第八章圓錐曲線拋物線

1、題目 第八章圓錐曲線拋物線高考要求 掌握拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)了解圓錐曲線的初步應(yīng)用 知識(shí)點(diǎn)歸納 1拋物線的定義：平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線，定點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，定直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線2拋物線的圖形和性質(zhì)：頂點(diǎn)是焦點(diǎn)向準(zhǔn)線所作垂線段中點(diǎn)。焦準(zhǔn)距：通徑：過焦點(diǎn)垂直于軸的弦長為。頂點(diǎn)平分焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的垂線段：。焦半徑為半徑的圓：以P為圓心、FP為半徑的圓必與準(zhǔn)線相切。所有這樣的圓過定點(diǎn)F、準(zhǔn)線是公切線。焦半徑為直徑的圓：以焦半徑 FP為直徑的圓必與過頂點(diǎn)垂直于軸的直線相切。所有這樣的圓過定點(diǎn)F、過頂點(diǎn)垂直于軸的直線是公切線。焦點(diǎn)弦為直徑

2、的圓：以焦點(diǎn)弦PQ為直徑的圓必與準(zhǔn)線相切。所有這樣的圓的公切線是準(zhǔn)線。3拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的四種形式：4拋物線的圖像和性質(zhì)：焦點(diǎn)坐標(biāo)是：，準(zhǔn)線方程是：。焦半徑公式：若點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，則該點(diǎn)到拋物線的焦點(diǎn)的距離（稱為焦半徑）是：，焦點(diǎn)弦長公式：過焦點(diǎn)弦長拋物線上的動(dòng)點(diǎn)可設(shè)為P或或P5一般情況歸納：方程圖象焦點(diǎn)準(zhǔn)線定義特征y2=kxk>0時(shí)開口向右(k/4,0)x= k/4到焦點(diǎn)(k/4,0)的距離等于到準(zhǔn)線x= k/4的距離k<0時(shí)開口向左x2=kyk>0時(shí)開口向上(0,k/4)y= k/4到焦點(diǎn)(0,k/4)的距離等于到準(zhǔn)線y= k/4的距離k<0時(shí)開口向下題型講解 例1

3、 求滿足下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，并求對(duì)應(yīng)拋物線的準(zhǔn)線方程：（1）過點(diǎn)（3，2）；（2）焦點(diǎn)在直線x2y4=0上分析：從方程形式看，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程僅需確定一個(gè)待定系數(shù)p；從實(shí)際分析，一般需確定p和確定開口方向兩個(gè)條件，否則，應(yīng)展開相應(yīng)的討論解：（1）設(shè)所求的拋物線方程為y2=2px或x2=2py（p0），過點(diǎn)（3，2），4=2p（3）或9=2p·2p=或p=所求的拋物線方程為y2=x或x2=y，前者的準(zhǔn)線方程是x=，后者的準(zhǔn)線方程是y=（2）令x=0得y=2，令y=0得x=4，拋物線的焦點(diǎn)為（4，0）或（0，2）當(dāng)焦點(diǎn)為（4，0）時(shí)，=4，p=8，此時(shí)拋物線方程y2=16x；焦

4、點(diǎn)為（0，2）時(shí)，=2，p=4，此時(shí)拋物線方程為x2=8y所求的拋物線的方程為y2=16x或x2=8y，對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線方程分別是x=4，y=2點(diǎn)評(píng)：這里易犯的錯(cuò)誤就是缺少對(duì)開口方向的討論，先入為主，設(shè)定一種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程后求解，以致失去一解例2 如下圖所示，直線相交于點(diǎn)M,點(diǎn),以A、B為端點(diǎn)的曲線段C上的任一點(diǎn)到 的距離與到點(diǎn)N的距離相等若為銳角三角形,建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,求曲線段 C的方程分析：由題意所求曲線段是拋物線的一部分，求曲線方程需建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，設(shè)出拋物線方程，由條件求出待定系數(shù)即可，求出曲線方程后要標(biāo)注x、y的取值范圍解: 以MN中點(diǎn)為原點(diǎn),MN所在直線方程為x軸建立直角坐標(biāo)系,

5、設(shè)曲線方程為由得: , 又, ,解得 由銳角為三角形, , , 又 故所求曲線方程為: 點(diǎn)評(píng)：本題體現(xiàn)了坐標(biāo)法的基本思路，考查了定義法、待定系數(shù)法求曲線方程的步驟，綜合考查了學(xué)生分析問題、解決問題的能力例3 設(shè)拋物線y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)為F，經(jīng)過點(diǎn)F的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在拋物線的準(zhǔn)線上，且BCx軸證明直線AC經(jīng)過原點(diǎn)O分析：證直線AC經(jīng)過原點(diǎn)O，即證O、A、C三點(diǎn)共線，為此只需證kOC=kOA本題也可結(jié)合圖形特點(diǎn)，由拋物線的幾何性質(zhì)和平面幾何知識(shí)去解決證法一：設(shè)AB：x=my+，代入y2=2px，得y22pmyP2=0由韋達(dá)定理，得yAyB=p2，即yB=BCx軸，且

6、C在準(zhǔn)線x=上，C（，yB）則kOC=kOA故直線AC經(jīng)過原點(diǎn)O證法二：如圖，記準(zhǔn)線l與x軸的交點(diǎn)為E，過A作ADl，垂足為D 則ADEFBC連結(jié)AC交EF于點(diǎn)N，則=，=|AF|=|AD|，|BF|=|BC|，|EN|=|NF|，即N是EF的中點(diǎn)從而點(diǎn)N與點(diǎn)O重合，故直線AC經(jīng)過原點(diǎn)O點(diǎn)評(píng)：本題的“幾何味”特別濃，這就為本題注入了活力在涉及解析思想較多的證法中，關(guān)鍵是得到y(tǒng)A·yB=p2這個(gè)重要結(jié)論還有些證法充分利用了平面幾何知識(shí)，這也提醒廣大師生對(duì)圓錐曲線幾何性質(zhì)的重視，也只有這樣才能挖掘出豐富多彩的解析幾何的題目例4 已知拋物線y2=8x上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)A、B及一個(gè)定點(diǎn)M（x0, y

7、0），F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，且|AF|、|MF|、|BF|成等差數(shù)列，線段AB的垂直平分線與x軸交于一點(diǎn)N（1）求點(diǎn)N的坐標(biāo)（用x0表示）；（2）過點(diǎn)N與MN垂直的直線交拋物線于P、Q兩點(diǎn)，若|MN|=4，求MPQ的面積解：（1）設(shè)A(x1, y1)、B(x2、y2)，由|AF|、|MF|、|BF|成等差數(shù)列得x1+x2=2x0得線段AB垂直平分線方程：令y=0，得x=x0+4, 所以N(x0+4, 0) （2）由M(x0, y0) , N(x0+4, 0), |MN|=4, 得x0=2 由拋物線的對(duì)稱性，可設(shè)M在第一象限，所以M(2, 4), N(6,0)直線PQ: y=x6, 由得MPQ的面積

8、是64例5 已知拋物線與直線相交于A、B 兩點(diǎn) ,求證; 當(dāng)?shù)拿娣e等于時(shí),求的值分析: 根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式 或應(yīng)用向量解題 。證明: 設(shè) ; ,由A,N,B共線 , 又 解 由得例6 已知拋物線C:點(diǎn)M是拋物線上任意一點(diǎn),點(diǎn)F是拋物線上任意一點(diǎn),點(diǎn)F是拋物線的焦點(diǎn),(G為準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn))(1)求證:等腰三角形MNF底邊上的高所在直線MK是拋物線的切線;(2)求證:光線FM在點(diǎn)M的反射光線MB必平行x軸證明: (1)設(shè)則 又 由知，直線MK是拋物線在點(diǎn)M的切線 (2)令MA為法線,則 +, 為平角所以反射光線MB平行x軸 例7 如圖,ABCD是一塊邊長為4km的正方形地域,地域內(nèi)有一條河

9、流MD,其經(jīng)過路線是以AB中點(diǎn)M為頂點(diǎn)且開口向右的拋物線(河流寬度忽略不記),某集團(tuán)公司準(zhǔn)備投巨資建一個(gè)大型矩形游樂園PQCN問如何施工才能使游樂園面積最大?并求出最大面積解: 以M為原點(diǎn)BA所在直線為y軸,如圖建系 設(shè)拋物線方程為,由點(diǎn)D(4, 2)在拋物線上, 故物線方程為 設(shè)是曲線MD上任意一點(diǎn) 則, 矩形游樂園面積 , 令得 當(dāng) 時(shí); 當(dāng)時(shí), 時(shí),S有極大值, 此時(shí), 又時(shí), 所以當(dāng)游樂園長PN=, 寬PQ=時(shí),其面積最大為例8 A,B是拋物線y2=2px(p>0)上的兩點(diǎn)，滿足OAOB(O為坐標(biāo)原點(diǎn))求證：(1)A,B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積，縱坐標(biāo)之積為定值；(2)直線AB經(jīng)過一個(gè)定

10、點(diǎn)(3)作OMAB于M，求點(diǎn)M的軌跡方程解：(1)設(shè)A(x1,y1), B(x2,y2), 則y12=2px1, y22=2px2, y12y22=4p2x1x2, OAOB, x1x2+y1y2=0,由此即可解得：x1x2=4p2, y1y2=4p2 (定值)(2)直線AB的斜率k=, 直線AB的方程為yy1=(x),即y(y1+y2)y1y2=2px, 由(1)可得 y=(x2p),直線AB過定點(diǎn)C(2p,0)(3)解法1:設(shè)M(x,y), 由(2)知y=(x2p) (i),又ABOM, 故兩直線的斜率之積為1, 即·= 1 (ii)由(i),(ii)得x22px+y2=0 (x

11、¹0)解法2: 由OMAB知點(diǎn)M的軌跡是以原點(diǎn)和點(diǎn)(2p,0)為直徑的圓(除去原點(diǎn)) 立即可求出例9 定長為3的線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)在拋物線y2=x上移動(dòng)，AB的中點(diǎn)為M，求點(diǎn)M到y(tǒng)軸的最短距離，并求此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)解：如圖，設(shè)A(x1,y1), B(x2,y2),M(x,y), 則x=, y=,又設(shè)點(diǎn)A，B，M在準(zhǔn)線:x=1/4上的射影分別為A/,B/,M/, MM/與y軸的交點(diǎn)為N，則|AF|=|AA/|=x1+,|BF|=|BB/|=x2+,x=(x1+x2)=(|AF|+|BF|)³(|AB|)=等號(hào)在直線AB過焦點(diǎn)時(shí)成立，此時(shí)直線AB的方程為y=k(x)由得16k2x

12、28(k2+2)x+k2=0依題意|AB|=|x1x2|=×=3,k2=1/2, 此時(shí)x=(x1+x2)= y= ±即M(,), N(,)小結(jié):1求拋物線方程時(shí)，若由已知條件可知曲線是拋物線，一般用待定系數(shù)法；若由已知條件可知曲線的動(dòng)點(diǎn)的規(guī)律，一般用軌跡法2凡涉及拋物線的弦長、弦的中點(diǎn)、弦的斜率問題時(shí)要注意利用韋達(dá)定理，能避免求交點(diǎn)坐標(biāo)的復(fù)雜運(yùn)算3解決焦點(diǎn)弦問題時(shí)，拋物線的定義有廣泛的應(yīng)用，而且還應(yīng)注意焦點(diǎn)弦的幾何性質(zhì)4圓錐曲線統(tǒng)一定義：平面內(nèi)與一定點(diǎn)F和定直線l的距離之比為常數(shù)e的點(diǎn)的軌跡，當(dāng)0e1時(shí)，表示橢圓；當(dāng)e=1時(shí)，表示拋物線；當(dāng)e1時(shí)，表示雙曲線5由于拋物線的離

13、心率e=1，所以與橢圓及雙曲線相比，它有許多特殊的性質(zhì)，而且許多性質(zhì)是可以借助于平面幾何的知識(shí)來解決的6拋物線方程中，字母p的幾何意義是拋物線的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離，等于焦點(diǎn)到拋物線頂點(diǎn)的距離牢記它對(duì)解題非常有益7求拋物線方程時(shí)，要依據(jù)題設(shè)條件，弄清拋物線的對(duì)稱軸和開口方向，正確地選擇拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程8在解題中，拋物線上的點(diǎn)、焦點(diǎn)、準(zhǔn)線三者通常與拋物線的定義相聯(lián)系，所以要注意相互轉(zhuǎn)化學(xué)生練習(xí) 1 拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為( )A B C D 答案: A 解析: 從初中學(xué)的拋物線(二次函數(shù))到高中的拋物線2 已知點(diǎn)F是拋物線的焦點(diǎn),M是拋物線上的動(dòng)點(diǎn),當(dāng)最小時(shí),M點(diǎn)坐標(biāo)是 ( ) A B C D 答案:

14、C 解析: 把轉(zhuǎn)化為M到準(zhǔn)線的距離,然后求的最小值3 過拋物線的焦點(diǎn)作直線交拋物線于,若,那么等于 ( )A 10 B 8 C 6 D 4答案: B解析: 4 拋物線頂點(diǎn)在原點(diǎn),對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸,焦點(diǎn)在直線上,則其方程為 ( )A 或 B 或 C 或 D 不確定答案: C解析: 解直線與兩軸交點(diǎn)坐標(biāo),進(jìn)而求5 過點(diǎn)(0, 2)與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有 ( )A 1條 B 2條 C 3條 D 無數(shù)條答案: C 解析: 相切與相交均能產(chǎn)生一個(gè)公共點(diǎn)6 一個(gè)酒杯的軸截面為拋物線的一部分,它的方程為,在杯內(nèi)放一個(gè)玻璃球,要使球觸及到杯的底部,則玻璃球的半徑的范圍為 ()A B C D 答案: C

15、解析: 設(shè)圓心A(0,t),拋物線上的點(diǎn)為P(x,y), 列出轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題7 拋物線 的動(dòng)弦AB長為,則AB中點(diǎn)M到軸的最短距離是 ( )A B C D答案: D解析: 可證弦AB通過焦點(diǎn)F時(shí),所求距離最短 8 直線過拋物線的焦點(diǎn),并且與軸垂直,若被拋物線截得的線段長為4,則 ( )A 4 B 2 C D 答案: A解析: 所截線段長恰為通徑9過拋物線的焦點(diǎn)F作一直線交拋物線于P、Q兩點(diǎn)，若PF與FQ的長分別為p、q,則等于 ( )A B C D 答案: C解析: 考慮特殊位置,令焦點(diǎn)弦PQ平行于軸,10 設(shè)拋物線的軸和它的準(zhǔn)線交于E點(diǎn),經(jīng)過焦點(diǎn)F的直線交拋物線于P、Q兩點(diǎn)(直線PQ與拋

16、物線的軸不垂直),則與的大小關(guān)系為 ( )A B C D 不確定 答案: C解析: 向量解法: 由A、F、B共線得(重要結(jié)論),進(jìn)而得出11 已知拋物線上一定點(diǎn)和兩動(dòng)點(diǎn)P、Q ,當(dāng)P點(diǎn)在拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí),則點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)的取值范圍是 ( )A B C -3, -1 D 答案: D12 過拋物線焦點(diǎn)F的直線與拋物線交于兩點(diǎn)A、B,若A、B在拋物線準(zhǔn)線上的射影為,則 ( ) A B C D 答案: C 解析: 因?yàn)锳、F、B三點(diǎn)共線所以13在拋物線y2=2px上，橫坐標(biāo)為4的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為5，則p的值為A B1 C2 D4答案：C解析：拋物線的準(zhǔn)線方程為x=，由拋物線的定義知4+=5，解得P=214

17、設(shè)a0，aR，則拋物線y=4ax2的焦點(diǎn)坐標(biāo)為A（a，0） B（0，a） C（0，） D隨a符號(hào)而定答案：C 解析：化為標(biāo)準(zhǔn)方程15以拋物線y22px（p0）的焦半徑PF為直徑的圓與y軸位置關(guān)系為A相交 B相離 C相切 D不確定答案：C 解析：利用拋物線的定義16以橢圓 +=1的中心為頂點(diǎn)，以橢圓的左準(zhǔn)線為準(zhǔn)線的拋物線與橢圓右準(zhǔn)線交于A、B兩點(diǎn)，則|AB|的值為_解：中心為（0，0），左準(zhǔn)線為x=，所求拋物線方程為y2= x又橢圓右準(zhǔn)線方程為x=，聯(lián)立解得A（，）、B（，）|AB|=答案：17對(duì)于頂點(diǎn)在原點(diǎn)的拋物線，給出下列條件：焦點(diǎn)在y軸上；焦點(diǎn)在x軸上；拋物線上橫坐標(biāo)為1的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于6；拋物線的通徑的長為5；由原點(diǎn)向過焦點(diǎn)的某條直線作垂線，垂足坐標(biāo)為（2，1）能使這拋物線方程為y2=10x的條件是_（要求填寫合適條件的序號(hào)）解析：由拋物線方程y2=10x可知滿足條件答案：18 拋物線的焦點(diǎn)弦AB,求