第十講 曲線曲面積分

1、第十章 曲線積分與曲面積分一、學(xué)習(xí)目的與要求 1、加深理解兩類曲線積分的概念與性質(zhì)。2、熟練掌握兩類曲線積分的計算法。3、熟悉并會應(yīng)用格林公式及平面曲線積分與路徑無關(guān)的條件。4、知道曲線積分的一些簡單應(yīng)用。5、加深理解兩類曲面積分的概念與性質(zhì)。6、掌握兩類曲面積分的計算方法。7、掌握高斯公式，并會利用高斯公式計算曲面積分。8、了解斯托克斯公式及散度與旋度等概念。9、能用曲面積分來表達(dá)一些幾何量與物理量（如質(zhì)量、重心等）。二、學(xué)習(xí)重點對坐標(biāo)的曲線積分的計算與格林公式。對坐標(biāo)的曲面積分的計算與高斯公式。三 、內(nèi)容提要1、 第一型曲線積分（對弧長的曲線積分） （）定義 ，其中L 為空間光滑或分段光滑

2、的曲線弧，是L上的有界函數(shù)，是將L任意劃分成的n個小弧段，（）是上任意一點。也表示其長度（.（）可積性 若函數(shù)是L上的連續(xù)函數(shù)，則存在。（）性質(zhì) 設(shè)L是有限長的分段光滑曲線，在L上連續(xù)，A、B分別為L的起點和終點，則有（1）即第一型曲線積分與曲線L的方向無關(guān)。（2） (為常數(shù))（3）若L由兩段弧L1和L2構(gòu)成，則（4）存在（），使=(s為曲線L的弧長)（IV）計算法則（1）設(shè)空間分段光滑曲線L的參數(shù)方程為其中在上有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則有： 其中=為曲線L弧長的微分。（2）關(guān)于平面曲線積分的計算方法10 若平面曲線L的參數(shù)方程為,則，20 若平面曲線L的方程為，則，30 若平面曲線L的方程為，則40 若

3、平面曲線L由極坐標(biāo)方程給出，則，注：第一型曲線積分化為定積分時，定積分的下限一定不大于上限。（）應(yīng)用（1）求曲線L的弧長（2）求曲線弧的質(zhì)量與重心：若為光滑曲線L在點處的線密度，則曲線L的質(zhì)量M為：；設(shè)曲線L的重心坐標(biāo)為，則類似重積分，還可寫出求曲線的轉(zhuǎn)動慣量公式及曲線對質(zhì)點的引力公式。2、第二型曲線積分（對坐標(biāo)的曲線積分）（）定義 設(shè)是定義在有向曲線L上的函數(shù)，為有向曲線L在點（）處的單位切線矢量，若積分存在，稱它為矢量函數(shù)（或函數(shù)組）沿曲線L的第二型曲線積分（或?qū)ψ鴺?biāo)的曲線積分）。記，則，于是又可記作或（）可積性 若，在光滑曲線L上連續(xù)，則存在。（）性質(zhì)（1） 即第二型曲線積分與曲線的方向

4、有關(guān)。（2） 為常數(shù)）（3） 若有向曲線L平行于面，則若有向曲線L平行于面，則若有向曲線L平行于面，則若有向曲線L是平行于x軸的直線段，則，其余類推。（IV）計算法則（1）設(shè)空間分段光滑有向曲線L的參數(shù)方程為的起點對應(yīng)，終點對應(yīng)，則（2）關(guān)于平面第二型曲線積分的計算方法10 若平面有向光滑曲線L的參數(shù)方程為的起點對應(yīng)，終點對應(yīng)，則20 若平面有向曲線L由直角坐標(biāo)系下的方程給出，L的起點對應(yīng)，終點對應(yīng)，則（）應(yīng)用 質(zhì)點沿有向曲線L從起點運動到終點時變力所做的功W為：或（VI）全微分式的積分 L是以A為起點，B為終點的分段光滑曲線，函數(shù)在L上連續(xù)，若存在可微函數(shù),使得，則平面曲線積分也有類似結(jié)論。

5、（VII）格林（Green）公式設(shè)平面閉區(qū)域D的邊界是分段光滑曲線L，函數(shù)在D上有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有：其中L是D的取正向的邊界曲線。（VIII）平面上曲線積分與路徑無關(guān)的條件設(shè)D是平面單連通域，函數(shù)在D內(nèi)有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，則以下條件互相等價。（1）、對D中任一分段光滑曲線L，積分與路徑無關(guān)，只與L的起點和終點有關(guān)。（2）、沿D中任一分段光滑閉曲線L有：（3）、在D內(nèi)每一點處有（4）、在D內(nèi)存在，使得，且，這里的為D內(nèi)任意一定點，c為任意常數(shù)。（IX）兩類曲線積分之間的聯(lián)系其中為有向曲線L在點處的單位切線矢量。3、第一型曲面積分（對面積的曲面積分）（）定義 ，其中S是空間分片光滑的曲面，是定

6、義在S上的有界函數(shù)，,是將S劃分成的個小曲面,為小曲面上任意一點,也表示其面積,的直徑。（）可積性 若在光滑曲面S上連續(xù)，則存在。（）性質(zhì) 與第一型曲線積分性質(zhì)相同。（）計算法則 (1)設(shè)曲面S有方程，它在面上投影區(qū)域為，則=（2）設(shè)曲面S有方程，它在面上投影區(qū)域為 ，則=（3）設(shè)曲面S有方程，它在面上投影區(qū)域為 ，則=（）應(yīng)用（1）計算曲面面積：（2）計算曲面的質(zhì)量：，其中為曲面S 在 處的面密度。（3）計算曲面的重心:, （4）計算曲面的轉(zhuǎn)動慣量：,.（5）類似三重積分計算曲面對質(zhì)點的引力。4、第二型曲面積分（對坐標(biāo)的曲面積分）（）定義 設(shè)、是定義在有向曲面上的函數(shù)，記,為有向曲面指定一側(cè)

7、在處的單位法矢量。 若存在，則稱它為矢量函數(shù)（或函數(shù)組）在有向曲面上的第二型曲面積分。記,分別表示曲面在面、面、面上的有向投影，則可記=因此，第二型曲面積分也稱為對坐標(biāo)的曲面積分。（）可積性 若、在光滑有向曲面上連續(xù)，則存在。（）性質(zhì) (1) 若記（-）是相反的一側(cè)的有向曲面，則=(2) 若有向曲面由和兩部分組成，則=+(3) =+，其中為常數(shù)。(4) 當(dāng)有向曲面垂直于面時；當(dāng)有向曲面垂直于面時；當(dāng)有向曲面垂直于面時；當(dāng)有向曲面平行于面時； 當(dāng)有向曲面平行于面時；當(dāng)有向曲面平行于面時；（）計算法則（1）由=+,再將右式三個積分分別化為二重積分計算。 設(shè)有向曲面由方程給出，在面上的投影區(qū)域為，則

8、有當(dāng)左端有向曲面取上側(cè)時，右端積分應(yīng)取“+”號；當(dāng)左端有向曲面取下側(cè)時，右端積分應(yīng)取“-”號； 設(shè)有向曲面由方程給出，在面上的投影區(qū)域為，則有當(dāng)左端有向曲面取右側(cè)時，右端積分應(yīng)取“+”號；當(dāng)左端有向曲面取左側(cè)時，右端積分應(yīng)取“-”號； 設(shè)有向曲面由方程給出，在面上的投影區(qū)域為，則當(dāng)左端有向曲面取前側(cè)時，右端積分應(yīng)取“+”號；當(dāng)左端有向曲面取后側(cè)時，右端積分應(yīng)取“-”號；（2） 由=可先求出有向曲面的單位法矢量，求出，再按第一型曲面積分的計算方法化為一個二重積分求之。（）兩類曲面積分的聯(lián)系= 其中是有向曲面在點處的單位法線矢量。 （）高斯（Gauss）公式 設(shè)函數(shù)、在空間有界閉區(qū)域上有一階連續(xù)偏

9、導(dǎo)數(shù)，是的分片光滑邊界曲面外側(cè)，則有= （） 斯托克斯(Stokes)公式 設(shè)有向分段光滑閉曲線L是有向曲面的邊界，且L的方向與的法矢量符合右手法則，函數(shù)在（包括邊界）上有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則= （）空間曲線積分與路徑無關(guān)的條件設(shè)是空間單連通域，函數(shù)在內(nèi)有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則下列四條件互相等價：（1）在內(nèi)每點（2）對內(nèi)任一分段光滑曲線L，有與路徑無關(guān)，只與L的起點和終點有關(guān)。（3）對內(nèi)任何分段光滑閉曲線L，有=0（4）在內(nèi)存在，使，且，其中為內(nèi)任意一定點,C為任意常數(shù)。*5、場論初步 （）梯度、散度、旋度(1) 數(shù)量場的梯度設(shè)函數(shù)（數(shù)量場）具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則稱矢量 為數(shù)量場的梯度。稱 為Hamil

10、tion算子（讀作“nable”）。（2）矢量場的散度與旋度 設(shè)矢量場的各分量有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則稱數(shù)量為矢量場的散度。稱矢量為矢量場的旋度。（）高斯（Gauss）公式、斯托克斯(Stokes)公式的矢量形式（1）高斯公式 ，其中的各分量在空間閉區(qū)域上有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，是的邊界曲面外側(cè)。（2）斯托克斯公式 。其中有向曲線L是有向曲面的邊界且L的方向與的法矢量方向符合右手法則，的分量在上有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。（）幾個重要的場（1）有勢場：設(shè)為空間區(qū)域內(nèi)的矢量場。若在內(nèi)存在數(shù)量函數(shù)，使，則稱為有勢場或梯度場，且稱為矢量場的勢函數(shù)。若矢量場的旋度為零，即，則稱為無旋場。若在內(nèi)曲線積分只與曲線L的起點和終

11、點有關(guān)，而與路徑無關(guān)，則稱矢量場為保守場。定理：設(shè)是空間單連通域，的分量在內(nèi)有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則以下五個條件互相等價：10 為無旋場；20 為保守場；30 ，其中L是內(nèi)任意逐段光滑閉曲線；40 為有勢場，即存在勢函數(shù)，使；50 是某函數(shù)的全微分，即存在原函數(shù)，使。其中40、50的勢函數(shù)（原函數(shù)）的表達(dá)式為，其中是內(nèi)任意取定的一點，C為任意常數(shù)。（2）管形場：若矢量場的散度恒為0，即，則稱矢量場為無源場或管形場。（3）調(diào)和場： 若矢量場既是有勢場又是管形場，即存在勢函數(shù)使 且，則稱矢量場為調(diào)和場。定理：調(diào)和場的勢函數(shù)滿足拉普拉斯（Laplace）方程，即，其中稱為拉普拉斯算子。四 、思考題 1、

12、兩類曲線積分間有什么關(guān)系？2、對坐標(biāo)的曲線積分值與哪些因素有關(guān)？3、何謂曲線積分與路徑無關(guān)？何謂曲線積分與積分路徑的方向無關(guān)？它們各適用于什么情形？4、曲線積分與路徑無關(guān)的條件是什么？表達(dá)式在G內(nèi)為某二元函的全微分的充要條件又是什么？通過此題的思考應(yīng)明確，若在單連通域G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則以下四個結(jié)論等價：（1）在G內(nèi)恒成立。（2）對G內(nèi)任一閉曲線C ，有（3）對G內(nèi)任一曲線L積分與路徑無關(guān)，只與L的起終點有關(guān)。（4）是某二元函數(shù)全微分，即：5、怎樣利用曲線積分計算平面閉曲線所圍成的面積？6、怎樣利用曲線積分計算變力沿著AB弧段所作的功？7、試識別下列符號各代表什么積分（1） （2）（3）

13、 （4）8、兩類曲面積分的概念與計算法有何異同？9、有向曲面在坐標(biāo)面上投影的符號是如何規(guī)定的？把對坐標(biāo)的曲面積分化為二重積分時，如何根據(jù)曲面的側(cè)正確選取計算公式中的符號？10、判斷下列計算是否正確（均為的外側(cè)）(1)=(2)= =011、能否利用高斯公式證明由光滑閉曲面所圍成立體的體積12、 斯托克斯公式與格林公式有什么聯(lián)系？五 、典型例題分析例1 計算，其中L為圓周直線及x軸在第一象限內(nèi)所圍成的扇形的整個邊界。分析 此題為對弧長的曲線積分。對弧長的曲線積分常按下列步驟進(jìn)行。（1）寫出積分弧段方程并確定積分變量及積分變量的變化范圍。（2）計算出相應(yīng)弧長元素（3）將曲線積分化為定積分。（4）算出

14、結(jié)果。不過在計算中以上四個步驟不一定嚴(yán)格區(qū)分和明顯寫出。此題的積分弧段為分段光滑曲線，所以在作曲線積分時，要分段進(jìn)行。解 的方程為，的方程為，所以=小結(jié) （1）對弧長的曲線積分可化為對某個變量的定積分，選擇不同的積分變量其計算結(jié)果應(yīng)相同。（2）弧長的曲線積分與積分弧段的方向無關(guān)，化為定積分時必須使上限大于下限。（3）此題計算沿段的曲線積分，化成定積分時只能選x為積分變量化成對x的 定積分，不能選y為積分變量，因在上點的縱坐標(biāo)y未變，只是點的橫標(biāo)x在變。而計算沿的曲線積分時，也可以化成關(guān)于變量x或者y的定積分，只是化成對參變量的定積分來得方便。同理，求沿段的曲線積分當(dāng)然也可選取y為積分變量。例2

15、 計算，其中為對數(shù)螺線在圓內(nèi)的部分。分析 這是對弧長的曲線積分。積分弧段是由極坐標(biāo)方程給定的，而極坐標(biāo)下的弧長元素，自然應(yīng)選極角為積分變量，化成對的定積分。但變化范圍題目未明顯給出，需要通過對題目條件的研究把的變化范圍確定出來。因()的定義域是一切實數(shù)，且其為單調(diào)函數(shù)，當(dāng)時，所以當(dāng)曲線在圓內(nèi)時解 =例3 計算其中c為圓周與所截。分析 此題的積分弧段為空間曲線。計算空間曲線的曲線積分，需要將空間曲線的一般方程化為參數(shù)方程，然后將曲線積分化成對參變量的定積分。而要將此空間曲線的一般方程化成參數(shù)方程卻較難，怎么辦呢？從積分弧段看，變量具有對稱性，若能設(shè)法使被積函數(shù)關(guān)于變量也具有對稱性的話，問題就易解

16、決了，積分曲線c滿足，可聯(lián)想到利用對稱性將被積函數(shù)化為的形式。解 因曲線具有輪換對稱性，即以x換y，y換z，z換x方程不變，或則，。由第I型曲線積分定義，積分表示函數(shù)第1坐標(biāo)的平方在c上的積分，在曲線c上任取作即為。又因?qū)γ總€，有，故又有，而且右端又為，于是。同理，于是，c的弧長為注 我們還可算出說明 在利用對稱性作題時千萬注意，要被積函數(shù)及積分弧段對變量同時具有對稱性時才能用，否則要出錯誤。例4 計算下列三個小題 （1）（2）（3），其中c是由曲線及x軸所圍成的正向三角形回路分析 這是對坐標(biāo)的曲線積分,計算對坐標(biāo)的曲線積分,如同計算對弧長的曲線積分一樣,關(guān)鍵仍在于把曲線積分化為定積分。但對坐

17、標(biāo)的曲線積分的弧段是有向曲線,因此在確定定積分的積分限時必須使積分下限對應(yīng)于積分弧段的起點,上限對應(yīng)于積分弧段的終點。此時定積分的上限就不一定大于下限了。（1）解法1 化成關(guān)于x的定積分所以:解法2 化成關(guān)于y的定積分解法3 利用格林公式，此時，（2）解 由格林公式：（3）解 因在整個面內(nèi)恒成立，由曲線積分與路徑無關(guān)的條件可知：說明 對坐標(biāo)的曲線積分常常應(yīng)該考慮是否滿足格林公式的條件和積分與路徑無關(guān)的條件，以簡化計算。例5 求，其中為球面三角形圍線的正向。分析 這是空間對坐標(biāo)的組合曲線積分，積分曲線是分段光滑的，分別是球面與三坐標(biāo)面的交線。由被積表達(dá)式及積分路徑的對稱性，計算此線積分并不困難。

18、解 ， L 由曲線積分的性質(zhì)及對稱性原積分而L1的參數(shù)方程為：所以原積分=例6 計算，其中積分路徑c為，從原點經(jīng)至解法1 選t為積分變量，積分弧段的參數(shù)方程為：所以解法2 補(bǔ)充弧段，使積分路徑封閉，利用格林公式，因而，所以解法3 因所以積分與路徑無關(guān)故：其它還可選x為積分變量，選y為積分變量等，而解法3最簡便。例7 計算曲線積分，其中L為從0(0,0)到A()沿的一段弧。分析 此題直接計算較困難，若加一輔助曲線使積分弧段成為封閉曲線,從而可利用格林公式,當(dāng)然所取輔助曲線應(yīng)力求簡便。就本題而言,在坐標(biāo)軸上，沿作線積分最方便，所以選為輔助曲線最好。解 所以 =說明 在格林公式中曲線積分路徑是取正向

19、邊界曲線的,而本題加段后是沿負(fù)向的，故二重積分號前應(yīng)加一負(fù)號。例8 計算其中L是由所圍成的區(qū)域D的邊界,L的方向為順時針。分析 ,，當(dāng)時，但在D內(nèi)含有破壞函數(shù)及連續(xù)性條件的奇點O（0，0），沿此閉曲線L的線積分并不為0。 那么，該如何計算呢？如果用直接計算法計算沿拋物線弧段的積分很困難，所以考慮利用格林公式來計算。以點O（0，0）為中心作單位圓C，C取逆時針方向。在以L及C為邊界的區(qū)域D1內(nèi)，格林公式成立，故可用格林公式。 解 單位圓C的方程為 所以 =+= 故注 如在上述題中，被積函數(shù)改為，則作法類似。不過此時不能取單位圓C（事實上此題也不必僅取單位元，而可任取一半徑為r 的圓：x=rcos

20、,只要讓其包圍在曲線L內(nèi)即可）。而應(yīng)取橢圓使其含于L內(nèi)即可，于是，。讀者可以借此舉一反三?？煽吹酱祟愵}由于滿足條件，我們將之轉(zhuǎn)化為圍繞圓點的一簡單曲線積分，至于所圍曲線為任一光滑或分段光滑曲線都是一樣的。小結(jié) （1）在使用線積分與路徑無關(guān)的條件時，D為單連通域的條件不能忽視。（2）在使用格林公式時，要求在D內(nèi)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，否則不能使用，要使用需創(chuàng)造條件。例9 計算，其中C為任一條不過圓點的簡單閉曲線。解 由例8，故 如C不包圍圓點 ，則（格林公式或積分與路徑無關(guān)）如C包圍圓點，則如例8作法有=（其中當(dāng)C沿逆時針方向時為正，沿順時針方向時為負(fù)）例10 設(shè)曲線積分與積分路徑無關(guān)，由方程所確定的隱

21、函數(shù)的圖形過點（1，2），求方程。分析 由曲線積分與路徑無關(guān)的條件，可得等式,根據(jù)此等式要來求方程，即求方程所確定的一元隱函數(shù)。而正是隱函數(shù)y的導(dǎo)數(shù)，解此方程，即可得所求。解 ,由 得 而 ，解得 即 由條件,得故所求方程為例11 選取使為函數(shù)的全微分，并求函數(shù)分析 若在單連通域G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，表達(dá)式是某函數(shù)的全微分的充要條件是。利用此條件，可確定，此時，曲線積分與積分路徑無關(guān)，可選取平行于坐標(biāo)軸的折線段作為積分路徑，從而求出解 由，得a=1,b=0，此時，因在面內(nèi)除點（0，0）外處處成立，故在面內(nèi)除點（0，0）外，積分與路徑無關(guān)。因此，積分路徑起點不能取在原點，路徑也不能過原點。=例

22、12 設(shè)有一平面力場，求一質(zhì)點沿曲線L從點（0，0）移動到點（，1）所作的功，其中L為拋物線分析 此題是求變力沿有向曲線弧所作的功，利用公式W=，即可求出。解 W= 因為 ，所以積分與路徑無關(guān)。取為從（0，0）至（，0）的直線段，為從（，0）至（，1）的直線段，則 W= =0+ 另外，此題選取由點（0，0）到點（，1）的直線段為積分路徑也可以。例13 計算，其中為立體的表面。解 由兩部分和組成，是在上的圓，是圓錐體的側(cè)面， 與在面上的投影區(qū)域為。在上，;在 上，,，從而=例14 計算，其中為上半球面。分析 積分曲面既關(guān)于面對稱，又關(guān)于面對稱，這時曲面積分=0，所以原積分等于解 由對稱性知，在面

23、的投影區(qū)域為。在上，,從而=例15 計算，其中為圓柱面及平面,所圍成的空間立體的表面。分析 由三部分、組成，故應(yīng)分片進(jìn)行積分。解 =+是圓柱面上介于和二平面之間的部分，是平面被圓柱面所截的部分,是上的圓。和在面上的投影區(qū)域為：。在上，在上,。從而 =y 對于在上的積分，有些同學(xué)往往不知如何投影，甚至誤以為圓柱面在面的投影為0，從而得出=0的錯誤結(jié)果。其實，積分曲面在某個坐標(biāo)面的投影僅為一曲線，而不構(gòu)成一個區(qū)域時，并不能斷定這個對面積的曲面積分為零。這時，應(yīng)將曲面改投到其它坐標(biāo)面上，并化為相應(yīng)的二重積分來計算。在本題中，可將投影到面，投影區(qū)域為梯形域（如圖）： -1 0 1 而且，曲面又由兩部分

24、和組成。在上，；在上，,均有，從而=+ =2=所以=當(dāng)然，亦可將投影到面作計算，但這時計算稍繁。例16 計算，其中為柱面上及 的部分，它的法線與軸正向交成銳角；為平面上,的 部分，其法線方向朝下。分析 此題為對坐標(biāo)的曲面積分，可用兩種方法計算。（1）直接計算。為柱面，在面的投影為0，面，在該面上的投影亦為0，故有，于是只需計算和（2）利用高斯公式，需補(bǔ)加平面:與:解法1 ， 在面的投影域：，且由兩部分和組成: :，取右側(cè)；:,取左側(cè)。 在面的投影域：,故=+=2， =所以=Z解法2 補(bǔ)曲面:,取后側(cè)；:,取上側(cè)。與、構(gòu)成封閉曲面，并取外側(cè)（圖） 1 0 Y a X ,利用高斯公式得原式= =小

25、結(jié) 由本題的計算說明（1）添“底”、加“蓋”是應(yīng)用高斯公式計算曲面積分時常用的一種技巧。但另一方面，利用高斯公式并非一定簡便，這要視題目的具體形式、補(bǔ)加曲面的多少及計算的難易程度。對本題直接計算并不復(fù)雜。（2）計算時應(yīng)注意區(qū)分左右曲面本身的符號（: ;:）與化為二重積分是由曲面的側(cè)所決定的符號（左側(cè)取“-”號，右側(cè)取“+”號），決不可忽視二者而誤得=+=0（3） 與例3相比，求對坐標(biāo)的曲面積分時，積分曲面不可任意投影。若是對坐標(biāo) 的曲面積分，只可將投影到面上去，若投影為0，則積分必為0。例17 計算，其中為球面的外側(cè)。分析 積分曲面為封閉曲面，利用高斯公式較為方便。另外，從被積表達(dá)式及積分曲面

26、的形式可知，此積分具有輪換對稱性，故亦可利用此性質(zhì)簡化計算。解法1 原式=解法2 原式=3(+)=小結(jié) 在利用高斯公式計算曲面積分時應(yīng)注意：對曲面積分，被積函數(shù)中三個變量 沿積分曲面而變，三者之間的關(guān)系受積分曲面的制約，符合曲面的方程。而一旦化為三重積分,被積函數(shù)中的變化就成為相互獨立的，它們之間并不完全符合積分曲面的方程，因此決不可把兩種積分的計算法混為一談，將代入三重積分的被積函數(shù)中，得出下面錯誤的結(jié)果： 原式=例18 計算，其中，S為球面的外側(cè)。分析 本題可像例17利用輪換對稱性簡化計算，也可直接利用高斯公式。但若利用高斯公式之前，先利用積分曲面的方程將以替代，會使問題更為簡捷。解 = = =例19 計算，其中是曲線繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)曲面的外側(cè)。分析 直接計算不僅要分別投影，還要分片，極為不便。若補(bǔ)加平面：，并取右側(cè)，即構(gòu)成封閉曲面（見圖），便可利用高斯公式，且。y又在面和