數(shù)學(xué)必修ⅳ人教新課標(biāo)同步知識點學(xué)練考-向量的應(yīng)用舉例

1、向量的應(yīng)用舉例【教法探析】一、預(yù)習(xí)檢查、總結(jié)疑惑檢查落實了學(xué)生的預(yù)習(xí)情況并了解了學(xué)生的疑惑，使教學(xué)具有了針對性。二、情景導(dǎo)入、展示目標(biāo)教師首先提問：（1）若O為重心,則+= （2）水渠橫斷面是四邊形,=,且|=|,則這個四邊形為等腰梯形，類比幾何元素之間的關(guān)系,你會想到向量運算之間都有什么關(guān)系？（3） 兩個人提一個旅行包,夾角越大越費力，為什么？教師：本節(jié)主要研究了用向量知識解決平面幾何和物理問題；掌握向量法和坐標(biāo)法，以及用向量解決平面幾何和物理問題的步驟，已經(jīng)布置學(xué)生們課前預(yù)習(xí)了這部分，檢查學(xué)生預(yù)習(xí)情況并讓學(xué)生把預(yù)習(xí)過程中的疑惑說出來。（設(shè)計意圖：步步導(dǎo)入，吸引學(xué)生的注意力，明確學(xué)習(xí)目標(biāo)。）

2、【學(xué)法導(dǎo)引】合作探究、精講點撥探究一：（）向量運算與幾何中的結(jié)論若，則，且所在直線平行或重合相類比，你有什么體會？（）由學(xué)生舉出幾個具有線性運算的幾何實例。教師：平移、全等、相似、長度、夾角等幾何性質(zhì)可以由向量線性運算及數(shù)量積表示出來： 例如，向量數(shù)量積對應(yīng)著幾何中的長度。如圖：平行四邊行中，設(shè),，則（平移），（長度）.向量，的夾角為，因此，可用向量方法解決平面幾何中的一些問題。通過向量運算研究幾何運算之間的關(guān)系，如距離、夾角等.把運算結(jié)果翻譯成幾何關(guān)系，本節(jié)課，我們就通過幾個具體實例，來說明向量方法在平面幾何中的運用。例1：證明：平行四邊形兩條對角線的平方和等于四條邊的平方和。已知：平行四邊

3、形ABCD求證：分析：用向量方法解決涉及長度、夾角的問題時，我們常常要考慮向量的數(shù)量積.注意到， ，我們計算和。證明：不妨設(shè)a，b，則a+b，a-b，|a|2，|b|2。得 （ a+b）·（ a+b） = a·a+ a·b+b·a+b·b= |a|2+2a·b+|b|2。 同理|a|2-2a·b+|b|2 +得2（|a|2+|b|2）=2（）所以，平行四邊形兩條對角線的平方和等于四條邊的平方和。師：你能用幾何方法解決這個問題嗎？讓學(xué)生體會幾何方法與向量方法的區(qū)別與難易情況。師：由于向量能夠運算，因此它在解決某些幾何問題時具有

4、優(yōu)越性，他把一個思辨過程變成了一個算法過程，可以按照一定的程序進(jìn)行運算操作，從而降低了思考問題的難度。用向量方法解決平面幾何問題，主要是下面三個步驟：（1）建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；（2）通過向量運算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問題；（3）把運算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系。例2：如圖，平行四邊形ABCD中，點E、F分別是AD、DC邊的中點，BE、BF分別與AC交于R、T兩點，你能發(fā)現(xiàn)AR、RT、TC之間的關(guān)系嗎？分析：由于R、T是對角線AC上兩點，所以要判斷AR、RT、TC之間的關(guān)系，只需要分別判斷AR、RT、TC與AC之間

5、的關(guān)系即可。解：設(shè)a，b，則a+b由與共線，因此。存在實數(shù)m，使得 =m（a+b）。又由與共線因此存在實數(shù)n，使得 =n= n（b- a）由= n，得m（a+b）= a+ n（b- a）整理得ab0由于向量a、b不共線，所以有，解得所以，同理于是，所以ARRTTC說明：本例通過向量之間的關(guān)系闡述了平面幾何中的方法，待定系數(shù)法使用向量方法證明平面幾何問題的常用方法。探究二：（1）兩個人提一個旅行包,夾角越大越費力。（2）在單杠上做引體向上運動,兩臂夾角越小越省力. 這些問題是為什么？師：向量在物理中的應(yīng)用，實際上就是把物理問題轉(zhuǎn)化為向量問題，然后通過向量運算解決向量問題，最后再用所獲得的結(jié)果解釋

6、物理現(xiàn)象。例3：在日常生活中，你是否有這樣的經(jīng)驗：兩個人共提一個旅行包，夾角越大越費力；在單杠上作引體向上運動，兩臂的夾角越小越省力，你能從數(shù)學(xué)的角度解釋這種現(xiàn)象嗎？分析：上面的問題可以抽象為如右圖所示的數(shù)學(xué)模型.只要分析清楚F、G、三者之間的關(guān)系（其中F為F1、F2的合力）,就得到了問題的數(shù)學(xué)解釋。解：不妨設(shè)|F1|=|F2|， 由向量加法的平行四邊形法則，理的平衡原理以及直角三角形的指示，可以得到|F1|=。通過上面的式子我們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)由逐漸變大時，由逐漸變大，的值由大逐漸變小，因此，|F1|有小逐漸變大，即F1、F2之間的夾角越大越費力，夾角越小越省力。例4：如圖，一條河的兩岸平行，河的寬

7、度m，一艘船從A處出發(fā)到河對岸，已知船的速度|v1|=10km/h，水流的速度|v2|=2km/h，問行駛航程最短時，所用的時間是多少（精確到0.1min）？分析：如果水是靜止的，則船只要取垂直于對岸的方向行駛，就能使行駛航程最短，所用時間最短.考慮到水的流速，要使船的行駛航程最短，那么船的速度與水流速度的合速度v必須垂直于對岸.（用幾何畫板演示水流速度對船的實際航行的影響）解：=（km/h）所以， （min）答：行駛航程最短時，所用的時間是3.1 min本例關(guān)鍵在于對“行駛最短航程”的意義的解釋，即“分析”中給出的穿必須垂直于河岸行駛，這是船的速度與水流速度的合速度應(yīng)當(dāng)垂直于河岸，分析清楚這

8、種關(guān)系侯，本例就容易解決了?！灸M練習(xí)】1.已知作用在A點的三個力F1（3,4），F(xiàn)2（2，5），F(xiàn)3（3,1）且A（1,1），則合力FF1F2F3的終點坐標(biāo)為_2.如圖，已知AD，BE，CF分別是ABC的三條高，求證：AD，BE，CF相交于同一點。3.兩個力F1ij，F(xiàn)24i5j作用于同一質(zhì)點，使該質(zhì)點從A（20,15）移動到點B（7,0），（其中i，j是x軸、y軸正方向上的單位向量）求：（1）F1，F(xiàn)2分別對該質(zhì)點做的功；（2）F1，F(xiàn)2的合力F對該質(zhì)點做的功。參考答案1.（9,1）2.證明:設(shè)AD、BE交于點H，以下只需證明點H在CF上，因為ADBC，BECA，所以·0， &#

9、183;0又（）···0；（）···0兩式相減得·（）0，即·0，所以，CHAB，又CFAB所以C，H，F(xiàn)三點共線，H在CF上.3.解:（1）F1做的功W128F2做的功W223（2）5【真題再現(xiàn)】1.（2012年高考（天津理）已知ABC為等邊三角形,設(shè)點P,Q滿足,若,則（）A. B. C. D.【答案】A 【命題意圖】本試題以等邊三角形為載體,主要考查了向量加減法的幾何意義,平面向量基本定理,共線向量定理及其數(shù)量積的綜合運用。 【解析】=,=, 又,且,所以,解得。xyABCDMN2.（2012年高考（上海理）在平行四邊形ABCD中,A=, 邊AB、AD的長分別為2、1， 若M、N分別是邊BC、CD上的點,且滿