積分因子法在常微分方程中的應(yīng)用　　開題報(bào)告

1、積分因子法在常微分方程中的應(yīng)用開題報(bào)告 開題報(bào)告積分因子法在常微分方程中的應(yīng)用 一、選題的背景、意義 在許多科學(xué)領(lǐng)域中,常常需要研究常微分方程的理論和其解是否存在.常微分方程的理論包括解的存在性和唯一性、奇解、定性理論等等.其中解的討論也尤為重要,求解方法有很多種,例如,常數(shù)變易法、疊加法、積分因子法.求得常微分方程的解能使常微分方程在其他的科學(xué)領(lǐng)域有更好的應(yīng)用. 常微分方程在微積分概念出現(xiàn)后即已出現(xiàn),對(duì)常微分方程的研究可分為以下幾個(gè)階段. 發(fā)展初期是針對(duì)具體的常微分方程,希望能用初等函數(shù)或超越函數(shù)表示其解,屬于“求通解”的時(shí)代. 劉維爾在1841年證明了里卡蒂方程不存在一般的初等解,同時(shí)柯西

2、又提出了初值問題.因此,早期的常微分方程的求解熱潮中斷了,而常微分方程從“求通解”時(shí)代轉(zhuǎn)向“求定解”時(shí)代. 19世紀(jì)末,常微分方程的研究從“求定解”時(shí)代轉(zhuǎn)向“求所有解”的新時(shí)代.那是由天體力學(xué)中的太陽系穩(wěn)定性問題需要研究常微分方程解的大范圍性態(tài)引起的. 20世紀(jì)末六七十年代以后,常微分方程在計(jì)算機(jī)技術(shù)發(fā)展的促進(jìn)下,從“求所有解”時(shí)代轉(zhuǎn)入“求特殊解”時(shí)代. 求常微分方程的通解在歷史上曾作為微分方程的主要目標(biāo),一旦求出通解的表達(dá)式,就能容易地求出問題所需要的特解;根據(jù)通解的表達(dá)式可以了解其對(duì)某些參數(shù)的依賴情況,便于參數(shù)取值,使它對(duì)應(yīng)的解具有所需要的性能,也有助于解的其他研究.雖然通過求通解的方法可

3、以求出方程的解,但是有些時(shí)候會(huì)比較復(fù)雜.因此,我們要尋找更為簡(jiǎn)便的求解方法.對(duì)常微分方程的求解.積分因子法是一種很好的求解方法,它能將復(fù)雜的計(jì)算簡(jiǎn)單化.二、研究的基本內(nèi)容與擬解決的主要問題 本課題主要對(duì)積分因子法進(jìn)行歸納總結(jié),旨在應(yīng)用積分因子法來求解常微分方程. 本課題的主要目的是通過查閱各種相關(guān)文獻(xiàn),尋找各種相關(guān)信息,來得到并了解用積分因子法求解常微分方程的一些計(jì)算技巧,達(dá)到化難為易的目的. 先從定義出發(fā),介紹相關(guān)的一些基本概念,如微分方程、常微分方程、全微分方程、解、積分因子等以及一些相關(guān)的定理和充要條件. 接著歸納總結(jié)積分因子法:積分因子的求法 在求積分因子之前,要對(duì)常用的一些簡(jiǎn)單函數(shù)的

4、全微分形式比較熟悉,這樣能更快地求出積分因子.(1)觀察法求積分因子對(duì)于一些形式比較簡(jiǎn)單的微分方程,可以直接觀察出方程的積分因子.如:方程,根據(jù),可以直接觀察出它的積分因子為.(2)分組湊微分法 對(duì)于一些相對(duì)復(fù)雜的微分方程,可以對(duì)其進(jìn)行分組,然后根據(jù)一些簡(jiǎn)單函數(shù)的全微分形式對(duì)其進(jìn)行湊微分,得到其積分因子.(3)重新組合法 對(duì)于一些相對(duì)復(fù)雜,不易觀察出其積分因子的微分方程,可以將其各項(xiàng)重新組合,再根據(jù)一些簡(jiǎn)單函數(shù)的全微分形式通過觀察來求得其積分因子.(4)指數(shù)待定法求積分因子 如果微分方程中是的多項(xiàng)式,則可以找到形式的積分因子.(5)公式法求積分因子 對(duì)一些非全微分方程可以用上面提到的四種方法求

5、得它們的積分因子,但還有一些非全微分方程用上述四種方法不太容易得到它們的積分因子,這時(shí)就可以用一些公式來求解.不同的公式都有其相對(duì)應(yīng)的條件需要滿足.積分因子巧解常微分方程(1)觀察法 對(duì)于簡(jiǎn)單形式的微分方程,可以根據(jù)一些簡(jiǎn)單函數(shù)的全微分形式直接觀察出方程的積分因子,再將積分因子乘到原方程的兩邊形成全微分方程進(jìn)行求解.(2)分組湊微分法 將微分方程重新分組,化成易求得積分因子的形式,求得其積分因子,再將積分因子乘到原方程的兩邊形成全微分方程進(jìn)行求解.(3)重新組合法 將微分方程進(jìn)行重新組合,化成易求得積分因子的形式,求得其積分因子,再將積分因子乘到原方程的兩邊形成全微分方程進(jìn)行求解.(4)指數(shù)待

6、定法 對(duì)符合特定條件的微分方程,用指數(shù)待定的方法求得其積分因子,再將積分因子乘到原方程的兩邊形成全微分方程進(jìn)行求解.(5)公式法 針對(duì)不同的微分方程,運(yùn)用相對(duì)應(yīng)的公式求得其積分因子,再將積分因子乘到原方程的兩邊形成全微分方程進(jìn)行求解.積分因子法在一階常微分方程中的應(yīng)用(1)在可分離變量微分方程中的應(yīng)用 如果一階微分方程可變化為 的形式,則稱這個(gè)方程為可分離變量方程. 運(yùn)用積分因子法求得這類方程的積分因子,將方程轉(zhuǎn)化為全微分方程進(jìn)行求解.(2)在齊次微分方程中的應(yīng)用 方程是齊次方程. 運(yùn)用積分因子法求得這類方程的積分因子,將方程轉(zhuǎn)化為全微分方程進(jìn)行求解.(3)在一階線性微分方程中的應(yīng)用 設(shè)一階線

7、性微分方程為 將其成對(duì)稱的形式 若方程有一個(gè)僅依賴于的積分因子,則,其中;反之,若僅依賴于,則是方程的一個(gè)積分因子.(4)在貝努力方程中的應(yīng)用 將貝努力方程 令,可以將方程化為一階線性微分方程 然后用積分因子求解此方程積分因子法在二階常微分方程中的應(yīng)用 二階線性微分方程,當(dāng)時(shí),此方程為齊次方程;而當(dāng)時(shí),此方程為非齊次方程. 運(yùn)用積分因子法對(duì)二階線性微分方程進(jìn)行求解.積分因子法的其他應(yīng)用 證明一些初等公式或一些命題.三、研究的方法與技術(shù)路線、研究難點(diǎn),預(yù)期達(dá)到的目標(biāo) 本課題歸納總結(jié)的主要內(nèi)容是積分因子法在常微分方程中的應(yīng)用.利用積分因子法來解決常微分方程的一些復(fù)雜的計(jì)算問題,使計(jì)算過程更加簡(jiǎn)單易

8、理解.并且積分因子是不唯一,有簡(jiǎn)單也有復(fù)雜.不管它如何,它在常微分方程的計(jì)算中都有著不簡(jiǎn)單的力量.通過參考一些文獻(xiàn)資料,以及自己對(duì)文獻(xiàn)資料的理解和自己掌握的知識(shí),并經(jīng)過自己的努力,在最后可以用積分因子法解決一些常微分方程的計(jì)算. 常微分方程的解本來就是一個(gè)難點(diǎn),又由于對(duì)積分因子的了解不是很深,在之前學(xué)習(xí)的只是最基礎(chǔ)的.因此,對(duì)于它的應(yīng)用還是有一定的難度的. 盡管這個(gè)課題有一定的難度,但是我相信不管困難是什么,總能找出方法來解決的.應(yīng)用積分因子法可以使很多常微分方程的計(jì)算得到簡(jiǎn)化,能夠達(dá)到化難為易的目的. 常微分方程的研究與其他學(xué)科領(lǐng)域的結(jié)合,使得各種新的研究分支出現(xiàn).相信常微分方程會(huì)在更多的科

9、學(xué)領(lǐng)域有更好的應(yīng)用,并會(huì)有更好的發(fā)展,做出更大的貢獻(xiàn).四、論文詳細(xì)工作進(jìn)度和安排2011-02-21至2011-03-20完成初稿;2011-03-21至2011-04-20在導(dǎo)師的指導(dǎo)下完成第一次修改;2011-04-21至2011-05-20在導(dǎo)師的指導(dǎo)下完成第二次修改并定稿;2011-05-21至2011-05-23準(zhǔn)備論文答辯.五、主要參考文獻(xiàn):1時(shí)寶,黃朝炎.微分方程基礎(chǔ)及其應(yīng)用M.北京:科學(xué)出版社.2007:2-3.2丁同仁,李承治.常微分方程教程M.北京:高等教育出版社.2004,19:32-33,46-47.3試析一階微分方程的積分因子J.許昌師專學(xué)報(bào).1993,312:9,3

10、5-39.4楊雨民.積分因子咋一階線性微分方程中的應(yīng)用J. 遼寧省交通高等專科學(xué)校學(xué)報(bào).1997,51:30-33.5James?Stewart?Calculus:Early?Transcendentals5thed?M.北京:高等教育出版社.2004:598-601,641-643.6張奕河,郭文川.關(guān)于一階常微分方程的積分因子求解問題J.四川理工學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版).2009,226:11-13.7Ma?Yuan-jing.Runge-Kutta?type?iterative?method?for?nonlinear?equationsJJOU JOURNAL?OF?NATURAL?SCIENCE?OF?HEI?LONG?JIANG?UNIVERSITY.2009,264:431-4358潘鶴鳴.幾種特殊類型積分因子的求法及在解微分方程中的應(yīng)用J.巢湖學(xué)院學(xué)報(bào).2003,53:18-22.9徐安農(nóng),段復(fù)建.全微分方程與積