閺膎個不同元素中取出m個不同元素的每一個組合，與剩下的n m個元素的每一個組合一一對應(yīng)，所以從n個不同元素中取出m個不同元素的組合數(shù)，等于從這n個

34、元素中取出n m個元素的組合數(shù)即這就是我們今天學(xué)習(xí)的組合數(shù)的第一個性質(zhì)性質(zhì)的證明： 4學(xué)生活動2練習(xí)：（1）計(jì)算：（答案：161700） （2）已知：，求x（答案：6或7） （3）已知：，求（答案：190）5學(xué)生活動3 思考：一個口袋內(nèi)裝有大小相同的7個白球和1個黑球 （1）從口袋內(nèi)取出3個球，共有多少種取法？（） （2）從口袋內(nèi)取出3個球，使其中含有1個黑球，有多少種取法？（） （3）從口袋內(nèi)取出3個球，使其中不含黑球，有多少種取法？（）6數(shù)學(xué)理論2組合數(shù)的第二個性質(zhì)：（證明略） 7學(xué)生活動4練習(xí)：（1）計(jì)算；（原式）（2）若，則n = ；（14）（3） ；（166649）（4）計(jì)算 （20

35、02）8數(shù)學(xué)運(yùn)用 例在100件產(chǎn)品中，有98件合格品，2件不合格品從這100件產(chǎn)品中任意抽出3件 （1）一共有多少種不同的抽法？（2）抽出的3件中恰好有1件是不合格品的抽法有多少種？（3）抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有多少種？（4）抽出的3件中至多有2件是不合格品的抽法有多少種？9課堂小結(jié) （1）組合數(shù)的兩個性質(zhì)； （2）解組合應(yīng)用題的一般思路13 組合（三）一、教學(xué)目標(biāo) 1進(jìn)一步理解組合的意義，區(qū)分排列與組合； 2熟練進(jìn)行組合數(shù)的運(yùn)算與排列數(shù)的運(yùn)算； 3熟練運(yùn)用排列與組合，解決一些簡單的應(yīng)用題二、教學(xué)重點(diǎn)對計(jì)數(shù)問題進(jìn)行清晰分類，合理分步三、教學(xué)難點(diǎn)對計(jì)數(shù)問題進(jìn)行清晰分類，合理分步四

36、、教學(xué)過程 1引入在計(jì)數(shù)問題中，重點(diǎn)要做到“分類清晰，分步合理”，那么問題將“迎刃而解” 2思考一有6個工人，按下列條件，各有多少種分法？ （1）分配到3個不同的車間，每車間2人；（2）分為3組，每組2人；（3）分為3組，一組1人，一組2人，一組3人；（4）分配到3個不同的車間，一車間1人，一車間2人，一車間3人；（5）分配到3個不同的車間，每車間至少1人 答案：（1）90；（2）15；（3）60；（4）360；（5）450 3思考二現(xiàn)有6個不同的白球和7個不同的黑球，從中取5個，至少有2個黑球的概率是多少？選取至少兩個黑球?yàn)?，這樣做對嗎？如果不對，錯在那里？ 4思考三你會求方程有多少組正整數(shù)

37、解嗎？這個問題等價于：（1）要從7個班中選出10個人參加數(shù)學(xué)競賽，每個班至少一個人，這10個名額有多少種分配方案？（2）當(dāng)然，這個問題還可以等價于：把10個球放入7個不同的盒子，每個盒子中至少放一個球，至少有多少種放法？答案：84種 5隨堂練習(xí) （1）今欲從1，2，3，8，9，10，12這七個數(shù)中選取兩數(shù)，使其和為偶數(shù)，問共有幾種選法？（答案：9） （2）（05江西）將9個（含甲、乙）人平均分成3組，甲、乙分在同一組，則不同分組方法的種數(shù)為多少種？（答案：70） （3）某段馬路上有7盞路燈，為了節(jié)約用電，現(xiàn)關(guān)掉其中的2盞，但要求關(guān)掉的2盞不能相鄰，且不在馬路的兩段，那么關(guān)燈的不同方案共有多少種

38、？（答案：6種） （4）學(xué)校準(zhǔn)備把12個三好學(xué)生的名額分給高二10個班，每班至少一個名額，則有多少種不同的分配方案？（答案：55種） 6課堂小結(jié) 解決一個排列組合題首先必須分清它是排列問題還是組合問題；其次，分析求解過程要注意掌握處理排列與組合的基本思想：即按元素的性質(zhì)分類或按事件發(fā)生過程分步另外，對于同一個問題應(yīng)從多個角度去思考，一題多解，這樣既可以防止重復(fù)與遺漏問題，又可提高分析問題、解決問題的能力14 計(jì)數(shù)應(yīng)用題（一）一、教學(xué)目標(biāo) 1體會分類、分步在計(jì)數(shù)中的重要作用； 2會解相鄰、不相鄰、定序問題； 3學(xué)會解含限制條件的計(jì)數(shù)問題，正面分類、分步較困難時會用排它法二、教學(xué)重點(diǎn)應(yīng)用計(jì)數(shù)原理解

39、決應(yīng)用題時，明確是排列問題還是組合問題三、教學(xué)難點(diǎn)正確對排列組合問題進(jìn)行恰當(dāng)分類，合理分步四、教學(xué)過程 1正確進(jìn)行合理分步、分類，區(qū)分排列、組合例1 在直角坐標(biāo)系xOy平面上，平行直線x = n(n = 0，1，2，5)與平行直線y = n(n = 0，1，2，5)組成的圖形中，矩形共有多少個？ 解：每個矩形對應(yīng)于兩條水平直線與兩條豎直直線，故共有= 225個 解題回顧：每個矩形對應(yīng)于兩條橫線與兩條豎線，分兩步分別確定橫線與豎線，從6條橫（豎）線上選2條，兩橫（豎）線無需排序，是組合問題 2相鄰、不相鄰、定序問題 例2 某車隊(duì)有7輛車，現(xiàn)要調(diào)出4輛按一定順序去執(zhí)行任務(wù)，要求甲、乙必須參加，且甲

40、車要在乙車前開出，那么有多少種不同的調(diào)度方法？ 思路分析：本題要選排分開，先選再排甲在乙之前（未必相鄰）是固定次序問題，只要定下位置不需排序，或者考慮到甲與乙換位后每兩種排法中有一種滿足條件 解法一：先選定車輛有種，在4個位置中排定其余兩輛車，剩下兩位置按甲前乙后安排，有種，故共有= 120種 解法二：不考慮甲、乙的次序有= 240種，考慮各種方法中按甲、乙交換次序配對，每對恰有一種符合要求，故共有240÷2 = 120種 例3 有4名男生、3名女生排成一排，問下列情形各有多少種不同的排法？ （1）甲不在正中間也不在兩端； （2）甲、乙兩人必須排在兩端； （3）男、女生分別排在一起；

41、 （4）男、女生相間； （5）甲、乙、丙三人按從左到右順序排（不一定相鄰） 解：（1）先排甲，再排其余人，有4= 2880種； （2）先將甲乙捆綁，再排序，有= 1440種； （3）將男、女生分別看成整體有= 288種； （4）男生排1，3，5，7位，女生排2，4，6位，有= 144種； （5）假設(shè)有7個位置，讓其余4人排好，剩三個位置甲、乙、丙依次從左向右順序排入，有= 840種 3直接、間接法解含限制條件的計(jì)數(shù)問題 例4 從4名男生和3名女生中選出4人參加某個座談會，若這4人中必須既有男生又有女生，則不同的選法共有多少種？解法一：分類： （1）3男1女，有= 12種；（2）2男2女，有=

42、18種；（3）1男3女，有= 4種； 根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理，共有12 + 18 + 4 = 34種 解法二：先不考慮“既有男生又有女生”的限制，共有= 35種，再去掉其中只有男生的種數(shù)= 1種（本題中不可能只有女生）共有35 1 = 34種 解題回顧：若從7人任選4人，列一張表，看看選出的學(xué)生中男女生分配情況：共有4類，滿足條件的有3類，而不滿足條件的只有1類，可見用排除法較簡潔男生4人4321女生3人0123 4隨堂練習(xí) （1）有5名男司機(jī)、3名女司機(jī)，現(xiàn)派3名男司機(jī)、2名女司機(jī)出發(fā)到五個不同的地區(qū)去，不同的分配方案種數(shù)有多少種？（）（2）4名教師分配到3所中學(xué)任教，每所中學(xué)至少1名教師，則不同的分配方案共有多少種？（36）（3）在由數(shù)字1，2，3，4，5組成的所有沒有重復(fù)數(shù)字的5位數(shù)中，大于23145且小于43521的數(shù)共有多少個？（58個）（4）讓4名男生和4名女生站成一排，其中任何兩名女生不能相鄰，則共有多少種不同的排法？（2880種）（5）設(shè)坐標(biāo)平面內(nèi)有一質(zhì)點(diǎn)從原點(diǎn)出發(fā)，沿x軸跳動，每次向正方向或負(fù)方向跳1個單位，經(jīng)過5次跳動質(zhì)點(diǎn)落在點(diǎn)(3，0)（允許重復(fù)過此點(diǎn)）處，則質(zhì)點(diǎn)不同的運(yùn)動